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1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限xx x sin lim 0→当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x xx sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是)()sin(lim sin lim 00x x x x x x --=+-→-→． 综上所述，得一．1sin lim0=→x xx ．1sin lim 0=→xxx 的特点：(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0；(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广 如果ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ax →lim()[]()x x ϕϕsin =()()[]()x x x ϕϕϕsin lim 0→=1．例1 求xxx tan lim0→．解 x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→xx x x x x x x x x x x x ．例2 求x xx 3sin lim 0→．解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→ttt x x x t x 令．例3 求20cos 1lim xxx -→． 解 20cos 1limx xx -→=2122sin22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim0220220=⋅⋅==→→→x xx x x x x x x x x ．例4 求xxx arcsin lim0→．解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0． 所以x x x arcsin lim0→=1sin lim 0=→ttt ．例5 求30sin tan lim xxx x -→． 解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim xx xx x x x x x x -⋅=-→→ =21cos 1lim cos 1lim sin lim2000=-⋅⋅→→→xx x x x x x x ． 考察极限e xx x =+∞→)11(lim当x 取正值并无限增大时，x x )11(+是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x x )11(+的值总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x →+∞时，可以验证x x)11(+是趋近于一个确定的无理数e ＝2.718281828...．当x →-∞时，函数x x)11(+有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ．综上所述，得二．x x x)11(lim +∞→=e ．xx x)11(lim +∞→=e 的特点：（１）lim(1+无穷小)无穷大案；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广 （１）若ax →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ()[])()()(11lim ))(11(lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+∞→→=e ；（２）若ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则[()]()[()])(10)(11lim1lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+→→=e ．变形 令x1=t ，则x →∞时t →0，代入后得到 ()e t t t =+→101lim ．如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．例6 求x x x )21(lim -∞→．解 令－x 2=t ，则x =－t2．当x →∞时t →0，于是 x x x)21(lim -∞→=21020])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．例7 求xx x x )23(lim --∞→．解 令x x --23=1+u ，则x =2－u1．当x →∞时u →0， 于是 xx xx )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +⋅+=+-→-→=])1(lim [])1(lim [2011u u u uu +⋅+→-→=e -1．例8 求x x x cot 0)tan 1(lim +→．解 设t =tan x ，则t1＝cot x ． 当x →0时t →0， 于是 xx x cot 0)tan 1(lim +→=tt t 10)1(lim +→=e ．小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。
1．计算下列极限： ⑴0tan 3limx xx→；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 为将tan3x 化出sin3x ，利用sin 3tan 3cos3xx x=，得：0tan 3lim x x x →0sin 33lim 3cos3x x x x →=⋅313cos0=⨯=。
⑵1lim sin x x x→∞； 【解】由于1lim sin x x→∞sin 00==，这是“0⨯∞”型极限，应化为商式极限求解：1lim sin x x x →∞101sinlim1xx x→=， 这又成为了“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 101sinlim 11xx x→=，亦即1lim sin 1x x x →∞=。
⑶0lim cot x x x →；【解】由于0limcot x x →=∞，这是“0⨯∞”型极限，应化为商式极限求解：0lim cot x x x →0limtan x xx→=，这又成为了“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 同样利用sin tan cos xx x=，得： 00lim lim cos tan sin x x x x x x x→→=⋅1cos01=⨯=， 亦即0lim cot 1x x x →=。
⑷01cos 2limsin x xx x→-；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 为将1cos2x -化出正弦函数，利用2cos 212sin x x =-，得：01cos 2lim sin x x x x →-202sin lim sin x x x x →=0sin 2lim x xx→=212=⨯=。
⑸sin limx xxππ→-；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 由于不可能将x π-转化为x ，应考虑利用诱导公式，将sin x 转换为sin()x π-，得：sin limx x x ππ→-0sin()lim x x x πππ-→-=-1=。
⑹0lim x +→；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 为将根号去掉，并将余弦函数转化为正弦函数，可利用2cos 12sin2xx =-，得：lim x +→0limx +→=0lim sin2x x +→=0lim sin 2x x x +→=02lim sin2x x x +→=1== ⑺0sin limsin x x xx x→-+；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 0sin lim sin x x x x x →-+0sin 1lim sin 1x xx x x→-=+11011-==+。
⑻lim 2sin2nnn x→∞（x 为不等于零的常数）。
【解】由于lim sin 2n n x →∞sin 00==，知lim 2sin 2nn n x →∞属于“0⨯∞”型极限，应化为商式极限求解：lim 2sin 2n n n x →∞sin 2lim12n n n x →∞=sin 2lim 2nn nx x x →∞=⋅1x x =⨯=。
2．计算下列极限： ⑴10lim(1)xx x →-；【解】这是“1∞”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim [1()]f x f x f x e →+=：10lim(1)x x x →-1(1)0lim[1()]xx x ⨯--→=+-11lim{[1()]}x x x --→=+-1e -=。
⑵21lim()xx x x→∞+； 【解】这是“1∞”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim [1()]f x f x f x e →+=：21lim()x x x x →∞+21lim[(1)]x x x →∞=+2e =。
⑶1lim(1)kxx x→∞-（k N ∈）； 【解】这是“1∞”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim [1()]f x f x f x e →+=：1lim(1)kx x x →∞-()1lim(1)x k x x -⨯-→∞=+-1lim[(1)]x k x x --→∞=+-k e -=。
⑷3lim()1x x x x+→∞+； 【解】这是“1∞”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim [1()]f x f x f x e →+=：【解法一】3lim()1x x x x +→∞+12lim()1x x x x ++→∞=+12lim()()11x x x x x x+→∞=++1(1)211lim(1)()11x x x x x+⨯--→∞-=+++ 112111lim[(1)]()111x x x x+--→∞-=+++1211e e --=⨯=。
【解法二】3lim()1x x x x +→∞+31lim()11x x x +→∞=+31lim 1(1)x x x →∞+=+31lim11(1)(1)x x x x →∞=++ 111e e -==⨯。
⑸10lim(1)x xx xe →+；【解】这是“1∞”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim [1()]f x f x f x e →+=：10lim(1)x xx xe →+1lim(1)xxe x xex xe ⋅→=+1lim[(1)]x xx e xe x xe →=+0e e e ==。
⑹lim()xx x a x a→∞+-（a R ∈）. 【解】这是“1∞”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim [1()]f x f x f x e →+=：【解法一】lim()x x x a x a →∞+-lim()x a a x x a x a -+→∞+=-lim()()x a ax x a x a x a x a-→∞++=--222lim(1)()x a a a a x a x a x a x a-⨯→∞+=+-- 2212lim[(1)]()1x a aa a x a ax a x ax-→∞+=+--210()10a ae +=-2a e =。
【解法二】lim()x x x a x a →∞+-1lim()1x x a x a x →∞+=-(1)lim (1)xx x a x a x →∞+=-()(1)lim (1)xa a x x a aa x a x⨯→∞⨯--+=-+ [(1)]lim [(1)]xaa x x aa a x ax→∞--+=-+2a a a e e e -==。
3．已知2lim()3xx x c x c→∞+=-，求常数c . 【解】先求出2lim()xx x c x c→∞+-，这有如下两种解法：【解法一】2lim()x x x c x c →∞+-()222lim(1)x c c c c x c x c -+→∞=+-2222lim[(1)](1)x c cc c x c c x c x c-→∞=++-- 21c c e =c e =。
【解法二】由于2lim()xx x c x c →∞+-21lim()1x c c x cx c x ⨯→∞+=-+2(1)lim[](1)x c c x x c c x c x →∞+=-+21(1)lim[][(1)]xc c x x c c x c x→∞--+=-+ 2221[][]c cc e e e e-=== 即由已知得3ce =，从而知ln3c =。
4．利用极限存在准则证明： ⑴222111lim ()12n n n n n n πππ→∞+++=+++； 【证明】由于在括号内的n 个分式中，分母最大的是2n n π+，最小的是2n π+，因此这n 个分式中最小的是21n n π+，最大的是21n π+，从而有222221112n nn n n n n n n πππππ≤+++≤+++++， 可得2222222111()2n n n n n n n n n n πππππ≤+++≤+++++， 而2221lim lim 11n n n n n ππ→∞→∞==++，221lim lim 11n n n n n nππ→∞→∞==++， 即由夹逼准则得，222111lim ()12n n n n n n πππ→∞+++=+++。
证毕。
⑵01x →=。
【证明】由于0x →，故不妨设11x -<<，又因0x →的方式可以分为0x -→和0x +→， 从而可以分10x -<<和01x <<两种情况进行证明：①当10x -<<时，有011x <+<，使指数函数(1)vu x =+是减函数，于是由110n>>得到110(1)(1)(1)n x x x +<+<+，亦即11(1)1nx x +<+<， 而0lim(1)1x x -→+=，0lim 11x -→=，即由夹逼准则得，10lim (1)1nx x -→+=，亦即0lim 1x -→=； ②当01x <<时，有112x <+<，使指数函数(1)vu x =+是增函数，于是由101n<<得到101(1)(1)(1)n x x x +<+<+，亦即11(1)1nx x <+<+， 而0lim(1)1x x +→+=，0lim 11x +→=，即由夹逼准则得，10lim (1)1nx x +→+=，亦即0lim 1x +→=，综上有0lim 1x -→=，0lim 1x +→=，从而得 01x →=。
证毕。
5，…的极限存在，并求出极限。
【证明】⑴先证明数列有界：令1a =2a =3a =，…，可见n a =0n a >由于12a =<，22a =<=，…，假设12n a -<，于是，有n a =2<=，由数学归纳法知，对一切n N +∈，均成立02n a <<，可知该数列有界。
⑵再证明数列单调：由于n a =有11n n n a a a ---==2=0=>，亦即1n n a a ->必有极限。
【解】设数列的极限值为a ，对等式n a =两端求极限，得a =22a a =+，求得其正数解为2a =。
