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第六节 极限存在准则 两个重要极限 ㈠本课的基本要求了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
㈡本课的重点、难点重点是两个重要极限，难点是用两个重要极限求极限 ㈢教学内容本节介绍判定极限存在的两个准则，并利用它们求出微积分中两个重要极限：1sin lim=→xxx 及 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim一．夹逼准则准则Ⅰ 如果数列}{},{n n y x 及}{n z 满足下列条件：⑴),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ，⑵a z a yn n nn ==∞→∞→lim lim ,，那么数列}{n x 极限存在，且a x n n =∞→lim 。
证 因a z a y n n →→,，所以根据数列极限的定义，∃>∀,0ε正整数1N ，当1N n >时，有ε<-a y n ；又∃正整数2N ，当2N n >时，有ε<-a z n 。
现在取},max{21N N N =，则当N n >时，有ε<-a y n ，ε<-a z n 同时成立，即εε+<<-a y a n ，εε+<<-a z a n 同时成立。
又因n x 介于n y 和n z 之间，所以当N n >时，有εε+<≤≤<-a z x y a n n n ，即ε<-a x n 成立，这就证明了a x n n =∞→lim 。
上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限： 准则Ⅰ’ 如果⑴当),(0r x U x∈（或M x >）时，)()()(x h x f x g ≤≤ ⑵A x h A x g x x x x x x ==∞→→∞→→)(,)(lim lim )()(00，那么)(lim)(0x f x x x ∞→→存在，且等于A 。
准则Ⅰ及准则Ⅰ’称为夹逼准则。
准则不仅告诉我们怎样判定一个函数（数列）极限是否存在，同时也给了我们一种新的求极限的方法：即为了求得某一函数的极限，不直接求（比较困难）它的极限，而是把它夹在两个已知（易求的）有同一极限的函数之间，那么这个函数的极限必存在，且等于这个公共的极限。
准则1：若数列}{n x 、}{n y 、}{n z 满足以下条件：（i ） N n ∈∃0，当0n n >时，有n n n z y x ≤≤； （ii ）a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 。
那么数列}{n x 极限存在，且a x n n =∞→lim 。
证明：因为a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ，所以对0,01>∃>∀N ε，当1N n >时，有ε<-a y n ，即εε+<<-a y a n ，对2N ∃，当2N n >时，有ε<-a z n ，即εε+<<-a z a n ，又因为n n n z x y ≤≤，所以当},{21N N Max N n =>时，有εε+<≤≤<-a z x y a n n n ，即有：εε+<<-a x a n ，即ε<-a x n ，所以 a x n n =∞→lim 。
准则1′如果函数)(),(),(x h x g x f 满足下列条件：（i ）当))(,(0M x r x U x >∈∧时，有)()()(x h x f x g ≤≤。
（ii ）当)(0∞→→x x x 时，有A x h A x g →→)(,)(。
那么当)(0∞→→x x x 时，)(x f 的极限存在，且等于A 。
第一个重要极限：1sin lim0=→xxx作为准则I ′的应用，下面将证明第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx 。
证明：作单位圆，如下图： 设x 为圆心角AOB ∠，并设20π<<x 见图不难发现：AOD AOB AOB S S S ∆∆<<扇形，即：x x x tan 2121sin 21<<，即 x x x tan sin <<， （因为20π<<x ，所以上不等式不改变方向，若02<<-x π，不等式也成立）当x 改变符号时，x x x sin ,cos 及1的值均不变，故对满足20π<<x 的一切 x ，有1si n co s <<x xx 。
第六节极限存在准则两个重要极限教学目的：掌握两个极限的存在准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
教学重点：利用两个重要极限求极限教学难点：利用第二重要极限求极限的方法教学过程：准则I 如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件:(1(1,2,3, n n n y x z n ≤≤= ,(2 lim , lim n n n n y a z a →∞→∞==, 那么数列{}n x 的极限存在，且lim n n x a →∞= 准则I ' 如果函数( f x 、( g x 及( h x 满足下列条件:(1( ( ( g x f x h x ≤≤,(2lim ( , lim ( g x A h x A ==,那么lim ( f x 存在, 且lim ( f x A =．注：在上面的定理中，记号“lim ”下面没有标明自变量的变化过程。
实际上，定理对0x x →及x →∞都是成立的。
准则I 及准则I '称为夹逼准则（或迫敛性准则）。
第一个重要极限0sin lim1x x x →=．证如图, 设圆心角AOB x ∠=(0 2x π<<,DB 1 OC Ax因为△AOB 的面积<圆扇形AOB 的面积<△AOD 的面积，所以 111sin tan , 222x x x << 即 sin tan cos 1. sin x x x x x x <<⇒<< 由偶函数性质，02x π-<<时也成立。
又 0lim cos 1x x →= 由准则I '，即得0sin lim1x x x →= 例1 求0tan lim . x x x→ 解 0000tan sin 1sin 1lim lim( lim lim 1. cos cos x x x x x x x x x x x x →→→→=⋅=⋅= 例2 求201cos lim . x x x→- 解 222222000022sin sin sin 1cos 1111lim lim lim lim( 1. 2222( 22x x x x x x x x x x →→→→-====⋅= 例3 求0arcsin lim . x x x→ 解令arcsin t x =, 则sin t x =, 当0x →时, 有0t →. 于是由复合函数的极限运算法则得00arcsin limlim 1. sin x t x t xt →→== 例4 求1lim sin . x x x →+∞ 解令t=1/x.当x →+∞时，t →0.01sin lim sin lim 1. x t t x x t→+∞→== 例5 求sin lim . x x xππ→- 解令t x =-, 则sin sin( sin x t t =-=. 当x →0时，t →0.0sin sin limlim 1. x t x t x t ππ→→==- 例6求0x → 解0sin 4lim 41 41284x x x x →→=⋅⋅=⋅⋅=．准则II 单调有界数列必有极限.准则II 的几何解释:以单调增加数列为例, 数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生．准则II ' 设函数( f x 在点0x 的某个左邻域内单调并且有界，则( f x 在0x 的左极限0( f x -必定存在。
