D1_6极限存在准则

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1-6极限运算法则

8 7 6
5
y e x e x
4 3
ye
2 1
x
ye
x
0
-1 -5
1 y x x e e
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
cos x 6、 lim x __________. x e e x
1 y x x e e
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
一、极限运算法则
定理设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B
( x h) x 2、 lim h 0 h
2
2
练习题答案
1 一、7、； 2 二、1、2； 3、-1； 3 30 8、 ( ) . 2 2、 2 x ；
1 3 3、 lim ( ) 3 x 1 1 x 1 x
( 2 x 3) 20 ( 3 x 2) 30 8、 lim __________. 50 x ( 2 x 1)
(2 x 3) (3x 2) (2 x 3) (3x 2) lim lim 50 x x (2 x 1) 20 (2 x 1)30 (2 x 1) 20 30 3 2 2 3 20 30 x x 2 x 3 3x 2 lim lim x 1 1 x 2 x 1 2x 1 2 2 x x 3 30 ( ) 2

同济大学数学习题及答案

x→a x→a x→a
⑵ 若 lim f ( x ) ⋅ g ( x ) 及 lim f (x ) 都存在，则 lim g ( x ) 也存在。
x→a x→a x→a
2．求下列极限： ⑴ lim e ；
x → +∞ 1 x
⑵ lim e
x →0
−
100 x
；
⑶ lim−
x→0
1 1+ a
1 x
(a > 0) 。
sin αx (β ≠ 0) ； x → 0 sin β x
tan 5 x ； sin 3 x
⑵ lim 2 n sin
n→∞
x （ x 为不等于零的常数）； 2n
⑶ lim
x→0
⑷ lim
x→0
x ； sin (sin x )
1 − cos 2 x ； x sin x
⑸ lim+ x cot x ；
⎧1 ⎪ x sin x, ⎪ ⑴ f ( x ) = ⎨k , ⎪ 1 ⎪ x sin + 1, x ⎩
x<0 x=0 x>0 0 ≤ x <1 ⎧2 x, ⑵ f (x ) = ⎨ 。 ⎩k − 3 x , 1 ≤ x < 2
3．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形。
⎧x2 , ⑴ f (x ) = ⎨ ⎩2 − x,
2
(
)
⑵ sin x ；
⑶
[ f (x )]y ( x ) ( f (x ) > 0) ；
4．设 f ( x ) = e x ， f [φ ( x )] = 1 − x ，且 φ ( x ) ≥ 0 ，求 φ ( x ) 并写出它的定义域。
⎧1， x < 1 ⎪ 5．设 f ( x ) = ⎨0， x = 1 ， g ( x ) = e 2 ，求 f [g ( x )] 和 g [ f ( x )] ，并作这两个函数的图形。 ⎪ ⎩− 1, x > 1 6．收音机每台售价为 90 元，成本为 60 元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过 100 台以上的，每多订购一台，售价就降低 1 分，但最低价为每台 75 元， ⑴ 将每台的实际售价 P 表示为订购量 x 的函数； ⑵ 将厂方所获的利润 P 表示程订购量 x 的函数； ⑶ 某一商行订购了 1000 台，厂方可获利润多少？

1-6极限存在准则

上两式同时成立,
a z n a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim xn a.
n
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′ 如果当 x U ( x0 , ) (或 x M )时,有
第六节第六节极限存在准则及极限存在准则及两个重要极限两个重要极限
一、极限存在准则
第一章第一章
二、两个重要极限
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) yn xn zn
n
( n 1,2,3)
n
( 2) lim yn a , lim zn a ,

1 tan x 2
(0 x ) 2 (0 x ) 2
sin x x tan x
sin x cos x 1 x
注
当 0 x 时, 2 2 2 x x x 2 0 cos x 1 1 cos x 2 sin 2( ) , 2 2 2 2 x (1 cos x ) 0, lim cos x 1, lim 0, lim x 0 x 0 x0 2 sin x 又 lim1 1, lim 1. x 0 x 0 x
x 0
解原式＝ lim[(1 2 x ) ]
x 0
1 2x 2
e .
2
3 x 2x 例6 求 lim( ) . x 2 x
解
1 x2 2 1 4 e 2 . 原式 lim[(1 ) ] (1 ) x x2 x2

1.6 极限存在准则

9
例4 证明：(1) lim(1 1 )n e; (2) lim(1 1 )x e
n
n
x
x
证 (1) 设
xn

1
1 n
n
,
yn

1
1 n
n1
a1a2
an1

a1

a2 n
1

an1
n1
(ai 0)

xn

1
1 2

n2
1 n
1 n2
2 n
2
L
n2
n n
n
所以
1 2 L n n (n 1) / 2 n2 n 1 n 2 n 1
lim
n

n
2
1 n
1 n2
2 n
L 2
4
定理1.6.2(函数的两边夹准则) 设函数f(x),g(x),h(x)满足条件
Table[N[(1 + 1/n)^n, 20], {n, 1000, 10000, 1000}] 运行得：
{2.7169239322358924574,2.7176025693231394203,
2.7178289198746224552, 2.7179421210793585709,
2.7180100501018540468, 2.7180553395755901871,
（1）g( x) f ( x) h( x)，x U 0( x0 ) (或 x X ) (2)lim g( x) A，lim h( x) A 则函数f (x)的极限存在，且有 lim f (x) A。其中极限趣向，可以是任何情形。

极限存在准则两个重要极限公式

令t =1x, 则:
lim(1
1
x)x
=
lim(1
1)t
=
e.
x0
t
t
此结论可推广到
1
lim1 ( x)( x) = e
xa
条件是x a时, ( x) 0，其中a可为
有限值，也可为
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
14
例5 求 lim(1 1 )x .
n2 n n2 1
又 lim n
n = lim n2 n n
1 1 1 = 1,
n
lim
n
n = lim n2 1 n
1 = 1,
1 1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 L 1 ) = 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
6
例2 证明数列 xn = 3 3 L 3 (n重根式)的极限存在.
证: 显然 xn1 > xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 = 3 3, 假定 xk 3, xk1 = 3 xk 3 3 3,
xn 是有界的 ;
原式
=
lim x (1
x 1 )x
x
=
e e 1
=
e2
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
16
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
10 lim sin x = 1; x0 x

A1-6极限存在准则

limh(x) A, lim g(x) A.
h(x) A , g(x) A . 其中 0, 0.
f (x) A [A (A )].
A ( ).
C
两个重要极限
B
(1) lim sin x 1 x0 x
o
x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
证 1.若a≥1
1 n a an2 n
证明 lim n n 1,. n
例2：求证
lim n 1 3 5 (2n 1) n 2 4 6 2n
1
证：123456 (2（n2n1)) 1
n 1 3 5 (2n 1) 1
2 4 6 2n
又
1 3 5 (2n 1) 2 4 6（2n)
2
)2
2 x0 x
1 2
12
1. 2
2
又 2) lim x , 3) lim arcsin x
x0 tan 5x
x0 x
2) 原式 lim x cos5x 1 lim 5x lim cos5x 1
x0 sin 5x
5 x0 sin 5 x x0
5
3) 设 u=arcsinx x→0时u→0,
x
2
lim
x0
(1
x 2
)
2 x
lim
x0
(1
x
)
2 x
2
2
1 2
1
e2
1
e2
e
例. 求
解:
原式
=
lim [(sin
x
1 x
cos
1 x
)2
x
]2
x

1-6 极限运算法则

x x
定理1.6.1推论1
如果 lim f (x)存在, 而c为常数,
则 lim [cf (x)] c lim f (x).
常数因子可以提到极限记号外面。（常因可提）
定理1.6.1推论2
如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数,
则
lim [f (x)]n [ lim f (x)]n .
例1.6.6
分析：当x 时，分子、分母均趋于，
此极限属于“ ”未定型，不能直接运用极限运算法则，应使用倒数法，
由于分子、分母次数相同，它们趋于的速度属于同一等级，
因此极限式是非整体，但是分子、分母又是局部，可以局部将转化为无穷小，亦即应用局部倒的方法，
具体方法：分子、分母同除以最大项
处理方式是整体非无穷大，局部倒。
具体方法：同除以最大项。（不含常系数）
x2 2 x 3 补例1：求解 lim 3 x x 4 x 2 5 【分析】这是“ ”型未定极限，应用倒数法，
x2 2 x 3 【解】由于 lim 3 x x 4 x 2 5
未定型极限分类及一般解法
• 1)商式未定型： • 这是未定型极限的基本类型，其它类型必须化为商式未定型后求解； • 2)积、差式未定型：1“ 0 ” 2“ -” • 积、差式未定型必须转化为商式未定型后求解； “ ”“0 ”“ “0 ”“ ” 1” • 3)幂指函数型： • 幂指函数未定型极限须用取对数法或指数法化为商式未定型后求解。
0
0
0 1 “ ” 0
2“
”

4x 1 . 例1.6.3 求 lim 2 x 1 x 2 x 3

1-6 极限存在准则

因此数列{xn }单调增加, 且有上界3. 所以 lim xn 存在.
n
19
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铃
作业
习题12 (P44): 21. 24.双号 25.
20
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结束
铃
e (a(x)0)
e
法设 lim u( x) 0, lim v( x) , 则有
lim( 1 u ) lim[( 1 u ) ] e
v
1 u uv
lim uv
.
x2 例7 求 lim . x x 1
x
x
x 1 3 3 x 2 1 解 lim lim x x 1 x x 1 3x exp( lim ) e3 . x x 1
n n
那么数列{xn }的极限存在且 lim xn a
n
例1 求 lim n 3n 4n 5n .
n
解
5 n 3n 4n 5n 5 n 3,
n
而 lim 5 n 3 5， lim n 3n 4n 5n 5. n
2
6
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铃
定理(函数极限与数列极限的关系) 如果当xx0时f(x)的极限存在 {xn}为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列且满足 xn x0(nN) 那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛且
n
lim f (xn ) lim f (x)
x x0
14
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上页x e x x

极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式

0 准则Ⅰ′ 如果当 x U ( x0 ) (或 x M )时,有
(1) g ( x ) f ( x ) h( x ), ( 2) x x g ( x ) A, x x h( x ) A, lim lim
( x )
0
( x )
0
那末 lim f ( x ) 存在, 且等于A .
2
10
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极限存在准则重要极限
2. 定义
1 n lim(1 ) e n n
1 n lim (1 ) e n n
1 n 设 x n (1 ) n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)( n n 1) 1 1 2 n 1! n 2! n n! n
解
1 x2 2 1 4 原式 lim[(1 ) ] (1 ) e2 . x x2 x2
17
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极限存在准则重要极限
四、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设为某过程中的无穷小,
sin 0 1 lim 1; 某过程
15
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极限存在准则重要极限
r nk Ak A0 (1 ) n
如果计息期数 n ，即利息随时计入本金（连续
复利），则 k 年末的本利和为
r nk 1 Ak lim A0 (1 ) lim A0 {[1 ] }rk A0 e rk n n n n r A A 上述两式中： 0 称为现值， k 称为将来值（终值），已知 A0 求 Ak ，称为复利问题，已知 Ak ，求 A0

高等数学课件--D1_6极限存在准则

(1 n1 1)
n 1
n
1 n1 1
n
e
(P53~54)
n
lim (1 1 ) n
x
n 1
lim [(1 1 ) （ 1） e 1 n ] n
n
x
2012-10-12
lim (1 1 ) e x
高等数学课件
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( x)
( x )
e, 则
原式 lim
2012-10-12
x
(1 1x ) x 1 e 1
高等数学课件
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例7. 求
解: 原式 =
2 lim [(sin 1 cos 1 ) ] 2 x x x
x 2
x
lim (1 sin 2 ) x
作业
P56 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5)
2012-10-12 高等数学课件
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2 sin x
2
2 2 x 2
x0
sin lim x 2 x0 2
1
x 2
1 2 1 2
2
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
An n R π cos π n n
π n
R
证明: 证: lim An lim π R 2
n
sin π n
π n
n
1 sin 2
x
1 tan x 2
(0 x π ) 2 (0 x π ) 2
sin x x tan x

极限存在准则_两个重要极限公式

单调增, 又
(1
) 1
1 (1 a1 )(1 ak )
∴数列单调递减有下界，设故极限存在， lim xn A n 1 a A a 则由递推公式有 A ( A ) 2 A x1 0 , xn 0 , 故 lim xn a
2013-8-20
n
20
5. 设
证明下述数列有极限 .
证: 显然 xn xn 1 , 即
sin ( x) 注: 利用变量代换，可得更一般的形式 lim 1 ( x ) 0 ( x )
2013-8-20 8
t
例4 求
sin 3x 3 sin 3x 5 x lim 解: lim x 0 sin 5 x 5 x 0 3x sin 5 x 3 sin 3x 5x 3 lim lim 5 x 0 3x x 0 sin 5 x 5 1 cos x . 例5 求 lim 2 x 0 x
通常用字母 e 来表示这个极限，即
1 lim 1 e (e 2.71828) n n
也可以证明，当 x 取实数而趋于或时，函数
n
1 1 y 1 的极限都存在且都等于e ，即 lim 1 e x x x
x x0

lim g ( x) lim h( x) A
x x0 ( x )
( x )
x x0 ( x )
lim f ( x) A
准则I和准则I′统称为夹逼准则. 注意:利用夹逼准则求极限的关键:构造出 yn 与 z n ,
且 yn与 z n的极限是易求的.
2013-8-20 3
数列
xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,

同济大学高等数学第七版1-6极限存在准则与两个重要极限

x0
lim(1 k )lx ekl
x
x
l
lim(1 kx) x ekl
x0
例8
lim
x
1
x

x x 2
(1 )
解：
lim x
x 1 x
x2
lim x
1
1
x
x
1
2
x
x

e e2
e3.
则 lim f ( x) A
常见形式：
| f ( x) | g( x) lim g(x) 0
lim f (x) 0
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
lim(1 1 )x e
x
x
第二个重要极限
lim(1 1 )x e
x
x
11
例 llxxiimm00((11xx))xx e
lim(1 1 )x e
x
x
1
lim(1 x) x e
x0
该极限的特点: 1 型;
这个重要极限应灵活的记为: “以1加非零无穷小为底,指数是无穷小的
解: 当n 1时 x1 2 2 ,设xk 2 ，则
xk1 2 xk 2 2 2
又 2 x1 2 2 2 x1
设 xk1 xk ，则 xk2 2 xk1 2 xk xk1
∴｛xn ｝单增有上界，从而必有极限。
设 lim n
lim
n
yn
a N1

1-6极限存在准则-两个重要极限

令 t = − x,
1 x 1 −t 1 t ∴ lim (1 + ) = lim (1 − ) = lim (1 + ) x → −∞ t → +∞ t → +∞ x t t −1 1 t −1 1 = lim (1 + ) (1 + ) = e. t → +∞ t −1 t −1
1 x ∴ lim (1 + ) = e x→∞ x
n→ ∞
证 Q yn → a ,
zn → a ,
∀ ε > 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 使得
当 n > N 1时恒有 y n − a < ε ,
当 n > N 2时恒有 z n − a < ε ,
取 N = max{ N 1 , N 2 }, 即 a − ε < yn < a + ε,
0
(1) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ), ( 2) x lim g ( x ) = A , lim h ( x ) = A , →x x→ x
( x →∞ )
0
( x →∞ )
0
那末 lim f ( x )存在, 存在, 且等于 A.
x → x0 ( x →∞ )
准则
和准则
'称为夹逼准则称为夹逼准则.
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及z n 满足下列条件: 满足下列条件:
(1) yn ≤ xn ≤ z n
n→ ∞
( n = 1,2,3L)
n→ ∞
( 2) lim yn = a , lim z n = a ,

六节极限存在准则两个重要极限

证明：必要性
| xn xm |
充分性（不证）见参照书《数学分析》。
柯西极限存在准则也称为柯西审敛原理。
三、小结
1.两个准则 2.两个主要极限
sin x lim 1 x0 x
lim(1 1 )n e
n
n
lim (1 1 )x e
x
x
lim (1 1 )x e
x
x
lim(1 1 )x e
2
x
1
sin lim(
2 x0 x
2
)2
1 2
12
1 2
2
例7 求 lim(1 1 )x
x
x
解
原式 lim[(1 1 ) x ]1 lim
x
x
x
(1
1 1
) x
1 e
x
例8 求 lim( 3 x )2x x 2 x
解原式 lim[(1 1 ) x2 ]2 (1 1 )4 e2
x
x
lim (1 1 )x e 令 t 1 ,做换元，得
x
x
x
1
lim(1 x) x
lim(1 1)t
e
x 0
t
1
t
lim(1 x) x e x0
tan x 例4 求 lim
x0 x
sin x
解
tan x lim x0 x
lim x 0
cos x x
sin x 1 lim( )
即 a yn a (1)
lim n
zn
a
0,
N 2
0 ,使得当 n
N
时
2
就有 zn a

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x 2
1 2
lim
x0
sin
x 2
x 2
2
1 2
12
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
An
n
R2
sin
n
cos
n
n
证明:
R
证:
lim
n
An
lim
n
R
2
sin
n
n
cos
n
说明: 计算中注意利用
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2.
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1 n11)n (1 1x)x (1 1n)n1
e,
则
原式
lim
x
(1
1 x
)
x
1
e1
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例7. 求
解:
原式
=
lim [(sin
x
1 x
cos
1 x
)2
x
]2
x
lim (1
x
sin
2x) 2
1
(1
sin
2 x
sin
)
2 x
e
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内容小结
1. 函数极限与数列极限关系的应用
(1) 利用数列极限判别函数极限不存在
x x0 (x )
lim f (x) A
(
x x
x0 )
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
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2. 单调有界数列必有极限 ( 准则Ⅱ) ( P52 )
lim
n
xn
a
(M
)
a
lim
n
xn
b
(m)
b
( 证明略 )
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例6. 设
证明数列
sin x
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
例3. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
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例4. 求
解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
1
n2
1
lim n
n
1
n2
n2
1
2
n2
1
n
1
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上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限：
准则I’ 当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
x x0 (x )
1t )t
1
lim [(1
t
1t )t
(1 1t )]
e
故
lim (1
x
1x) x
e
说明:
此极限也可写为
1
lim (1 z) z
e
z0
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例6. 求
解: 令 t x , 则
lim (1
t
1t )t
lim 1
t
说明
：若利用
lim (1
( x)
1 (x)
)
(
x)
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法1 找一个数列 xn: xn x0 , 且 xn x0 ( n )
使
lim
n
f
(xn
)不存在
.
法2 找两个趋于 x0 的不同数列 xn及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
(2) 数列极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则
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2. 两个重要极限
xn
11
1 2!
(1
1n)
1 3!
(1
1n)
(1
n2)
1 n!
(1
1n)
(1
2 n
)
(1
nn1)
xn1
11
1 2!
(1
n11)
31! (1
n11)(1
n21)
大
大
(n11)!(1 n11)(1 n21)(1 nn1)
正
比较可知 xn xn1 ( n 1, 2, )
又
xn
(1
1 n
)n
lim (1
n
n11)n
lim
n
(1 n11)n1 e
1
1 n1
lim (1
n
1 n
)n1
lim [(1
n
1n)n（1
1n）]
e
lim (1
x
1x) x
e
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当
时, 令 x (t 1), 则
从而有
t
lim (1
t
11)(t
1)
tlim(tt 1)(t1)
t
lim (1
11
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又 xn (1 1n)n 11 11
3
2
1
n1
3
根据准则 2 可知数列 xn 有极限 .
记此极限为 e , 即
lim (1
n
1 n
)
n
e
e 为无理数 , 其值为
e 2.718281828459045
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二、两个重要极限
极限存在 . (P52～P54)
证: 利用二项式公式 , 有
xn
(1
1 n
)n
1
n 1!
1 n
n(n1) 2!
1 n2
n(n1)(n2) 3!
1 n3
n(n1)(nn1) n!
1 nn
11
21!(1
1 n
)
31!(1
1 n
)
(1
2 n
)
n1!(1 1n) (1 n2) (1 nn1)
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第六节
第一章
极限存在准则及
两个重要极限
一、极限存在准则二、两个重要极限
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一、极限存在准则
1. 夹逼准则 (准则Ⅰ)
(1) yn xn zn ( n 1, 2, )
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a
lim
n
xn
a
证: 由条件 (2) , 0, N1, N2 ,
当
时,
,当
时,
令 N max N1 , N2, 则当 n N 时, 有
由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a
,
故
lim
n
xn
a
.
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例1. 证明
证: 利用夹逼准则 .由
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
n2
n2
且
lim
n
n2 n2
lim n1
或注: 代表相同的表达式
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思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ;
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
作业
2. lim xsin 1 __1__ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e___1;
n n
P55 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5)
证:
当
x
(
0
,
2
)时，Leabharlann BD1xoC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有显然有
sin x x tan x
(0
x
2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
注
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例2. 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0