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高数第一章极限存在准则 两个重要极限

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极限存在准则与两个重要极限

极限存在准则与两个重要极限

极限存在准则与两个重要极限首先，我们来定义极限存在准则。

设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε。

左极限：设函数f(x)在x=a的其中一左去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a-δ<x<a时，有，f(x)-L，<ε。

右极限：设函数f(x)在x=a的其中一右去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a<x<a+δ时，有，f(x)-L，<ε。

接下来，我们来介绍两个重要的极限存在准则。

1.夹逼准则（或夹挤准则）：设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且在这个去心邻域中，存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)。

若当x→a时，g(x)和h(x)的极限都是L，则函数f(x)在x=a处的极限也是L。

夹逼准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近被两个函数“夹住”，而这两个函数的极限是相等的，则原函数在该点也存在极限，并且极限等于夹逼的值。

2.单调有界准则：如果函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，并且在这个去心邻域中是递增或递减的（即f’(x)≥0或f’(x)≤0），那么如果存在一个实数M，使得对于任意的x，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），那么函数f(x)在x=a处存在极限。

单调有界准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近是单调递增或递减的，并且在该区间内被一个实数所界定，那么函数在该点存在极限。

这两个极限存在准则在微积分中具有重要的意义和应用。

在求解极限问题时，可以利用夹逼准则来确定极限的存在性。

而在证明一些极限存在的定理时，可以利用单调有界准则来进行证明。

总结起来，极限存在准则是用于确定函数在一些点是否存在极限的基本规则。

夹逼准则和单调有界准则是两个重要的应用极限存在准则，它们在微积分中有着广泛的应用。

高数1 极限存在准则与两个重要极限

高数1 极限存在准则与两个重要极限

假设 xn xn1 ,
则 x n 1 a x n a x n 1 x n
即 xn单增.
x n 1 从而 1, xn
又 x n a x n 1 ,
2 则 xn a xn1 .
2 a x n 1 a x n a x n 1 1 a 1 xn xn xn a xn xn
即 A g( x) A .
2 0, 当 0 x x0 2时, 有 h( x ) A ,
即 A h( x ) A .
取 min{ 1 , 2 , 0 }. 当 0 x x0 时,
有 A g ( x ) f ( x ) h( x ) A ,
x 2 sin 1 cos x 2 Solution. x x x x 2 sin 2 sin 1 cos x 2 2 2 lim lim lim x x x 2 x 0 x 0 x 0
1 cos x lim x x 0 x x 2 sin 2 sin 2 2 2 lim x x 2 x 0
即 f ( x) A .
lim f ( x ) A.
x x0
x0 ,
x0 ,
x 注意：极限过程为“ x x0 ” (或 x x , x , x 等).
如果数列 xn , yn , zn满足 准则I’： (1) yn xn zn ( n 1, 2,)
1
四. 第二重要极限
1 x lim (1 ) e x x
下面分三步进行讨论.
(1)设x依次按自然数n变化，则函数为 1 n xn f ( n) (1 ) n n 1 n( n 1) 1 n( n 1) ( n n 1) 1 xn 1 2 n 1! n 2! n! n n

微积分：极限存在准则与两个重要极限

微积分：极限存在准则与两个重要极限

02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说， 当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们 可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用 极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否 则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。 具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这 是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷 小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替 换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在 该点的切线斜率。

极限存在准则 两个重要极限

极限存在准则 两个重要极限
显然 xn+1 > xn , ∴ {xn } 是单调递增的 ;
12/19/2010 10:04 PM
1 1 1 1 2 n −1 xn = 1+ 1+ (1− ) +L+ (1− )(1− )L(1− ). 2! n n! n n n
n→∞
12/19/2010 10:04 PM
令 lim xn = A, 对递推公式
n→∞
xn = a + xn−1 的两边取极限
lim xn = lim a + xn−1 ⇒ 1 ± 1 + 4a 4a , A = a + A ⇒ A − A−a = 0⇒ A = 2
2
n→∞
n→∞
存在, 因为 xn > 0, 且 lim xn存在,则 lim xn = A ≥ 0,
类似地, 类似地,
xn +1 1 = 1 + n+1
n +1
1 1 = 1 + 1 + (1 − ) +L 2! n+1
1 1 2 n−1 )(1 − )L(1 − ) + (1 − n! n+1 n+1 n+1 1 1 2 n (1 − )(1 − )L(1 − ) + ( n + 1)! n+1 n+1 n+1
1 − cos x 1 = 1 ⋅ lim = . 2 x →0 2 x
12/19/2010 10:04 PM
sin 3 x . 例11 求 lim x →π tan 5 x 解 令x = π − t ⇒ t = π − x , 当x → π 时 ⇒ t → 0, 则 sin ( 3π − 3t ) sin 3 x lim = lim x →π tan 5 x t → 0 tan ( 5π − 5t )

两个极限存在准则和两个重要的极限

两个极限存在准则和两个重要的极限

两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。

其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。

第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。

其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。

这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。

柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。

而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。

这两个定理的应用范围和方法略有不同。

除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。

无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。

对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。

对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。

无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。

对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。

对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。

1.4 极限存在准则与两个重要极限

1.4 极限存在准则与两个重要极限

( A) e −2; (C ) 0;
2
§1.4 极限存在准则与两个重要极限
思考练习
选择
1 ( 1) lim x sin = ( C ). x →∞ x ( A) ∞; ( B ) 不存在; (C ) 1; ( D ) 0.
（2）lim ( 1 − x ) ）
x →0 − 2 x
=（ D ）
( B ) ∞; ( D) e .
上页 下页 返回
U 准则Ⅰ′ 如果当 x ∈ ( x0 , δ 0 )(或 x > M )时,有 准则Ⅰ′
(1) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ), ( 2) x→ x g( x ) = A, x→ x h( x ) = A, lim lim
( x→∞ )
0
( x →∞ )
0
存在, 那么 lim f ( x )存在, 且等于 A.
§1.4 极限存在准则与两个重要极限
一、极限存在准则 二、两个重要极限
sin x lim =1 x→0 x
1n lim(1 + ) = e n→∞ n
上页 下页 返回
§1.4 极限存在准则与两个重要极限
一、极限存在准则
1.夹逼准则 1.夹逼准则
准则Ⅰ 满足下列条件: 准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
= e −2 .
上页 下页 返回
§1.4 极限存在准则与两个重要极限
例5
3− x x ) . 求 lim( x →∞ 2 − x
1 x 解 原式 = lim(1 + ) x →∞ 2− x
1 2− x 1 2 ) ⋅ (1 + ) = lim (1 + x →∞ 2− x 2− x

高数第-章极限存在准则两个重要极限PPT课件

2023
高数第-章极限存在准 则两个重要极限ppt 课件
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REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03

极限存在准则 两个重要极限


第二个重要极限：勇气极限
勇气极限是指我们所能承受的恐惧和心理压力的极 限。了解并逐步超越这个极限，可以使我们在挑战 中变得无所畏惧。
重要性说明
1 激发潜力
了解重要极限能激发我们 内在的潜力，鼓励我们尝 试新事物并突破自身的局 限。
2 规避风险
重要极限的认识有助于我 们规避风险，避免陷入危 险和不理智的决策中。
极限存在准则：两个重要 极限
在极限存在的世界里，我们要探讨两个重要极限：极限存在准则以及第一个 和第二个重要极限。让我们一同揭开生活中最极致的部分。
极限存在准则
1
什么是极限存在准则？
极限存在准则是指在一定条件下，存在着极限情况的规律和约束。它定义了事物 的极限状态和行为。
2
为什么极限存在准则重要？

3 追求卓越
超越重要极限是追求卓越 的关键一步，让我们不断 学习、成长和创新。
实际应用
运动训练
运动训练中，了解和超越个人身体极限是提高 体能和成绩的关键。
领导能力
领导者需要超越自身能力和局限，带领团队不 断创新和突破。
创业企业
创业企业需要超越市场的竞争和资源限制，寻 找新的商业机会和创新解决方案。
科学研究
科学研究需要不断突破知识和技术的边界，发 现未知领域和新的发现。
总结和结论
极限存在准则以及两个重要极限的认识，可以帮助我们更好地理解和应对生活中的极端情况和挑战。通过超越 这些极限，我们能够实现更高的成就和创造。
极限存在准则能帮助我们了解事物的极端表现和局限，提醒我们在决策和行动中 要注意避免超越这些极限。
3
应用领域
极限存在准则广泛应用于科学研究、工程设计、金融市场和人类行为等领域，在 寻找平衡和解决问题时发挥着关键作用。

高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限


则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x

极限存在准则两个重要极限公式

极限存在准则两个重要极限公式极限存在准则是数学中的一个重要概念，用于判断一个函数在其中一点处的极限是否存在。

在实际应用中，掌握极限存在准则对于求解极限问题非常重要。

在极限存在准则中，有两个非常重要的极限公式，分别是极限的保号性和夹逼定理。

首先，我们来介绍一下极限的保号性。

设函数f(x)在点x0的一些去心邻域内有定义，如果存在一个常数L，使得当x在x0的一些去心邻域内取值，并且f(x)>L，那么可以得出极限lim(x→x0)f(x)≥L；反之，如果存在一个常数L，使得当x在x0的一些去心邻域内取值，并且f(x)<L，那么可以得出极限lim(x→x0)f(x)≤L。

这就是极限的保号性。

保号性的一个重要应用是判断函数的极值。

如果在x0的一些去心邻域中，函数f(x)>0或f(x)<0，并且极限lim(x→x0)f(x)存在，那么就可以得出f(x)在x0处的极限是f(x0)。

这是因为根据保号性，当f(x)在x0的一些去心邻域内取正值时，可以推出极限lim(x→x0)f(x)≥0；同理，当f(x)在x0的一些去心邻域内取负值时，可以推出极限lim(x→x0)f(x)≤0。

由于极限存在，所以这时候只有一个可能，即极限lim(x→x0)f(x)等于0，即f(x)在x0处的极限是f(x0)。

下面我们来介绍夹逼定理。

设函数f(x)、g(x)和h(x)在其中一点x0的一些去心邻域内有定义，并且对于x在该邻域内取值，有f(x)≤g(x)≤h(x)。

如果极限lim(x→x0)f(x)和lim(x→x0)h(x)都存在，并且它们的极限值相等，即lim(x→x0)f(x)=lim(x→x0)h(x)=L，那么可以得出lim(x→x0)g(x)=L。

这就是夹逼定理。

夹逼定理常用于求极限的问题中，特别是当函数的表达式较复杂时，可以用一个更容易处理的函数夹逼该函数，从而求得极限。

夹逼定理的原理是通过限制函数g(x)在f(x)和h(x)之间，确定了极限的上下界。

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当
时,
当
时,
lim
n
xn

a
令N max N1 , N2,
则n当 N
时, 有
由条件 (1) a yn xn zn a
即xn a ,
l故im
n
xn

a
.
2
例1. 证明
证: 利用夹逼准则 由.
n

n2
1


n2
1
2

n2
1
n


n2
n2
且
lim
n
n
n2 2


lim
n
1
1


n2
1

lim n
n

n2
1


n2
1
2

n2
1
n

1
3
准则1’ 函数极限存在的夹逼准则

当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
a
lim
n
xn
b
(m)
b ( 证明略 ) 5
例2. 设
证明数列
极限存在 . (P49)
证: 利用二项式公式(P270 ), 有
xn (1 1n)n

1

n 1!
1 n

n(n1) 2!
1 n2

n(n1)(n2) 3!
1 n3


n(n1)(nn1) n!
1 nn
11
x x0
2
x 2

1 2
lxim0sin2x
x 2
2
15
例6. 已知圆内接正 n 边形面积为

n
An

n
R2
sin

n
cos

n
R
证明:
证:
lim
n
An

lim
n

R
2
sin


n
cos

n
n
说明: 计算中注意利用
16
重要极限2. lim(1 1 )x e
x
x

xn

a xn

a
xn1 xn

1 (1 2
a xn 2
)

1 (1 2
a) a
1
∴数列单调递减有下界，
故极限存在， 设
lim
n
xn

A
则由递推公式有 A 1 ( A a )
A a
2A
x1 0,
xn 0,
故
lim
n
xn

a
9
二、 两个重要极限
重要极限lim1 sin x 1 x0 x
证: 当x 0
时,n设 x n 1, 则
(1
n11)n

(1
1 x
)
x
(1
1n)n1
lim (1
n
n11)n

lim
n
(1 n11)n1
1

1 n1
e
lim (1
n

1 n
)n1

lim [(1
n

1n)n（1

1n）]

e
lim (1

k

lim
x0
sin k
k x
x

k
2li.m tan x x0 x

lim x0
sin x
x
1 cos
x

lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
12
3.
解:t 令 arcsin x , 原式 lim t t0 sin t
4.
x则 sin t , 因此
记此极限为 e , 即
lim (1
n
1 n
)
n

e
e 为无理数 , 其值为
e 2.718281828459045
8
例3
设
xn1

1 2
( xn

a xn
)
( n 1, 2, )
,且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
解： xn1

1 2
(xn

a) xn
大
大
(n11)!(1 n11)(1 n21)(1 nn1) 正
比较可知 xn xn1 ( n 1, 2, )
又
xn

(1
1 n
)n
11
7
又 xn (1 1n)n 11 11

3

1 2n1
3
根据准则 2 可知数列 xn 有极限 .
证:
当x (0,

2
)
时，
△AOB 的面积＜
圆扇形AOB的面积
BD
1
ox C A
＜△AOD的面积
即12 sin x

1 2
tan
x
sin x x tan x
(0

x


2
)
故有 显然有
cos x sin x 1 x
(0
x


2
)
10
例4. 求下列函数的极限
1. lim sin kx lim k sin k x x0 x x0 k x
此极限也可写为lim (1
1
Байду номын сангаасz)z

e
z0 18
例7 已知
解: 原式 =
c ln 4
求 C。
ec 4
19
例8 求下列极限
t 解x:, 令 则
lim (1
t

1t )
t

lim
t
1
解
原式＝
说明
：若利用lim (1
(x)


1 (x)
)
(
x)
x
1 x
)
x

e
17
当
时, 令x (t 1), 则
从而有

t
lim (1


t
11)(t
1)
tlim(tt 1)(t1)

t
lim (1


1t )t
1

t
lim [(1


1t )t
(1

1t )]

e
故
lim (1
x
1 x
)
x

e
说明:
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
x x0 (x )
x x0 (x )
lim f (x) A
(
x x
x0 )
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
4
3. 准则2 单调有界数列必有极限 （单调有界原理 )
lim
n
xn
a
(M
)
21!(1

1 n
)

31!(1

1n)(1

n2)



n1! (1
1 n
)
(1

n2)(1

nn1)
6
xn
11
21!(1 1n)

31!(1

1n)
(1

2 n
)

n1!(1 1n) (1 n2) (1 nn1)
xn1 11 21!(1 n11) 31!(1 n11)(1 n21)
sin t 1
t
解:t 令 arctan x, x则 tan t , 因此
原式 lim t t0 tan t
1
tan t
t
13
高等数学
第七讲
主讲教师: 王升瑞
14
例5. 计算下列函数的极限
1.lim x sin 1
1
x
x
2.
3.
1 12 2
3 2
2 sin 2
lim
第一章
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、极限存在准则 二、 两个重要极限
1
一、极限存在准则
1.准则1（数列极限存在的夹逼准则 )
(1) yn xn zn ( n 1, 2, )
(2)
lim
n
yn

lim
n
zn

a
证: 由条件 (2) , 0 , N1, N2 ,