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极限存在准则与两个重要极限首先，我们来定义极限存在准则。
设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε。
左极限：设函数f(x)在x=a的其中一左去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a-δ<x<a时，有，f(x)-L，<ε。
右极限：设函数f(x)在x=a的其中一右去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a<x<a+δ时，有，f(x)-L，<ε。
接下来，我们来介绍两个重要的极限存在准则。
1.夹逼准则（或夹挤准则）：设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且在这个去心邻域中，存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)。
若当x→a时，g(x)和h(x)的极限都是L，则函数f(x)在x=a处的极限也是L。
夹逼准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近被两个函数“夹住”，而这两个函数的极限是相等的，则原函数在该点也存在极限，并且极限等于夹逼的值。
2.单调有界准则：如果函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，并且在这个去心邻域中是递增或递减的（即f’(x)≥0或f’(x)≤0），那么如果存在一个实数M，使得对于任意的x，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），那么函数f(x)在x=a处存在极限。
单调有界准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近是单调递增或递减的，并且在该区间内被一个实数所界定，那么函数在该点存在极限。
这两个极限存在准则在微积分中具有重要的意义和应用。
在求解极限问题时，可以利用夹逼准则来确定极限的存在性。
而在证明一些极限存在的定理时，可以利用单调有界准则来进行证明。
总结起来，极限存在准则是用于确定函数在一些点是否存在极限的基本规则。
夹逼准则和单调有界准则是两个重要的应用极限存在准则，它们在微积分中有着广泛的应用。
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
极限存在准则两个重要极限公式极限存在准则是数学中的一个重要概念，用于判断一个函数在其中一点处的极限是否存在。
在实际应用中，掌握极限存在准则对于求解极限问题非常重要。
在极限存在准则中，有两个非常重要的极限公式，分别是极限的保号性和夹逼定理。
首先，我们来介绍一下极限的保号性。
设函数f(x)在点x0的一些去心邻域内有定义，如果存在一个常数L，使得当x在x0的一些去心邻域内取值，并且f(x)>L，那么可以得出极限lim(x→x0)f(x)≥L；反之，如果存在一个常数L，使得当x在x0的一些去心邻域内取值，并且f(x)<L，那么可以得出极限lim(x→x0)f(x)≤L。
这就是极限的保号性。
保号性的一个重要应用是判断函数的极值。
如果在x0的一些去心邻域中，函数f(x)>0或f(x)<0，并且极限lim(x→x0)f(x)存在，那么就可以得出f(x)在x0处的极限是f(x0)。
这是因为根据保号性，当f(x)在x0的一些去心邻域内取正值时，可以推出极限lim(x→x0)f(x)≥0；同理，当f(x)在x0的一些去心邻域内取负值时，可以推出极限lim(x→x0)f(x)≤0。
由于极限存在，所以这时候只有一个可能，即极限lim(x→x0)f(x)等于0，即f(x)在x0处的极限是f(x0)。
下面我们来介绍夹逼定理。
设函数f(x)、g(x)和h(x)在其中一点x0的一些去心邻域内有定义，并且对于x在该邻域内取值，有f(x)≤g(x)≤h(x)。
如果极限lim(x→x0)f(x)和lim(x→x0)h(x)都存在，并且它们的极限值相等，即lim(x→x0)f(x)=lim(x→x0)h(x)=L，那么可以得出lim(x→x0)g(x)=L。
这就是夹逼定理。
夹逼定理常用于求极限的问题中，特别是当函数的表达式较复杂时，可以用一个更容易处理的函数夹逼该函数，从而求得极限。
夹逼定理的原理是通过限制函数g(x)在f(x)和h(x)之间，确定了极限的上下界。
Afr .-f-e
第一早第八节
极限存在准则两个重要极限
【教学目的】
1、 了解函数和数列的极限存在准则；
2、 掌握两个常用的不等式；
3、 会用两个重要极限求极限。
【教学内容】
1、 夹逼准则；
2、 单调有界准则；
3、 两个重要极限。
【重点难点】
重点是应用两个重要极限求极限。
难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】 从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（ 3分钟）。
首先给出极限存在准
则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（
5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类
型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（ 10分钟）；课堂练习（5分钟）。
【授课内容】
引入：考虑下面几个数列的极限
1000
3、lim X n ,其中 x n = 、.、3+ x n-1， N = '、3，极限不能确定。
对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则:
一、极限存在准则
1. 夹逼准则
准则I 如果数列X n ,y n 及Z n 满足下列条件
(1) y n X n Z n (n 1,2,3 )
(2) lim y n
a, lim z n a,
n
n
那么数列X n 的极限存在，且lim X n
a .
n
证： y a, z a,
0, N 1 0, N 2 0,使得
1、 lim
n
n 2
1000个0相加，极限等于 0。
2、 lim
n
——2一无穷多个
.n i
0”相加，极限不能确定。
当n N1时恒有y n a ,当n N2时恒有Z n
取N 二max{N j , N 2},上两式同时成立，即a _1_ n 2 2
【说明】 夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用
2. 单调有界准则
准则n 单调有界数列必有极限
几何解释：
X 2 X 3 X n X
n 1
A
1 - 3—X n , X 1 ,3，求lim X n 。
首先证明是有界的，然后证明是单
n
调的，从而得出结论
证：1、证明极限存在
例2证明数列
X n
.3 '/L 3 ( n 重根式)的极限存在
当n > N 时，恒有 a
y n x n z n a ,即 X n a
成立, lim x n a.
n
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
o
准则I '如果当X U (x 0,)(或x M )时，有
(1) g(x) f(x) h(x),
⑵』m g(x) A ，』m h(x) A,
x x
x x
(x ) (x )
那么lim f (x)存在，且等于A .
x x 0 (x )
准则 和准则'称为夹逼准则。
【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出
y n 与z n ，并且y n 与z n 的极限是容易求的。
解:
又lim
n
1
1 求 lim(
+
=+ L n
“n 2+ 1
、n 2 + 2
+
J 2
：
).
.n + n
1 + . < ..n
2 + n
lim
n
1,
lim 一n -
n
lim
n
1, 1
2
y n a 由夹逼定理得:
-)1- n
如果数列x n 满足条件X 1 加的；如果数列 x n
满足条件X 1 x 2 x 3 少的。
单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。
X 2 X 3 X n X n
X n 1 X n 1
，就称数列 x n 是单调增 ,就称数列x n 是单调减
【分析】已知X n
2
2
(|)2
2
(1
a ）证明有上界
N 3 3，设 x n
3 x
n 1
3
， 则 X n 1 ,3 X n 3一3 3
所以对任意的n 有 X n
3
b ）证明单调上升
X n 1 X n ... 3 X n X n
X n X n
X n x n
x n
所以lim X n 存在
n
2、求极限 设 lim x n
l n
，则I .FT ，解得I
卫舍去）
所以 lim x n n
两个重要极限
1. sin x ’ lim
1 x 0 x
如右图所示，设单位圆O,圆心角 AOB X,
(0 X 2)
作单位圆的切线， 得ACO.扇形OAB 的圆心角为x, OAB 的高为BD, 于是有sinx BD, x 弧AB,
tanx AC,
sin x x tan x, 即 COSX 沁1,上式对于
- x 2 2时,° cosx 1 1 cosx 2 sin 2 △
2(52
X 0也成立. 2
lim — x 0 2 0, lim (1 cosx) x 0
0, lim cosx x 0
1,又
lim1 x 0
1,
lim
sin X
x 0
(1) 求下列极限
1- cosx lim 2— x ?0 x 2 解：原极限=lim 0 X? 2
X 2sin
— 2
2
X
2x
m
1.
sin 2^ x
sin
2凹（二
2. lim (1 丄广
x
x
，lim 0(1
x 0
1
x)x e ， lim n
“1 ”型
X
【说明】
1
(1)
上述三种形式也可统一为模型
lim 1 x 一冈 e
(x) 0
(2) 第二个重要极限解决的对象是
1型未定式。
2
例如，lim 2 x 门 lim 1
X 1
X 1
(2) lim
X
而广 n(n 1) 2
1
n(n 1)/2 1 而 lim 2
， lim 厂 n
n
n n 2 n n n 1
2
1 所以原极限 一 2
【内容小结】
lim f (x) A = lim h(x)，则 lim g(x) A 。
X X o
XX)
x X o
2、单调有界准则
(1) 单调上升有上界的数列，极限一定存在;
解：
n 2n
n 1) 2
1 2 n
2 n n
n n 2 n n n 2 n n n 1
2
L
n
2 n n 1 2 n n 2
2 n n n
1
2
L
n n(n 1) 2 2 n n
1 2 n n 1 2 n n 1 2 n n 1
O
i 1
【课堂练习】求lim
n
n (1) 求下列极限
x
lim(1 -
X
解：原极限二 lim[(1
X
X ) x
]
lim
X
(1
解：原极限=lim[(1
X
")
1、夹逼准则
o
当 X U(X 0,)时
有 f (X) g(x) h(x)
(2) 单调下降有下界的数列，极限一定存在。
3、两个重要极限
(X 为弧度)；
1
1 x 一
(2) lim (1
)x e , lim (1 x)x e x
x x 0
mo
z
\1。
