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极限存在准则与两个重要极限首先，我们来定义极限存在准则。
设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε。
左极限：设函数f(x)在x=a的其中一左去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a-δ<x<a时，有，f(x)-L，<ε。
右极限：设函数f(x)在x=a的其中一右去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a<x<a+δ时，有，f(x)-L，<ε。
接下来，我们来介绍两个重要的极限存在准则。
1.夹逼准则（或夹挤准则）：设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且在这个去心邻域中，存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)。
若当x→a时，g(x)和h(x)的极限都是L，则函数f(x)在x=a处的极限也是L。
夹逼准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近被两个函数“夹住”，而这两个函数的极限是相等的，则原函数在该点也存在极限，并且极限等于夹逼的值。
2.单调有界准则：如果函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，并且在这个去心邻域中是递增或递减的（即f’(x)≥0或f’(x)≤0），那么如果存在一个实数M，使得对于任意的x，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），那么函数f(x)在x=a处存在极限。
单调有界准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近是单调递增或递减的，并且在该区间内被一个实数所界定，那么函数在该点存在极限。
这两个极限存在准则在微积分中具有重要的意义和应用。
在求解极限问题时，可以利用夹逼准则来确定极限的存在性。
而在证明一些极限存在的定理时，可以利用单调有界准则来进行证明。
总结起来，极限存在准则是用于确定函数在一些点是否存在极限的基本规则。
夹逼准则和单调有界准则是两个重要的应用极限存在准则，它们在微积分中有着广泛的应用。
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
第六节 极限存在准则 两个重要极限 ㈠本课的基本要求了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
㈡本课的重点、难点重点是两个重要极限，难点是用两个重要极限求极限 ㈢教学内容本节介绍判定极限存在的两个准则，并利用它们求出微积分中两个重要极限：1sin lim=→xxx 及 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim一．夹逼准则准则Ⅰ 如果数列}{},{n n y x 及}{n z 满足下列条件：⑴),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ，⑵a z a yn n nn ==∞→∞→lim lim ,，那么数列}{n x 极限存在，且a x n n =∞→lim 。
证 因a z a y n n →→,，所以根据数列极限的定义，∃>∀,0ε正整数1N ，当1N n >时，有ε<-a y n ；又∃正整数2N ，当2N n >时，有ε<-a z n 。
现在取},max{21N N N =，则当N n >时，有ε<-a y n ，ε<-a z n 同时成立，即εε+<<-a y a n ，εε+<<-a z a n 同时成立。
又因n x 介于n y 和n z 之间，所以当N n >时，有εε+<≤≤<-a z x y a n n n ，即ε<-a x n 成立，这就证明了a x n n =∞→lim 。
上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限： 准则Ⅰ’ 如果⑴当),(0r x U x∈（或M x >）时，)()()(x h x f x g ≤≤ ⑵A x h A x g x x x x x x ==∞→→∞→→)(,)(lim lim )()(00，那么)(lim)(0x f x x x ∞→→存在，且等于A 。
准则Ⅰ及准则Ⅰ’称为夹逼准则。
准则不仅告诉我们怎样判定一个函数（数列）极限是否存在，同时也给了我们一种新的求极限的方法：即为了求得某一函数的极限，不直接求（比较困难）它的极限，而是把它夹在两个已知（易求的）有同一极限的函数之间，那么这个函数的极限必存在，且等于这个公共的极限。
极限存在准则两个重要极限公式极限存在准则是数学中的一个重要概念，用于判断一个函数在其中一点处的极限是否存在。
在实际应用中，掌握极限存在准则对于求解极限问题非常重要。
在极限存在准则中，有两个非常重要的极限公式，分别是极限的保号性和夹逼定理。
首先，我们来介绍一下极限的保号性。
设函数f(x)在点x0的一些去心邻域内有定义，如果存在一个常数L，使得当x在x0的一些去心邻域内取值，并且f(x)>L，那么可以得出极限lim(x→x0)f(x)≥L；反之，如果存在一个常数L，使得当x在x0的一些去心邻域内取值，并且f(x)<L，那么可以得出极限lim(x→x0)f(x)≤L。
这就是极限的保号性。
保号性的一个重要应用是判断函数的极值。
如果在x0的一些去心邻域中，函数f(x)>0或f(x)<0，并且极限lim(x→x0)f(x)存在，那么就可以得出f(x)在x0处的极限是f(x0)。
这是因为根据保号性，当f(x)在x0的一些去心邻域内取正值时，可以推出极限lim(x→x0)f(x)≥0；同理，当f(x)在x0的一些去心邻域内取负值时，可以推出极限lim(x→x0)f(x)≤0。
由于极限存在，所以这时候只有一个可能，即极限lim(x→x0)f(x)等于0，即f(x)在x0处的极限是f(x0)。
下面我们来介绍夹逼定理。
设函数f(x)、g(x)和h(x)在其中一点x0的一些去心邻域内有定义，并且对于x在该邻域内取值，有f(x)≤g(x)≤h(x)。
如果极限lim(x→x0)f(x)和lim(x→x0)h(x)都存在，并且它们的极限值相等，即lim(x→x0)f(x)=lim(x→x0)h(x)=L，那么可以得出lim(x→x0)g(x)=L。
这就是夹逼定理。
夹逼定理常用于求极限的问题中，特别是当函数的表达式较复杂时，可以用一个更容易处理的函数夹逼该函数，从而求得极限。
夹逼定理的原理是通过限制函数g(x)在f(x)和h(x)之间，确定了极限的上下界。
高等数学C主要教学内容第一章函数与极限第一节映射与函数理解函数的概念，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解复合函数的概念，了解反函数、分段函数的概念。
会建立简单实际问题的函数关系。
第二节数列的极限了解数列极限（包括左极限与右极限）的概念，了解收敛数列的性质。
第三节函数的极限理解函数极限的概念,了解函数极限的性质。
第四节无穷小与无穷大理解无穷小的概念和基本性质，了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
第五节极限运算法则掌握极限的四则运算法则。
第六节极限存在准则两个重要极限了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
第七节无穷小的比较掌握无穷小量的比较方法。
第八节函数的连续性与间断点理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
第九节连续函数的运算与初等函数的连续性了解连续函数的性质和初等函数的连续性。
第十节闭区间上连续函数的性质理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。
第二章导数与微分第一节导数的概念理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与*经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程。
第二节函数的求导法则掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数的导数。
第三节高阶导数了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．第四节隐函数及由参数主程所确定的函数导数相关变化率会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶导数,了解求高阶导数的方法。
第五节函数的微分了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日( Lagrange)中值定理,简单了解柯西(Cauchy)中值定理。
第二节洛必达法则会用洛必达法则求极限。
第三节泰勤公式不要求(泰勒公式在下册中级数部分作简单介绍)。
两个极限存在准则和两个重要的极限1.两个极限存在准则(1) 夹逼准则：设a, b, c为实数，如果函数f(x)在a的一些左邻域内对于一切x都有h(x)≤f(x)≤g(x)，且lim[x→a]h(x)=lim[x→a]g(x)=L，则必有lim[x→a]f(x)=L。
夹逼准则的本质是通过构造两个函数作为边界来确定原函数的极限。
(2) 单调有界准则：设函数f(x)在(a, b)上单调递增(递减)，且在(a, b)上有界，则必有lim[x→a]f(x)=sup{f(x)}(或lim[x→a]f(x)=inf{f(x)})。
单调有界准则的基本思想是通过函数的单调性和有界性来确定极限。
(1) 无穷小极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=0，如果对于任意正数ε，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有，f(x)，<ε，那么称函数f(x)在x=a处的极限为0。
无穷小极限的重要性在于它在微积分中有广泛应用。
例如，微分定义中的导数可以看作是函数在其中一点的极限，这也符合函数在该点的变化趋势比较明显。
无穷小极限的概念使得我们能够更好地描述和理解函数在其中一点的变化情况。
(2) 无穷大极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=∞，如果对于任意正数M，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有f(x) > M，那么称函数f(x)在x=a处的极限为无穷大。
无穷大极限的重要性在于它可以帮助我们研究函数在其中一点的增长速度和趋势。
例如，在极限定义中，我们可以通过无穷大极限来刻画函数在其中一点的无限增长或无限逼近的情况。
此外，无穷大极限也在微积分中的积分定义中有重要的应用，帮助我们理解函数的积分和面积的概念。
综上所述，极限的存在准则和重要的极限是微积分中的重要概念。
了解它们的定义和应用可以帮助我们更好地理解和分析函数在其中一点的变化情况，为进一步研究微积分和数学分析打下坚实的基础。
