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电磁学对偶原理的应用论文引言在电磁学领域中，对偶原理是一种重要的概念。
它表明在电动力学中，电场与磁场之间存在着密切的关系，可以根据一个场的性质推导出另一个场的性质。
这种对偶性为我们理解和应用电磁学提供了便利。
本文将介绍电磁学对偶原理的基本概念，并探讨其在实际应用中的重要性和意义。
电磁学对偶原理的基本概念电磁学对偶原理是由麦克斯韦方程组中的麦克斯韦方程所揭示的。
麦克斯韦方程组描述了电场与磁场的演化规律。
其中，麦克斯韦第一和第二方程描述了电磁场的传播规律，而麦克斯韦第三和第四方程描述了电磁场的产生和消失规律。
对于电磁学对偶原理，我们将电场和磁场互相转换为对方。
具体而言，对于一个具有特定电场分布的问题，我们可以应用对偶原理来确定相应的磁场分布。
同样，对于一个具有特定磁场分布的问题，我们也可以应用对偶原理来确定相应的电场分布。
电磁学对偶原理的应用1. 天线设计天线是一种用于收发无线电信号的装置，其设计需要考虑电磁场的分布。
应用电磁学对偶原理，我们可以根据所希望得到的电场分布来确定相应的磁场分布，从而优化天线的设计。
2. 光学器件设计光学器件设计中经常需要根据所需的光场分布来确定器件的形状和参数。
应用电磁学对偶原理，我们可以根据所希望得到的磁场分布来确定相应的电场分布，从而指导光学器件的设计和优化。
3. 无线电波传播无线电通信中，信号的传播需要考虑电磁场的分布和干扰情况。
应用电磁学对偶原理，我们可以根据所希望得到的电场分布来确定相应的磁场分布，从而优化无线电波的传播。
4. 电磁波屏蔽和隔离在一些特定的应用中，我们需要对电磁波进行屏蔽和隔离。
应用电磁学对偶原理，我们可以根据所希望得到的磁场分布来确定相应的电场分布，从而设计和优化电磁波屏蔽和隔离材料。
5. 元件互补和逆设计元件互补技术是一种基于电磁学对偶原理的方法，可以根据已有元件的电场分布来设计逆向的磁场分布，从而实现对该元件的互补。
这一技术在电路设计和电磁学研究中有着广泛的应用。
课程研究报告（课程设计）电与磁的对偶性姓名学号课程名称专业同组同学得分电与磁的对偶性摘要：电荷及电流产生的电磁场和磁荷及磁流产生的电磁场之间存在着对应关系。
只要将其结果表示式中各个对应参量用对偶原理的关系置换以后，所获得的表示式即可代表具有相同分布特性的磁荷与磁流产生的电磁场。
关键词：电荷、磁荷、对偶、电磁场 题目内容：假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，导出在这一前提下电磁场的Maxwell 方程组表达式，证明电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。
1、 无源区麦克斯韦方程组：如果把其中的两个按如下方式写成一组：0E H E t μ⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=-⎪∂⎩0H E H t ε⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=⎪∂⎩（1）得到两组完全相同的方程组，它们关于E 和H（除了有一负号）是对称的。
这种对称性使得对其中一组作E H → 、H E →-、εμ→、με→代换，得到另外一组方程。
0E H E t μ⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=-⎪∂⎩ →,,E H H E εμμε⎡⎤→→-⎢⎥→→⎣⎦ 0H E H t ε⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=⎪∂⎩(2) 它们仍然是麦克斯韦方程组，并与原方程相同。
数学上成这种具有相同形式的两组方程为对偶方程容易证明两组对偶的互为对偶的方程，其解也具有对偶性。
2、 广义麦克斯韦方程（有源区）在有源区，麦克斯韦方程组不是对称的，其原因是自然界还没有发现类似于电荷的磁荷，也没有发现类似于“电流”的“磁流”，其激发的电磁场与电荷荷电流激发的电磁场相互对偶，则推广后所得到的麦克斯韦方程就具有对偶性。
设理想的磁荷密度为m ρ、磁流密度为m J，并满足守恒定律，即()(),,0mmr t r t tJ ρ∂∇+=∂进一步假设磁荷在激发磁场方面与电荷在激发电场相一致，磁流几番电场与电流激发磁场一致。
根据这一假设，推广的麦克斯韦方程组和边界条件是：, ,e mm eH E E J t EH H J t ρμερεμ⎧∂∇=∇⨯=--⎪∂⎪⎨∂⎪∇=∇⨯=+⎪∂⎩（3） ()()2122121,1 ,n es n msn ms n es e D D e E E J e B B e H H J ρρ⎧⎡⎤-=⨯-=-⎣⎦⎪⎨⎡⎤-=⨯-=-⎪⎣⎦⎩(4) 式中下表ms 表示表示“磁量源”，下表es 表示“电量源”，ms J 是磁流密度，其量纲为V/2m ；m ρ是磁荷密度，其量纲为Wb/3m 。
对偶物理量对偶物理量是指在物理学中具有相互依赖关系的两个物理量，它们之间存在某种对称性或对应关系。
在本文中，我将介绍几个常见的对偶物理量，并解释它们之间的关系。
1. 质量和能量质量和能量是最为基本的对偶物理量之一。
根据爱因斯坦的质能方程E=mc²，质量和能量之间存在着等价关系。
质量可以转化为能量，而能量也可以转化为质量。
这一对偶关系在核能反应和粒子物理中起着关键作用。
2. 电荷和磁通量电荷和磁通量是电磁学中的对偶物理量。
根据麦克斯韦方程组，电荷和磁通量之间存在着对偶关系。
当电荷移动时，会产生磁场，而变化的磁场也会导致电场的变化。
这一对偶关系解释了电磁感应现象和电磁波的传播。
3. 力和位移力和位移是力学中的对偶物理量。
根据牛顿第二定律F=ma，力和加速度之间存在着直接的关系。
而根据位移与力的关系，我们可以得到力和位移之间的对偶关系。
力可以改变物体的位置，而位移的变化也会导致物体受到力的作用。
4. 时间和频率时间和频率是时间学中的对偶物理量。
根据时间和频率之间的关系，我们可以得到时间和频率之间的对偶关系。
时间可以用来测量事件的发生顺序和持续时间，而频率则表示单位时间内事件发生的次数。
时间和频率的对偶关系在物理学和工程学中具有重要的应用，如信号处理和波谱分析。
5. 电压和电流电压和电流是电学中的对偶物理量。
根据欧姆定律V=IR，电压和电流之间存在着直接的关系。
电压可以驱动电流的流动，而电流的变化也会导致电压的变化。
这一对偶关系在电路设计和电力传输中起着关键作用。
总结起来，对偶物理量在物理学中具有重要的意义。
它们之间的关系揭示了自然界的某种对称性或对应关系，帮助我们理解和研究物理现象。
通过研究对偶物理量，我们可以更好地解释自然界的规律，并应用于科学技术的发展。
电、磁、力中的对偶刘红摘要：本文从对偶的角度解释了电、磁、力之间的关系，总结了高扬提出的用于全局优化的典范对偶理论及利用它解决非线性非凸问题的主要思路和优点。
引言电、磁、力三大物理分支存在对偶关系。
透过它们之间的不同外部现象，抽象出数学模型，看到他们的本质却是相同的。
三大系统的物理量间又存在着对偶关系，这就是典范对偶理论。
非线性的变量关系或非凸性的能量函数是造成系统复杂性的关键原因。
典范对偶理论旨在利用非线性变换，凸化的手段，把原空间中不便于处理的问题转化到对偶空间中来处理。
这就是把“不美”的东西转化为“美”的东西，然后处理“美”的东西，最后通过能量守恒的原理把处理的结果反馈回原空间中。
而三个驻点对偶定理提供了能量在原空间和对偶空间中进行的最优化的理论基础。
本文先从最简单的线性电阻电路模型开始，表示出在线性情况下的典范对偶模型。
描述这种电路的数学模型是线性方程组。
解这类线性方程组等价于二次规划的最优解。
线性模型对应线性算子，非线性模型对应非线性算子。
通过非线性变换，以及利用任何函数都可以分解为凸函数之差的方法，可将非线性非凸问题转换为线性的凸的问题。
这种转换，有别于泰勒展开后取线性部分近似。
这里不是近似而是变换，所以能得到更准确的效果。
1. 线性电阻电路的数学描述考虑如图1所示的电路。
此电路中，节点为1，2，3，4。
令[]1234U ,,,TU U U U =为各节点的电位，假设节点4的电位为零，[]1234f=,,,Tf f f f 分别从节点1，2，3，4流进电路的电流，设网络除节点4外没有其它的接地点，所以40f =。
[]12345I ,,,,TI I I I I =为各支路的电流，[]12345V ,,,,TV V V V V =为各支路电阻上的电压。
各支路上电阻的电压与电流取关联参考方向。
图 1 一个电路该电路各变量之间的关系可由下列三式描述。
由基尔霍夫电压定律可得：12341100001100V U b 001100101010016t U U U U -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=Λ+=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ （1）由欧姆定律可得：11223344551/000001/000I D V 001/000001/0001/R V R V R V R V R V ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（２） 由基尔霍夫电流定律可得： 123451000111010f I 011000111Tt I I I I I ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=Λ=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦（３） 其中，式（１）称为代数变换关系，将各节点的电位变换为各支路电阻元件上的电压降，即仿射变换U =U b t ΛΛ+。
电与磁对偶性原理的应用1. 介绍电与磁对偶性原理是一个重要的物理原理，它指出电场和磁场之间存在对称关系。
根据这一原理，我们可以利用电场的特性推导出磁场的特性，反之亦然。
在实际应用中，电与磁对偶性原理被广泛运用于多个领域，包括电磁波传播、天线设计、电磁感应等。
2. 电与磁对偶性原理在电磁波传播中的应用电与磁对偶性原理在电磁波传播中起到重要的作用。
通过对电场和磁场的关系进行研究，我们可以推导出电磁波的传播特性。
例如，根据对偶性原理，我们可以推导出电场和磁场之间的波动方程，并得到电磁波的传播速度和传输特性。
这些推导为电磁波技术的应用提供了理论基础。
3. 电与磁对偶性原理在天线设计中的应用天线是将电能转换成电磁波能量的装置。
在天线设计中，电与磁对偶性原理可以帮助我们理解天线的辐射和接收特性。
例如，通过分析天线的电场分布和磁场分布，我们可以确定天线的辐射方向和辐射功率。
利用对偶性原理，我们可以将电场的特性应用于磁场，以确定天线的磁场分布。
这对于优化天线设计和提高天线性能至关重要。
4. 电与磁对偶性原理在电磁感应中的应用电与磁对偶性原理在电磁感应中也有广泛的应用。
根据对偶性原理，我们可以推导出在磁场变化时产生的感应电场和感应磁场。
这些感应场可以用于能量传输、传感器设计等应用。
例如，利用对偶性原理，我们可以设计感应电磁线圈来实现无线电能传输。
这可以应用于无线充电、无线通信等领域。
5. 其他应用领域除了上述应用领域外，电与磁对偶性原理还可以应用于电磁屏蔽、电能传输、电磁传感等领域。
它为我们理解和应用电磁现象提供了一个统一的框架。
通过对偶性原理的应用，我们可以更好地理解电场和磁场之间的关系，从而推导出一系列的应用。
结论电与磁对偶性原理的应用广泛，涵盖了电磁波传播、天线设计、电磁感应等多个领域。
它为我们理解和应用电磁现象提供了有力支持。
通过充分利用电与磁对偶性原理，我们可以优化设计、提高性能，并推动电磁技术的不断发展。
电磁学对偶原理的应用1. 引言电磁学对偶原理是电磁学中的基本原理之一，它描述了电场和磁场之间的关系。
在实际应用中，电磁学对偶原理被广泛运用于各种领域，包括通信、雷达、天线设计等。
本文将介绍电磁学对偶原理的基本概念，并探讨其在实际应用中的一些例子。
2. 电磁学对偶原理概述电磁学对偶原理是从麦克斯韦方程组中导出的，它表明在电场和磁场之间存在一种对称关系。
简而言之，对于一组满足麦克斯韦方程组的电场解，存在一个相应的磁场解，而两者满足相同的方程组。
这意味着通过对电场解进行某种变换，可以得到相应的磁场解，反之亦然。
3. 电磁学对偶原理在通信领域的应用电磁学对偶原理在通信领域有着广泛的应用。
其中一个例子是天线设计。
通过运用电磁学对偶原理，可以将一种适用于电场的天线转换为相应的适用于磁场的天线。
这种转换可以扩展天线的应用范围，提高天线的性能。
另一个例子是天线阵列设计。
天线阵列是一种将多个天线组合在一起使用的系统，通过电磁学对偶原理，可以根据电场解设计一个天线阵列，并通过相应的变换得到适用于磁场的天线阵列。
这种设计方法可以提高天线阵列的方向性和性能。
4. 电磁学对偶原理在雷达系统中的应用雷达系统是一种利用电磁波进行探测和测量的设备。
电磁学对偶原理在雷达系统中也有着重要的应用。
其中一个例子是天线旋转机构的设计。
通过运用电磁学对偶原理，可以设计一种能够同时适用于电场和磁场的天线旋转机构，从而实现雷达系统的全向探测。
另一个例子是波束形成技术。
波束形成是一种将雷达信号聚焦在特定方向的技术，通过电磁学对偶原理，可以设计一种同时适用于电场和磁场的波束形成系统。
这种系统可以实现更高的方向性和灵敏度，提高雷达系统的探测效果。
5. 其他领域中的电磁学对偶原理应用除了通信和雷达领域，电磁学对偶原理在其他领域中也有广泛应用。
一个例子是光学中的偏振器和波片设计。
通过电磁学对偶原理，可以将电场中的偏振器和磁场中的波片进行相互转换，从而扩展光学器件的应用范围。
1.在恒定电场中，分界面两边电流密度矢量的法向方向是A.不连续的B. 连续的C. 不确定的D. 等于零2.导电媒质中的功率损耗反映了电路中的A.电荷守恒定律B. 欧姆定律C. 基尔霍夫电压定律D. 焦耳定律3.恒定电场中，电流密度的散度在源外区域中等于A.电荷密度B. 零C. 电荷密度与介电常数之比D. 电位4.下面关于电流密度的描述正确的是A.电流密度的大小为单位时间垂直穿过单位面积的电荷量，方向为正电荷运动的方向。
B.电流密度的大小为单位时间穿过单位面积的电荷量，方向为正电荷运动的方向。
C.电流密度的大小为单位时间垂直穿过单位面积的电荷量，方向为负电荷运动的方向。
D.流密度的大小为单位时间通过任一横截面的电荷量。
5.在恒定电场中，分界面两边电场强度的法向方向是A.不连续的B. 连续的C. 不确定的D. 等于零6.恒定电场中的电流连续性方程反映了A.电荷守恒定律B. 欧姆定律C. 基尔霍夫电压定律D. 焦耳定律7.恒定电场的源是A.静止的电荷B. 恒定电流C. 时变的电荷D. 时变电流8.反映了电路中的A.基尔霍夫电流定律B. 欧姆定律C. 基尔霍夫电压定律D. 焦耳定律9.恒定电场是A.有旋度B. 时变场C. 非保守场D. 无旋场10.恒定电场中，流入或流出闭合面的总电流等于A.闭合面包围的总电荷量B.闭合面包围的总电荷量与介电常数之比C. 零D. 总电荷量随时间的变化率正确答案 B D B A A A B B D C1.虚位移法求解静电力的原理依据是A.高斯定律B. 库仑定律C. 能量守恒定律D. 静电场的边界条件2.下面关于电偶极子的描述不正确的是A. 电场强度具有轴对称性B. 电场强度与成反比C. 电力线与等位面平行D. 电力线与等位面垂直3. 电场强度和电位的关系是 ___。
A. 电场强度等于电位的梯度。
B. 电场强度等于电位的梯度。
C. 电场强度等于电位的梯度的负值。
D. 电场强度等于电位的散度。
电磁学电和磁的相互作用电磁学：电和磁的相互作用电磁学是物理学的一个重要分支，研究电和磁的相互作用现象及其规律。
电和磁相互作用是自然界中普遍存在的一种现象，也是现代科技中的关键因素。
本文将从电场和磁场的基本概念出发，探讨电和磁的相互作用以及在日常生活和科技应用中的实际意义。
一、电场与电荷的相互作用电场是指存在于空间中的一种物理场，由电荷所产生。
当一个点电荷Q在空间中，其周围会产生电场E。
电场的性质可以用电场线表示，它们的密度与该点电场强度的大小成正比,且指向电荷的正方向。
根据库仑定律，点电荷Q产生的电场强度E与与其距离r的平方成反比，比例常数为k，即库仑定律公式表达为：E=kQ/r²在电场中，带电体受到的力就是电场力，其大小与电荷大小、电场强度和电荷正负性质相关。
正电荷和电场方向相同，力为正；负电荷和电场方向相反，力为负。
电场力无论电荷的大小如何变化，都有不变的方向。
在电场中，电荷间的相互作用是通过电场力来实现的。
二、磁场与电流的相互作用与电场类似，磁场也是由特定物理对象产生的。
当电流通过导线时，周围就会产生磁场。
磁场的性质由磁力线表示，磁力线形态呈环状，几轴向放射状；在磁场中，磁力线沿磁场的方向。
根据安培定律，通过导线的电流I所产生的磁场强度B与导线的位置有关，也与电流大小有关：B=μ0I/2πr其中，μ0是真空中的磁导率，I是电流强度，r是距离导线的距离。
根据安培定律，一个带电体如果受到电磁场的作用，会受到一个称为洛伦兹力的力，其大小与电流强度、磁感应强度和带电体运动方向相关。
三、电磁感应现象电磁感应现象是电和磁相互作用的重要表现形式。
根据法拉第电磁感应定律，当导线磁通量发生变化时，会在导线两端产生感应电动势。
这是电磁场相互转化的过程，电磁感应现象在发电机和变压器等电器设备中得到了广泛利用。
四、电磁波与通信技术电磁波是电和磁相互作用的传播形式，它是由振荡电场和磁场所组成的。
根据麦克斯韦方程组，电磁波的传播速度为光速，即299792458米/秒。
临沂大学课程研究报告/课程设计临沂大学YINYI UNIVERSITY 课程研究报告（课程设计）电与磁的对偶性摘要：假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，，电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。
关键字：Maxwell，对偶性，磁荷，磁流，电荷，电流内容：一、无源区的Maxwell 方程组｛{0E HE tμ∇⋅=∂∇⨯=-∂｛0H E H tε∇⋅=∂∇⨯=∂以上两组方程形式完全相同，它们关于E 和H （除有一负号外）是对称的，对其中一组作,,,E H H E εμμε→→→→代换得到｛E H H tμ∇⋅=∂∇⨯=-∂→→｛,,,E H H E εμμε→→-→→｝→←｛0H E H tε∇⋅=∂∇⨯=∂数学上称这种具有相同形式的两组方程为对偶方程。
二、有源区的Maxwell 方程在有源区，由于在自然界还没有发现与电荷电流相对应的真实的磁荷、磁流，所以Maxwell 方程是不对称的。
宏观电磁场运动中，Maxwell 方程的两个独立方程{(2.1)(2.2)BE tDH J t ∂∇⨯=-∂∂∇⨯=+∂对于线性均匀各向同性戒指，其结构方程,,D E B H J E εμσ===，所以有{(2.3)(2.4)HE tEH E t μσε∂∇⨯=-∂∂∇⨯=+∂对方程2.3两边求旋度，再利用2.4式和电场的高斯定理，得222()(2.5)E J E t t ρεμμε∂∂∇-=+∇∂∂同样对2.4两边取旋度，并利用磁场的高斯定理得222(2.6)HH J tμε∂∇-=-∇⨯∂ 磁场的高斯定理表明，磁感应强度B 是一无散的矢量场，可用矢量位表示，设(2.7)B A =∇⨯，将2.7带入2.1得()0A E t ∂∇⨯+=∂。
由此可见，()A E t∂+∂是一无旋矢量场，可用标量位ϕ的梯度表示AE tϕ∂+=-∇∂，从而得A E t ϕ∂=--∇∂。
A 和ϕ也被称作磁矢势和电标势。
尽管磁感应强度在形式上只与矢量位有关，但在时变情况下，时变电场由磁矢势和电标势共同描述，使得时变磁场本质上与磁矢势和电标势都有联系，这说明时变电磁场是相互激发的。
考虑到时变电磁场相互激发的对称性，如果引入假想的磁荷和磁流，其激发的电磁场与电荷和电流激发的电磁场相互对偶，则推广后所得到的Maxwell 方程就具有对偶性。
设假想的磁荷密度为m ρ，磁流密度为m J ，并满足守恒定律，即，(,)(,)0m m J r t r t tρ∂∇⋅+=∂（2.8） 进一步假设磁荷在激发磁场方面与电荷激发电场一致，磁流在激发电场方面与电流激发磁场相一致。
根据这一假设，推广后Maxwell 方程组和边界条件是{em me E HE J tH E H J tρεμρμε∇⋅=∂∇⨯=--∂∇⋅=∂∇⨯=+∂（2.9）{21212121()()()()es n n ms n ms n ese D D e E E J e B B e H H J ρρ⋅-=⨯-=-⋅-=⨯-=-2.9称为广义Maxwell 方程组。
将电场E （或磁场H ）看成是由电源（e ρ，e J ）产生的电场e E （或磁场e H ）与电磁源（m ρ，m J ）产生的电场m E （或磁场m H ）之和，总场为E =e E +m E ，H =e H +m H ，则有{e e e e e ee e E H E tH E H J t ρεμε∇⋅=∂∇⨯=-∂∇⋅=∂∇⨯=+∂( 2.11a ){21212121()()0()0()n e e es n e e n e e n e e ese D D e B B e E E e H H J ρ⋅-=⋅-=⨯-=⨯-=(2.11b){m mm m m m mm E H E J t H tE H tμρε∇⋅=∂∇⨯=--∂∇⋅=∂∂∇⨯=∂(2.12a){21212121()0()()()0n m m n m m ms n m m ms n m m e D D e B B e E E J e H H ρ⋅-=⋅-=⨯-=-⨯-=(2.12b)比较2.11和2.12两组方程：对方程2.11作,,,,,e m e m e m e m E H H E J J ρρεμμε→→-→→→→替换，得到方程2.12.反之，对方程2.12作,,,,,e m e m e m e m E H H E J J ρρεμμε←←-←←←←替换得到2.11.类似的，对于矢量电位A 有矢量磁位m A ；对于标量电位ϕ有标量磁位m ϕ，即对应于{1e e H AA E tμϕ=∇⨯∂=-∇-∂ 有{1m mm m m E A A H tεϕ=∇⨯∂=-∇-∂当电源量和磁源量同时存在时，总场量应为它们分别产生的场量之和{11m m m A E A t A H At ϕεϕμ∂=-∇--∇⨯∂∂=-∇-+∇⨯∂此外，在分界面上，相应于，{1212()()sn s n Je H H e D D ρ=⨯-=⋅-有{1212()()smn sm n Je E E e B B ρ=-⨯-=⋅-根据对偶方程的解也具有对偶的性质得到如下结论：设空间存在如方程2.11描述的电磁场问题，其解m E ，m H 存在，且与e E ，e H 对偶，因此m E ，m H 不必直接求解而可以通过对偶变换e m E H ↔，e m H E ↔-，,e m J J ↔,e m ρρ↔,εμμε↔↔获得。
下面，通过利用电偶极子激发的场求磁偶极子激发的场和利用缝隙天线介绍磁荷和磁流等效方法两个实例证明上述结论的正确性。
1. 根据对偶原理，利用电偶极子激发的场求出磁偶极子激发的场。
解：在静电场中，位于坐标原点的电偶极子m z p e ql =激发的静电场是332cos sin 44e e rp p E e e r rθθθπεπε=+ 通过对偶变量替换，得到磁偶极子m z m p e p =激发的磁场为332cos sin 44m m rp p H e e r rθθθπμπμ=+将其与小电流圆环激发的磁场进行比较，得到m z p e I s μ=∆在谐变电磁场中，坐标原点z 向电偶极子的辐射场为{sin 2jkreo jkrI l H jerE j ϕθθλ--≈≈通过对偶替换，得到置于坐标原点的z 向磁偶极子的辐射场为{sin 2jkrmo jkrI l E j erH ϕθθλ--≈-≈将其与小电流环辐射场公式{20sin 4jkrjkrE I sk H erϕθθπ--=∆=-*比较，其极化、结构、距离、方向性、相位等因子完全相同，仅幅度常数不同。
因此小电流圆环与磁偶极子具有完全相同的辐射场特性。
据此认为小电流圆环与磁偶极子等效。
2、通过缝隙天线的例子介绍磁荷和磁流的等效方法。
如图所示，作为模型，可将其视为在无穷大导体平板上切开一长L,宽d 的缝隙L>>d,在缝隙两边加上时谐电压0j tU U e ω-=，略去边缘效应，缝隙上时谐电场0j t x E e E e ω=，并且满足00E d U =。
现在的问题是要求出导体平面上方，缝隙天线的辐射场。
显然上半空间辐射电磁场满足的Maxwell 方程是：{000,0,E E j H H H j Eωμωε∇⋅=∇⨯=-∇⋅=∇⨯= y>0在边界上，除缝隙以外，电场切向分量为零，在缝隙处电场的切向分量近似为0E 。
根据广义Maxwell 方程组及其边界条件，缝隙处的电场可等效面磁流，故边界条件为：n e E ⨯={00,||,||22,||,||22zms d Lx y U d L e J x y d >>-=-<=<=由于缝隙很小，可忽略边缘效应，缝隙口径上的面电流密度可视为均匀分布，求得等效面电流为：0l mo l m y x x z e I e J d e e E d e U ==-⨯= 对应的磁偶极子是00m z m z P e I L e U L ==-为了求得导体平面上磁偶极子在上半空间的辐射场，先将磁偶极子沿导体平面法相向上平移h ，如图所示，求出导体平面上半空间h 处的磁偶极子的辐射场。
然后令h →0得到所要求的解。
根据时变电磁场的镜像原理，导体平面感应面磁流在上半空间的辐射场，为磁偶极子的像在上半空间的辐射场。
当h →0时，原像磁偶极子重合，其效果相当于原来磁偶极子的两倍。
直接应用式*，得到缝隙天线在上半空间的辐射场为sin jkrjkrL E jU e rH jU ϕθθλ--≈-≈参考书目：《电磁场理论》----柯亨玉，人民邮电出版社。
