对偶性质

对偶性质对偶理论的性质及证明性质1(对称性) 对偶问题的对偶问题是原问题证明设原问题为max z ..0CXAX b s t X =≤??≥? (1)对偶问题为min ..0w YbYA C s t X =≥??≥? (2)对偶问题的对偶问题为max ..0CUAU b s t U ?=≤??≥? (3)⽐较式(1)和式(3), 显然⼆者是等价的, 命题得证.性质2(弱对偶性) 设原问题为式(1),对偶问题为式(2),X 是原问题的任意⼀个可⾏解,Y 是对偶问题的任意⼀个可⾏解,那么总有CX Yb ≤ (4)证明根据式(1), 由于AX b ≤, ⼜由于0Y ≥, 从⽽必有YAX Yb ≤ (5)根据式(2), 由于YA c ≥, ⼜由于0X ≥, 从⽽必有YAX CX ≥ (6)结合式(5)和式(6), ⽴即可得CX Yb ≤,命题得证.性质3(最优性) 设*X 原问题式(1)的可⾏解,*Y 是对偶问题式(2)的可⾏解,当是**CX Y b =时,*X 是原问题式(1)的最优解,*Y 是对偶问题式(2)的最优解. 证明设X 是式(1)的最优解, 那么有*CX CX ≥ (7)由于**CX Y b =,那么*CX Y b ≥ (8)根据弱对偶性质, ⼜有*CX Y b ≤ (9)从⽽*CX CX =, 也就是*X 是原问题式(1)的最优解。

同理，也可证明*Y 是对偶问题式(2)的最优解。

性质4(⽆界性) 设原问题为⽆界解，则对偶问题⽆解。

证明⽤反证法证明。

设原问题为式(1)，对偶问题为式(2)。

假定对偶问题有解，那么存在⼀个可⾏解为Y 。

这时对偶问题的⽬标函数值为Yb T =。

由于原问题为⽆界解，那么⼀定存在⼀个可⾏解X 满⾜CX T >，因此CX Yb >。

⽽根据弱对偶性，⼜有CX Yb ≤，发⽣⽭盾。

从⽽对偶问题没有可⾏解。

性质5(强对偶性、对偶性定理) 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且最优⽬标函数值相等。

集合的余集对偶性质将∪ 和∩，或者Ø 和U 相互交换，一个恒等式就变成了相应的另一个。

这是集合代数的一个非常重要的性质，称作集合的对偶性原理。

它对集合的所有真命题都有效。

真命题通过相互交换∪ 和∩，Ø 和U，改变包含符号的方向得到的对偶命题也是真的。

若一个命题和其对偶命题相同，则称其为自对偶的。

第一章：集合与常用逻辑用语第一节：集合1、集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。

表示方法：①集合A={a，b，c，d}其中a，b，c，d是集合A的元素，即用a∪A，b∪A ，c∪A ，d∪A表示，f不是集合A的元素，则f∪A。

集合A是集合B的子集，则A∪B。

②集合A={x｜x＞a}。

常见的集合：整数集Z：{……，-3，-2，-1，0，1，2，3，……}自然数集N（Nature）：即非负整数，包括0：{0，1，2，3，……}正整数集N*或N+：{1，2，3，……}有理数集Q（有理数是两个数相比的结果（商）英文quotient）：即整数和分数的集合将∪ 和∩，或者Ø 和U 相互交换，一个恒等式就变成了相应的另一个。

这是集合代数的一个非常重要的性质，称作集合的对偶性原理。

它对集合的所有真命题都有效。

真命题通过相互交换∪ 和∩，Ø 和U，改变包含符号的方向得到的对偶命题也是真的。

若一个命题和其对偶命题相同，则称其为自对偶的。

第一章：集合与常用逻辑用语第一节：集合1、集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。

表示方法：①集合A={a，b，c，d}其中a，b，c，d是集合A的元素，即用a∪A，b∪A ，c∪A ，d∪A表示，f不是集合A的元素，则f∪A。

集合A是集合B的子集，则A∪B。

②集合A={x｜x＞a}。

常见的集合：整数集Z：{……，-3，-2，-1，0，1，2，3，……}自然数集N（Nature）：即非负整数，包括0：{0，1，2，3，……}正整数集N*或N+：{1，2，3，……}有理数集Q（有理数是两个数相比的结果（商）英文quotient）：即整数和分数的集合。

（1）对称性：对偶问题的对偶是原问题MaxZ CX AX b X =⎧≤⎨≥⎩MinS Yb YA C Y =⎧≥⎨≥⎩--，--，0MinS Yb YA C Y =≤≥证明：变换对偶问题模型ax 0M S YbYA C Y =−⎧−≤−⎨≥⎩MinZ CX AX b X =−⎧−≥−⎨≥⎩MaxZ CX AX b X =⎧≤⎨≥⎩2.3 对偶问题的性质b Y X C ≤（2）弱对偶性：若是原问题的可行解，是对偶问题的可行解，则存在有XY 证明：MaxZ CXAX b X =⎧≤⎨≥⎩MinS Yb YA C Y =⎧≥⎨≥⎩因是原问题的可行解，是对偶问题的可行解，所以有：XY ;Y AX Yb Y AX C X≤≥b Y X C ≤•弱对偶性的图形解释MinS=b Y最优目标MaxZ=XC（3）可行解是最优解的性质：若是原、对的可行解，当Y Xˆ,ˆ b Y X C ˆˆ= 则：是最优解Y X ˆ,ˆ b Y MinS =最优XC MaxZ =b Y XC ˆˆ=（4）对偶定理若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且原问题与对偶问题最优目标函数值相等。

1ˆ−=B C Y B01≤−−A B C C B()()XA B C C b B C X B C C X N B C C X B B C C b B C X B C C X N B C C b B C X C X C X B C NX B C b B C X C X C X C X X X C C C CX Z X B NX B b B X b X X X I N B AX B B S B S N B N B B B B SB S N B N B SS N N S B N B B S S N N B B S N B S N B SN B S N B )()()()()()(111111111111111−−−−−−−−−−−−−−−−+=−+−+−+=−+−+=++−−=++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==−−==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01≤−−A B C C B•检验数的推导：（5）互补松弛性：若分别是原问题和对偶问题的可行解，那么当且仅当为最优解Y Xˆ,ˆ 0ˆ0ˆ==X Y X Y S S和Y X ˆ,ˆ 11ˆˆˆ0,0ˆˆˆ,0,0若则有即若即则有==>==<>=∑∑ni ijj i si j nijj i si i j yaxb x ax b xy⚫对偶变量的经济含义----影子价格资源的单位改变量引起目标函数值（Z ）的改变量，通常称为影子价格（shadow price ）或边际价格（marginalprice ）。

对偶理论知识点总结一、一般理解对偶理论是运筹学和数学中的一个重要理论，主要研究优化问题的对偶性质和利用对偶问题来解决原始问题的方法。

优化问题是现实世界中的一种普遍问题，它的目标是在一定的约束条件下找到最优解。

而对偶理论则是研究优化问题的一个重要角度，它告诉我们，对于每一个原始问题都存在一个对偶问题，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息，比如最优解的下界。

二、对偶问题的定义在深入了解对偶理论之前，我们首先需要了解什么是对偶问题。

对于一个原始优化问题：\[ \begin{cases} inf \ c^T x \\ Ax=b \\ x\geq0 \end{cases}\]它的对偶问题可以定义为：\[ \begin{cases} sup \ b^T y \\ A^Ty+c=y \\ y\geq0 \end{cases}\]其中，\(c,x\)是原始问题的目标函数和解向量，\(A,b\)是原始问题的约束条件，对偶问题的目标函数和解向量分别为\(b,y\)。

原始问题和对偶问题之间存在着一种对偶关系，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息。

三、对偶性质对偶理论的一个重要性质就是对偶性质，它告诉我们原始问题和对偶问题之间存在着一种非常紧密的联系。

具体来讲，对偶性质包括弱对偶性和强对偶性两个方面。

1. 弱对偶性：对于任意一个优化问题，其对偶问题的目标函数值不会超过原始问题的目标函数值，即对于原始问题的任意可行解x和对偶问题的任意可行解y，有\[c^Tx\geqb^Ty\]2. 强对偶性：若原始问题和对偶问题均存在最优解，则它们的目标函数值相等，即\[inf \c^Tx=sup \ b^Ty\]这两个对偶性质告诉我们，对偶问题的解可以为原始问题的最优解提供一个下界，并且在某些情况下，对偶问题的解可以等于原始问题的最优解。

四、对偶问题的应用对偶理论不仅仅是一种理论概念，更是一种实际问题求解的工具。

在实际问题中，我们经常可以通过对偶问题来求解原始问题，或者通过对偶问题的解来获得原始问题的解。

对偶原理的性质分析
偶对原理，也称为对偶原理或德摩根定理，是数理逻辑中的一个重要理论。

它指出，在命题逻辑中，任何一个式子和其否定的真值具有相反关系。

具体来讲，对偶原理有以下性质：
1. 对偶原理是指一个命题和其否定的真值是相反的。

也就是说，如果一个命题为真，则其否定为假，反之亦然。

例如，命题P为真时，其否定非P为假，命题P为假时，其否定非P为真。

2. 对偶原理适用于逻辑运算符。

对于包含逻辑运算符的复合命题，对偶原理适用于运算符之间的关系。

例如，对于逻辑与运算符（表示为∧），其对偶运算符是逻辑或（表示为∨）；对于逻辑或运算符，其对偶运算符是逻辑与；对于逻辑非运算符（表示为¬），其对偶运算符是非逻辑非（表示为~）。

3. 对偶原理可以推广到更复杂的命题。

对偶原理的概念可以推广到复合命题的情况下。

例如，对于一个包含多个逻辑运算符的复合命题，其对偶命题可以通过将每个逻辑运算符替换为其对偶运算符来得到。

4. 对偶原理可以推广到谓词逻辑。

对偶原理不仅适用于命题逻辑，还适用于谓词逻辑。

在谓词逻辑中，谓词表达式的对偶命题可以通过改变量的全称量化子为存在量化子，或改变逻辑连接词的关系来得到。

通过对偶原理，我们可以利用已知的真值关系来推导其他的真值关系，从而简化逻辑运算的过程。

对偶原理在数理逻辑、电路设计、计算机科学等领域都有重要应用。

对偶理论几个性质的证明
图论的对偶理论指在图论的内容中针对一个特殊的图G建立的另一个
图G*，它们之间的关系满足交换律，即G与G*互为对偶，可以发现的特
性包括：
一、Konig定理：
它是有关其中一种有向图的带宽是否可容的定理，即一个可容的有向
图其最大匹配数等于最大独立集的最小覆盖数。

它的对偶理论表明，一个
图G的最大匹配是邻接矩阵A的最小非零向量的数量加上图G的最小独立
集的数量。

其中，A是G的一个邻接矩阵，反映了图G的一种表示。

证明：
假设G是可容的有向图，则G具有非负的顶点覆盖数V和边覆盖数E，满足V≤E。

而G*是G的对偶图，具有最大匹配数m和最小独立集数f。

我们假设，图G的边覆盖数E等于G*的最小独立集数f，可以说明图
G的顶点覆盖数V等于G*的最大匹配数m。

因此，可以将等式node(V) = edge(E)和node(V) = match(m)结合起
来得到：
edge(E) = match(m)
与Konig定理的含义相同，即：G的最大匹配数等于G*的最小独立集数。

另外，根据等式，我们可以得出：
G具有V顶点和E边的最大匹配数=G*具有f点和m边的最小独立集
数
结论：一个可容的有向图其最大匹配数等于最小独立集的最小覆盖数。

二、Hall定理：
Hall定理指出：若图G有顶点集V和边集E，则G具有最大匹配 M 且，V，<=，M，时，必有一个完全匹配。