浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时164.1任意角三角函数课件

任意角的三角函数1．了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度制与角度制的互化．2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握三角函数的符号规律及三角函数的定义域．3．掌握扇形的弧长公式及面积公式．知识梳理1．角的概念(1)任意角：角可以看作平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的始边，射线的端点O叫做角的顶点.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零角．(2)象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(3)终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合{β|β＝k·360°＋α，k∈Z} 或{β|β＝2kπ＋α，k∈Z} ，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0 .(2)度与弧度的换算关系：180°＝πrad，1°＝π180rad,1 rad＝180π度．(3)扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则l＝Rα，S＝12lR.3．任意角的三角函数设α是任意一个角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：sin α＝ y ；cos α＝ x ，tan α＝ yx(x ≠0)．4．三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数．如图：sin α＝ MP ，cos α＝ OM ，tan α＝ AT .1．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r (r >0)，那么： sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)． 2．三角函数值的符号规律可概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．热身练习1．角－870°的终边所在的象限是(C) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限因为－870°＝－3×360°＋210°，而210°的终边在第三象限，所以－870°的终边在第三象限．2．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是(A) A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．8 cm 2D ．2π cm 2因为l ＝r θ，所以r ＝42＝2，所以S ＝12lr ＝12×4×2＝4(cm 2)．3．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝(D) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45因为r ＝－2＋32＝5，所以由三角函数的定义知cos α＝－45.4．若sin α<0且tan α>0，则α是(C) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角5．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是(B)A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]利用三角函数线，画出单位圆可知，选B.角的概念已知α＝1690°.(1)把α表示成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式，则α＝____________； (2)α所在的象限为____________．(1)α＝1690°＝1690×π180＝16918π＝8π＋2518π.所以α＝4×2π＋2518π.(2)因为α＝4×2π＋2518π，又π<2518π<32π，所以α在第三象限．(1)4×2π＋2518π (2)第三象限(1)角度与弧度进行互化，关键是抓住180°＝π rad 这一关系． (2)判断一个角所在的象限，关键是在[0,2π)内找到与该角终边相同的角．1．已知sin α>0，cos α<0，则12α所在的象限是(C)A ．第一象限B ．第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限因为sin α>0，cos α<0，所以α为第二象限角， 即2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ，则k π＋π4<α2<k π＋π2，k ∈Z ，当k 为偶数时，12α为第一象限角；当k 为奇数时，12α为第三象限角．任意角的三角函数的定义(2018·河南洛阳三月模拟)已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线4x －3y ＝0(x ≤0)上，则cos α－sin α＝ .因为角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线4x －3y ＝0(x ≤0)上， 不妨令x ＝－3，则y ＝－4，所以r ＝5.所以cos α＝x r ＝－35，sin α＝y r ＝－45.所以cos α－sin α＝－35＋45＝15.15(1)三角函数的定义有两种等价形式，其一是利用角的终边上一点的坐标进行定义，其二是利用单位圆进行定义．(2)一个角的三角函数只与这个角的终边位置有关，利用定义求三角函数值时，要注意角的终边所在象限，当终边所在象限不定时，要注意根据终边位置分类讨论．(3)利用单位圆的三角函数定义时，要理解角α的意义，注意角的始边及旋转方向．2．(2018·海淀区期中)角θ的终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－35，则tan θ＝(C)A ．－43 B.43C ．－34 D.34因为角θ的终边经过点P (4，y )， 且sin θ＝－35＝y 16＋y2，所以y ＝－3. 所以tan θ＝y 4＝－34，故选C.弧度制的应用一扇形的周长为40 m ．求使扇形面积最大时，扇形的半径、圆心角和扇形的面积．设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ，S ＝12lr ＝12(40－2r )·r＝－r 2＋20r ＝－(r －10)2＋100. 当r ＝10时，S max ＝100(m 2)，此时，θ＝l r ＝40－2×1010＝2(弧度)．所以当扇形圆心角θ＝2，半径为10 m 时，扇形面积最大，最大面积为100 m 2.只要确定扇形的半径r ，弧长l 和圆心角α三个中的两个，这个扇形就确定了．这三个量间的关系是l ＝|α|r .3．(2018·河北五校高三联考)向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为 16－34π.由题意，设圆心为C ，圆与x 轴的交点为A ，B ，则∠ACB ＝π3，该点落在x 轴下方的部分为一弓形，其面积等于一圆心角为π3扇形减去一个等边三角形的面积．因为S 扇形＝12rl ＝12r 2α＝12×22×π3＝2π3，S △ACB ＝12×2×2sin π3＝3，所以弓形的面积为2π3－3，又圆的面积为4π，所以该点落在x 轴下方的概率为2π3－34π＝16－34π.1．要掌握区间角、象限角和终边相同的角的表示方法，特别要注意它们的区别与联系．求与α终边相同的角的集合时，先找出0～2π范围内与α终边相同的角，再加上2k π即可．2．要熟悉角的弧度制与角度制间的换算关系，并注意角的表示中，角度制和弧度制不能在同一表示中使用．掌握弧长公式l ＝|α|r ，扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2，并注意其中角α为圆心角的弧度数．3．三角函数的定义是三角函数的基础和出发点，正确理解三角函数的定义，是掌握三角函数的定义域、三角函数在各象限内的符号以及三角函数的诱导公式、同角三角函数之间的关系以及后续内容学习的基础．根据三角函数的定义可知：①一个角的三角函数只与这个角的终边的位置有关，即角α与β＝2k π＋α(k ∈Z )的同名三角函数值相等；②|x |≤r ，|y |≤r ，故有|sin α|≤1，|cos α|≤1，这是三角函数中最基本的一组关系．。

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：3.任意角的三角函数[小题体验]1．若θ是第二象限角，且满足sin θ2＜0，则θ2的终边在第________象限．答案：三2．若角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则tan α＝________. 答案：－ 33．α为第一象限角，则sin α＋cos α________1.(填“＞”“＜”“＝”) 答案：＞1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝yx.[小题纠偏]1．－1 000°是第________象限角， α＝3是第________象限角，72°＝________rad. 答案：一 二2π52．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是____________．答案：(cos θ，sin θ)考点一 角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1. 下列命题中，真命题是( )A ．第一象限角是锐角B ．直角不是任何象限角C ．第二象限角比第一象限角大D ．三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选B 390°是第一象限角，但不是锐角，A 错；135°是第二象限角，390°＞135°，C 错；直角不是任何象限角，D 错，B 对．2．若α＝k π－π4(k ∈Z )，则α在( )A ．第一象限或第三象限B ．第一象限或第二象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限解析：选C 当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m π＋3π4，所以α在第二象限；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝2m π－π4，所以α在第四象限．故选C.3．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么M ________N ．(填“＝”“⊆”“⊇”)解析：法一：由于M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}， 显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .答案：⊆4．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________________．夹角是π3，解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴正半轴的终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z 5．(2018·嘉兴七校联考)设角α是第三象限角，且满足⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则α2是第________象限角． 解析：因为角α是第三象限角，所以2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z )，所以α2是第二或第四象限角．又因为⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，所以sin α2＜0，所以α2是第四象限角． 答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk 的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．考点二 扇形的弧长及面积公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B ∵72°＝2π5， ∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l 等于( ) A.433π cm B. 833π cmC. 4 3 cmD ．8 3 cm解析：选B 设扇形的半径为r cm ，如图． 由sin 60°＝6r ，得r ＝4 3 cm ， ∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm. 3．(2019·瑞安模拟)设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为________． 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4，所以扇形的圆心角的弧度数为|α|＝l r ＝42＝2.答案：24．若扇形的圆心角α＝60°，半径R ＝10 cm ，求扇形的弧长l 及扇形的弧所在的弧形的面积． 解：∵α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，∴l ＝Rα＝10×π3＝10π3cm.设弧形的面积为S ，则S ＝12R 2α－12R 2sin π3＝12×102×π3－12×102×32＝⎝⎛⎭⎫50π3－253cm 2. [谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． 考点三 三角函数的定义(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________. 解析：∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513， ∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125， 则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. 答案：－232．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.解析：设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |.当t ＞0时，cos θ＝55； 当t ＜0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.答案：－35角度二：三角函数值的符号判定3．(2019·湖州六校联考)已知sin 2θ＜0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，sin θ)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由|cos θ|＝－cos θ可知cos θ＜0，由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0可知sin θ＞0，所以tan θ＜0.所以点P (tan θ，sin θ)在第二象限．4．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ为第二象限角．答案：二[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( ) A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)， ∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，sin α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，sin α＜0，所以α的终边在第四象限，故选D.2．(2018·舟山五校联考)若tan α＜0，则( ) A ．sin α＜0 B ．cos α＞0 C ．sin αcos α＜0D ．2cos 2α－1＜0解析：选C 因为tan α＜0，所以α是第二或第四象限角，所以sin α，cos α的符号不确定，故排除A 、B ；当α是第二象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0；当α是第四象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0，故选C.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为( ) A ．π3B ．π2C ． 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ， 所以α＝ 3.4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)5．(2019·丽水模拟)已知角α的终边经过点(2，－2)，则sin α＝________，sin αcos α＝________. 解析：因为角α的终边经过点(2，－2)，所以sin α＝－22，cos α＝22，sin αcos α＝－12. 答案：－22 －12二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．(2019·台州模拟)已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为( )A ．－π3B ．2π3 C ．－2π3D ．－4π3解析：选D 因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以P ⎝⎛⎭⎫－12，32，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－4π3. 3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2解析：选D 因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos 2. 4．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.5．点A (sin 2 018°，cos 2 018°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由2 018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知，2 018°角的终边在第三象限， 所以sin 2 018°＜0，cos 2 018°＜0， 即点A 位于第三象限．6．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3. 答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z )，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z )，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z )，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________.解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综上可得sin β＝13.答案：139．已知角θ的终边上有一点(a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin θ的值是________． 解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a |，sin θ＝ar ＝a2|a |＝⎩⎨⎧22，a ＞0，－22，a ＜0.所以sin θ的值是22或－22. 答案：22或－2210．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝⎛⎭⎫l ＋2r 22＝14×⎝⎛⎭⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )． 所以sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25， cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15，tan α＝－2aa＝－2， sin β＝a (2a )2＋a 2＝15，cos β＝2a (2a )2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校(2019·衢州模拟)已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cos α＝3 6x.(1)求x的值；(2)求sin α＋1tan α的值．解：(1)因为角α的终边经过点P(x，－2)，且cos α＝36x，所以有xx2＋2＝36x.因为x≠0，所以x2＋2＝12，解得x＝±10.(2)若x＝10，则P(10，－2)，所以sin α＝－212＝－66，tan α＝－210＝－55，所以sin α＋1tan α＝－66－ 5.若x＝－10，则P(－10，－2)，所以sin α＝－212＝－66，tan α＝210＝55，所以sin α＋1tan α＝－66＋ 5.。

第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读】【知识清单】1．象限角及终边相同的角 1．任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． 2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l r与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． 3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． 2．三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.3. 扇形的弧长及面积公式弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.【重点难点突破】考点1 象限角及终边相同的角 【1-1】已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β； (2)设集合M=18045,,N=18045,24k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫=⨯+∈=⨯+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，判断两集合的关系． 【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°.(2)M N ⊆.【1-2】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________． 【答案】{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }【解析】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．【1-3】若角α是第二象限角，试确定α2，2α的终边所在位置．【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限.【解析】∵角α是第二象限角，∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，∴ 角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上． （2） ,422k k k Z παπππ+<<+∈，当2 ,k n n Z =∈时， ∴ 22 ,422n n n Z παπππ+<<+∈，∴2α的终边在第一象限．当2 1 ,k n n Z =+∈时， ∴5322 ,422n n n Z παπππ+<<+∈， ∴2α的终边在第三象限．综上所述，2α的终边在第一象限或第三象限．【领悟技法】1.对与角α终边相同的角的一般形式α＋k ·360°(k ∈Z )的理解;(1)k ∈Z;(2)α任意角;(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角3.已知角α的终边位置，确定形如k α，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出k α、π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置 【触类旁通】【变式一】【浙江省杭州第二中学三角函数】若α是第三象限的角, 则2απ-是 （ ）A. 第一或第二象限的角B. 第一或第三象限的角C. 第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角 【答案】B【变式二】【浙江省东阳中学3月月考】已知且，则角的终边所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，应选答案B.考点2 三角函数的定义【2-1】【浙江省台州中学期中】已知角的终边过点,且，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用角的终边过点，结合，判断所在象限，利用三角函数的定义，求出的值即可.详解：由题意可知，，，是第三象限角，可得，即，解得，故选B.【2-2】【浙江省嘉兴市第一中学期中】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据三角函数的定义求解即可．详解：由三角函数的定义可得．故选B．【2-3】【福建省福州市期末】如图，在直角坐标系中，射线交单位圆于点，若，则点的坐标是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：直接由三角函数的定义得到结果即可. 详解：根据三角函数的定义得到点的坐标为：.故答案为：A.【2-4】已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6【答案】D【解析】由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6.【领悟技法】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 【触类旁通】【变式一】已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]【答案】A【解析】 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.故选A.【变式二】已知角的终边在射线上，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】A点睛：（1）本题主要考查直线的斜率和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)在中，存在着“知一求二”的解题规律，即只要知道了其中一个，就可以求出另外两个.考点3 扇形的弧长及面积公式【3-1】【浙江省诸暨中学2017-2018学年第二阶段】已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ）A. 1B. 4C. 1或4D. 2或4 【答案】C【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，，∴解得28r l ==， 或44r l ==， 41lrα==或，故选C ．【3-2】【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】若扇形的圆心角120α=，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【解析】画出图形，如图所示.设扇形的半径为rcm ，由sin60°=6r，得cm ，∴l=n πr 180=2π3cm.【领悟技法】(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr180，扇形面积S＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形． 【触类旁通】【变式一】【浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题】若扇形的面积为38π,半径为1，则扇形的圆心角为 （ ） A.32π B. 34π C. 38π D. 316π 【答案】B【解析】设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为3π8，半径为1， ∴2313824l ππαα=∴=故选B【变式二】【浙江省9+1高中联盟期中联考】如图，以正方形ABCD 中的点A 为圆心，边长AB 为半径作扇形EAB ，若图中两块阴影部分的面积相等，则EAD ∠的弧度数大小为_________.【答案】22π-；【解析】设正方形的边长为a ，由已知可得222112422a a a ππαα-=⇒=- . 【易错试题常警惕】易错典例：已知角α的终边过点(,2)m m ,0m ≠,求角α的的正弦值、余弦值. 易错分析：学生在做题时容易遗忘0m <的情况．正确解析：当0m <时，,sin r αα===当0m >时，,sin r αα===温馨提醒：本题主要考察了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

第一节任意角、弧度制、任意角的三角函数(对应学生用书第57～58页)一、角的有关概念 1.角的形成角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.2.: ::⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩正角按方向旋转而成的角按旋转方向负角:按方向旋转而成的角不同分类零角射线没有旋转角的分类象限角角的终边在第几象限，这个角按终边位置 就是第几象限角不同分类轴线角:角的终边落在坐标轴上 3.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k·360°,k ∈Z}或{β|β=α+2k π,k ∈Z}.1.概念理解(1)角的取值范围是任意大小的正角、负角和零角.(2)注意易混概念的区别:象限角、锐角、小于90°的角,是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二类、第三类是区间角,其次,“小于90°的角”不等同于“锐角”,“锐角”不等同于“第一象限角”,锐角为{α|0°<α<90°},第一象限角为{α|k ·360°<α<k ·360°+90°,k ∈Z},小于90°的角包括锐角、负角、零角. 2.与象限角、轴线角相关的结论第一象限角:{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z};第二象限角:{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z};第三象限角:{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z};第四象限角:{α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z}.终边在x轴非负半轴上的角:{α|α=2kπ,k∈Z};终边在x轴非正半轴上的角:{α|α=(2k-1)π,k∈Z};,k∈Z};终边在y轴非负半轴上的角:{α|α=2kπ+π2终边在y轴非正半轴上的角:{α|α=2kπ-π,k∈Z};2终边在x轴上的角:{α|α=kπ,k∈Z};,k∈Z};终边在y轴上的角:{α|α=kπ+π2k,k∈Z}.终边在坐标轴上的角:{α|α=π23.与终边相同角的表示相关的结论(1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边相同的角有无数个,它们之间相差360°的整数倍.(2)终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍;终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍.(3)角的集合表示形式不是唯一的.二、弧度制1.定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.2.公式3.规定正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.1.概念理解(1)1弧度的角与弧长、半径的大小无关,而是决定于两者的比值;(2)扇形的面积公式S=1l·r可类比三角形的面积公式(底边长与对2应高的乘积的一半)来记忆.2.与度量制相关的知识终边相同的角,不在同一个式子中角度制和弧度制不能混用.如与π3能表示为{α|α=2kπ+60°,k∈Z},应表示为{α|α=2kπ+π,k∈Z}3或{α|α=k·360°+60°,k∈Z}.三、任意角的三角函数1.定义设角α终边与单位圆交于P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=y(x≠0).x2.三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正,二正弦,三正切,四余弦.3.几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.1.概念理解(1)在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一点,设P(x,y),它与原点的距离为r,则sin α=yr ,cos α=xr,tan α=yx,当α=kπ+π2(k∈Z)时,α的终边在y轴上,点P的横坐标x=0,此时tan α无意义.(2)三角函数线即平面向量,其中正弦线的起点在x轴上,余弦线的起点为原点,正切线的起点为(1,0).2.与三角函数定义的应用求值相关的结论(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.若所给的终边是射线,三角函数值只有一种情况;若所给的终边是直线,注意要讨论两种情况,避免漏解.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的三角函数值.(3)若角α终边上的点的坐标中含有参数,要讨论参数的各种情况,以确定角α终边所在的象限,进一步正确得出各个三角函数值.1.点P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点,则点Q 的坐标为( A )(A)(-12,-12)(C)(-12) ,12) 解析:由三角函数定义可知点Q 的坐标(x,y)满足x=cos 2π3=-12,y=sin 2π3=.故选A.2.若3π2<α<2π,则直线cos x α+sin yα=1必不经过( B ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限解析:判断cos α>0,sin α<0,数形结合可知选B. 3.若α是第二象限的角,则下列结论一定成立的是( C )(A)sin 2α>0 (B)cos 2α>0 (C)tan 2α>0 (D)sin 2αcos 2α<0 解析:因为π2+2k π<α<π+2k π,k ∈Z, 所以π4+k π<2α<π2+k π,k ∈Z. 当k 为偶数时,2α是第一象限角; 当k 为奇数时,2α是第三象限角,即tan 2α>0一定成立,故选C.4.若α与β的终边关于x轴对称,则有( C )(A)α+β=90°(B)α+β=90°+k·360°,k∈Z(C)α+β=2k·180°,k∈Z(D)α+β=180°+k·360°,k∈Z解析:因为α与β的终边关于x轴对称,所以β=2k·180°-α,k∈Z.故选C.5.(2018·北京卷)在平面直角坐标系中,AB,CD,EF,GH是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边,若tan α<cos α<sin α,则P所在的圆弧是( C )(A)AB(B)CD(C)EF(D)GH解析:由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧,在AB上,tan α>sin α,不满足;在CD上,tan α>sin α,不满足;在EF上,sin α>0,cos α<0,tan α<0,且cos α>tan α,满足;在GH上,tan α>0,sin α<0,cos α<0,不满足.故选C.6.(2018·绍兴调研)弧长为3π,圆心角为135°的扇形半径为,面积为.解析:135°=135×π180=3π4(弧度),由α=lr,得r=lα=3π3π4=4,S扇形=1 2lr=12×4×3π=6π.答案:4 6π(对应学生用书第58～59页)考点一象限角及终边相同的角【例1】 (1)设集合M={x|x=2k·180°+45°, k∈Z},N={x|x=4k·180°+45°, k∈Z},判断两集合的关系( )(A)M=N (B)M N(C)N M (D)M∩N=∅(2)已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界),则角α的集合为.(3)已知角α是第一象限角,则2α,2α终边分别在.解析:(1)由于M={x|x=2k·180°+45°, k∈Z}={…,-45°,45°,135°,225°,…},N={x|x=4k·180°+45°, k∈Z}={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…},显然有M N. 故选B.(2)在0°～360°范围内,终边落在阴影内的角为90°≤α≤135°或270°≤α≤315°.所以终边落在阴影所表示的范围内的角α的集合为{α|90°+k ·360°≤α≤135°+k ·360°,k ∈Z}∪{α|270°+k ·360°≤α≤315°+k ·360°,k ∈Z} ={α|90°+2k ·180°≤α≤135°+2k ·180°,k ∈Z}∪ {α|90°+(2k+1)·180°≤α≤135°+(2k+1)·180°,k ∈Z} ={α|90°+n ·180°≤α≤135°+n ·180°,n ∈Z}. (3)因为2k π<α<2k π+π2,k ∈Z, 所以4k π<2α<4k π+π,k ∈Z.k π<2α<k π+π4,k ∈Z. 所以2α终边在第一或第二象限或在y 轴非负半轴上,2α角终边在第一或第三象限. 答案:(1)B(2){α|90°+n ·180°≤α≤135°+n ·180°,n ∈Z} (3)第一或第二象限或y 轴非负半轴上,第一或第三象限(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角.(2)利用终边相同的角的集合S={β|β=2k π+α,k ∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和,然后判断角α的象限. (3)角α与2α所在象限的关系:如图所示,若α为第一象限角,则2α为第一、三象限角,其终边所在位置即图中Ⅰ所在位置.1.已知点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,则角θ的终边所在的象限是( B ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限解析:因为点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限, 所以sin θcos θ<0,2cos θ<0,即sin 0,cos 0,θθ>⎧⎨<⎩ 所以θ为第二象限角, 故选B.2.α为第一象限角,则sin α+cos α 1.(填“>”“<”或“=”) 解析:特殊值法,可取α=π4,sin α+cos α答案:>考点二 扇形的弧长、面积公式【例2】 已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?解:(1)设弧长为l,弓形面积为S 弓,则α=60°=π3 rad,R=10 cm,l=π3×10=10π3(cm), S 弓=S 扇-S 三角形=12×10π3×10-12×102×sin π3=503π=50(π32).(2)扇形周长C=2R+l=2R+αR,所以R=2C α+, 所以S 扇=12α·R 2=12α·(2C α+)2 =22C α·2144αα++ =22C ·144αα++≤216C . 当且仅当α2=4,即α=2 rad 时,扇形面积有最大值216C .(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.若扇形的圆心角是α=120°,弦长AB=12 cm,则弧长l 等于( B )π cmcmcm解析:设扇形的半径为r cm,如图. 由sin 60°=6r , 得cm,所以l=|α|·r=2π× cm.故选B.考点三三角函数的定义的应用≠0),且sin α,【例3】已知角α的终边上一点求cos α,tan α的值.解:由题设知2+m2(O为原点),所以r2=|OP|2所以sin α=mr所以即3+m2=8,解得m=当所以cos α,tan α当所以cos α,tan α利用三角函数的定义求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上,此时注意“在终边上任取一点”应分为两种情况(点所在象限不同)进行分析.1.已知角α的终边与单位圆的交点P(-12,y),则sin α·tan α等于( C )(B)(C)-32(D)±32解析:由|OP|2=14+y2=1,得y2=34,y=当时,sin α,tan α,此时,sin α·tan α=-32.当,sin α,tan α此时,sin α·tan α=-32.故选C.2.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ,则y= .解析可知y<0,解得y=-8.答案:-8考点四易错辨析【例4】如图所示,已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cos x,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图象大致为( )解析:圆半径为1,设弧长x所对的圆心角为α,则α=x,如图所示, α=1-t,cos2x=1-t,即cos2x-1=2(1-t)2-1则y=cos x=2cos22=2(t-1)2-1(0≤t≤1).其图象开口向上,在[0,1]上的一段抛物线.故选B.(1)不理解题意,运动变化的观念淡薄,近年来高考注重了由“静态数学”向“动态数学”的引导,一般以简单几何图形的平移、滑动、滚动等形式,运用三角知识考查分析问题、解决问题的能力.α=1-t.三角定义掌握与应用不熟练.(2)没有抓住不变量:α=x,cos2(3)求解二次函数图象时易忽略t的范围.如图所示,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数0角速度为图象大致为( C )解析:因为P.所以∠P0Ox=π4.按逆时针转时间t后,得∠POP0=t,∠POx=t-π4),由三角函数定义,知点P的纵坐标为2sin(t-π4)|.因此d=2|sin(t-π4令t=0,则d=2|sin(-π4当t=π时,d=0,4故选C.。