1-张量及应力应变概念 同济大学弹塑性力学

对于不计体力的平衡微分方程， 则可表示成：
ij x j 0
(1-4)
更进一步可表示为： ij , j 0 ，这 里下标“ , j ”表示对xj求偏导。
u x x x u y y y u z z z u u xy yx x y 2 x y u y u z 2 zy yz z y u x u z zx 2 xz x z
对于体积应变e：则可表示成： e ii ui,i
(1-6)
(5) 哑标只能成对地出现，若要对在同项内出现两次以上
的指标遍历求和，必须：a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 aibi ci
i 1 3
(6) 一般来讲，由aibi = aici 并不能推导得出bi = ci 。 综上所述，能过哑标可把许多项缩成一项，通过自 由指标又可把许多方程缩成一个方程。一般来讲，在一 个用指标符号写出的方程中，若有k个自由指标，它们的 取值范围都是1~n，则更有nk个分量方程；在方程的某项 中若现时出现m对取范围为1~n的哑指标，则此项表示了 互相叠加的nm项。
11 12 13 ij 21 22 23 31 32 33
或：
倾斜面上沿x方向的力为
px x cos yx cos zx cos x nx yx ny zx nz
S1 0 0
0 S2 0
2 1 2 3 3 0 0 0 S3 0
(4) 指标符号同样适用于微分关系。例如，三维空间中线 元长ds和其分量dxi之间的关系：(ds)2= (dx1)2+(dx2)2+(dx3)2 可以写成： (ds)2= dxidxi。再如多变量函数f(x1,x2,x3)的全微 分可写成 df f dxi 。
xi
x xy xz 0 y z x xy y yz 0 y z x yz z xz 0 y z x
球应力张量
体变：只是弹性变形
偏斜应力张量
畸变：首先产生弹性畸变， 当应力达到一定的极值时， 将产生塑性的畸变。
◆ 岩土材料在球应力张量作用下，一般也会出
现塑性体变，从而出现奇异屈服面。
主偏应力
x m xy xz S11 Sij yx y m yz S21 zx zy z m S31 S12 S22 S32 S13 S x xy xz S23 S y yz yx S33 S zx zy z
z n
同理，可以得到张量方程：
pi ij n j
τyx γ
px x
σx β
y
(1-7)
α
如果作用在这个倾斜 面上只有正应力，而没有
τzx
剪应力，则倾斜面上的总应力就是主应力，倾斜面的方 向就是主应力方向，用ζ表示，它在各坐标轴上的投影 (1-8)
为：
pi ni
1.4 主应力分布图
1.3 应力张量的分解
用哑标代替求和符号∑，则位移矢量u和点积a· b可表
示成：u=uiei，a· b=aibi。显然，aibi =biai，即矢量点积的
顺序可以交换：a· b= b · a；由于哑标仅表示遍历求和，因
此可以成对地任意换标，例如a· b=aibi=ajbj=akbk。
(3) 对于各向同性的均质弹性体，物理方程可描述为：
在几何方程中，为了表示方便， 在这里及以后的讨论中，统统
采用ux、uy和uz来分别表示u、
v和w。 则几何方程可表示成：
1 ui u j ij 2 x j xi
(1-5)
更进一步得可表示成：
1 ij ui , j u j ,i 2
2

3

2
i 1
3
ij ij ij ij 1111 1212 1313
i 1 j 1
3
21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
ij 的应用与计算示例如下：
补充：张量及应力、应变张量概念
1.1 张量初步 1.2 一点的应力状态 1.3 应力张量的分解 1.4 八面体应力 1.5 应力空间 1.6 应力路径 1.7 应变张量的分解
1.1 张量初步
力学中常用的量可以分成几类：只有大小没有方向性 的物理量称为标量，通常用一个字母来表示，例如温度T、 密度ρ、时间t等。既有大小又有方向的物理量称为矢量， 常用黑体字母(或字母上加一箭头)来表示，例如矢径r( r ) 和力F(F )等。具有多重方向性的的更为复杂的物理量称为 张量，常用黑体字母或字母下加一横表示，例如一点的应
11 x , 22 y , 33 z 12 xy , 23 yz , 31 zx 21 yx , 32 zy , 13 xz
k为哑标， kk 11 22 33 x y z δij为克罗内克(Kronecher)符号：δij =1(i=j)， δij =0(i≠j)，根据 场论，δij可以表示两个基矢的点积：δij =ei· ej 注意： aibj 表示9个数，而 aibi则只是一个数。
(3) ij jk i11k i 2 2k i 33k ik (4) aijij a1111 a2222 a3333 aii (5) aiij a11 j a2 2 j a33 j a j
(6) ij n j ni ij n j ij n j ( ij ij )n j
E e x x y z 2G x x 1 1 2 E y e y x y z 2G y 1 1 2 E e 2G y x y z y z 1 1 2 E G xy 2G xy xy 2 1 xy E yz 2 1 yz G yz 2G yz E zx G zx 2G zx zx 2 1
m ij Sij
0 x m xy xz m 0 0 0 m y m yz yx 0 m zx zy z m 0
(1-16)
图1.6 应力张量的分解
(1) ii 11 22 33 3 (2) ij ij 1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33 (11 ) 2 ( 22 ) 2 ( 33 ) 2 3
(2) 矢量a和b的分量可分别记为ai 和bi ，它们的点积为：
a b axbx a y by az bz a1b1 a2b2 a3b3 aibi
i 1 3
(1-2)
引入爱因斯坦求和约定： 如果在表达式的某项中， 某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值 范围内遍历求和，该重复指标称为哑指标，或简称哑标。
u
u2(uy) x2=y
图1.1 位移矢量的分解
3
u ux ex u y ey uz ez u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
(1-1)
指标：对于一组性质相同的n个量可以用相同的名字加不
同的指标来表示，例如位移u的分量可用ui(i=1,2,3)表示， 这里的i就是指标。今后约定，如果不标明取值范围，则拉 丁字母i，j，k，· · · 均表示三维指标，取值1，2，3，例如， 采用ui可以表示u1、 u2和 u3三个数值，这种名字加指标的 记法称为指标符号。 指标符号的正确用法： (1) 三维空间中任意点的三个直角坐标通常记为x，y和z。 指标符号可缩写成xi ，其中x1= x， x2= y， x3= z。
自由指标和哑标举例：
ai bi ai bi a1b1 a2b2 a3b3
i 1 3
aij b j aij b j ai1b1 ai 2b2 ai 3ij bi c j a11b1c1 a12b1c2 a13b1c3
力状态可以用应力张量σ( )表示，它具有二重方向性，是
二阶张量，而标量和矢量分别为零阶和一阶张量。
x3=z u 3 ( u z )
矢量可以在参考直 角坐标系下分解，以位 移矢量 u 为例，它可以 表示成位移分量ux、 uy 、 uz与基矢ex、 ey 、 ez的 乘积之和的形式：
e3 ( k ) u ( u ) 1 x e1 ( i ) o e ( j ) 2 x1=x
1.2 一点的应力状态
z
z
zy yz
zx
x
x
xz
xy yx
y
y
图1.2 一点的应力状态
z
N ηyx ηxy ζy ζx ηxz ηzx ζz y
ηyz ηzy
x
o
图1.3 倾斜面上的应力
应力张量：
x xy xz ij yx y yz zx zy z
i 1 j 1
3
3
a21b2c1 a22b2c2 a33b2c3 a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3
2 2 2 2 a aii a11 a22 a33 2 ii j 1 3