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弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
弹性力学基本方程平衡微分方程：0⋅+=σ∇f指标符号写为,0ji j i f σ+=在直角坐标系中分量形式311121112332122221231323333123000f x x x f x x x f x x x σσσσσσσσσ⎧∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎩在柱坐标系中分量形式1012010r r r rz r r zr z zr z rzz f r r z rf r r z r f r r z r θθθθθθθθτσσστθτσττθττστθ∂-∂∂⎧++++=⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪++++=⎨∂∂∂⎪∂∂∂⎪++++=⎪∂∂∂⎩在球坐标系中分量形式211cot 0sin 113cot 0sin 1132cot 0sin r r r r r r r r r r f r r r r r f rr r r r f r r r r r ϕθϕθθθϕθϕθθθθϕϕθϕϕϕθϕτσσσττσθθθϕτσστστθθθϕττσττθθθϕ∂--⎧∂∂+++++=⎪∂∂∂⎪⎪∂-∂∂⎪+++++=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++++=⎪∂∂∂⎪⎩几何方程：1()2=+ε∇∇u u指标符号写为,,1()2ij i j j i u u ε=+在直角坐标系中分量形式1211221112113222223322333313331133131()21()21()2u u u x x x u u u x x x u u u x x x εεεεεεεεε⎧⎧∂∂∂==+=⎪⎪∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂===+⎨⎨∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂===+⎪⎪∂∂∂⎩⎩在柱坐标系中分量形式111r r z z zr u u v v r r r r v u v w r r z r w w u z r z θθθεγθεγθθεγ∂∂∂⎧⎧==+-⎪⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪⎪=+=+⎨⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪⎪==+⎪⎪∂∂∂⎩⎩在球坐标系中分量形式1111sin 11sin sin r rr r r r r r u u u u r r r r u u u u ctg u r r r r r u u ctg u u u u r r r r r r θθθϕθθθθϕϕϕϕϕϕθϕγεθθεγθθϕθθεγθϕθϕ⎧⎧∂∂∂=+-=⎪⎪∂∂∂⎪⎪⎪∂∂∂⎪=+=+-⎨⎨∂∂∂⎪⎪∂⎪⎪∂∂=++=+-⎪⎪∂∂∂⎩⎩应变协调方程：0⨯⨯=ε∇∇指标符号写为,0mjk nil ij kl e e ε=在直角坐标系中常用形式222112212222112222332322223223222331311221313223311112231123231232212312231233120001()21()21x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x εεγεγεεγεγγεγγγεγε∂∂∂+-=∂∂∂∂∂∂∂+-=∂∂∂∂∂∂∂+-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂∂=∂∂2331123312()2x x x x γγγ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂∂-++⎪∂∂∂∂⎩本构方程：:=σεC指标符号写为ij ijkl klC σε=对各向同性弹性体的线弹性本构关系的指标符号写为2ij ij kk ijG σελεδ=+在直角坐标系中分量形式222x x yy z z xy xy yz yz zx zxG G G G G G σελθσελθσελθτγτγτγ=+⎧⎪=+⎪⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩边界条件：力边界条件指标形式写为 j i ijp νσ=在指标坐标系分量形式x yx zx xy y zy xz yz z X l m n Y l m n Z l m n στττστττσ⎧=++⎪⎪=++⎨⎪=++⎪⎩位移边界条件指标形式写为 i iu u =在直角坐标系分量形式112233u u u u u u ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩位移解法：L-N 方程及力边界条件指标形式,,,,,()0[()]i jj j ji i i j j i k k ij j iGu G u f G u u u X λλδν+++=++=在直角坐标系中分量形式212223()0()0()0(2)()()()(2)()()()(2)G u G f x G v G f y G w G f z u v u w uG l G m G n X x x y x z u v v w vG l G m G n Yy xy y z u w v w wG l G m G n Zz xz y z θλθλθλλθλθλθ⎧∂∇+++=⎪∂⎪∂⎪∇+++=⎨∂⎪⎪∂∇+++=⎪∂⎩⎧∂∂∂∂∂+++++=⎪∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂+++++=⎨∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂⎩⎪应力解法：B-M 方程指标形式2,,,,1()11ij ij i j j i ij k kf f f νσδνν∇+Θ=-+-+-平面问题本构方程平面应变平面应力平面应力（极坐标系）αβαβαβδλεεσkk G +=2, 平面应力→平面应变：21υ-→E E 、υυυ-→1xyxyx y y y x x G G G γτευυευυσευυευυσ=-+--=-+--=)1(21)1(2)1(21)1(2 xyxyx y y y x x G G Gγτυεευσυεευσ=+-=+-=)(12)(12 θθθθθγτυεευσυεευσr r r r r G G G=+-=+-=)(12)(12 0)()(==+=+=zx zx y x y x z ττεελσσυσ===zx zx z ττσ0=z σ 0==θττz zrαβαβαβδσυσυεkk EE -+=1 xyxy xy x y y y x x GE E τεγσυυσυεσυυσυε12)1(1)1(122==---=---= xyxy xy x y y y x x GEEτεγυσσευσσε12)(1)(1==-=-=θθθθθτγυσσευσσεr r r r r GE E1)(1)(1=-=-====zy zx z γγε)(==+-=zy zx y x z Eγγσσυε)(θσσυε+-=r z E0==θγγz z r协调方程:y x yx xy x y ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222，0112112222222=∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂θγεεθγθεεθθθθr r r r r r r r r r r r r))(1()(,,2y y x x y x f f ++-=+∇νσσ，如x x V f ,-=，y y V f ,-=，引入Airy 应力函数：V yy x +=,φσ V xx y +=,φσ,xy xy,φτ-=→V 222)1(∇--=∇∇νφ；22222yx ∂∂+∂∂=∇，4422444222yy x x ∂∂+∂∂∂+∂∂=∇∇极坐标系：02101=++∂∂+∂∂=+-+∂∂+∂∂θθθθθθτθστσσθτσf rr r f r r r r r r r r rrv r v u r ru v r r u r r rr r θθθθθθγθεε-∂∂+∂∂=+∂∂=∂∂=11 ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=∂∂=∂∂+∂∂=θφτφσθφφσθθr r rr r r r r 1 ,1122222V222)1(∇--=∇∇νφ，22222211θ∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r r,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θθθθσττσθθθθσττσθθθcos sin sin cos cos sin sin cos r r ry xyxy x塑性力学基本公式：一维随动强化模型材料后继屈服限与先期拉（压）塑性应变的关系**p s ps h d h d σσεσσε+-=+=-+⎰⎰一维等向强化模型材料后继屈服限与先期拉（压）塑性应变的关系***||p s h d σσεσσ+-+=+=-⎰应力偏量的第二不变量22222222112222333311122331221'21'[()()()6()]6'3'ij ij ijij J S S J J S J σσσσσστττσσ==-+-+-+++∂=∂=应变偏量的第二不变量2222222211222233331112233121'213'[()()()()]624'3ij ijI e e I I εεεεεεγγγε==-+-+-+++=金属材料的屈服条件：Mises 屈服条件2()03'ij s J σσσσ-==其中Tresca 屈服条件max ()02sij στσ-=三维随动强化模型后继屈服条件(,)()0p p pij ij ij s ij ij K c d σσσεσεεΦ=--==⎰其中三维等向强化模型后继屈服条件41(,)()()0032p p p pij ij s ij ij K h d d d d σσσσεεεεΦ=-+==⋅≥⎰其中全量形式的应力-应变关系2()1()33ij kk ij ij kk ij K σεσεδεεδε=+-全量形式的应变-应力方程13()1()923ij kk ij ij kk ij K εσεσδσσδσ=+-σε-关系为**3,3(),33',122(1)'3s s ss G GE G G E EE G E E E σεεσσσσεενν⎧⋅<⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩==-+-增量形式的应变-应力方程（指标符号）()011ij ij kk ij ij d d d d S E ευσυσδλ⎡⎤=+-+⎣⎦增量形式的应力-应变方程（矩阵形式）0000T e e e ep T e D D d D d D d D ασσασεεσαασ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭线性等向强化材料加载时的增量本构关系（指标符号）()()0020191114ij ij kk ij kl kl ij d d d S d S E h ευσυσδσσ⎡⎤=+-+⎣⎦线性等向强化材料加载时的增量本构关系（矩阵形式）()()000209114T e ep d F d d F d hεσασσασσσσ=+=。
弹塑性力学第四章 弹性力学的基本方程与解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起的小变形问题，若以, ,u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程()1,,2ij i j j i u u ε=+ ()12∇+∇u u ε= (1a)广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε(1b)平衡方程 ,0ij j i f σ+= ∇⋅+=f 0σ V∀∈x (1c)以上方程均要求在域内各点均满足。
边界条件 u u i i = ∀∈x S ui (2a)n t j ji i σ= ∀∈x S ti(2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。
当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。
对于边界条件的提法就有严格的要求。
即要求：S S S S S ui ti ui ti U I ==∅(2c)对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a)()11ij ij kk ij E ενσνσδ⎡⎤=+−⎣⎦ ()()1tr Eνν=⎡⎤⎣⎦I ε1+σ−σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。
对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。
这三个正交第四章 弹性力学的基本方程与解法方向可以是整体笛卡儿坐标系的三个方向，也可以是边界自然坐标系的三个方向（即法向和两个切向）。
从更一般来说，除去给定位移或面力外，还有另一种线性的边界条件t K u c i ij j i +=(4)这是一种弹性约束条件。
用这个条件可以取代给定位移或给定面力的条件。
应力应变关系弹性模量 |｜广义虎克定律1。
弹性模量对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括：a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比，即b 切变模量切应力与相应的切应变之比，即c 体积弹性模量三向平均应力与体积应变θ(=εx+εy+εz）之比,即d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比，即此外还有拉梅常数λ。
对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。
常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。
室温下弹性常数的典型值见表3—2 弹性常数的典型值。
2。
广义虎克定律线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。
它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质.A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3—3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。
对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。
B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式,即体积弹性定律应力偏量与应变偏量关系式在直角坐标中，i，j=x，y，z;在圆柱坐标中，i,j=r，θ，z，在球坐标中i，j=r，θ，φ。
弹性力学基本方程及其解法弹性力学基本方程｜| 边界条件｜｜按位移求解的弹性力学基本方法｜｜按应力求解的弹性力学基本方程｜| 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式1.弹性力学基本方程在弹性力学一般问题中,需要确定15个未知量,即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。
这15个未知量可由15个线性方程确定,即(1）3个平衡方程[式（2-1—22)］，或用脚标形式简写为（2）6个变形几何方程［式（2—1—29）］，或简写为(3）6个物性方程［式（3-5）或式（3—6）］,简写为或2.边界条件弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。
弹塑性力学讲义弹塑性力学1 弹塑性的概念所谓弹塑性指的是物体在外力作用下发生变形而外力除去后变形不能完全恢复的性质。
变形中可回复的部分称为弹性变形，变形中不可回复的部分称为塑性变形。
塑性变形总是在外力的作用超过一定的限度后出现。
2 简单拉压状态下金属材料弹塑性行为及其数学模型（1）理想塑性材料的弹塑性行为σs主要特点：屈服后加载，表现出一种流动变形现象，材料失去进一步承载的能力；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变。
数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ(ε ε)s s Eε( εs ε 0)σ σ(ε)(ε εs) σs（2）线性强化材料的弹塑性行为σσs主要特点：屈服后加载，材料仍有进一步承载的能力，但应力应变增量的比例较弹性段小；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，屈服应力为卸载前的应力值（较先前的屈服应力大），应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变，同时应力轴伸长。
两种常用的强化模型数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ E(ε ε)(ε ε)ss sEε( εs ε 0)σ σ(ε)σs E(ε εs)(ε εs)上述描述弹塑性材料应力应变关系的数学模型称为全量型本构关系。
显然不能代表弹塑性变形规律的全貌。
它描述了单调应力-应变过程。
为了描述弹塑性力学行为的“过程相依”，需要建立增量型本构关系。
记当前应力为σ0，应力增量为dσ，应变增量为dε，分析弹塑性行为可以得出相应的增量变形法则。
理想塑性材料的增量型弹塑性关系（1）由dσ决定dε当σs σ0 σs时，dε dσ/E 当σ0 σs时，dεdλσ0ifdσ 0 dσ/Eifdσ 0dλσ0ifdσ 0当σ0 σs时，dεdσ/Eifdσ 0（2）由dε决定dσ当σs σ0 σs时，dσ Edε0ifdε 0当σ0 σs时，dσEdεifdε 0当σ0 σs时，dσ0ifdε 0 Edεifdε 0例：已经测得某理想弹塑性材料的细杆所经受的轴向应变过程如图所示，试求此杆中的应力过程。
弹塑性力学第七章塑性力学的基本方程与解法一、非弹性本构关系的实验基础拿一根工程上最常用的低碳钢的试件，在拉伸试验机上就可得到如图7.1所示的应力应变曲线。
图中A为比例极限，当变形状态未超过A点时材料处于线弹性状态；B为弹性极限，AB段的变形虽然还是弹性的，即卸载时能按原来的加载曲线返回，但应力应变之间不再是线性关系。
C，D分别为上、下屈服极限，超过C点后材料进入塑性变形状态，卸载时不再按原来的加载曲线返回，而且当载荷完全卸除后还有残余变形。
由C到D是突然发生的，由于材料屈服引起应力突然下降，而应变继续增加。
由D到H是一接近水平的线段，称为塑性流动段。
对同一种材料D点的测量值比较稳定，而C点受试件截面尺寸、加载速率等影响较大。
如果载荷在使材料屈服之后还继续增加，则进入图中曲线右部的强化段。
即虽然材料已经屈服，但只有当应力继续增加时，应变才能继续增大。
在图中b点之后，试件产生颈缩现象，最后试件被拉断。
如果在塑性流动段的D′点，或强化段的H′点卸载，将能观测到沿着与OA平行的直线返回，当载荷为零是到达O′点或O′′点，即产生残余变形。
图7.1 低碳钢单向拉伸应力应变曲线有些高强度的合金钢并没有象低碳钢那样的屈服段，其单向拉伸的应力应变曲线如图7.2所示。
这种情况下屈服极限规定用产生0.2%塑性应变所对应的应力来表示，σ。
记为0.2图7.2 高强度合金钢单向拉伸应力应变曲线第七章 塑性力学的基本方程与解法如果以超过屈服极限的载荷循环加载，所得试验结果则象图7.3所示。
在实验中还发现，对于某些材料（图7.4），如果在加载（拉伸）屈服后完全卸载到O ′′点，然后接着反向加载（压缩），则其反向屈服点对应的应力绝对值s σ′′不仅小于s σ′，而且小于初始屈服应力的绝对值σ′。
这是德国的包辛格（Bauschinger, J.）最早发现的，称为包辛格效应。
图7.3 循环加载曲线示意图 图7.4 包辛格效应 当材料进入塑性状态后，如果不是单调加载，则应力和应变之间不仅不是单值函数的关系，而且当时的应变不仅和当时的应力有关，还和整个加载的历史有关。
同样，当时的应力不仅和当时的应变有关，而且也和整个变形的历史有关。
这就增加了问题的复杂性。
材料的特性不能简单的用应力应变关系来描述，而要用比较复杂的本构关系，即应力和整个变形历史的关系来描述。
此外，在实际工程问题中经常遇到的材料非线性问题往往不是单向应力状态，即不是一维问题。
要对三维问题单靠实验来确定应力张量和应变张量之间的关系几乎是不可能的。
因此，在建立非线性本构关系时，除去不能脱离实验基础之外，还必须有基本理论的指导。
二、刚塑性与弹塑性本构模型z 简化模型对于低碳钢一类材料，如果承载后产生的变形状态一直达到塑性流动段，为了简化起见，略去应力应变曲线中的上、下屈服极限等细节，可得到由线弹性段和塑性流动水平线段组成的简化模型，称为理想弹塑性模型（图7.5a ）：s s s s E E σεεεσεσεε=≤⎧⎨==>⎩当当 (1)在金属成型等问题中，由于塑性流动引起的塑性应变较大，而弹性应变因相比较小而将其忽略，则又可进一步简化为只有水平线段的刚塑性模型（图7.5b ）：研究生学位课弹塑性力学电子讲义 姚振汉0 0s s εσσσσε=<⎧⎨=>⎩当当(2)图7.5 理想弹塑性和刚塑性 当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化弹塑性模型来近似：()1 + s s s s E E σεεεσσεεεε=≤⎧⎨=−>⎩当当 (3)针对一些没有明显屈服极限的材料，还可采用幂强化力学模型，即令n A σε= (4)其中n 为幂强化系数，其取值介于0与1之间，当0n →时，它就趋于刚塑性模型。
对于单轴应力状态来说，上述公式已经对材料的塑性性质作出了简明的描述。
但对于更普遍的三维应力状态，单有上述公式还不能对三维状态作出具体的描述。
首先，无论弹塑性模型或刚塑性模型，对于单轴应力状态，当应力从零开始增大、达到屈服极限s σ时，材料开始屈服，进入流动段。
对于三维应力状态如何判定材料开始屈服？其次还有进入流动段之后三维的应力和应变之间有怎样的关系？前者称为材料的屈服条件，后者为塑性应力应变关系。
z 屈服条件关于材料进入塑性状态的原因有过不同的假说。
伽里略曾认为材料进入塑性状态是由最大主应力所引起的，此后，圣维南又曾认为最大主应变能判断材料是否进入塑性状态。
这两个假说都被后来的实验所否定，因为在各向等压时，压应力可以远远超过材料的屈服极限s σ，而并不产生塑性变形。
1864年法国工程师特雷斯卡（Tresca, H.）在一系列金属挤压实验的基础上，发现变形的金属表面有很细的纹痕，其方向接近最大剪应力方向。
于是，他提出：在物体中，当最大剪应力max τ达到某一极限值时，材料便进入塑性状态。
当σσσ123≥≥时，特雷斯卡条件为2k σσ13−=(5)第七章 塑性力学的基本方程与解法其中k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的s σ确定，2s k σ=。
当不能确定主应力的排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态的应力空间为23312, 2, 2k k k σσσσσσ12−≤−≤−≤ (6)这是其轴线与三个主应力坐标轴等倾的正六面棱柱。
该棱柱过坐标原点的直截面就是三个主应力坐标轴的等倾面，称π平面。
三个主应力轴在该面上投影互相成120o 角。
在π平面上，特雷斯卡条件是一个正六边形 (图7.6)。
图7.6 等倾面上的屈服条件1913年德国力学家米赛斯（von Mises, R.）指出，在等倾面上，特雷斯卡六边形的六个顶点是实验得到的，但连接这六个点的直线却具有假设的性质。
作为近似，他提出，将这些点用一个圆连接起来，这样可避免屈服条件不能用单一公式表达带来的困难。
于是米赛斯条件将特雷斯卡条件的六棱柱面改成了圆柱面，其表达式为()()()2222232R σσσσσσ1231−+−+−= (7)米赛斯提出这一条件时，并未认为它是准确的条件，但是实验结果却表明，对于韧性金属材料，此条件比特雷斯卡条件更接近实际情况。
1924年德国力学家亨奇（Hencky, W. H.）经过反复研究，对米赛斯条件作了物理解释：当弹性体的形变比能（歪形能）s W 达到一定值时，材料进入屈服状态。
()()()2222331112s V W W W G σσσσσσ12⎡⎤=−=−+−+−⎣⎦ (8)z 流动法则（增量理论的塑性应力应变关系）在塑性变形阶段，应力应变关系是非线性的。
应变不仅与即时的应力状态有关，而且还和变形历史有关。
如果不知道变形历史，便不能只根据即时应力状态唯一地确定塑性应变状态；只知道最终的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。
为了考虑变形历史，就要研究应力和应变增量之间的关系。
以这种关系为基础的理论称为塑性力研究生学位课弹塑性力学电子讲义 姚振汉学的增量理论。
对于理想刚塑性材料增量理论之一的莱维（Levy, M ）－米赛斯理论（1913）基于如下假设：材料是不可压缩的、满足米赛斯屈服条件，应变偏量的增量与应力偏量成比例。
于是可以写出d 3d d , d 2pe ij ij se s ελλσ== (9)其中d p e ε是塑性应变强度增量，d e ε=(10)当弹性应变和塑性应变相比不可忽略时，就要采用弹塑性模型。
即使对于塑性变形很大的金属成型问题，为了考虑成型后的弹性回弹，也必须用弹塑性模型。
对于理想弹塑性材料的增量理论之一是普朗特（Prandtl, L ）－罗伊斯（Reuss, E.）理论（1924，1930）。
此时假设：屈服条件采用米赛斯条件，应变增量等于弹性应变增量和塑性应变增量之和，即d d de p ij ij ij εεε=+ (11)而塑性应变偏量的增量与应力偏量成比例d d p ij ije s λ= (12)于是其塑性本构方程可写成3d 1d d 22p e ij ij ij se s s G εσ=+ (13)z 全量理论（简单加载情况下的塑性应力应变关系） 除去上述增量理论之外，在塑性力学中还有全量理论，例如前苏联力学家伊柳辛（Ilyushin, A. A.）1943年提出的小弹塑性形变理论就是其中之一。
这种理论假设：体积应变始终是弹性的，即Θθ=3Κ (14)应力偏量与应变偏量成比例 ij ij e s λ=(15)而应力强度与应变强度之间存在单一的函数关系第七章 塑性力学的基本方程与解法()e e σϕε=(16)于是可得 32e ij ij e e s εσ= (17)伊柳辛理论主要适用于简单加载、幂强化材料的小变形情况。
所谓简单加载是指在加载过程中物体各点处的偏应力分量ij s 保持比例不变。
在工程允许精度下，也可推广应用于稍为偏离简单加载的情况。
以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增量与应力偏量成比例，以及应力强度和应变强度之间存在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材料大量试验的验证。
z 强化规律对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服条件所描述的屈服面上，而当卸载时就按弹性规律回到屈服面内。
对于弹塑性强化材料，其单轴应力状态的应力应变曲线如前面图7.1所示。
若在强化后卸载，再重新加载，则屈服极限已经不是材料首次进入屈服时的屈服极限，而是最近这次从塑性状态卸载时由强化提高了的屈服极限。
前者称为初始屈服极限，后者则称为后继屈服极限。
如果初始屈服条件表示为()0ij f σ=(18)则强化条件下的后继屈服条件可表示为 (), 0ij f H ασ= (19)a) 等向强化 b) 随动强化图7.7 等向强化与随动强化研究生学位课弹塑性力学电子讲义 姚振汉其中H α是包括强化参数在内的反映材料变形历史的参数，它们可以是标量，也可以是张量。
随着强化参数由0增大，在π面上画出的屈服面随之变化。
根据不同材料的试验结果，有些材料的后继屈服面与初始屈服面相比是成比例地扩大，即在塑性变形过程中，在应力空间各方向强化的程度相同（图7.7a ）。
这种强化称为等向强化，也称各向同性强化。
其后继屈服条件可写成()()(), 0ij ij f H F H αασϕσ=−=(20)其常见形式为 ()()(), 0ij ij p f H F W ασϕσ=−=(21)()()()(), d 0p ij ij e f H F ασϕσε=−=∫ (22)在前一种形式中采用塑性功作为强化参数，在后一种形式中采用累积的等效塑性应变作为强化参数。
除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图7.7b ），即，在强化过程中，屈服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。
