第三章 一元函数微分学的应用学习指导
一元函数微分学在经济等领域有着广泛的应用，微分中值定理给出了函数及其导数之间的联系，是微分学的基本定理．本章以导数为工具，以微分中值定理为理论基础，研究函数的单调性、极值、最值，函数的凹向及拐点，并应用导数解决经济中的边际、弹性及最优经济量等问题．
一、教学要求
1． 了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，并会应用拉格朗日中值定理证明不等式． 2． 熟练掌握洛必达法则求“00”、“∞∞
”、“0?∞”、“∞-∞”、“1∞”、“0
0”、“0∞”七种未定式的极限方法．
3．掌握利用导数判定函数的单调性及函数单调区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式． 4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值的方法，并会求简单的几何应用问题． 5．会判定曲线的凹向，会求曲线的拐点及渐进线．
6．了解常用经济函数，掌握导数在经济分析中的应用(边际分析、弹性分析最优经济量的求法)． 重点: 利用洛必达法则求未定式的极限；利用导数判定函数的单调性与极值、凹向及拐点；导数的经济应用．
难点: 应用拉格朗日中值定理证明不等式；经济应用中的边际分析、弹性分析．
二、学习要求
1． 牢记中值定理成立的条件，并恰当引入辅助函数．
2．应用洛必达法则求极限时应注意使用的条件，每次运用洛必达法则之前一定要检验是否是未定式的极限，然后转化为
00或∞
∞
型再计算． 3．深刻理解驻点只是可导函数取得极值的必要条件，极值点可能是驻点也可能是导数不存在的点． 4．边际函数即经济函数的导数()f x '，反映的是当x 产生一个单位的改变时，()f x 改变()f x '个单位；弹性函数
Ey Ex 表示当x 产生1%的改变时，y 改变Ey Ex
％．在解决实际问题时，应注重结合经济实例，理解所求值的正负的含义．
三、典型例题分析
例1 设523)(2
++=x x x f ，求)(x f 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的ξ值． 解 )(x f 为多项式函数，在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的条件，故有 ))((')()(a b f a f b f -=-ξ
即 ))(26()523()523(2
2a b a a b b -+=++-++ξ 由此解得2
a
b +=
ξ, 即此时ξ为区间],[b a 的中点． 例2 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式 (1) 当0a b <<时,
ln b a b b a
b a a
--<<
; (2) 当1x >时,x
e e x >?
证明 (1)设()ln f x x =,则()f x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 故至少存在一点ξ(),a b ∈,使得
()()
()f b f a f b a
ξ-'=-
即
ln ln 1b a b a ξ-=-,因为111b a ξ<<,所以1ln ln 1
b a b b a a
-<<-,
整理得
ln b a b b a
b a a
--<<
,得证. (2)证法一 设()u
f u e =,[]1,u x ∈,
容易验证()f u 在[]1,x 上满足拉格朗日中值定理的条件. 故存在ξ()1,x ∈,使得
()()
()11
f x f f x ξ-'=-
左端()()111x f x f e e x x --=--,右端()f e e ξ
ξ'=>,即
1
x e e e x ->- 整理得 当1x >时,x
e e x >?,得证. 证法二 设()ln
f u u =, []1,u x ∈
容易验证()f u 在[]1,x 上满足拉格朗日中值定理的条件. 故存在ξ()1,x ∈,使得
()()
()11
f x f f x ξ-'=-
左端
()()1ln 11f x f x x x -=--,右端()1
1f ξξ
'=<,
即
ln 11x x <-,11
ln 1,x x x x x e e e
-<-<=, 整理得 当1x >时,x
e e x >?,得证. 例3 计算下列极限：
(1)x
e e x x x sin lim 0-→-； (2))1ln(arctan lim 30x x
x x +-→；
(3)2ln lim
x x x →+∞； (4)x
x x
x x sin tan lim
0--→． 解 (1) =--→x e e x
x x sin lim
02cos lim 0=+-→x e e x x x ； (2) =+-→)
1ln(arctan lim
30x x x x =
?++-
→2
3
2
0311111lim x x x x 203
221lim 13x x x x x →+?=+3
1
)1131(lim 230=++?→x x x ；(3) 2ln lim x x x →+∞=1
lim 2x x x
→+∞=21
lim 02x x →+∞=； (4) =--→x x x x x sin tan lim 0=--→x x x cos 11sec lim 20=→2202
1tan lim x x x 2)tan (lim 22
0=→x
x x ．
说明: 洛必达法则主要解决
00，∞
∞
型不定式极限，在应用洛必达法则时应注意以下几点： (1) 在使用洛必达法则前，先要判断所求极限是否满足洛必达法则条件，即判断所求极限是否为
0，∞
∞
型未定式，是这两种类型方可使用. (2) 当应用一次洛必达法则之后仍为00，∞
∞
型未定式时，可以继续使用洛必达法则，直到求出极限值或得出不符合法则条件时为止，使用后所得极限不存在(不包括极限为∞)时，不能肯定原极限不存在，
此时洛必达法则失效，应改用其他方法求极限．
(3) 使用洛必达法则求极限时，应及时对所求极限进行简化，表达式中有极限存在的因式可以暂时用极限运算法则将其分离出来，只要最终极限存在，这种处理方法就是可行的．
(4) 洛必达法则应尽量和其他求极限的方法(四则运算、无穷小性质、重要极限、连续性等)结合使用，才能更好的发挥其作用．
例4 计算下列极限 (1)ax
n
x e
x -+∞
→lim ),0(为自然数n a >； (2))tan (sec lim 2
x x x -→
π
；
(3)x
x x
sin 0
lim +→； (4)x x x )arctan 2
(
lim π
+∞
→； (5)x
x
x x 1
)2(lim ++∞
→．
解 (1) =-+∞
→ax
n x e
x lim =+∞→ax n x e x lim =-+∞→ax n x ae nx 1lim 2
2(1)lim n ax x n n x a e
-→+∞-
=
!1
li 0m n ax
x n a e →+∞=
= ),0(为自然数n a >．
(2) 0sin cos lim cos sin 1lim )cos sin cos 1(
lim )tan (sec lim 2
2
2
2
=--=-=-=-→
→→
→
x x
x x x x x x x x x x x πππ
π
．
(3) 因为x
x
x
e x
sin ln sin =，而
12sin 0
0000ln sin lim ln lim sin ln lim lim lim csc csc cot cos x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
+
++++-→→→→→=?===-- 0
0sin sin lim lim cos x x x x x x
+
+
→→=-?
001=?-= 所以=+→x
x x
sin 0
lim sin lim ln 001x
x x e
e +
→==．
(4) 因为2
ln(arctan )2
(
arctan )x
x x
x e
π
π
=，而
ππ
π
21arctan 1lim 111
arctan 1lim 1arctan ln 2
ln
lim
)arctan 2
ln(lim 2222-=+-?=-+?=+=+∞→+∞→+∞
→+∞
→x x x x
x x x
x x x x x x x 所以 )
arctan 2
ln(
lim )arctan 2
(lim x x x
x x e x π
π
+∞
→=+∞
→＝2
e
π
-
．
(5)因为x
x x x
x
e
x 1
)2ln(1)2(+=+，而
1
1ln(2)1lim ln(2)lim ln(2)lim lim (12ln 2)2
x x x x
x
x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++=+==?++ 2ln 2ln 2lim 12ln 2x x x →+∞??=+?2ln )
2(ln 2)2(ln 2ln 2lim 22
=???=+∞→x x x 所以 ()
11
lim ln 2ln 2lim (2)2x
x
x x x x
x x e
e →∞
+→+∞
+===．
说明: 对于∞-∞，0?∞型未定式，经过对极限表达式的适当变形可以化为00或∞
∞
型未定式，对于由)
()
(x g x f 产生的00，1∞，0
∞型未定式，可以通过对)
()
(x g x f 取对数化为0?∞型未定式，然后再转化为
00或∞
∞
型未定式计算． 例5 计算下列极限：
(1) x x x x 222
0sin cos 1lim -→； (2)x
e x x 2
1
0lim -→； （3）3sin lim cos 2x x x x x →∞++． 解 (1) 此题用洛必达法则求解，比较繁琐．利用等价无穷小量代换x x ~sin ．再用洛必达法则更为简便．
=-→x x x x 2220sin cos 1lim =-→420cos 1lim x x x =→3204sin 2lim x
x x x 21sin lim 21220=→x x x ． (2) 此题若按照00型未定式，用洛必达法则计算会越算越复杂，不能解决问题．如果令11
,t x x t
==即，代入后将分式化为
∞
∞
型，再用洛必达法则计算就简便得多． =-
→x e
x x 2
10lim 2
t lim 1t e t -→∞=2t lim t t e →∞=2t 1
lim 02t te
→∞=． （3）此题虽为∞
∞
型，但不能用洛必达法则
3sin lim cos 2x x x x x →∞++ 1x t = 0113sin l m co 2i 1s t t t t t →++013sin 1cos 21
lim t t t t t
→+=+12
= 若用洛必达法则3sin lim cos 2x x x x x →∞++3cos 1
lim
sin 2x x x →∞+=-+，极限不存在. 例6 设x
x
x f sin 1sin 1)(-+=，问
(1))(lim 0
x f x →是否存在？
(2)能否由洛必达法则求上述极限，为什么？
解 (1) =→)(lim 0x f x 10
101)sin 1(lim )sin 1(lim sin 1sin 1lim 0
0=-+=-+=-+→→→x x x x x x x ．
(2) 不能．因为此极限非
00，∞
∞
型未定式，，不能满足洛必达法则条件． 例7 判别函数3
2)(x x f =的增减性． 解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，
(
)1323f x x -'==当0=x 时，)('x f 不存在．
点0=x 将定义域),(+∞-∞分成两个区间．列表如下：
所以函数)(x f 在]0,(-∞内单调减少，在),0[+∞单调增加．
说明: 使导数不存在的点往往也是增减区间的分界点． 例8 当0>x 时，证明)1ln(1x x
x
+<+． 证明 令)1ln(1)(x x
x
x f +-+=
)0(>x 显然)(x f 在),0(+∞内连续，且2
2)1(11)1(1)('x x
x x x f +-=+-+=
当0>x 时，0)(' 0)1ln(1<+-+x x x ，故)1ln(1x x x +<+． 说明: 单调性证明不等式的方法是： (1) 构造辅助函数)(x f ，即将不等式的右端(或左端)全部移到一端，再令左端(或右端)为函数)(x f ； (2) 在区间内讨论)(x f 的连续性及)('x f 符号，得到)(x f 的单调性； (3) 利用单调性定义，将)(x f 与区间内一特定点函数值(通常为区间的端点)进行比较构成所要证明的不等式． 例9 证明方程1sin 21 =- x x 只有一个正根． 证明 令1sin 2 1 )(--=x x x f ，则)(x f 在),(+∞-∞内连续，且 ，01)(,01)0(>-=<-=ππf f 根据零点存在定理知，至少存在一个),0(πξ∈，使得0)(=ξf ， 即 方程0)(=x f 在区间),0(π内至少存在一个正根． 又因为0cos 2 1 1)('>- =x x f ，所以)(x f 在区间),(+∞-∞上是单调递增的，于是断定)(x f 在区间),0(π内的根是唯一的． 从而得证，方程1sin 2 1 =- x x 只有一个正根． 例10 求函数33)(2 3 +-=x x x f 的极值． 解法一 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，)3)(1(3963)('2 -+=--=x x x x x f ， 令0)('=x f ，解得驻点3,121=-=x x ， 用驻点21,x x 将函数的定义域划分为3个部分区间，列表讨论 由上表可知，当1-=x 时，函数取得极大值()1f -=-１； 当3=x 时，函数取得极小值(3)3f =． 解法二 由题设可得 )3)(1(3963)('2 -+=--=x x x x x f ，66)("-=x x f 令0)('=x f ，解得驻点3,121=-=x x ，又因为 012)1("<-=-f ，012)3(">=f 所以，当1-=x 时，函数取得极大值()1f -=1-； 当3=x 时，函数取得极小值(3)3f =． 例11 当a 为何值时，x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，并求此极值． 解 函数)(x f 在定义域内处处可导，且x x a x f 3cos cos )('+=， 由于)(x f 在3 π =x 处取得极值，所以有0)3 ('=π f ，即 0121 )33cos(3cos )3('=-=?+=a a f ππ π，得2=a ， 且3)3 3sin(313sin 2)3(=?+=π ππf ． 例12 求32)5()(x x x f ?-=在区间]3,2[-上的最值． 解 函数)(x f 在闭区间]3,2[-上连续，因而)(x f 在]3,2[-上必有最大值和最小值． 3 3323) 2(51)5(32)('x x x x x x f ?-=-+=， 令0)('=x f ，得驻点2=x ，)('x f 不存在点为0=x ，比较函数值 (2)(0)0,(2)(3)f f f f -=-==-=-知函数]3,2[)(-在x f 上最大值为0)0(=f ，最小值为347)2(-=-f ． 例13 求曲线2 1x x y -=的凹凸区间与拐点． 解 函数2 1x x y -= 的定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞， 2 22 222)1(1)1()2()1('x x x x x x y -+= --?--= 3 22422222) 1() 3(2)1()1)(2()1(2)1(2"x x x x x x x x x y -+=-+-?---= 令0"=y ，得 0=x ， 用点1,0,1x =-将函数的定义域划分为４个部分区间，列表讨论 由表可见，在区间)1,(--∞，)1,0(内曲线为凹的，在区间)0,1(-，),1(+∞内曲线为凸的，点)0,0(为拐点． 例14 已知曲线cx bx ax y ++=2 3 上点)2,1(处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求出该曲线方程． 解 由cx bx ax y ++=2 3 ，得 c bx ax y ++=23'2 ，b ax y 26"+= 根据题意得 2|1=++==c b a y x 023|'1=++==c b a y x 02|"0===b y x 解得3,0,1==-=c b a 所以，该曲线方程为x x y 33 +-=． 例15 求下列曲线的渐近线 (1)2312+--=x x x y ； (2)2 x y e -=； (3)3 4)1(x x y +=． 解 (1) 因为02 31 lim 2=+--∞→x x x x ，所以，0=y 为水平渐近线， 又因 ∞=+--→2 31 lim 2 2x x x x ，所以，曲线有垂直渐近线2=x ． (2) 因为2 lim 0x x e →∞ =， 所以，0y =为曲线的水平渐近线． (3) 因为∞=+-→3 4 1)1(lim x x x ，所以，曲线有垂直渐近线1-=x ； 又因为 1)1(lim 34 =?+∞→x x x x =-+∞→])1([lim 34x x x x =++-∞→334)1()1(lim x x x x x 2324)1() 331(lim x x x x x x x ++++-∞→ 3) 1(33lim 323-=+---=∞→x x x x x 所以，3-=x y 为曲线的斜渐近线． 说明: 曲线)(x f y =渐近线的确定： (1) 水平渐近线 若c x f x =∞ →)(lim ，则直线c y =是曲线)(x f y =的水平渐近线． (2) 垂直渐近线 若∞=→)(lim 0 x f x x ，则直线0x x =是曲线)(x f y =的垂直渐近线． (3) 斜渐近线 若a x x f x =∞ →) (lim ，b ax x f x =-∞→])([lim 存在， 则直线b ax y +=是直线)(x f y =的斜渐近线． 例16 描绘函数2 211)(x x x f -+ =的图形． 解 依据描绘函数图形的六个步骤进行． 第一步 函数2 211)(x x x f -+ =的定义域为),0()0,(+∞?-∞， 经验证不具备奇偶性与周期性． 第二步 求出一阶导数3 ) 1(2)('x x x f -= ，令0)('=x f 得驻点,11=x 求出二阶导数4 )23(2)("x x x f -=，令0)("=x f 得,23 2=x 第三步 用点,11=x ,2 3 2=x 将函数的定义域划分为4个部分区间， 列表分析函数)(x f 的单调性、极值、凹凸性和拐点． 第四步 因+∞==→∞ →)(lim ,1)(lim 0 x f x f x x ，所以该曲线有水平渐近线1=y 和垂直渐近线0=x ． 第五步 点)0,1()9 1,23( 12 1== ， 4|1=-=x y ，4|2=-=x y ，以利图形描绘． 第六步 根据以上信息做出函数的图形． 说明: 作函数图形的基本步骤： (1) (2) 求)('x f ，)("x f ，讨论函数单调性、凹凸性及极值点、拐点； (3) 确定曲线的渐近线； (4) 补充适当点(与坐标轴相交的点)的坐标，描点画图． 例17 有一块宽为a 2的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起相同的高度，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为x ，问高x 取何值时水槽的流量最大(流量与横截面积成正比)． 解 根据题意得该水槽的横截面积为 )(2)(x a x x s -= (a x <<0)， 由于,42)('x a x s -=所以令,0)('=x s 得)(x s 的唯一驻点2 a x = ． 又因为铁皮的两边折得过大或过小，都会使横截面积变小，这说明该问题一定存在着最大值，所以，2 a x = 就是我们要求得使流量最大的高． 例18 已知某商品的成本函数为4 100)(2 q q C +=，求出产量10=q 时的总成本、平均成本、边际成 本并解释其经济意义． 解 4 100)(2 q q C += 总成本 1254 10100)10(2 =+=C 平均成本函数 4 100)()(q q q q C q C +== 平均成本 5.124 1010100)10(=+= C 边际成本 2 )'4100()('2q q q C MC =+== 当10=q 时，边际成本52 10 )10(== MC 即当产量为10个单位时，每多生产1个单位产品需要增加5个单位成本．因为)10()10(MC C >，应继续提高产量． 例19 某商品需求函数为122 Q p =-)240(< (2) p 为何值时，需求为高弹性或低弹性？ (3) 当6=p 时的需求弹性，并解释其经济意义． (4) 当6=p 时，价格上涨1%，总收益如何变化？ 解 (1) 因为122 Q p =- ，所以12d Q dp =-， 1()121222 4 P p d p p E Q Q dp p p = ?=-?-= - (2) 令1P E <，即 24 1p p -<，即12 令1P E >，即 24 1p p ->，即12>p , 故 当2412< (3) 当6=p 时的需求弹性为 666 ||0.338 241P p p p p E === ==--- 说明: 当6=p 时，需求变动幅度小于价格变动的幅度，即6=p 时，价格上涨1%， 需求减少0．33%，或者说当价格下降1%时，需求将增加0．33%． (4) 当6=p 时，由于118 3 |6<==p P E ，故当价格上涨1%，其总收益会增加． 另外，由于总收益22 1 12p p pD R T -==，于是总收益的弹性函数是 p p p p p p R p dp dR E T T P R T --= - ?-=?= 24) 12(22 112)12(2 从而当6=p 时，总收益的弹性是 67.03 2 |24)12(2|66≈=--= ==p p P R p p E T ， 说明当6=p 时，价格上涨1%，总收益将增加0．67%． 例20 某个体户以每条10元的进价购一批牛仔裤，假设此牛仔裤的需求函数为P Q 240-=，问该个体户获得最大利润的销售价是多少？ 解 将总利润函数L 表示为p 的函数 400602)240(10)240(10)()()(2-+-=---=-=-=p p p p p q pq p C p R p L 604)('+-=p p L 令 0)('=p L ，得15=p 驻点唯一, 且 04)("<-=p L , 故 15=p 为唯一极大值点． 因此当销售价为15元/条时获得最大利润． 例21 某厂生产摄影机，年产量1000台，每台成本800元，每一季度每台摄影机的库存费是成本的5%，工厂分批生产，每次生产准备费为5000元，市场对产品一致需求，不许缺货，试确定一年最小费用开支时的生产批量及最小费用． 分析: 此问题是经济批量及存货总费用最小问题，属于“成批到货，一致需求，不许缺货”的库存模型．所谓“成批到货”就是工厂生产的每批产品，先整批存入仓库；“一致需求”，就是市场对这种产品的需求在单位时间内数量相同，因而产品由仓库均匀提取投放市场；“不许缺货”就是当前一批产品由仓库提取完后，下一批产品立刻进入仓库．在这种假设下，规定仓库的平均库存量为每批产量的一半． 设在一个计划期内 (1) 工厂生产总量为D ； (2) 分批投产，每次投产数量，即批量为Q ； (3) 每批生产准备费为1C ； (4) 每批产品的库存费为2C ，且按批量的一半即2 Q 收取库存费； (5) 存货总费用是生产准备费与库存费之和，记为E ． 依题设，库存费=每件产品的库存费×批量的一半=2 2Q C ? 生产准备费=每批生产准备费×生产批数=Q D C ? 1 于是，总费用函数为212 )(C Q C Q D Q E E += = 02)('21 2 =+- =C C Q D Q E 变形 2 21Q C Q D C = (使库存费与生产准备费相等的批量是经济批量) 解得 经济批量2 102C D C Q = 02)("3 1>= Q D C Q E 故此时总费用最小，其值为210 2010 22C DC Q C Q D C E =+=. 解 由题设知台1000=D ，元50001=C ，每年每台库存费用 1604%58002=??=C (元) 库存总费用E 与每批生产台数Q 的关系 Q Q E E E 2 160 5000100021+?= += 一年最小费用开支时的生产批量是经济批量 250160 5000 1000222 10=??== C D C Q (台) 一年最小库存总费用 40000250 5000 10002250160202010=?+?=+= Q C Q D C E (元) 或400001605000100022210=???==C DC E (元) 四、复习题三 1． 函数)1ln(x y +=在)1,0(上是否满足拉格朗日中值定理的条件，若满足试求出定理中的ξ值． 2． 求出下列极限 (1)8421612lim 233 2+--+-→x x x x x x ； (2)x x x 1 arctan 2lim -+∞ →π ； (3)x x e x 20 1lim -+ →； (4)x x x )11(lim 0++→； (5))111(lim 0--→x x e x ； (6)x x x x x sin tan lim 2 0-→；(7)3sin 0lim x e e x x x -→； (8))tan (sec lim 2 x x x -→ π ； (9)2 1 lim (1)x x x e x -→+∞ +； (10)) 1(sin lim 20 --→x x e x x x ． 3． 证明：当0x > 时，有不等式( ln x +> 4． 证明：方程x x -=1tan 在)1,0(内的根是唯一的． 5． 要造一个容积为V 的圆柱形密闭容器,问底半径r 和高h 为何值时,使表面积最小. 6． 求下列函数的单调区间及极值: (1)3 2)1()(x x x f -=； (2)2156)(2 3+--=x x x x f ． 7． 求下列函数的凹凸区间及拐点: (1)2 3) 1(-=x x y ； (2)x xe y -=． 8． 设曲线12 3 +++=cx bx ax y 在1=x 处有极小值-1，且有拐点)1,0(，试确定常数c b a ,,的值． 9． 一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金每套定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会有一套公寓租不出去，而租出去的公寓每套每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少时可获最大利润，最大利润是多少？ 10． 某公司生产成本的一个合理而实际的模型由短期库柏—道格拉斯成本曲线252)(2 1+-=q q C 给出．假设当平均成本等于边际成本时，平均成本取极小值，求q 取何值时，平均成本取得极小值？ 11． 设某商品的需求函数为p e Q 4 3-= ，求 (1)需求弹性函数． (2)当4,3 4 , 1=p 时的需求弹性，并解释其经济意义． 五、复习题三答案 1． 1 1ln 2 ξ=- 2．(1)23； (2)1； (3)12 -; (4) 1; (5)21； (6) 3 1 (提示 利用无穷小量代换x x ~sin )； (7)6 1 (提示 =-+-→3sin sin sin 0lim x e e x x x x x =--→3sin sin 0)1(lim x e e x x x x 2sin 03)cos 1(lim x e x x x x -→-)； (8)0；(9)2 1 -e (提示 =?+-+∞→x x x e x 2)11(lim ??→?=-++∞→x t x x x x e 1)11ln(lim 2令2 0)1ln(lim t t t t e -+→)； (10) 61 (提示 利用无穷小量代换x e x ~1-， 原式==-→2 03cos 1lim x x x 616sin lim 0=→x x x )． 3．提示: 方法一利用拉格朗日中值定理证明．设()(ln f x x =， ()f x 在()0,+∞上连续可导，任取0x >，()f x 在()0,x 上满足拉格朗日中值定理的条件， ()() 00,f f x '== + = ， 存在()0,,x ξ∈ 使( )ln 00x x -= -， 由0x ξ<< ，得( ln x +> 方法二利用函数单调性证明.作辅助函数( )( ln F x x =+，在[0,)+∞上连续可导， ( )()3 2221F x x x -??'=-+??＝()2322 01x x >+为单调增加函数，当0x >时，()()0F x F >=0, 即( ln x > 4．提示：由零点定理证得x x -=1tan 在)1,0(内有根， 01sec )'1(tan )('2>+=+-=x x x x F ，故)(x F 在)1,0(内严格单调增加， 故方程x x -=1tan 在)1,0(内的根是唯一的． 5．设表面积为A,则2 22,A r rh ππ=+又2 V r h π=,即2V h r π= ,2 22V A r r π=+ ()0,r ∈+∞ ,因为322 2424V r V A r r r ππ-'=-=令0A '=, 得唯一驻点r =所以 当r = 2V h r π==,表面积最小. 6．(1)单调增加区间),52 []0,(+∞?-∞；单调递减区间]5 2,0[； 极大值0)0(=f ； 极小值325 4 53)52(- =f ． (2)单调增加区间),5[]1,(+∞?--∞；单调递减区间]5,1[-； 极大值10)1(=-f ；极小值98)5(-=f ． 7．(1)凹区间),1()1,0(+∞?；凸区间)0,(-∞；拐点)0,0( (2)凹区间),2(+∞；凸区间)2,(-∞；拐点)2,2(2 -e 8．3,0,1-===c b a ； 9．提示：设每套租金为x ，总利润为y 总利润)14000007200(100 1 )200)(100200050(2-+-=--- =x x x x y )72002(1001'+-=x y 令0'=y ，得3500=x 且050 1"<-=y 即 3500=x 是y 达到最大值的点，最大利润112000=y 元． 10．提示:平均成本1 2()25 2C q q q q -=-+； 边际成本21 )('--=q q C 由 )(') (q C q q C = 得625=q 11．3 4 p EQ E P Ep P Q =-= 当1=p 时,3 14 p E =<，需求为低弹性; 当3 4 = p 时,1p E =，需求为单位弹性； 当4=p 时,31p E =>，需求为高弹性． 六、自测题三 (一)填空题(每小题2分，共20分) 1．32)(2 --=x x x f 在]2 3,1[-上满足罗尔中值定理的=ξ ； 2．函数)1ln()(+=x x f 在]1,0[上满足拉格朗日中值定理的=ξ ； 3． 函数x x x f cos 2)(-=在区间 内是单调增加的; 4．曲线3 5)2(-=x y 的凸区间为__________________________________; 5．曲线3 352x x y -+=的拐点是______________________________________; 6． 曲线1 22 -=x x y 有水平渐近线 ，垂直渐近线___________________; 7． 函数)(x f =12+x 在[0，4]上的最大值是 ，最小值是______________; 8． 当4=x 时，函数q px x y ++=2 取得极值，则p = ; 9． 若点(1，3)是曲线2 3bx ax y +=的拐点，则a = ，b = ; 10．总成本函数,10001001.0)(2++=x x x C 则边际成本为 ______. (二)单选题(每小题3分，共15分) 1．函数)(x f 有连续二阶导数且2)0(",1)0(',0)0(-===f f f ，则2 )(lim x x x f x -→= ( ) A ．不存在； B ．0 ； C ．-1 ； D ．-2． 2． 设函数)(x f 在),(b a 内连续，),(0b a x ∈，0)(")('00==x f x f ，则)(x f 在0=x 处 ( ) A ．取得极大值； B ．取得极小值 ； C ．一定有拐点))(,(00x f x ； D ．可能取得极值，也可能有拐点． 3． 函数)(x f 在0x 处取得极值，则必有 ( ) A ． 0)('=x f ； B ． 0)(" C ． 0)('=x f ，0)(" D ． 0)('=x f 或)('x f 不存在． 4．曲线3 2)2(2 -+=x x y 的渐近线有 ( ) A ．一条； B ．2条 ； C ．3条 ； D ．0条． 5．方程0133 =+-x x 在区间),(+∞-∞内有 ( ) A ．无实根； B ．有唯一实根； C ．有两个实根； D ．有三个实根． (三)求下列极限(每小题6分，共24分) 1．) 1ln(arctan lim 3 1 x x x x +-→； 2． x x x ln lim 5 0+→； 3． )]1ln(1 1[lim 20x x x x -+→； 4． x x x ln 1 0)(cot lim +→． (四)证明题(11分) 1．证明不等式)0(1>+>x x e x ；(5分) 2．证明方程015 =-+x x 只有一个正根．(6分) (五)应用题(每小题10分，共30分) 1．求函数12 3 +--=x x x y 的单调区间、极值及凹凸区间、拐点． 2．在周长为定值l 的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形面积最大？ 3．某商品的需求函数为2 75)(p p Q -=(p 为价格) （1） 求4=p 的边际需求． （2） 求4=p 时需求价格的弹性，并说明经济意义． （3） 当p 为多少时，总收益最大？最大值时多少？ 七、自测题三答案 (一)1． 41； 2．12 ln 1-； 3．),(+∞-∞； 4． )2,(-∞ 5．)2,0(； 6．1,1±==x y ； 7．3，1； 8．-8； 9．2 9 ,23- ； 10．1002.0)('+=x x C ． (二)1．C ； 2．D ； 3．D ； 4．B ； 5．D ． (三)1． 14ln 2 π - 2．0； 3．21-； 4． e 1． (四)1．证：设x e x f x --=1)(，在),0(+∞内连续，且01)('>-=x e x f ， )(x f 在),0(+∞内单调增加，0)0()(=>f x f ，即01>--x e x ，得证． 2．提示：设()51f x x x =+-由零点定理证得()f x 在)1,0(内至少存在一点ξ，使得 ()510f ξξξ=+-=， 再由4()510f x x '=+>，()f x 在()0,+∞内严格单调增加，故方程015 =-+x x 只有一个正根． (五)1．单调递增区间为),1()31 ,(+∞?--∞；单调递减区间为)1,3 1(-； 极大值13 32| 27x y =- =；极小值0|1==x y ；凹区间为),31(+∞；凸区间为)31,(-∞；拐点)27 16,31(． 2．设扇形半径为x ，弧长为x l 2-，扇形面积1(2)2y x l x = -，1 '22 y x l =-+， 令0'=y ，得驻点4l x =，唯一驻点 ，且"20y =-<，故4 l x =为极大值点， 所以，当4 l x =时，扇形面积最大，最大面积为216l y =． 3．(1) 8|2|44-=-===p p p dp dQ (2)75 22 2 -=?=p p dp dQ Q p Ep EQ ， 54.0|4-≈=p Ep EQ 说明若价格由4=p 上涨1%，则需求量减少0．54%． (3)375R pQ p p ==-，2 375'p R -= ，令0'=R ，得5=p ， 030|6"5<-=-==p p R ，所以 5=p 时总收益最大，最大值为250|5==p R ． 一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题 求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限， ● 极限x x e lim 1 →， x x sin lim x 0 →，x tan lim x 2 π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1 0→都不存在， ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?，e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?，A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义：如果1=α β lim ，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα ● 当0→)x (?时，)x (sin ?∽)x (?，11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限 设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明 数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递 增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0；6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： (A) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在，则(0)f '存 在 【 】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断 二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目 设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数，且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义： ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→ 2020年考研数学大纲考点：一元函数微分学 在研究生入学考试中，高等数学是数一、数二、数三考试的公共 内容。数一、数三均占56%(总分150分)，考察4个选择题(每题4分，共16分)、4个填空题(每题4分，共16分)、5个解答题(总分50分)。数二不考概率论，高数占78%，考察6个选择题(每题4分，共24分)、4个填空题(每题5分，共20分)、7个解答题(总分72分)。由高数所 占比例易知，高数是考研数学的重头戏，所以一直流传着“得高数者 得数学。”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元 函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷 级数等七个模块，在梳理分析函数、极限与连续的基础上，继续梳理 对一元函数微分学，希望对学员有所协助。 一元函数微分学包含导数与微分、微分中值定理、导数应用三方 面内容。 1、考试内容 (1)导数和微分的概念；(2)导数的几何意义和物理意义；(3)函数 的可导性与连续性之间的关系；(4)平面曲线的切线和法线；(5)导数 和微分的四则运算(6)基本初等函数的导数；(7)复合函数、反函数、 隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；(8)高阶导数；(9)一阶 微分形式的不变性；(10)微分中值定理；(11)洛必达(L’Hospital)法则；(12)函数单调性的判别；(12)函数的极值；(13)函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；(14)函数图形的描绘；(15)函数的值和最小值；(16)弧微分、曲率的概念；(17)曲率圆与曲率半径(其中16、17只要 求数一、数二考试掌握，数三考试不要求)。 2、考试要求 (1)理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的 几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性 与连续性之间的关系；(2)了解导数的物理意义，会用导数描述一些物 第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左 高等数学教案—一元函数微分学的应用 课 时 授 课 计 划 第一课时 教学过程及授课内容 教学过程 一、柯西中值定理 定理1（柯西中值定理）如果函数)(x f 与 )(x F 满足下列条件：(1)闭区间 ],[b a 上连续； (2)在开区间),(b a 内可导； (3))('x F 在),(b a 内的每一点均不为零，那么，在),(b a 内至少有一点ξ，使得 二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为00型或 ∞ ∞ 型不定式(也称为 0型或∞∞ 型未定型)的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的 极限方法． 定理2 (洛必达法则)若(1)0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x g x x ； (2))(x f 与)(x g 在0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)('≠x g ； (3)A x g x f x x =''→) () (lim 0(A 为有限数，也可为∞+或∞-)，则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→) () (lim )()(lim 00 证 由于我们要讨论的是函数在点0x 的极限，而极限与函数在点0x 的值无关，所以我们可补充)(x f 与)(x g 在0x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响。令0)()(00==x g x f ，则)(x f 与)(x g 在点0x 就连续了．在0x 附近任取一点x ，并应用柯西中值定理，得 .f(b)f(a)f ( )F(b)F(a)F () ξξ'-='- ) () ()()()()()()(00ξξg f x g x g x f x f x g x f ''=--= (ξ在x 与0x 之间) . 由于0x x →时，0x ξ→，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕． 注：上述定理对∞→x 时的0 未定型同样适用，对于0x x →或∞→x 时的未定型 ∞ ∞ ，也有相应的法则． 例1 求1 2 3lim 2331+--+-→x x x x x x ． 解 123lim 2331+--+-→x x x x x x =12333lim 221---→x x x x =266lim 1-→x x x =46=2 3． 例2求x x x tan cos 1lim π+→． 解 x x x tan cos 1lim π+→=x x x 2πcos 1sin lim -→=0． 例3 求 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π 解 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π =221 11 lim x x x -+- +∞ →=22 1lim x x x ++∞→=1． 除未定型 00与∞ ∞ 之外，还有00,1,0,,0∞∞-∞∞?∞等未定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就∞-∞未定型再举一例． 例5 求??? ? ?--→x x x x ln 11lim 1． 解 这是∞-∞未定型，通过“通分”将其化为 未定型． x x x x x x x x x x ln )1()1(ln lim ln 11lim 11---=??? ??--→→x x x x x x x 1ln 1 ln 1 lim 1-+ -+=→ 第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x 数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。 5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。 第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤ 一元函数积分学的应用 一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态，一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。 一元积分主要分为不定积分 ?dx x f )(和定积分? b a dx x f )(。化为函数 图像具体来说，不定积分是已知导数求原函数，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C 的导数也是f(x)（C 是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积，可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间，所以本文主要研究定积分的各种应用。 积分的应用十分巧妙便捷，能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。 微元法建立积分表达式 在应用微积分于实际问题时，首先要建立积分表达式，一般情况下，只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述（以下的讨论都是建立在这两个条件下，因此不再提示此条件）。 而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。其分为两个步骤：（1）任意分割区间[]b a ,为若干子区间，任取一个子区间[]dx x x +,，求Q 在该区间上局部量的Q ?的近似值dx x f dQ )(=；（2）以dx x f )(为被积式，在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值 ??==b a b a dx x f dQ Q )(。（分割，近似，求和，取极限） 在实际应用中，通过在子区间],[dx x x +上以“匀”代“非匀”或者把子区间],[dx x x +近似看成一点，用乘法所求得的近似值就可以作为Q ?所需要的近似值，即为所寻求的积分微元dx x f dQ )(= 。 定积分在几何中的应用 在几何中，定积分主要应用于平面图形的面积、平面曲线的弧长、已知平行截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积。下面我们来分类讨论： 一、 平面图形的面积 求图形面积是定积分最基本的应用，因为定积分的几何意义就是在给定区间内函数曲线与x 轴所围成图形的面积。而求面积时会出现两种情况：直角坐标情形和极坐标情形。 1、直角坐标情形 在求简单曲边图形（能让函数图像与之重合）的面时只要建立合适的直角坐标系，再使用微元法建立积分表达式，运用微积分基本公式计算定积分，便可求出平面图形的面积。如设曲 y O 第九章多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社 第八章 多元函数微分法及其应用 第一讲 多元函数的基本概念 授课题目： §8.1多元函数的基本概念 教学目的与要求： 1、理解多元函数的概念． 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质． 教学重点与难点： 重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容： 一、平面点集 n 维空间 1、平面点集 平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即 R 2=R ?R={(x , y )：x , y ∈R } 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作 E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }. 例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C ={(x , y )：x 2+y 2 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U ．. 点与点集之间的关系： 任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种： （1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点． （2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点． （3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点． E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E ． E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ． （4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点． 由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ． 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1 [考研类试卷]考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 (1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是( ) （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 2 (1999年)设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( ) （A）极限不存在 （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导 3 (2001年)设f(0)=0，则f(x)在点x=0可导的充要条件为( ) 4 (2004年)设函数f(x)连续，且f′(0)＞0，则存在δ＞0使得( ) （A）f(x)在(0，δ)内单调增加 （B）f(x)在(一δ，0)内单调减少 （C）对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0) （D）对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0) 5 (2005年)设函数则f(x)在(一∞，+∞)内( ) （A）处处可导 （B）恰有一个不可导点 （C）恰有两个不可导点 （D）至少有三个不可导点 6 (2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在X0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( ) （A）0＜dy＜△y （B）0＜△y＜dy （C）△y＜dy＜0 （D）dy＜△y＜0 7 (2007年)设函数f(x)在x=0连续，则下列命题错误的是( ) 8 (1998年)设f(x)连续，则 （A）xf(x2) （B）一xf(x2) （C）2xf(x2) （D）一2xf(x2) 9 (2008年)设函数则f′(x)的零点个数为( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 10 (2000年)设f(x)，g(x)是恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)一f(x)g′(x)<0，则当a ＜x＜b时，有( ) （A）f(x)g(b)＞f(b)g(x) （B）f(x)g(a)＞f(a)g(x) （C）f(x)g(x)＞f(b)g(b) （D）f(x)g(x)＞f(a)g(a) 第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞∞或00型，) ()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算： 基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法 一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质） 第二部分 一元函数微分学 [选择题］ 容易题 1—39，中等题40—106，难题107-135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=?,则当0→h 时，必有（ ) （A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 （C) y d 是比h 高阶的无穷小量。 (D ） y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 )(x f 的（ ) （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点. (C ）可导的点,且0)0(='f . （D ）可导的点，但0)0(≠'f . 答C 6．设函数f(x ）定义在［a ，b]上,判断何者正确？( ） （A ）f(x ）可导,则f （x ）连续 (B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C)f （x ）连续，则f （x)可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x ）定义在［a ，b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A)0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f （x)定义在[a ，b ］上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） (A)0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 (C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f =)(，其定义域是0≥x ,其导数的定义域是（ ) （A ）0≥x 一元函数积分学在经济中的应用 一、导数在经济分析中的应用 （一）边际成本 总成本函数的导数称为边际成本。 边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数，用以判断增减产量在经济上是否合算。它是在管理会计和经营决策中常用的名词。当产量未达到一定限度时，边际成本随产量的扩大而递减，但当产量超越一定限度时，就转而递增。因此，当增加一个单位产量所增加的收入高于边际成本时，是合算的；反之，是不合算的。因此计算边际成本等于边际收入时，为企业获得其最大利润的产量。通过确定边际成本来提供经营决策所需资料的成本决策，称为边际成本计算。在实际工作中，边际成本计算常只按变动成本计算。 （二）边际收益 总收益函数的导数称为边际收益。 它表示销售一个单位产品后，再销售一个单位的产品所增加的收益。它可以是正值或负值。边际收益是厂商分析中的重要概念。利润最大化的一个必要条件是边际收益等于边际成本。在完全竞争条件下，任何厂商的产量变化都不会影响价格水平，需求弹性对个别厂商来说是无限的，总收益随销售量增加同比例增加，边际收益等于平均收益，等于价格。在非完全竞争）条件下，厂商的销售量同价格成反比。如果需求弹性大于1，即售量的增加的百分比，快于价格降低的百分比，总收益随销售量增加而增加，尽管不是同比例增加，平均收益下降，边际收益为零；如果需求弹性小于1，这时总收益随销售量增加而减少，平均收益更快下降，边际收益为负数。 （三）边际利润 总利润函数的导数称为边际利润。它表示：若已经生产了x个单位的产品，再生产多一个单位的产品总利润的增加量。 边际利润是反映增加产品的销售量能为企业增加的收益。销售单价扣除边际成本即为边际利润，边际利润是指增加单位产量所增加的利润。企业的经营收益减去会计成本，所得到的就是会计利润。按照我国的财会制度，有销售利润、利润总额及税后利润等概念。销售利润是销售收入扣除成本、费用和各种流转税及附加费后的余额；利润总额是企业在一定时期内实现盈亏的总额；税后利润是企业利润总额扣除应缴所得税后的利润。 一般情况下，总利润函数等于总收益函数与总成本函数之差，则边际利润是边际收益与边际成本之差。 二、函数在经济学中的应用。 需求函数。在经济管理中，需求函数是用来表示一种商品的需求数量和影响该需求数量的各种因素之间的相互关系的。也就是说，影响需求数量的各种因素是自变量，需求数量是因变量。需求函数是单调减少函数。 供给函数。供给函数表示一种商品的供给量和该商品的价格之间存在着一一对应的关系。 均衡价格。均衡价格是指一种商品的需求价格和供给价格相一致时的价格，也就是这种商品的市场需求曲线与市场供给曲线相交时的价格。 一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 0x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？ 第二章一元函数微分学 S.1导数与微分 (甲)内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义 设函数y f(x)在点χo 的某领域内有定义，自变量 X 在X o 处有增量 X ,相应地函数 增量y f(x o X ) f (X O ) 。如果极限 存在，则称此极限值为函数 f (X )在X o 处的导数(也称微商)，记作f (X o ),或y X 冷， dy ∣ X X 0 ，df(X) X X 0 等，并称函数y f(χ)在点X o 处可导。如果上面的极限不存在，则 dX dx 称函数y f (x)在点x 0处不可导。 导数定义的另一等价形式，令X X 0 X ， X X X 0 ，则 f (X o ) Iim f(X) f (X O ) X xo X X o 我们也引进单侧导数概念。 右导数： f (x o ) Iim f (X) f (X O ) Iim f (X O X) f (X O ) X X D XX O X O X 左导数： f (X) f(X o ) 1 ? f (X o x) f(X o ) f (x o ) Iim Iim X X D XX O X o X 则有 f (X)在点X o 处可导 f (X)在点X o 处左、右导数皆存在且相等。 2. 导数的几何意义与物理意义 如果函数y f (X)在点X o 处导数f (X o )存在，则在几何上 f (X o )表示曲线y f (X) 在点(X o , f ( X O ) )处的切线的斜率 切线方程：y f (x o ) f (X O )(X x o ) Iim -y lim f(X o X ) f(X o ) X X 《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求20)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim 2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy . 5.若函数)(x f 可导，)(sin 2x f y =则 dx dy 为多少？ 6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ，b 使函数? ??>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 12.设函数x x x y ?? ? ??+=1，求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23，求22dx y d . 14.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求() 1,1dx dy . 16.求椭圆442 2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2 3bx ax y +=的拐点，求b a ,. [考研类试卷]考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 6 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 函数F(x)=∫x x+2πf(t)dt，其中f(t)=(1+sin2t)cos2t，则F(x) （A）为正数． （B）为负数． （C）恒为零． （D）不是常数． 2 设常数α＞0，，则 （A）I1＞I2． （B）I1＜I2． （C）I1=I2． （D）I1与I2的大小与α的取值有关． 二、填空题 3 若f(x)的导函数是sinx，则f(x)的原函数是________． 4 =________． 5 =________． 6 设y=f(x)满足△y=△x+o(△x)，且f(0)=0，则∫01f(x)dx=________． 7 =________． 三、解答题 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 8 n为自然数，证明： 9 求下列不定积分： 10 求I n=sin n xdx和J n=cos n xdx，n=0，1，2，3，…． 11 求下列定积分：(Ⅰ) I=(Ⅱ) J=sin2xarctane x dx． 12 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点P(1，2)，且在该点与圆 相切，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数a，b，c． 13 在x轴上有一线密度为常数μ，长度为l的细杆，在杆的延长线上离杆右端为a 处有一质量为m的质点P，求证：质点与杆间的引力为F=(M为杆的质量)． 14 计算下列不定积分： 15 假定所涉及的反常积分(广义积分)收敛，证明：∫－∞＋∞f(x－)dx=∫－∞＋∞f(x)dx． (*) 16 设f(x)=∫0x dt，求f'(x)． 17 求曲线r=的全长． 18 求由曲线F：x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)及y=0所围图形绕Ox轴旋转所成立体的体积． 19 求由曲线x2=ay与y2=ax(a＞0)所围平面图形的质心(形心)(如图 3．34)． 20 设f(x)在(－∞，+∞)连续，以T为周期，令F(x)=∫0x f(t)dt，求证：(Ⅰ)F(x)一定能表示成：F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数； (Ⅱ)(Ⅲ)若又有f(x)≥0(x∈(－∞，+∞))，凡为自然 数，则当nT≤x＜(n+1)T时，有n∫0T f(x)dx≤∫0x f(t)dt＜(n+1)∫0T f(x)dx． 21 求一元函数微分学典型例题
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高数多元函数微分学教案 第一讲 多元函数的基本概念
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