高等数学教案—一元函数微分学的应用
课 时 授 课 计 划
第一课时
教学过程及授课内容 教学过程
一、柯西中值定理
定理1（柯西中值定理）如果函数)(x f 与 )(x F 满足下列条件：(1)闭区间
],[b a 上连续；
(2)在开区间),(b a 内可导；
(3))('x F 在),(b a 内的每一点均不为零，那么，在),(b a 内至少有一点ξ，使得
二、洛必达法则
把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为00型或 ∞
∞
型不定式(也称为
0型或∞∞
型未定型)的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的
极限方法．
定理2 (洛必达法则)若(1)0)(lim 0
=→x f x x ，0)(lim 0
=→x g x x ；
(2))(x f 与)(x g 在0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)('≠x g ；
(3)A x g x f x x =''→)
()
(lim
0(A 为有限数，也可为∞+或∞-)，则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→)
()
(lim )()(lim
00
证 由于我们要讨论的是函数在点0x 的极限，而极限与函数在点0x 的值无关，所以我们可补充)(x f 与)(x g 在0x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响。令0)()(00==x g x f ，则)(x f 与)(x g 在点0x 就连续了．在0x 附近任取一点x ，并应用柯西中值定理，得
.f(b)f(a)f (
)F(b)F(a)F ()
ξξ'-='-
)
()
()()()()()()(00ξξg f x g x g x f x f x g x f ''=--= (ξ在x 与0x 之间) . 由于0x x →时，0x ξ→，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕．
注：上述定理对∞→x 时的0
未定型同样适用，对于0x x →或∞→x 时的未定型
∞
∞
，也有相应的法则． 例1 求1
2
3lim 2331+--+-→x x x x x x ．
解 123lim 2331+--+-→x x x x x x =12333lim 221---→x x x x =266lim
1-→x x
x =46=2
3． 例2求x x
x tan cos 1lim
π+→．
解 x
x x tan cos 1lim π+→=x x
x 2πcos 1sin lim -→=0．
例3 求 x x x 1arctan 2
lim -+∞
→π
解 x
x x 1arctan 2
lim -+∞
→π
=221
11
lim
x
x x -+-
+∞
→=22
1lim x x x ++∞→=1．
除未定型
00与∞
∞
之外，还有00,1,0,,0∞∞-∞∞⋅∞等未定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就∞-∞未定型再举一例．
例5 求⎪⎭⎫ ⎝
⎛--→x x x x ln 11lim 1． 解 这是∞-∞未定型，通过“通分”将其化为
未定型． x x x x x x x x
x x ln )1()1(ln lim ln 11lim 11---=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→x
x x x x x x 1ln 1
ln 1
lim 1-+
-+=→
x x x x ln 11ln lim
1+-=→21
111
lim 21=+=→x
x x
x .
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
(1)每次使用法则前，必须检验是否属于00或∞
∞
未定型，若不是未定型，
就不能使用该法则；
(2)如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤； (3)当(x)
g (x)
f ''lim
不存在(不包括∞的情况)时，并不能断定g(x)
f(x)
lim 也不存在，此时应使用其他方法求极限．
三、课堂练习 思考题 . 习作题
思考题答案
1．法则的三个条件必须同时满足．
2．不一定 （提示：画出一条曲线段，使其上任意一点处切线均不与两
端点连线平行
习作题答案
1．①2; ②1; ③1; ④1-．
2．①1; ②e （提示：利用对数恒等式得)1ln(1
1ln e
)1(,e x x
x x
x x
x x +=+=）．
3．1-． 四、小结
1. 柯西中值定理
2. 洛必达法则
五、布置作业
P86 1.（1）（2）（3）（4）（5）2.
第二课时
教学过程
一、拉格朗日中值定理
定理1 如果函数)(x f 满足下列条件：
（1）在区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导，那么，在),(b a 内至少有一点 ξ，使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ如果令a b x a x -==Δ,，则上式为
