高等数学教案--一元函数微分学的应用

一元函数微分学的基本原理与应用微分学是数学中的一个分支，主要研究函数的变化率、极值和曲线的切线等问题。

在微分学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。

本文将介绍一元函数微分学的基本原理和其应用。

一、微分的定义和基本原理微分学的基本概念之一是微分的定义。

对于一元函数 f(x)，在某一点 x0 处的微分表示为 df(x0) 或简写为 dy，可以定义为 dx 的一个无穷小变化量，即：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0) 表示在 x0 处的导数，表示函数在该点的斜率或变化率，dx 表示自变量 x 的无穷小变化量。

微分学的基本原理包括导数和微分的性质。

导数的定义如下：f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)] / Δx (当Δx 趋近于 0 时)导数可以用来描述函数的斜率，即切线的倾斜程度。

在微分学中，常用的导数表示方式有函数的导函数、差商和极限等形式。

微分的基本性质包括线性性质、乘积法则、商法则和链式法则等。

根据这些性质，可以对各种类型的函数进行微分运算，进而得到函数的导数和微分。

二、应用举例：极值问题和曲线的切线微分学的应用非常广泛，以下是两个常见的应用例子：极值问题和曲线的切线。

1. 极值问题：求解一个函数的最大值和最小值。

通过对函数的微分，可以得到导数为零的点或导数不存在的点，并进行求解。

对于一元函数 f(x)，当导数 f'(x) 的值为零或不存在时，函数在该点可能取得极值。

举例来说，若给定函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，我们可以求解 f'(x) = 2x - 4，令导数等于零得到 2x - 4 = 0，解得 x = 2。

然后，通过二阶导数的符号判断该点是否是极值点。

若 f''(x) > 0，则 x = 2 是函数的极小值点；若 f''(x) < 0，则 x = 2 是函数的极大值点。

第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。

如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。

如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。

右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。

2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。

切线方程：000()()()y f x f x x x '-=- 法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。

第三章 一元函数微分学的应用学习指导一元函数微分学在经济等领域有着广泛的应用，微分中值定理给出了函数及其导数之间的联系，是微分学的基本定理．本章以导数为工具，以微分中值定理为理论基础，研究函数的单调性、极值、最值，函数的凹向及拐点，并应用导数解决经济中的边际、弹性及最优经济量等问题．一、教学要求1． 了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，并会应用拉格朗日中值定理证明不等式． 2． 熟练掌握洛必达法则求“00”、“∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”、“0∞”七种未定式的极限方法．3．掌握利用导数判定函数的单调性及函数单调区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式． 4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值的方法，并会求简单的几何应用问题． 5．会判定曲线的凹向，会求曲线的拐点及渐进线．6．了解常用经济函数，掌握导数在经济分析中的应用(边际分析、弹性分析最优经济量的求法)． 重点: 利用洛必达法则求未定式的极限；利用导数判定函数的单调性与极值、凹向及拐点；导数的经济应用．难点: 应用拉格朗日中值定理证明不等式；经济应用中的边际分析、弹性分析．二、学习要求1． 牢记中值定理成立的条件，并恰当引入辅助函数．2．应用洛必达法则求极限时应注意使用的条件，每次运用洛必达法则之前一定要检验是否是未定式的极限，然后转化为00或∞∞型再计算． 3．深刻理解驻点只是可导函数取得极值的必要条件，极值点可能是驻点也可能是导数不存在的点． 4．边际函数即经济函数的导数()f x '，反映的是当x 产生一个单位的改变时，()f x 改变()f x '个单位；弹性函数Ey Ex 表示当x 产生1%的改变时，y 改变Ey Ex％．在解决实际问题时，应注重结合经济实例，理解所求值的正负的含义．三、典型例题分析例1 设523)(2++=x x x f ，求)(x f 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的ξ值． 解 )(x f 为多项式函数，在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的条件，故有 ))((')()(a b f a f b f -=-ξ即 ))(26()523()523(22a b a a b b -+=++-++ξ 由此解得2ab +=ξ, 即此时ξ为区间],[b a 的中点． 例2 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式 (1) 当0a b <<时,ln b a b b ab a a--<<; (2) 当1x >时,xe e x >⋅证明 (1)设()ln f x x =,则()f x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 故至少存在一点ξ(),a b ∈,使得()()()f b f a f b aξ-'=-即ln ln 1b a b a ξ-=-,因为111b a ξ<<,所以1ln ln 1b a b b a a-<<-,整理得ln b a b b ab a a--<<,得证. (2)证法一 设()uf u e =,[]1,u x ∈,容易验证()f u 在[]1,x 上满足拉格朗日中值定理的条件. 故存在ξ()1,x ∈,使得()()()11f x f f x ξ-'=-左端()()111x f x f e e x x --=--,右端()f e e ξξ'=>,即1x e e e x ->- 整理得 当1x >时,xe e x >⋅,得证. 证法二 设()lnf u u =, []1,u x ∈容易验证()f u 在[]1,x 上满足拉格朗日中值定理的条件. 故存在ξ()1,x ∈,使得()()()11f x f f x ξ-'=-左端()()1ln 11f x f x x x -=--,右端()11f ξξ'=<,即ln 11x x <-,11ln 1,x x x x x e e e-<-<=, 整理得 当1x >时,xe e x >⋅,得证. 例3 计算下列极限：(1)xe e x x x sin lim 0-→-； (2))1ln(arctan lim 30x xx x +-→；(3)2ln limx x x →+∞； (4)xx xx x sin tan lim0--→． 解 (1) =--→x e e xx x sin lim02cos lim 0=+-→x e e x x x ； (2) =+-→)1ln(arctan lim30x x x x =⋅++-→2320311111lim x x x x 203221lim 13x x x x x →+⋅=+31)1131(lim 230=++⋅→x x x ；(3) 2ln lim x x x →+∞=1lim 2x x x→+∞=21lim 02x x →+∞=； (4) =--→x x x x x sin tan lim 0=--→x x x cos 11sec lim 20=→22021tan lim x x x 2)tan (lim 220=→xx x ．说明: 洛必达法则主要解决00，∞∞型不定式极限，在应用洛必达法则时应注意以下几点： (1) 在使用洛必达法则前，先要判断所求极限是否满足洛必达法则条件，即判断所求极限是否为0，∞∞型未定式，是这两种类型方可使用. (2) 当应用一次洛必达法则之后仍为00，∞∞型未定式时，可以继续使用洛必达法则，直到求出极限值或得出不符合法则条件时为止，使用后所得极限不存在(不包括极限为∞)时，不能肯定原极限不存在，此时洛必达法则失效，应改用其他方法求极限．(3) 使用洛必达法则求极限时，应及时对所求极限进行简化，表达式中有极限存在的因式可以暂时用极限运算法则将其分离出来，只要最终极限存在，这种处理方法就是可行的．(4) 洛必达法则应尽量和其他求极限的方法(四则运算、无穷小性质、重要极限、连续性等)结合使用，才能更好的发挥其作用．例4 计算下列极限 (1)axnx ex -+∞→lim ),0(为自然数n a >； (2))tan (sec lim 2x x x -→π；(3)xx xsin 0lim +→； (4)x x x )arctan 2(lim π+∞→； (5)xxx x 1)2(lim ++∞→．解 (1) =-+∞→axn x ex lim =+∞→ax n x e x lim =-+∞→ax n x ae nx 1lim 22(1)lim n ax x n n x a e-→+∞-=!1li 0m n axx n a e →+∞== ),0(为自然数n a >．(2) 0sin cos lim cos sin 1lim )cos sin cos 1(lim )tan (sec lim 2222=--=-=-=-→→→→x xx x x x x x x x x x x ππππ．(3) 因为xxxe xsin ln sin =，而12sin 00000ln sin lim ln lim sin ln lim lim lim csc csc cot cos xx x x x x x x xx x x x x x x x+++++-→→→→→=⋅===-- 00sin sin lim lim cos x x x x x x++→→=-⋅001=⨯-= 所以=+→xx xsin 0lim sin lim ln 001xx x ee +→==．(4) 因为2ln(arctan )2(arctan )xx xx eππ=，而πππ21arctan 1lim 111arctan 1lim 1arctan ln 2lnlim)arctan 2ln(lim 2222-=+-⋅=-+⋅=+=+∞→+∞→+∞→+∞→x x x xx x xx x x x x x x 所以 )arctan 2ln(lim )arctan 2(lim x x xx x e x ππ+∞→=+∞→＝2eπ-．(5)因为xx x xxex 1)2ln(1)2(+=+，而11ln(2)1lim ln(2)lim ln(2)lim lim (12ln 2)2x x x xxx x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++=+==⋅++ 2ln 2ln 2lim 12ln 2x x x →+∞⋅⋅=+⋅2ln )2(ln 2)2(ln 2ln 2lim 22=⋅⋅⋅=+∞→x x x 所以 ()11lim ln 2ln 2lim (2)2xxx x x xx x ee →∞+→+∞+===．说明: 对于∞-∞，0⋅∞型未定式，经过对极限表达式的适当变形可以化为00或∞∞型未定式，对于由)()(x g x f 产生的00，1∞，0∞型未定式，可以通过对)()(x g x f 取对数化为0⋅∞型未定式，然后再转化为00或∞∞型未定式计算． 例5 计算下列极限：(1) x x x x 2220sin cos 1lim -→； (2)xe x x 210lim -→； （3）3sin lim cos 2x x x x x →∞++． 解 (1) 此题用洛必达法则求解，比较繁琐．利用等价无穷小量代换x x ~sin ．再用洛必达法则更为简便．=-→x x x x 2220sin cos 1lim =-→420cos 1lim x x x =→3204sin 2lim xx x x 21sin lim 21220=→x x x ． (2) 此题若按照00型未定式，用洛必达法则计算会越算越复杂，不能解决问题．如果令11,t x x t==即，代入后将分式化为∞∞型，再用洛必达法则计算就简便得多． =-→x ex x 210lim 2t lim 1t e t -→∞=2t lim t t e →∞=2t 1lim 02t te→∞=． （3）此题虽为∞∞型，但不能用洛必达法则3sin lim cos 2x x x x x →∞++ 1x t = 0113sin l m co 2i 1s t t t t t →++013sin 1cos 21lim t t t t t→+=+12= 若用洛必达法则3sin lim cos 2x x x x x →∞++3cos 1limsin 2x x x →∞+=-+，极限不存在. 例6 设xxx f sin 1sin 1)(-+=，问(1))(lim 0x f x →是否存在？(2)能否由洛必达法则求上述极限，为什么？解 (1) =→)(lim 0x f x 10101)sin 1(lim )sin 1(lim sin 1sin 1lim 00=-+=-+=-+→→→x x x x x x x ．(2) 不能．因为此极限非00，∞∞型未定式，，不能满足洛必达法则条件． 例7 判别函数32)(x x f =的增减性． 解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，()1323f x x -'==当0=x 时，)('x f 不存在．点0=x 将定义域),(+∞-∞分成两个区间．列表如下：所以函数)(x f 在]0,(-∞内单调减少，在),0[+∞单调增加．说明: 使导数不存在的点往往也是增减区间的分界点． 例8 当0>x 时，证明)1ln(1x xx+<+． 证明 令)1ln(1)(x xxx f +-+=)0(>x 显然)(x f 在),0(+∞内连续，且22)1(11)1(1)('x xx x x f +-=+-+=当0>x 时，0)('<x f ，即)(x f 在),0(+∞内单调减少， 此时，0)0()(=<f x f ,即0)1ln(1<+-+x x x ，故)1ln(1x xx +<+． 说明: 单调性证明不等式的方法是：(1) 构造辅助函数)(x f ，即将不等式的右端(或左端)全部移到一端，再令左端(或右端)为函数)(x f ； (2) 在区间内讨论)(x f 的连续性及)('x f 符号，得到)(x f 的单调性；(3) 利用单调性定义，将)(x f 与区间内一特定点函数值(通常为区间的端点)进行比较构成所要证明的不等式．例9 证明方程1sin 21=-x x 只有一个正根． 证明 令1sin 21)(--=x x x f ，则)(x f 在),(+∞-∞内连续，且，01)(,01)0(>-=<-=ππf f根据零点存在定理知，至少存在一个),0(πξ∈，使得0)(=ξf ， 即 方程0)(=x f 在区间),0(π内至少存在一个正根． 又因为0cos 211)('>-=x x f ，所以)(x f 在区间),(+∞-∞上是单调递增的，于是断定)(x f 在区间),0(π内的根是唯一的．从而得证，方程1sin 21=-x x 只有一个正根． 例10 求函数33)(23+-=x x x f 的极值．解法一 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，)3)(1(3963)('2-+=--=x x x x x f ，令0)('=x f ，解得驻点3,121=-=x x ，用驻点21,x x 将函数的定义域划分为3个部分区间，列表讨论由上表可知，当1-=x 时，函数取得极大值()1f -=-１； 当3=x 时，函数取得极小值(3)3f =． 解法二 由题设可得)3)(1(3963)('2-+=--=x x x x x f ，66)("-=x x f 令0)('=x f ，解得驻点3,121=-=x x ，又因为 012)1("<-=-f ，012)3(">=f所以，当1-=x 时，函数取得极大值()1f -=1-；当3=x 时，函数取得极小值(3)3f =． 例11 当a 为何值时，x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值，并求此极值． 解 函数)(x f 在定义域内处处可导，且x x a x f 3cos cos )('+=， 由于)(x f 在3π=x 处取得极值，所以有0)3('=πf ，即0121)33cos(3cos)3('=-=⋅+=a a f πππ，得2=a ，且3)33sin(313sin 2)3(=⋅+=πππf ．例12 求32)5()(x x x f ⋅-=在区间]3,2[-上的最值．解 函数)(x f 在闭区间]3,2[-上连续，因而)(x f 在]3,2[-上必有最大值和最小值．33323)2(51)5(32)('xx x x x x f ⋅-=-+=，令0)('=x f ，得驻点2=x ，)('x f 不存在点为0=x ，比较函数值(2)(0)0,(2)(3)f f f f -=-==-=-知函数]3,2[)(-在x f 上最大值为0)0(=f ，最小值为347)2(-=-f ． 例13 求曲线21xxy -=的凹凸区间与拐点． 解 函数21xxy -=的定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞，222222)1(1)1()2()1('x x x x x x y -+=--⋅--= 322422222)1()3(2)1()1)(2()1(2)1(2"x x x x x x x x x y -+=-+-⋅---= 令0"=y ，得0=x ，用点1,0,1x =-将函数的定义域划分为４个部分区间，列表讨论由表可见，在区间)1,(--∞，)1,0(内曲线为凹的，在区间)0,1(-，),1(+∞内曲线为凸的，点)0,0(为拐点．例14 已知曲线cx bx ax y ++=23上点)2,1(处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求出该曲线方程．解 由cx bx ax y ++=23，得c bx ax y ++=23'2，b ax y 26"+= 根据题意得 2|1=++==c b a y x 023|'1=++==c b a y x 02|"0===b y x 解得3,0,1==-=c b a所以，该曲线方程为x x y 33+-=． 例15 求下列曲线的渐近线(1)2312+--=x x x y ； (2)2x y e -=； (3)34)1(x x y +=．解 (1) 因为0231lim2=+--∞→x x x x ，所以，0=y 为水平渐近线，又因 ∞=+--→231lim 22x x x x ，所以，曲线有垂直渐近线2=x ． (2) 因为2lim 0x x e →∞=，所以，0y =为曲线的水平渐近线．(3) 因为∞=+-→341)1(lim x x x ，所以，曲线有垂直渐近线1-=x ；又因为 1)1(lim 34=⋅+∞→xx x x=-+∞→])1([lim 34x x x x =++-∞→334)1()1(lim x x x x x 2324)1()331(lim x x x x x x x ++++-∞→ 3)1(33lim 323-=+---=∞→x x x x x 所以，3-=x y 为曲线的斜渐近线． 说明: 曲线)(x f y =渐近线的确定：(1) 水平渐近线 若c x f x =∞→)(lim ，则直线c y =是曲线)(x f y =的水平渐近线．(2) 垂直渐近线 若∞=→)(lim 0x f x x ，则直线0x x =是曲线)(x f y =的垂直渐近线．(3) 斜渐近线 若a xx f x =∞→)(lim ，b ax x f x =-∞→])([lim 存在，则直线b ax y +=是直线)(x f y =的斜渐近线．例16 描绘函数2211)(xxx f -+=的图形． 解 依据描绘函数图形的六个步骤进行． 第一步 函数2211)(xxx f -+=的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞， 经验证不具备奇偶性与周期性．第二步 求出一阶导数3)1(2)('x x x f -=，令0)('=x f 得驻点,11=x 求出二阶导数4)23(2)("xx x f -=，令0)("=x f 得,232=x 第三步 用点,11=x ,232=x 将函数的定义域划分为4个部分区间，列表分析函数)(x f 的单调性、极值、凹凸性和拐点．第四步 因+∞==→∞→)(lim ,1)(lim 0x f x f x x ，所以该曲线有水平渐近线1=y 和垂直渐近线0=x ．第五步 点)0,1()91,23(121==，4|1=-=x y ，4|2=-=x y ，以利图形描绘．第六步 根据以上信息做出函数的图形．说明: 作函数图形的基本步骤：(1) (2) 求)('x f ，)("x f ，讨论函数单调性、凹凸性及极值点、拐点； (3) 确定曲线的渐近线；(4) 补充适当点(与坐标轴相交的点)的坐标，描点画图．例17 有一块宽为a 2的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起相同的高度，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为x ，问高x 取何值时水槽的流量最大(流量与横截面积成正比)．解 根据题意得该水槽的横截面积为 )(2)(x a x x s -= (a x <<0)，由于,42)('x a x s -=所以令,0)('=x s 得)(x s 的唯一驻点2a x =． 又因为铁皮的两边折得过大或过小，都会使横截面积变小，这说明该问题一定存在着最大值，所以，2ax =就是我们要求得使流量最大的高． 例18 已知某商品的成本函数为4100)(2q q C +=，求出产量10=q 时的总成本、平均成本、边际成本并解释其经济意义．解 4100)(2q q C +=总成本 125410100)10(2=+=C 平均成本函数 4100)()(qq q q C q C +== 平均成本 5.1241010100)10(=+=C边际成本 2)'4100()('2q q q C MC =+== 当10=q 时，边际成本5210)10(==MC 即当产量为10个单位时，每多生产1个单位产品需要增加5个单位成本．因为)10()10(MC C >，应继续提高产量．例19 某商品需求函数为122Q p=-)240(<<p ，求 (1) 需求弹性函数；(2) p 为何值时，需求为高弹性或低弹性？ (3) 当6=p 时的需求弹性，并解释其经济意义． (4) 当6=p 时，价格上涨1%，总收益如何变化？解 (1) 因为122Q p=-，所以12d Q dp =-， 1()1212224P p d p pE Q Q dp p p =⋅=-⋅-=- (2) 令1P E <，即241pp -<，即12<p ,故 当120<<p 时，为低弹性．令1P E >，即241pp ->，即12>p , 故 当2412<<p 时，为高弹性．(3) 当6=p 时的需求弹性为 666||0.338241P p p p p E =====--- 说明: 当6=p 时，需求变动幅度小于价格变动的幅度，即6=p 时，价格上涨1%， 需求减少0．33%，或者说当价格下降1%时，需求将增加0．33%．(4) 当6=p 时，由于1183|6<==p P E ，故当价格上涨1%，其总收益会增加． 另外，由于总收益22112p p pD R T -==，于是总收益的弹性函数是pp p p p p R pdp dR E TT P R T --=-⋅-=⋅=24)12(22112)12(2从而当6=p 时，总收益的弹性是 67.032|24)12(2|66≈=--===p p P R p p E T ，说明当6=p 时，价格上涨1%，总收益将增加0．67%．例20 某个体户以每条10元的进价购一批牛仔裤，假设此牛仔裤的需求函数为P Q 240-=，问该个体户获得最大利润的销售价是多少？解 将总利润函数L 表示为p 的函数400602)240(10)240(10)()()(2-+-=---=-=-=p p p p p q pq p C p R p L604)('+-=p p L 令 0)('=p L ，得15=p 驻点唯一,且 04)("<-=p L , 故 15=p 为唯一极大值点． 因此当销售价为15元/条时获得最大利润．例21 某厂生产摄影机，年产量1000台，每台成本800元，每一季度每台摄影机的库存费是成本的5%，工厂分批生产，每次生产准备费为5000元，市场对产品一致需求，不许缺货，试确定一年最小费用开支时的生产批量及最小费用．分析: 此问题是经济批量及存货总费用最小问题，属于“成批到货，一致需求，不许缺货”的库存模型．所谓“成批到货”就是工厂生产的每批产品，先整批存入仓库；“一致需求”，就是市场对这种产品的需求在单位时间内数量相同，因而产品由仓库均匀提取投放市场；“不许缺货”就是当前一批产品由仓库提取完后，下一批产品立刻进入仓库．在这种假设下，规定仓库的平均库存量为每批产量的一半．设在一个计划期内 (1) 工厂生产总量为D ；(2) 分批投产，每次投产数量，即批量为Q ； (3) 每批生产准备费为1C ；(4) 每批产品的库存费为2C ，且按批量的一半即2Q收取库存费； (5) 存货总费用是生产准备费与库存费之和，记为E ．依题设，库存费=每件产品的库存费×批量的一半=22QC ⋅生产准备费=每批生产准备费×生产批数=QD C ⋅1 于是，总费用函数为212)(C Q C Q D Q E E +== 02)('212=+-=C C Q DQ E 变形221QC QD C = (使库存费与生产准备费相等的批量是经济批量)解得 经济批量2102C DC Q =02)("31>=Q D C Q E 故此时总费用最小，其值为210201022C DC Q C Q D C E =+=. 解 由题设知台1000=D ，元50001=C ，每年每台库存费用 1604%58002=⋅⋅=C (元)库存总费用E 与每批生产台数Q 的关系 Q Q E E E 21605000100021+⋅=+=一年最小费用开支时的生产批量是经济批量2501605000100022210=⋅⋅==C DC Q (台)一年最小库存总费用40000250500010002250160202010=⋅+⋅=+=Q C Q D C E (元) 或400001605000100022210=⋅⋅⋅==C DC E (元)四、复习题三1． 函数)1ln(x y +=在)1,0(上是否满足拉格朗日中值定理的条件，若满足试求出定理中的ξ值． 2． 求出下列极限(1)8421612lim 2332+--+-→x x x x x x ； (2)xx x 1arctan 2lim -+∞→π； (3)xx ex 201lim -+→；(4)x x x )11(lim 0++→； (5))111(lim 0--→x x e x ； (6)xx xx x sin tan lim 20-→；(7)3sin 0lim x e e x x x -→； (8))tan (sec lim 2x x x -→π； (9)21lim (1)x xx e x-→+∞+； (10))1(sin lim20--→xx e x xx ． 3． 证明：当0x >时，有不等式(ln x +>4． 证明：方程x x -=1tan 在)1,0(内的根是唯一的．5． 要造一个容积为V 的圆柱形密闭容器,问底半径r 和高h 为何值时,使表面积最小. 6． 求下列函数的单调区间及极值:(1)32)1()(x x x f -=； (2)2156)(23+--=x x x x f ．7． 求下列函数的凹凸区间及拐点:(1)23)1(-=x x y ； (2)xxe y -=． 8． 设曲线123+++=cx bx ax y 在1=x 处有极小值-1，且有拐点)1,0(，试确定常数c b a ,,的值． 9． 一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金每套定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会有一套公寓租不出去，而租出去的公寓每套每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少时可获最大利润，最大利润是多少？10． 某公司生产成本的一个合理而实际的模型由短期库柏—道格拉斯成本曲线252)(21+-=q q C 给出．假设当平均成本等于边际成本时，平均成本取极小值，求q 取何值时，平均成本取得极小值？11． 设某商品的需求函数为p e Q 43-= ，求(1)需求弹性函数． (2)当4,34,1=p 时的需求弹性，并解释其经济意义． 五、复习题三答案1． 11ln 2ξ=- 2．(1)23； (2)1； (3)12-; (4) 1; (5)21；(6)31(提示 利用无穷小量代换x x ~sin )； (7)61(提示 =-+-→3sin sin sin 0lim x e e x x x x x =--→3sin sin 0)1(lim x e e x x x x 2sin 03)cos 1(lim x e x x x x -→-)； (8)0；(9)21-e (提示 =⋅+-+∞→x x x e x2)11(lim −−→−=-++∞→xt x x x x e1)11ln(lim 2令20)1ln(lim t t t t e -+→)；(10)61 (提示 利用无穷小量代换x e x~1-， 原式==-→203cos 1limx x x 616sin lim 0=→x x x )．3．提示: 方法一利用拉格朗日中值定理证明．设()(ln f x x =，()f x 在()0,+∞上连续可导，任取0x >，()f x 在()0,x 上满足拉格朗日中值定理的条件，()()00,f f x '==+=，存在()0,,x ξ∈使()ln 00x x -=-，由0x ξ<<，得(ln x +>方法二利用函数单调性证明.作辅助函数()(ln F x x =+，在[0,)+∞上连续可导，()()32221F x x x -⎡⎤'=-+⎥⎦＝()232201x x >+为单调增加函数，当0x >时，()()0F x F >=0,即(ln x >4．提示：由零点定理证得x x -=1tan 在)1,0(内有根，01sec )'1(tan )('2>+=+-=x x x x F ，故)(x F 在)1,0(内严格单调增加，故方程x x -=1tan 在)1,0(内的根是唯一的．5．设表面积为A,则222,A r rh ππ=+又2V r h π=,即2V h r π=,222V A r rπ=+ ()0,r ∈+∞ ,因为3222424V r VA r r rππ-'=-=令0A '=,得唯一驻点r =所以当r =2V h r π==,表面积最小. 6．(1)单调增加区间),52[]0,(+∞⋃-∞；单调递减区间]52,0[；极大值0)0(=f ； 极小值325453)52(-=f ．(2)单调增加区间),5[]1,(+∞⋃--∞；单调递减区间]5,1[-；极大值10)1(=-f ；极小值98)5(-=f ．7．(1)凹区间),1()1,0(+∞⋃；凸区间)0,(-∞；拐点)0,0( (2)凹区间),2(+∞；凸区间)2,(-∞；拐点)2,2(2-e8．3,0,1-===c b a ；9．提示：设每套租金为x ，总利润为y总利润)14000007200(1001)200)(100200050(2-+-=---=x x x x y )72002(1001'+-=x y 令0'=y ，得3500=x 且0501"<-=y即 3500=x 是y 达到最大值的点，最大利润112000=y 元．10．提示:平均成本12()252C q q q q-=-+； 边际成本21)('--=q q C 由)(')(q C qq C = 得625=q 11．34p EQ E P Ep P Q =-=当1=p 时,314p E =<，需求为低弹性; 当34=p 时,1p E =，需求为单位弹性； 当4=p 时,31p E =>，需求为高弹性．六、自测题三(一)填空题(每小题2分，共20分)1．32)(2--=x x x f 在]23,1[-上满足罗尔中值定理的=ξ ； 2．函数)1ln()(+=x x f 在]1,0[上满足拉格朗日中值定理的=ξ ； 3． 函数x x x f cos 2)(-=在区间 内是单调增加的; 4．曲线35)2(-=x y 的凸区间为__________________________________; 5．曲线3352x x y -+=的拐点是______________________________________;6． 曲线122-=x x y 有水平渐近线 ，垂直渐近线___________________;7． 函数)(x f =12+x 在[0，4]上的最大值是 ，最小值是______________; 8． 当4=x 时，函数q px x y ++=2取得极值，则p = ; 9． 若点(1，3)是曲线23bx ax y +=的拐点，则a = ，b = ; 10．总成本函数,10001001.0)(2++=x x x C 则边际成本为 ______.(二)单选题(每小题3分，共15分)1．函数)(x f 有连续二阶导数且2)0(",1)0(',0)0(-===f f f ，则2)(limx xx f x -→= ( ) A ．不存在； B ．0 ； C ．-1 ； D ．-2．2． 设函数)(x f 在),(b a 内连续，),(0b a x ∈，0)(")('00==x f x f ，则)(x f 在0=x 处 ( )A ．取得极大值；B ．取得极小值 ；C ．一定有拐点))(,(00x f x ；D ．可能取得极值，也可能有拐点． 3． 函数)(x f 在0x 处取得极值，则必有 ( ) A ． 0)('=x f ； B ． 0)("<x f ；C ． 0)('=x f ，0)("<x f ；D ． 0)('=x f 或)('x f 不存在．4．曲线32)2(2-+=x x y 的渐近线有 ( )A ．一条；B ．2条 ；C ．3条 ；D ．0条． 5．方程0133=+-x x 在区间),(+∞-∞内有 ( ) A ．无实根； B ．有唯一实根； C ．有两个实根； D ．有三个实根．(三)求下列极限(每小题6分，共24分) 1．)1ln(arctan lim31x x x x +-→； 2． x x x ln lim 50+→； 3． )]1ln(11[lim 20x xx x -+→； 4． x x x ln 10)(cot lim +→．(四)证明题(11分)1．证明不等式)0(1>+>x x e x；(5分) 2．证明方程015=-+x x 只有一个正根．(6分) (五)应用题(每小题10分，共30分)1．求函数123+--=x x x y 的单调区间、极值及凹凸区间、拐点． 2．在周长为定值l 的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形面积最大？ 3．某商品的需求函数为275)(p p Q -=(p 为价格) （1） 求4=p 的边际需求．（2） 求4=p 时需求价格的弹性，并说明经济意义． （3） 当p 为多少时，总收益最大？最大值时多少？七、自测题三答案(一)1．41； 2．12ln 1-； 3．),(+∞-∞； 4． )2,(-∞ 5．)2,0(； 6．1,1±==x y ； 7．3，1； 8．-8； 9．29,23-； 10．1002.0)('+=x x C ． (二)1．C ； 2．D ； 3．D ； 4．B ； 5．D ．(三)1．14ln 2π-2．0； 3．21-； 4． e 1．(四)1．证：设x e x f x--=1)(，在),0(+∞内连续，且01)('>-=xe xf ，)(x f 在),0(+∞内单调增加，0)0()(=>f x f ，即01>--x e x ，得证．2．提示：设()51f x x x =+-由零点定理证得()f x 在)1,0(内至少存在一点ξ，使得()510f ξξξ=+-=，再由4()510f x x '=+>，()f x 在()0,+∞内严格单调增加，故方程015=-+x x 只有一个正根．(五)1．单调递增区间为),1()31,(+∞⋃--∞；单调递减区间为)1,31(-； 极大值1332|27x y =-=；极小值0|1==x y ；凹区间为),31(+∞；凸区间为)31,(-∞；拐点)2716,31(． 2．设扇形半径为x ，弧长为x l 2-，扇形面积1(2)2y x l x =-，1'22y x l =-+， 令0'=y ，得驻点4l x =，唯一驻点 ，且"20y =-<，故4lx =为极大值点，所以，当4lx =时，扇形面积最大，最大面积为216l y =．3．(1)8|2|44-=-===p p p dpdQ(2)75222-=⋅=p p dp dQ Q p Ep EQ ， 54.0|4-≈=p Ep EQ 说明若价格由4=p 上涨1%，则需求量减少0．54%．(3)375R pQ p p ==-，2375'p R -= ，令0'=R ，得5=p ，030|6"5<-=-==p p R ，所以 5=p 时总收益最大，最大值为250|5==p R ．。

《函数的微分》教学设计本节课是《高等数学》中比较难理解的一节概念课。

本节主要介绍微分的概念。

这节课前承一元函数导数，后接微分的应用，在教材中起着承前启后的作用，又可以用微分来计算函数的增量，这部分内容不仅有着非常广泛的实际应用，同时它还是培养学生数学能力的良好题材。

所以说函数的微分是《高等数学》的重要内容之一。

如何调动学生学习这节课的积极性呢？怎样更好地把本节课讲透能让学生更好地理解呢？本文在这节课的教学设计上给出了新的尝试。

1教学目标1.1知识目标（1）要求学生正确理解微分的概念；（2）能够用微分的定义式去求微分；（3）会解决简单的微分应用题。

1.2能力目标培养学生观察分析、独立思考、猜想归纳以及解决实际问题的能力。

1.3情感目标培养学生主动探索、实事求是、科学严谨的学习和工作作风。

2教学重、难点2.1教学重点微分的概念、微分的求法。

2.2教学难点微分的实际应用。

3教学方法运用引导式、启发式、对比式等多种教学法。

4教学设计4.1课题引入函数的微分是一个抽象的概念，为了使其更加形象化，便于学生理解接受，可先从一个简单的物理问题入手。

例如可以让一个小球从某一点处开始做自由落体运动，其路程函数为，点对应的是小球在时刻的位置，当时间经过后，小球到达点，求这段时间内的路程的改变量。

通过对问题的求解分析，得到函数微分的初步模型。

但是这只是从这个具体的物理问题得出的分析结果，它是否具有一般性呢？接下来就可以进行一般性分析了，从而得出微分的定义。

从这个实际物理问题入手，而不是先从微分定义讲起，更容易激起学生对本节课的学习兴趣。

从问题的提出、解决到最后微分概念的提炼，让学生体会到数学源于实践，并且实际问题的牵引容易激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。

4.2概念分析微分的定义给出后，教师先让学生回忆什么是线性主部，然后帮助学生自己总结出微分的实质。

教师不但从代数角度给出微分定义，为了更好地让学生理解微分这个抽象定义，可以再从几何角度来研究一下微分的几何意义。

一、教学目标1. 知识目标：（1）掌握函数、极限与连续的基本概念；（2）熟悉一元函数微分学的相关概念和计算方法；（3）了解一元函数积分学的基本概念和计算方法。

2. 能力目标：（1）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力；（2）提高学生的逻辑思维和抽象思维能力；（3）培养学生严谨的数学素养。

3. 情感目标：（1）激发学生对数学学习的兴趣和热情；（2）培养学生的团队合作精神；（3）树立学生克服困难的信心。

二、教学内容1. 函数、极限与连续（1）函数的定义、性质和图像；（2）极限的概念和运算法则；（3）连续函数的定义和性质。

2. 一元函数微分学（1）导数的定义、性质和运算法则；（2）求导法则的应用；（3）微分的应用。

3. 一元函数积分学（1）定积分的定义、性质和计算方法；（2）不定积分的定义、性质和计算方法；（3）积分的应用。

三、教学过程1. 导入新课（1）通过实际例子，引导学生回顾函数、极限与连续的相关知识；（2）介绍本章学习的重要性和必要性。

2. 讲授新课（1）函数、极限与连续- 讲解函数的定义、性质和图像，结合实例进行说明；- 介绍极限的概念和运算法则，通过实例让学生理解极限的求法；- 讲解连续函数的定义和性质，让学生了解连续函数的特点。

（2）一元函数微分学- 讲解导数的定义、性质和运算法则，通过实例让学生掌握求导方法；- 介绍求导法则的应用，让学生能够灵活运用求导法则；- 讲解微分的应用，让学生了解微分在实际问题中的应用。

（3）一元函数积分学- 讲解定积分的定义、性质和计算方法，通过实例让学生掌握定积分的计算；- 介绍不定积分的定义、性质和计算方法，让学生能够求出不定积分；- 讲解积分的应用，让学生了解积分在实际问题中的应用。

3. 课堂练习（1）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识；（2）指导学生解题，及时解答学生提出的问题。

4. 课堂小结（1）总结本章所学内容，让学生回顾重点知识；（2）强调学习方法，提高学生的自学能力。

授课班级：本科三年级授课教师： [教师姓名]授课时间： 2023年[具体日期]授课地点： [具体教室]教学目标：1. 知识与技能：通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法，提高学生的数学思维能力和应用数学解决实际问题的能力。

2. 过程与方法：通过对数学问题的探究、分析和解决，培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和创新能力。

3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和热爱，树立严谨求实的科学态度，增强学生的自信心和团队协作精神。

教学内容：1. 一元函数微分学：导数与微分、高阶导数、隐函数求导、微分中值定理等。

2. 一元函数积分学：不定积分、定积分、积分的应用等。

3. 多元函数微分学：偏导数、多元函数的极值与最值、多元函数微分学的应用等。

4. 多元函数积分学：二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分等。

教学重难点：1. 教学重点：一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学的基本概念、基本理论和基本方法。

2. 教学难点：多元函数微分学的应用、多元函数积分学的计算和应用。

教学过程：一、导入1. 回顾初中和高中数学知识，引导学生回顾一元函数微分学和一元函数积分学的基本概念。

2. 通过实例引入多元函数微分学和多元函数积分学，激发学生的学习兴趣。

二、讲解1. 一元函数微分学：讲解导数与微分、高阶导数、隐函数求导、微分中值定理等概念，并通过例题讲解如何应用这些概念解决问题。

2. 一元函数积分学：讲解不定积分、定积分、积分的应用等概念，并通过例题讲解如何应用这些概念解决问题。

3. 多元函数微分学：讲解偏导数、多元函数的极值与最值、多元函数微分学的应用等概念，并通过例题讲解如何应用这些概念解决问题。

4. 多元函数积分学：讲解二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分等概念，并通过例题讲解如何应用这些概念解决问题。

三、练习1. 给学生布置课后作业，要求学生独立完成。

2. 在课堂上进行习题讲解，帮助学生巩固所学知识。

《高等数学》教学大纲一、课程的性质和任务课程的性质：高等数学是高职高专各专业必修的一门重要基础课。

高等数学的思想、内容、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分,是提高学生文化素质,进一步学习有关专业知识,专业技术必不可少的工具。

主要任务：本着"服务专业,兼顾数学体系的原则"，重视数学的思想本质，倡导和发展数学的应用性，全面提高学生的数学素质；以必需、够用为度的原则。

使学生在高中文化的基础上，进一步学习和掌握一元微积分学、多元微积分学、微分方程、级数等内容。

三、课程教学内容第一章绪论了解本课程发展过程及思想方法。

第二章函数熟悉掌握函数的概念、基本初等函数、复合函数、初等函数；掌握函数的性质，反函数；了解分段函数。

重点：函数的定义和定义域。

难点：复合函数的概念。

第三章极限与连续熟悉掌握极限的概念，无穷小和无穷大概念，函数连续的概念；掌握无穷小和函数极限的关系、极限四则运算、两个重要极限，间断点分类和初等函数的连续性；了解无穷小的比较、等价无穷小、连续函数和、差、积、商的连续性及反函数与复合函数连续性。

重点：函数极限的概念、无穷小、极限四则运算、函数在某一点连续的概念。

难点：函数极限的概念、求应用问题中的最值判定函数在某点连续性。

第四章导数与微分熟悉掌握导数的概念、几何意义、求导公式和导数的四则运算，复合函数求导法则；掌握变化率问题、反函数求导法、隐函数求导法，求函数的微分；能理解微分的定义及几何意义，会求参数方程导数、高阶导数和使用对数求导法；运用微分公式和运算法则，了解可导与连续的关系。

重点：导数的定义、导数的四则运算、复合函数求导法则、基本初等函数的导数公式。

难点：导数的定义、复合函数求导法则。

第五章一元函数微分学的应用熟练掌握拉格朗日定理和罗必塔法则；能判定函数的单调性并求其极值，讨论曲线的凹凸，求其拐点，求渐近线和作函数的图象，应用最值解决一些实际问题；了解柯西定理。

重点：拉格朗日定理、判定函数的单调性并求其极值、求应用问题中的最值。