04-第四章-一元函数微分学的应用

一元函数微分学微积分是数学中一个非常重要的分支，它研究连续与变化。

微分学是微积分中的一部分，它研究一元函数的变化率和切线问题。

在工科、理工科及金融等领域，微分学都是必修的一门学科。

一、导数一个函数的导函数即为该函数的导数。

导数表示函数在某点处的变化率，也可以理解为以该点处斜率为切线的直线方程。

导数的定义如下：$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，f(x)表示函数在x点处的取值，h表示x的变化量。

导数是对变化量和量的一个测量，它也可以被解释为函数的瞬时变化率。

在求导数时，我们需要注意函数是否连续，导数是否存在，同时还需考虑到函数在自变量为非自然数时的导数。

二、微分微分是在导数的基础上增加了一些附加的概念，它是由函数在一个点处的导数以及该点处的自变量与函数值所组成的。

微分的定义不是很直接，但是我们可以从定义出发进行理解：设函数y=f(x)，在x点的微分dy=dx*f'(x)。

其中，dx表示x的增量，dy表示y的增量，f'(x)表示在x处的导数。

可以看出，微分有一个重要的作用，就是可以得到函数在某个点处的极小增量。

即在当前的点位置，函数的变化量以及对应的变量量。

微分还可以解决一些求和问题和变量替换问题的计算。

三、函数图像的切线函数图像的切线是函数图像在某个点的斜率。

在此前提下，我们可以通过导数求出函数图像在任意一个点上的斜率。

通过直线方程就可以求出函数图像在该点的切线。

求解函数图像的切线需要确定该点的横坐标和纵坐标，然后求出导数，最后代入方程即可。

四、一元函数微分学应用微分学的应用非常广泛。

在物理学中，微分学可以用于描述物体的运动，地球的形变和能源泄露等问题。

在金融学中，微分学可以用于计算股市的波动和证券价格的变化等问题。

在自然科学中，微分学可以用于解决生物学的遗传学和数学物理学中的加速和速度问题等。

总之，一元函数微分学是微积分中最基础的内容。

一元函数微积分的基本原理与方法微积分是数学中非常重要的一门学科，是数学中的一种基础理论，又是现代科学的一种重要工具。

一元函数微积分是微积分中最基本的部分之一，掌握一元函数微积分的基本原理与方法是学习微积分的第一步。

一、导数与微分导数是微积分的核心概念之一，是函数在一个点上的变化率或斜率。

在一元函数微积分中，导数有多种不同的定义方式，但它们都是等价的。

设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当 $x$ 充分接近$x_0$ 时，$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$如果这个极限存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并把它的导数记为 $f'(x_0)$。

导数的几何意义是曲线在 $x_0$ 点处的斜率。

对于一元函数 $y=f(x)$，如果在某一点 $x_0$ 处导数$f'(x_0)$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。

函数在 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 也可以表示为$$\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0}$$它表示在点 $x_0$ 处函数 $y=f(x)$ 的每单位 $x$ 的变化量，也就是函数的瞬时变化率。

微分是导数的一种应用。

设 $y=f(x)$，$x$ 发生一个无限小的增量 $\Delta x$，相应地 $y$ 也发生了一个无限小的增量 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$，则称 $dy=f'(x)dx$ 为 $y=f(x)$ 的微分。

它表示在 $x$ 处函数值的微小增量与 $x$ 的微小增量之比。

在微积分中，微分是一种将无限小的变化转换为实际的数值计算的技术方法。

二、函数的基本性质函数是微积分的基础，掌握函数的基本性质对学习微积分非常重要。

1. 连续性一个函数如果在某一点连续，则表明函数在该点的值可以通过函数在该点的极限来确定。

一元函数微分学的基本原理与应用微分学是数学中的一个分支，主要研究函数的变化率、极值和曲线的切线等问题。

在微分学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。

本文将介绍一元函数微分学的基本原理和其应用。

一、微分的定义和基本原理微分学的基本概念之一是微分的定义。

对于一元函数 f(x)，在某一点 x0 处的微分表示为 df(x0) 或简写为 dy，可以定义为 dx 的一个无穷小变化量，即：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0) 表示在 x0 处的导数，表示函数在该点的斜率或变化率，dx 表示自变量 x 的无穷小变化量。

微分学的基本原理包括导数和微分的性质。

导数的定义如下：f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)] / Δx (当Δx 趋近于 0 时)导数可以用来描述函数的斜率，即切线的倾斜程度。

在微分学中，常用的导数表示方式有函数的导函数、差商和极限等形式。

微分的基本性质包括线性性质、乘积法则、商法则和链式法则等。

根据这些性质，可以对各种类型的函数进行微分运算，进而得到函数的导数和微分。

二、应用举例：极值问题和曲线的切线微分学的应用非常广泛，以下是两个常见的应用例子：极值问题和曲线的切线。

1. 极值问题：求解一个函数的最大值和最小值。

通过对函数的微分，可以得到导数为零的点或导数不存在的点，并进行求解。

对于一元函数 f(x)，当导数 f'(x) 的值为零或不存在时，函数在该点可能取得极值。

举例来说，若给定函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，我们可以求解 f'(x) = 2x - 4，令导数等于零得到 2x - 4 = 0，解得 x = 2。

然后，通过二阶导数的符号判断该点是否是极值点。

若 f''(x) > 0，则 x = 2 是函数的极小值点；若 f''(x) < 0，则 x = 2 是函数的极大值点。

一元函数积分学（1）（第十一周周三）题型•定积分概念（定积分求极限）•定积分性质及其应用（比较定积分大小，估计积分值）•变限定积分函数求导•变限积分函数极限•定积分表示变量的极限•分段求定积分•求解含定积分符号的函数方程•定积分等式与定积分不等式证明3定积分定义求极限其中极限与分点x i 的取法及x i 的取法无关.当函数f (x )在[a , b ]上连续时, 有可用于求某些通项为和式数列的极限，根据积分合式确定被积函数和积分区间→==∑⎰01()d lim ()n b i i a i f x x f x λx ()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n12lim 1cos 1cos 1cos n n n n n n πππ→+∞++++++11011211cos 1cos 1cos 1cos 1lim 1cos 1cos(n i n n i n i n n nn n n i x dx n nππππππ=→∞=++++++=++=+∑∑⎰()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n求极限).21(lim 22222nn n n n n n n ++++++∞→ 原式n n 1lim ∞→=∑=+n i ni 12)(11x x d 11102⎰+=4π=()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：11sin k n n k k n π=<<+∑已知11012lim sin sin d ,n n k k x x n n πππ→∞=⋅==∑⎰利用夹逼准则可知2.I π=∑=⋅+n k nn k n n 11sin 1π∑=⋅nk n n k 11sin π11lim =+∞→n n n 求()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n关于定积分重要性质保号性：()0,f x ≥则有()d 0.ba f x x ≥⎰若f (x )在[a ,b ]上连续, ()0,f x ≥且()0,[,]f x x a b ≡∈/则()d 0.b a f x x >⎰若f (x )在[a , b ]上连续, ≥()0,f x =⎰()d 0,b a f x x 且则()0.f x ≡积分中值定理：若f (x )在[a , b ]上连续, 则至少存在一点(,),a b x ∈使得()d ()().ba f x xb a f x =-⎰第一积分中值定理：若函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续, g (x )在[a , b ]上不变号,则在(a , b )内至少存在一点x , 使=⎰⎰()()d ()()d .b b a af xg x x f g x x x 估值定理：若f (x )在[a , b ]上连续，≤≤(),m f x M -≤≤-⎰()()d ()b am b a f x x M b a令,)(x e x f x-=]0,2[-∈x ,0)(>x f ,0)(02>-∴⎰-dx x e x dx e x ⎰-∴02,02dx x ⎰->于是dx e x ⎰-20.20dx x ⎰-<比较积分值dx e x ⎰-20和dx x ⎰-20的大小.比较定积分大小（积分区间相同，比较函数大小）比较定积分大小（积分区间不同）2222202220cos cos x x x x e dx e dx e xdx e xdx ππππππ---->>⎰⎰⎰⎰22222()2()200cos cos ()cos x u x u x e xdx e u dx e xdx ππππππππ--+-+=-=+=⎰⎰⎰设函数f (x )在[0, 1]上连续, 且单调减少, 试证对任意(0,1),a ∈有≥⎰⎰100()d ()d .a f x x a f x x 证明1：-⎰⎰100()d ()d a f x x a f x x =-⎰⎰00()d ()d a a f x x a f x x -⎰1()d aa f x x=-⎰0(1)()d a a f x x -⎰1()d aa f x x (0,),a α∈(1)()a af α=-(1)()a af β--(,1)a β∈()(1)()()a a f f αβ=--0.≥1100011000()()()01,01()()()()()aa f x dx x at a f at dt a f ax dx a x ax x f ax f x a f x dx a f ax dx f x dx ⇒=⇒=<<<<⇒<⇒≥≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明2：12222200sin cos d d .11x x x x x x ππ<++⎰⎰-+⎰220cos sin d 1x x x x π-=+⎰420cos sin d 1x x x x π-++⎰224cos sin d 1x x x x ππ=-+-++⎰⎰42220411(cos sin )d (cos sin )d 11x x x x x x πππx η0=--≥++2211(21)()011x η,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx xdx ⎰⎰⎰πππ≤+≤.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x 估计积分dx x ⎰π+03sin 31的值. 估计积分值大小证明证:令则令得故变限积分求导2(1)2()sin ,(2)x x x f t dt t f π+==⎰22((1))(23)2(2)cos f x x x x f x xππ++-=15(2)2(2)(2)3x f f f ππ=⇒-=-⇒=-()''()(())(())()(())()g x h x d f t dt f g x g x f h x h x dx =-⎰sin '0()(sin )(),()xF x x t f t dt F x =-⎰求sin 'sin sin 00sin 0()(sin ()())(sin ())()cos ()x x x xd F x xf t tf t dt dx d d x f t tf t dt dx dx x f t dt=-=-=⎰⎰⎰⎰20cos()x d x t dt dx -=⎰2211211x x d x dt dx x t x x -+=++++⎰1x t u+=解：提示：2解：先求定积分，再求导4030sin lim xdt t x x ⎰→求极限00解：此极限为型414sin lim 330==→x x x 原式变限积分函数极限（洛必达，积分中值，等价无穷小）200cos lim x x t dt x →⎰0|sin |limx x t dt x →+∞⎰(1)00|sin ||sin |sin 2,(1)k kt dt t dt tdt x n n x n ππππππ+===∀∃≤<+⎰⎰⎰(1)000(1)0000|sin ||sin |sin |sin |2,sin 2(1)|sin |22(1)(1)|sin |2lim n x n n n x x x t dt t dt tdt t dt n tdt n t dt n n n x n t dt x πππππππ++→+∞≤<==++≤<+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰周期性.lim 222dx e x n n x n ⎰+-∞→计算)2(lim lim 22222n n e dx e x n n x n -+=-∞→+-∞→⎰x x x 22lim 2x x x e ∞→=.0=定积分表示变量的极限.01lim 10=+⎰∞→dx x x nn 证明,10n nx xx ≤+≤ dx x dx x x n n ⎰⎰≤+≤∴101010,11+=n ,011lim =+∞→n n 且.01lim 10=+⎰∞→dx x x nn 由夹逼准则可知注意:x x +=+∞→∞→⎰1lim 1lim 10nn n n dx x x (01)x ≤≤.0=错误，可用第一积分中值定理=⎰⎰()()d ()()d .bba a f x g x x f g x x x分段求定积分（含有max,min,取整符号，绝对值，被积函数含参变量）10()|()|F x t t x dt =-⎰101010()()3211()()23x x F x t t x dt x x F x t t x dt ≤⇒=-=-≥⇒=--=-⎰⎰10201()()()11323x x x F x t t x dt t t x dt x x <<⇒=--+-=-+⎰⎰=+⎰21()()1()()设连续，，求f x f x x f x dx f x 求解含定积分符号的函数方程212211()()1()(1)3122()12a f x dx f x ax f x dx ax dx a a a f x x=⇒=+⇒=+⇒=+⇒=-⇒=-⎰⎰⎰令已知函数f (x )满足方程=-⎰120()3()d ,f x x f x x 试求f (x ).解令=⎰120()d ,f x x a 则()f x =-3.x a ⎰120()d f x x a =()=-⎰1203d x a x ()=+-⎰122096d x a ax x =-+233,a a ⇒-+=2430,a a 3a ⇒=或=1,a 故=-()33f x x 或=-()31f x x定积分等式与定积分不等式证明(1) 变上限积分;(2) 积分中值定理;(3) 微分中值定理;(4) 常用不等式（柯西-施瓦茨不等式）;(5) 利用Taylor公式;(6) 利用闭区间上连续函数性质.1证明恒等式证:令则因此,)0()(2π<<=x C x f 又4π=故所证等式成立.试证使分析:要证即⎰xaxxg d)(⎰-x a xxf d)(故作辅助函数至少存在一点证明: 令⎰⎰⎰⎰-=ba x ab a x a x x g x x f x x f x x g x F d )(d )(d )(d )()(在上连续,在至少使即0d )()(d )()(=-⎰⎰b a ba x x g f x x f g x x 因在上连续且不为0 ,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点7设解法1:设且试证:t t f x F x a d )()(⎰=⎰x a t f t )(d 则=')(x F )(2a x --⎰⎢⎣⎡=x a )(t f )(t f t d 2⎥⎦⎤-t t f x f t f x f x a d )()()]()([2⎰-=故F (x ) 单调不减,即②成立.②⎰x a t t f d )(⎰x at f t )(d 2)(a x --8设函数f (x )在[0, 1]上是非负、单调减的连续函数,且0 < a < b < 1, 求证≥⎰⎰0()d ()d .a b a a f x x f x x b ⎰0()d af x x ⎰()d ba f x x 1()f a x =2()()fb a x =-1(0,)a x ∈2(,)ab x ∈(),f a a ≥()()f a b a ≤-(),bf a ≤⎰0()d af x x ()f a a ≥≥⎰()d .ba a f x xb 证明由积分中值定理, 得设f 在[0, π]上连续, 在(0, π)内内可导, 且==⎰⎰00()cos d ()sin d 0,f x x x f x x x ππ证明: 存在(0,),x π∈使得()0.f x '=证明因为在(0, π)内, sin x 0,>又=⎰0()sin d 0,f x x x π故f (x )在(0, π)内必有零点α .若在(0, π)内, f (x )恒正, 则>⎰0()sin d 0;f x x x π若在(0, π)内, f (x )恒负, 则<⎰0()sin d 0;f x x x π零点不唯一：若(0,)απ∈是f (x )的唯一零点, 则,(0,),x x απ≠∈f (x )在x = α的两侧异号. 于是sin()()x f x α-必恒正或恒负，从而-≠⎰0sin()()d 0.x f x x πα39-≠⎰0sin()()d 0.x f x x πα-⎰0sin()()d x f x x πα0()(sin cos f x x πα=⎰-cos sin )d x xα=⎰0cos ()sin d f x x x πα-⎰0sin ()cos d f x x x πα0=与上式矛盾.故f (x )在(0, π)内零点不惟一,Rolle 定理：在(0,),x π∈使得()0.f x '='11,[]()[](){(1)(2)...([])}aa x f x dx a f a f f f a >=-+++⎰证明：1'201[0,1],()()0,()()3x f x f x f x dx f ∈<≤⎰二阶可导，证明：222()[,]()cos ()sin [()]b b b a a a f x a b f x kxdx f x kxdx f x dx ∀+≤⎰⎰⎰在连续且非负,证明：k,满足：[][]sin 2'0()(),()xF x f tx dt F x =⎰222sin 2011()()x x u tx dt du xF x f u du x =⇒==⎰提示：考虑X=0？).2212(lim 12121n n n n n n n n n ++++++∞→()''()(())(())()(())()g x h x d f t dt f g x g x f h x h x dx =-⎰=-⎰()d ()().b af x x b a f x =⎰⎰()()d ()()d .bb aa f x g x x f g x x x 222[()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰变限积分求导公式：积分中值定理：第一积分中值定理：柯西施瓦茨积分不等式：<<a b x。

一元函数微分专升本
一元函数微分是专升本考试的重要知识点之一，主要涉及导数、微分、可导性、连续性、可积性等方面的概念和应用。

导数表示函数在某一点处的瞬时变化率，可以通过极限来定义，并可以利用导数的性质和运算法则进行计算。

微分则是导数的几何意义，表示函数在某一点处的切线的斜率。

一元函数微分的应用非常广泛，包括函数的单调性、极值、拐点、曲线的弯曲方向等方面的研究，还可以应用于最大值、最小值问题的求解。

在专升本考试中，一元函数微分通常会以选择题、填空题、计算题等形式出现，要求考生掌握基本概念和性质，能够熟练运用导数和微分的运算法则进行计算和应用。

为了更好地备考一元函数微分，建议考生认真学习相关课程，掌握基本概念和性质，多做练习题，提高计算能力和应用能力。

同时，还要注意理解导数和微分的几何意义，以便更好地理解其应用。

一元函数微分学知识点一元函数微分学是微积分中的重要内容，它主要研究函数的变化率和极值问题。

微分学中的主要概念包括导数、微分以及一些常见函数的微分法则。

下面将依次介绍这些知识点。

一、导数导数是描述函数变化率的重要工具。

给定一个函数f(x)，在某一点x 处的导数表示函数在该点的变化速率。

导数可以用极限来定义，即导数等于函数在该点处的极限值。

导数的记号常用f'(x)或者dy/dx 表示。

导数有几个重要的性质，包括线性性、乘积法则、商法则和链式法则。

线性性表示导数运算具有线性性质，即对于任意常数a和b，有(a*f(x) + b*g(x))' = a*f'(x) + b*g'(x)。

乘积法则描述了两个函数相乘的导数计算方法，即(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。

商法则是用来计算两个函数相除的导数，即(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/g(x)^2。

链式法则适用于复合函数，即若有一个函数h(x) = f(g(x))，则h'(x) = f'(g(x))*g'(x)。

二、微分微分是导数的一种应用，它可以用来近似计算函数在某一点的值。

微分的记号常用dx表示，它表示函数在某一点的微小变化。

微分的计算公式是dy = f'(x)*dx，其中dy表示函数在x处的微小变化，dx表示自变量的微小变化。

微分和导数之间有一个重要的关系，即导数是微分的极限形式。

当自变量的微小变化趋于0时，微分就变成了导数。

因此，导数可以用微分来近似计算。

三、常见函数的微分法则在微分学中，有一些常见函数的微分法则被广泛应用。

这些函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。

对于常数函数f(x) = C，其中C为常数，它的导数为f'(x) = 0。

一元函数微分学公式微分学是数学中的一个重要分支，研究函数的微小变化。

在微分学中，一元函数的微分公式是非常基础且重要的知识点。

本文将介绍一元函数微分学公式的相关内容，帮助读者更好地理解和应用微分学知识。

一元函数微分学公式主要包括导数的定义、常见函数的导数公式、导数运算法则以及高阶导数等内容。

下面我们逐一介绍这些内容。

1. 导数的定义导数是一元函数微分学的核心概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

设函数f(x)在点x=a处可导，则导数f'(a)的定义为：f'(a) = lim┬(x→a)⁡〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗其中lim表示极限，x→a表示x趋近于a的过程，(f(x)-f(a))/(x-a)表示函数的增量与自变量增量的比值。

导数可以理解为函数在该点上的瞬时变化率。

2. 常见函数的导数公式对于一些常见的函数，我们可以通过求导公式来快速计算它们的导数。

以下是一些常见函数的导数公式：- 幂函数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为常数；- 指数函数：(a^x)' = a^x * ln(a)，其中a为常数；- 对数函数：(logₐx)' = 1/(x * ln(a))，其中a为底数；- 三角函数：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2(x)，其中x为弧度；- 反三角函数：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)，(arccosx)' = -1/√(1-x^2)，(arctanx)' = 1/(1+x^2)，其中x在定义域内。

通过这些导数公式，我们可以快速求解常见函数的导数，为后续的微分计算提供便利。

3. 导数运算法则在微分学中，导数具有一些基本的运算法则，可以帮助我们简化复杂函数的导数计算。

- 常数倍法则：(cu)' = cu'，其中c为常数；- 和差法则：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)；- 积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；- 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x)≠0。

新编高等数学第二版教材答案第一章：函数和极限1. 函数的概念和性质2. 极限的概念和性质3. 极限的运算法则4. 无穷大与无穷小量5. 函数的连续性6. 一元函数的导数和微分第二章：一元函数的微分学1. 导数的定义和性质2. 导数的几何意义和物理意义3. 微分的概念和性质4. 微分中值定理5. 函数的高阶导数6. 复合函数的导数第三章：一元函数的积分学1. 不定积分和定积分的概念2. 基本积分公式3. 定积分性质和计算方法4. 牛顿-莱布尼茨公式5. 定积分的几何意义和物理意义6. 定积分和不定积分的关系第四章：一元函数的应用1. 曲线的切线和法线2. 函数的单调性和凹凸性3. 函数的极值和最值4. 弧长和曲线的曲率5. 定积分的应用：面积和体积计算6. 微分方程的应用第五章：数列和级数1. 数列的概念和性质2. 数列的极限和收敛性3. 数列极限的运算法则4. 单调数列的性质5. 级数的概念和性质6. 常见级数的收敛性判别第六章：无穷级数1. 可数无穷集合和不可数无穷集合2. 数列极限存在准则3. 函数项级数的收敛性4. 幂级数的收敛性5. 傅里叶级数的收敛性6. 项级数的运算性质和收敛域第七章：多元函数的微分学1. 多元函数的极限和连续性2. 偏导数和全微分3. 多元复合函数的导数4. 隐函数的导数5. 方向导数和梯度6. 条件极值和拉格朗日乘子法第八章：多元函数的积分学1. 二重积分和三重积分的概念2. 二重积分和三重积分的性质3. 二重积分和三重积分的计算方法4. 广义积分的概念和性质5. 广义积分的收敛性判别6. 曲线积分和曲面积分第九章：多元函数的应用1. 向量场及其运算2. 向量场的散度和旋度3. 曲线、曲面的方程4. 曲线积分和曲面积分的应用5. 散度定理和高斯公式6. 斯托克斯公式及其应用第十章：常微分方程1. 方程的解和初值问题2. 一阶线性微分方程3. 二阶线性常系数齐次微分方程4. 二阶线性非齐次微分方程5. 微分方程的应用6. 线性微分方程组该教材答案包含了新编高等数学第二版教材中各个章节的题目答案，以方便学生们辅助学习和复习。

一元函数积分学的应用教案：一元函数积分学的应用引言：在高中数学中，一元函数积分学是一个重要的概念，它是微积分的核心内容之一。

积分学是研究函数积分的方法和应用的学科。

通过学习一元函数积分学，我们可以研究函数的变化趋势、面积计算、物理问题的建模和解决等一系列问题。

本教案将针对一元函数积分学的应用进行深入的探讨，帮助学生更好地理解该知识点的实际应用。

一、定积分与反常积分1.1 定积分的概念和性质- 定积分的定义与几何意义- 定积分的性质：线性性质、区间可加性、保号性1.2 反常积分的概念和性质- 反常积分存在的条件- 反常积分的判定方法二、定积分的应用2.1 函数的面积计算- 定积分与曲线下面积的关系- 利用定积分计算曲线下的面积2.2 平均值和中值定理- 平均值定理的说明和应用- 中值定理的说明和应用2.3 函数的积分学基本定理与变限积分 - 函数的积分学基本定理的说明和应用 - 变限积分的定义和计算2.4 应用题- 利用定积分求解几何问题- 利用定积分求解物理应用问题三、反常积分的应用3.1 收敛性和计算方法- 收敛性的定义和判定- 常见反常积分的计算方法3.2 物理问题的建模与解决- 利用反常积分解决物理问题- 建立数学模型求解问题结语：通过本教案的学习，学生将对一元函数积分学的应用有更深入的理解，能够掌握定积分和反常积分的基本概念、性质和应用方法，并能够将其应用于面积计算、物理问题的建模和解决等实际场景中。

同时，本教案也可激发学生对数学的兴趣和求知欲望，培养他们的数学思维和问题解决能力。

希望学生们通过学习，能够掌握一元函数积分学的应用，为今后的学习打下坚实的基础。

数学分析教案一、教案概述本教案是为高中数学分析课程编写的，旨在帮助学生掌握数学分析的基础知识和解题技巧。

通过系统的教学安排，结合生动的教学方法，提高学生的学习兴趣和主动性，达到有效教学的目的。

二、教学目标1. 知识与理解目标：- 掌握函数、极限、导数和积分等基本概念；- 理解数列、级数和函数收敛与发散的概念；- 理解函数的连续性和可导性。

2. 能力目标：- 能够正确运用函数的极限、导数和积分的计算方法；- 能够分析和解决实际问题；- 能够利用数学分析解决相关学科的问题。

3. 情感目标：- 培养学生对数学的兴趣和好奇心；- 提高学生的逻辑思维和问题解决能力。

三、教学重难点1. 教学重点：- 函数、极限、导数和积分的基本概念和性质；- 极限运算法则、导数计算法则和积分计算法则的掌握。

2. 教学难点：- 函数连续性和可导性的理解和判断；- 极限的证明和应用。

四、教学内容和安排本教案共包括以下内容：1. 第一章函数与极限- 1.1 函数概念及其运算- 1.2 极限的概念与性质- 1.3 极限运算法则2. 第二章导数与微分- 2.1 导数的概念与计算- 2.2 导数的应用3. 第三章不定积分- 3.1 不定积分的概念与性质- 3.2 基本积分公式- 3.3 积分法与定积分4. 第四章一元函数微分学应用- 4.1 驻点与极值- 4.2 一元函数的应用问题五、教学方法与手段1. 讲授法：通过清晰的语言和具体的实例讲解基本概念和性质；2. 演示法：通过图像和图表等形式展示数学分析的过程和结果；3. 实践法：设置一些练习和问题让学生积极参与，提高实际运用能力。

六、课堂活动与作业安排1. 课堂活动：- 利用实例引出函数的概念和运算法则；- 通过图像展示极限的概念和性质；- 设计小组讨论活动，加深对导数和积分概念的理解。

2. 作业安排：- 预习下一课的内容，了解相关定义和性质；- 完成课后习题，巩固所学知识；- 复习已讲过的内容，加深理解。

高等数学一教材目录第一章：函数与极限1.1 实数与数轴1.2 函数的概念1.3 极限的引入1.4 极限的性质1.5 无穷小与无穷大1.6 极限存在准则1.7 极限运算法则第二章：导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的几何意义2.3 基本导数公式2.4 高阶导数2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 微分的概念与性质2.7 函数的增量与微分近似计算2.8 高阶导数的应用第三章：微分学基本定理3.1 角度的测量3.2 三角函数3.3 幂函数与指数函数3.4 对数函数与指数方程3.5 反函数与反三角函数3.6 复合函数的导数3.7 高阶导数的计算3.8 微分中值定理与导数的应用第四章：一元函数积分学4.1 不定积分的概念与性质4.2 不定积分的基本公式4.3 定积分的概念与性质4.4 定积分的基本公式4.5 牛顿-莱布尼茨公式4.6 反常积分4.7 积分中值定理与定积分的应用第五章：多元函数微分学5.1 多元函数的极限5.2 偏导数与全微分5.3 多元函数的微分法则5.4 隐函数的导数5.5 多元复合函数的求导法则5.6 方向导数与梯度5.7 多元函数的极值5.8 多元函数的参数化曲线第六章：多元函数积分学6.1 二重积分6.2 二重积分的计算方法6.3 二重积分的应用6.4 三重积分6.5 三重积分的计算方法6.6 三重积分的应用6.7 曲线与曲面积分6.8 曲线与曲面积分的计算方法6.9 曲线与曲面积分的应用第七章：无穷级数7.1 数列的极限7.2 数列极限的性质7.3 无穷级数的收敛与发散7.4 正项级数的审敛法7.5 幂级数与函数展开7.6 Taylor展开7.7 Fourier级数第八章：常微分方程8.1 微分方程的基本概念8.2 一阶常微分方程8.3 高阶常微分方程8.4 常系数线性齐次微分方程8.5 非齐次线性微分方程8.6 变量分离的微分方程8.7 常微分方程的应用这是《高等数学一》教材的目录，涵盖了函数与极限、导数与微分、微分学基本定理、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数和常微分方程等各个章节的主要内容。

第四章 一元函数微分学的应用第一节 柯西(Cauchy )中值定理与洛必达(Hospital L ')法则思考题 ：1. 用洛必达法则求极限时应注意什么？答：应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足.2. 把柯西中值定理中的“()x f 与()x F 在闭间区[]b a ,上连续”换成“()x f 与()x F 在开区间()b a ,内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明.答：不成立.图像如下：习作题：1. 用洛必达法则求下列极限：（1）11lim 21--→x x x ， （2）xxx sin lim 1→，（3）()πππ--→x x x sin lim ， （4）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim .解：(1)11lim 21--→x x x =)1(lim 1+→x x =2,(2)xxx sin lim0→=x x cos lim 0→=1,(3)()ππsin lim π--→x x x =()1πcos lim π-→x x =1,(4)x x x x x x x --+-→4240sin 23lim =14cos 264lim 330--+-→x x x x x = 1012--=1-. 2. 用洛必达法则求下列极限：（1）xx x +→0lim , （2）()xx x 11lim +→.解 ：(1)x x x +→0lim =xxx ln 0elim +→=xx x10ln lime+→ =xx -+→0lim e=1,(2)()xx x 101lim +→=xx x 1)1ln(0elim +→ =xx x )1ln(lime+→=11lim0e+→x x =e .3. 设()x x x f -=2，直接用柯西中值定理求极限()xx f x sin lim 0→. 解：()00=f , 00sin =,()xx f x sin lim 0→∴ =()()0sin sin 0lim 0--→x f x f x =()()ξξn si lim0''→f x (ξ在0与 x 之间) =ξξξcos 12lim-→=1-.第二节 拉格朗日)Lagrange (中值定理及函数的单调性思考题：1.将拉格朗日中值定理中条件()x f “在闭区间[]b a ,上连续”换为“在开区间()b a ,内连续”后，定理是否还成立？试举例（只需画图）说明.答：不成立.如下图：2. 罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理，仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论，并回答下列问题.罗尔中值定理：若()x f 满足如下3条： （1）在闭区间[]b a ,上连续；（2）在开区间()b a ,上可导；（3）在区间[]b a ,端点处的函数值相等，即)()(b f a f =，则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf .需回答的问题：（1）罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别？答：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广.（2）罗尔中值定理中条件（1）换为“在开区间()b a ,内连续”，定理的结论还成立吗？画图说明.答：不成立.如下图：（3）不求()()()()()4321----=x x x x x f 的导数，说明方程()0='x f 有几个实根,并指出它们所在的区间.答：方程()0='x f 有3个实根, 分别在区间（1, 2）、（2, 3）、（3, 4）内. 原因： 0)4()3()2()1(====f f f f , 据罗尔定理即可得出结果.3. 举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的（可采用画图方式说明）.答：如下图所示.)(x f 在],[b a 内不连续)(x f 在0=x 处不可导习作题：讨论函数2e x y -=的单调性.解：函数2e x y -=的定义域为),(+∞-∞,2e 2x x y --=', 令0='y , 得0=x ,用0=x 把),(+∞-∞ 分成两部分)0(),0,(∞+-∞,当)0,(-∞∈x 时0)(>'x f , 当),0(+∞∈x 时0)(<'x f , 因此2e x y -=在)0,(-∞上单调递增, 在),0(+∞上单调递减.第三节 函数的极值与最值思考题：1. 画图说明闭区间上连续函数)(x f 的极大值与最值之间的关系. 答：图像如下由图可知, 函数)(x f 的极值与最值的关系为：)(x f 的极值为可能为最值，最值在极值点及边界点上的函数值中取得.2. 可能极值点有哪几种？如何判定可能极值点是否为极值点？答：对连续函数来说，可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点（尖点）两种. 利用极值的第一充分条件或第二充分条件判定.习作题：1. 求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f .∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.2. 求函数x x y -+=1在]1,5[-上的最大值. 解：xy --='1211, 令0='y , 得43=x . ∵45)43(=y , ()565-=-y , ()11=y , 比较可知 x x y -+=1在]1,5[-上最大值为45=y .第四节 曲率思考题：1. 对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？为什么？ 答：相等.因为：曲率半径r r s R s s =∆⋅∆=∆∆=→∆→∆ααα00lim 1lim 1. 2. 是否存在负曲率，为什么？答：不存在.因为曲率定义为：sk s ∆∆=→∆α0lim ，故可知曲率为非负的值.习作题：1. 求立方抛物线()03>=a ax y 上各点处的曲率, 并求a x =处的曲率半径.解：23ax y =', ax y 6='', 于是曲率 ()2321y y k '+''==()2342916x a ax+,当 a x =时曲率 ()2362916a a k +=,故曲率半径()26691123a a k R +==.2. 曲线()03≥=x x y 上哪一点处曲率最大，求出该点的曲率. 解：23x y =', x y 6='', 故曲率 ()())0(916916232344≥+=+=x x xx xk ,对k 关于x 求导, 得()23444916)91541(d d x x x x k ++-=, 令0d d =xk且0≥x 得4451=x . <≤x 04451时, 0d d >xk ; 4451>x 时, 0d d <xk , ∴曲线()03≥=x x y 上，)45,45(4341--处曲率最大 , 最大曲率为44535⋅=k .第五节 函数图形的描绘思考题：1. 若))(,(00x f x 为连续曲线弧()x f y =的拐点，问： （1）()0x f 有无可能是()x f 的极值，为什么？ 答：可能.如：()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=,0,,0,2x x x x x y)0,0(为()x y 的拐点且()0y 为)(x y 的极值.（2）()0x f '是否一定存在？为什么？画图说明答：不一定. 如31x y = 图像如右：()0,0点为曲线31x y =的拐点，但d d =x xy2. 根据下列条件，画曲线：(1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正.解：如下图.(2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正.解：如下图.(3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，但一阶导数处处为负.解：如下图.（4）画出一条曲线，使得它的一阶、二阶导数处处为负.解：如下图.习作题：1. 设水以常速s /m 3a （0>a ）注入图4—19所示的容器中，请作出水上升的高度关于时间t 的函数()t f y =的图像，阐明凹向，并指出拐点.在区间[]1,0t 上函数()t f y =的图像上凹, 在区间[]21,t t 上函数()t f y =的图像下凹, 点()()11,t f t 为函数图像的拐点.2. （1）()x f '的图像如图4—20所示，试根据该图像指出函数)(xf 本身拐点横坐标x 的值.答：拐点横坐标为3x x =与4x x =. （2）在图4—21的二阶导数()x f ''的图像中，指出函数()x f 本身拐点横坐标x 的值. 答：拐点横坐标为1x x =和2x x =. 3. 求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',图4—19令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y , ∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.4.求曲线()()213--+=x x x y 的渐近线.解：()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .第六节 一元函数微分学在经济上的应用思考题:1. 回答下列问题：(1) 为什么说需求价格弹性一般为负值？答：因为需求价格弹性()p Q p Q p Ep EQ d d ⋅=中，pQd d 是需求量关于价格的导数, 而一般情况下，需求函数()p Q Q =是价格p 的单凋递减函数，即一般地0d d <pQ, 所以说需求价格弹性一般为负值.(2)设生产x 个单位产品时，总成本为()x C ，问这时每单位产品的平均成本是多少？答：平均成本()xxCxC=)(.(3)用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增长速度正在逐步变慢”，并画图说明.答：设u 表示某项经济指标，t 表示时间，)(t u u =二阶可导，则“经济指标的增长速度正在逐步加快”，即指t u d d 是递增函数，所以0d d 22>t u ，也即)(t u u =的图像上升且上凹（如下图1）；相反“经济指标的增长速度正在逐步变慢”，即指0d d ,0d d 22<>tut u ，也即)(t u u =的图像上升且下凹（如下图2）.2. 一般情况下，对商品的需求量Q是消费者收入x 的函数，即)(x Q Q =，试写出需求Q 对收入x 的弹性——需求收入弹性数学公式，并分析其经济意义.答：需求收入弹性()xQx Q x Ex EQ d d ⋅=. 因为一般情形下，需求Q 是收入x 的增函数， 故0d d >x Q 从而Ex EQ >0. 若ExEQ=1，则表明需求的变动幅度与收入的变动幅度是同步的，若>Ex EQ1，则表明需求变动的百分比高于收入变动的百分比.若0<ExEQ <1，则表明需求变动的百分比低于收入变动的百分比.习作题：1. 某厂商提供的总成本和总收入函数如右图，试画出下列对于产品数量q 的函数图象.（1）总利润；（2）边际成本；（3）边际收入解：（1）总利润L=)()(q C q R -，图像如下图（1）,tu（2）边际成本c M =)('q C , 图像如下图（2）, （3）边际收入R M =)('q R , 图像如下图（3）.2. 求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=.(2)（2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时，需求弹性小.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

高等数学南开大学教材高等数学是一门重要的基础学科，为理工科学生提供了必要的数学工具和思维方法。

南开大学的高等数学教材是该领域的重要参考资料之一，以下是对其内容的简要介绍。

第一章：极限与连续这一章主要介绍数列的极限概念与性质，以及函数的极限和连续性。

其中包括各种常见函数的极限计算方法、级数的收敛性判断、函数连续性的定义和常用判定法等内容。

第二章：导数与微分该章节围绕函数的导数展开，介绍导数的定义、性质和计算方法。

其中包括基本初等函数的导数计算、复合函数求导法则、隐函数与参数方程的导数计算等内容。

同时还介绍了微分的概念及其应用，包括泰勒展开式和局部线性化等知识。

第三章：一元函数的高阶导数与微分这一章节进一步深入讨论了函数的高阶导数和微分，介绍了高阶导数的定义与计算、如何利用高阶导数判定函数的性质、泰勒公式的推广和误差估计等内容。

第四章：微分学的应用第四章主要介绍微分学在实际应用中的具体应用，包括曲线的凹凸性与拐点、函数的单调性与极值、附带条件的最大值和最小值等方面的内容。

此外，还介绍了微分中值定理、洛必达法则等重要的计算方法。

第五章：不定积分该章节讨论了不定积分的基本概念、性质和计算方法。

包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等内容。

此外，还介绍了定积分和不定积分之间的关系，以及微积分基本定理。

第六章：定积分与其应用第六章主要介绍定积分的定义和性质，以及定积分的计算方法。

包括分段函数的积分、定积分与不定积分的关系、变限积分和面积计算等内容。

此外，还介绍了牛顿-莱布尼茨公式和定积分的物理应用。

第七章：多元函数的偏导数与全微分这一章节开始讨论多元函数的微积分，引入了偏导数和全微分的概念。

包括偏导数的定义、高阶偏导数的计算、全微分与方向导数的关系等内容。

同时还介绍了多元函数的极值和条件极值的判定方法。

第八章：多元函数的积分学该章节介绍了多元函数的重积分和曲线、曲面积分的概念。

包括二重积分和三重积分的计算方法、变量代换与极坐标系下的积分计算等内容。

高等数学第七版教材答案注意：本答案仅供参考，请在自主学习过程中正确理解和使用。

第一章：数列与极限1.1 数列的概念与性质1.1.1 数列的定义数列是由一列数按特定次序排列而成的序列。

一般记作{an}，其中n代表序号，an为对应的数。

1.1.2 数列的性质数列可以是有穷的，即仅有有限个数。

也可以是无穷的，即有无限多个数。

1.2 数列的收敛性与极限1.2.1 收敛数列的概念如果数列{an}当n趋近于无穷时，其数值趋近于一个有限的常数a，则称数列{an}收敛于a。

记作lim(n->∞)an=a。

1.2.2 数列极限的性质（1）数列极限唯一性：如果数列{an}收敛，则其极限唯一。

（2）有界性原理：收敛数列是有界的，即存在一个正数M，使得对于所有的n，|an|≤M。

1.3 数列极限的判定方法1.3.1 夹逼准则如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim(n->∞)an=lim(n->∞)cn=a，那么lim(n->∞)bn=a。

1.3.2 单调有界准则对于数列{an}，如果它是单调递增且有上界（即存在一个数M，使得对于所有的n，an≤M），或者它是单调递减且有下界（即存在一个数N，使得对于所有的n，an≥N），那么它必定收敛。

第二章：一元函数的连续性与导数2.1 函数的连续性2.1.1 函数的连续性定义设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义，如果lim(x->a)f(x)=f(a)，则称函数f(x)在点x=a处连续。

2.1.2 连续函数的性质（1）连续函数的四则运算与复合运算仍然是连续函数。

（2）有界闭区间上连续函数一定有最大值和最小值。

（3）介值定理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a)不等于f(b)，那么对于介于f(a)与f(b)之间的任意实数c，在[a, b]上必然存在一个点x0，使得f(x0)=c。

2.2 导数与可导性2.2.1 导函数的定义设函数f(x)在某一点x处有定义，如果函数f(x)在点x处的极限lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h存在，则称此极限为函数f(x)在点x处的导数。