高等数学 第三章 一元函数微积分学及其应用

《高等数学》课程标准课程名称：高等数学课程类别：公共基础课教学学时：60学时课程学分：4先行课程：适用专业：建筑工程技术、建筑工程造价、水利水电工程管理、水利水电建筑工程参考教材：1、《高等数学》高等教育出版社，出版社2008年2月第四版，盛祥耀。

2、《高等数学》高等教育出版社，出版社2003年8月第二版，侯风波。

一、课程性质高等数学课是高等学校各工程专业必修的一门重要的基础课。

通过本课程的学习，学生将较系统的获得大纲所列内容的基本知识，必需的基础理论和常用的运算方法为学生学习后续课和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的数学方法。

通过教学要实现传授知识和发展能力两方面的教学目的，能力培养要贯穿教学全过程。

本课程关于能力方面的要求是：培养学生具有比较熟练的基本运算能力、自学能力、综合运用所学知识分析研究问题和解决问题的能力、初步抽象概括问题的能力以及一定的逻辑推理能力。

教学中要认真探讨和贯彻“以应用为目的，以必须够用为度”的原则。

教学重点要放在“掌握概念，强化应用，培养技能”上。

二、课程目标（一）知识目标1、通过学习，正确理解以下概念：函数、极限、连续性、导数、微分、偏导数、全微分、函数的极值。

不定积分、定积分、有关空间解析几何及常微分方程的基本概念；2、理解下列基本理论、基本定理和公式：基本初等函数的性质及图形，基本初等函数的导数公式，不定积分基本公式，变上限积分及其求导定理、牛顿－莱布尼兹公式，偏导数的几何意义，极值存在的必要条件，直线与平面的方程，典型的二次曲面、二阶线性常微分方程解的结构；3、通过学习本书，掌握下列运算法则和方法：求函数和数列极限的方法与运算法则，导数和微分的运算法则，复合函数求导法，初等函数一阶、及较简单的二阶导数的求法，用导数判断函数的单调性及求极值方法；4、多元复合函数的偏导数求法，不定积分、定积分的换元与分部积分法，一阶可分离变量微分方程的求解，二阶常系数齐次线性微分方程的解法；5、用定积分和常微分方程方法求解一些简单的几何问题，用极值方法求解简单的最大值最小值的应用问题；（二）技能目标1、运动变化的客观世界中，很多现象和过程是通过微分方程来描述的。

试题特点：知识点覆盖全面， 大多数题目难度不大，个别题目有一定的难度， 但都没有超出大纲要求。

复习要求：不报侥幸心理， 复习要涉及每个知识点。

每个知识点要做相应的练习题。

高等数学(一)微积分一元函数微分学( 第三章、第四章)一元函数积分学（第五章）第一章函数及其图形第二章极限和连续多元函数微积分（第六章）高数一串讲教材所讲主要内容如下：全书内容可粗分为以下三大部分：第一部分 函数极限与连续（包括级数） 第二部分 导数及其应用（包括多元函数）第三部分 积分计算及其应用 （包括二重积分和方程）第一部分 函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。

2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。

3、求反函数。

4、求复合函数的表达式。

二、极限与连续常见考试题型：1、求函数或数列的极限。

2、考察分段函数在分段点处极限是否存在，函数是否连续。

3、函数的连续与间断。

4、求函数的渐进线。

5、级数的性质及等比级数。

6、零点定理。

每年必有的考点第三部分导数微分及其应用常见考试题型：1、导数的几何意义；2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。

3、求函数的导数：复合函数求导，隐含数求导，参数方程求导；4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；5、求闭区间上连续函数的最值；6、实际问题求最值。

每年必有的考点第四部分积分计算及应用考试常见题型1、不定积分的概念与计算；2、定积分的计算；3、定积分计算平面图形的面积；4、定积分计算旋转体的体积；5、无穷限反常积分6、二重积分7、微分方程最近几年考题中，积分计算的题目较多，而且也有一定的难度。

第一部分函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型：1、求函数的自然定义域。

2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。

3、求反函数。

4、求复合函数的表达式。

例1..函数y=23log log x 的定义域是___________. 2007.7 知识点：定义域约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。

1．◆课程名称：《高等数学》D2．授课教师：杨荣3．课程学时：644．课程学分：45．先修课程：无6．实验学时：07．上机学时：08．授课教材：《大学文科数学》张吉尔主编，南开大学出版社。

9．参考书目：《高等数学》第五版。

同济大学教研室编，同济大学出版社。

《高等数学学习指南》商仪新，杨荣，张杰等编，东北师范大学出版社。

10．期中考试：无11．是否辅导：各站点需要配备辅导教师。

12．备注信息：无课程简介《高等数学》是文科学生比较重要的基础课之一。

通过对本课程学习，可以增强文科学生理性思维能力。

包括四部分内容：一、函数与极限：函数的概念及性质；数列和函数的极限的概念及性质；函数的连续。

二、导数及其应用：导数的概念及计算；微分及其计算；微分中值定理，利用导数研究函数。

三、一元函数的积分学：不定积分的概念、性质及计算；定积分的性质及计算；定积分的应用。

四、常微分方程的基础知识：常微分方程的基本概念；常见的一阶微分方程（可分离变量、齐次：一阶线性）的方程，二阶常系数齐次线性方程的解法。

教学目的《高等数学》是文科学生比较重要的基础课之一，通过对《高等数学》学习，可以培养文科学生的抽象思维能力，逻辑推理能力，空间想象能力，分析问题和解决问题的能力。

改变目前大专院校有些学生中存在的理科学生缺乏文学素质，文科学生缺乏理性思维的现象。

无疑对于文科学生培养一定的理生思维对今后专业的发展有很大益处。

教学计划第一章函数与极限讲课10学时习题2学时第一节函数3学时第二节函数的极限5学时第三节连续函数2学时第二章导数及其应用讲课16学时，习题课4学时第一节导数的概念及运算5学时第二节微分及其运算3学时第三节微分中值定理4学时第四节利用导数研究函数4学时第三章一元函数积分学讲课16学时,习题课4学时第一节不定积分8学时第二节定积分5学时第三节不定积分的应用3学时第四章常微分方程的基础知识讲课10学时,习题2学时第一节基本概念2学时第二节可分离变量的一阶方程与齐次方程3学时第三节一阶线性方程及应用举例2学时第四节二阶常系数线性方程的解法3学时教学内容第一章函数与极限函数是《高等数学》中最基本、最重要的概念之一，是高等数学的主要研究对象。

河北师范大学高等数学教材河北师范大学高等数学教材是河北师范大学数学系所使用的教学材料，旨在帮助学生全面深入地了解和掌握高等数学的基本理论和方法。

本教材由该校数学系教师精心编写，涵盖了高等数学各个分支的主要内容，包括微积分、线性代数、常微分方程等。

第一章微积分微积分是高等数学的基础，也是数学系学生必须掌握的核心内容之一。

本章介绍了微积分的起源和基本思想，引入了极限和导数的概念，并讲解了一元函数的极限、连续性和导数的计算方法。

此外，本章还介绍了微分学的应用，包括最值问题、曲线的切线和法线等。

第二章线性代数线性代数是数学中的一门重要学科，对于数学系学生来说具有重要的理论和实际应用价值。

本章主要介绍了线性代数的基本概念和性质，包括向量空间、线性方程组、矩阵和行列式等。

同时，还探讨了线性代数在几何学和物理学中的应用，如坐标变换、曲线拟合和力学问题等。

第三章常微分方程常微分方程是数学系学生必须学习和掌握的重要内容，它在各个科学领域中都有广泛的应用。

本章首先介绍了常微分方程的基本概念和分类，然后讲解了一阶和二阶常微分方程的解法，包括分离变量法、特殊变量代换法和变系数法等。

此外，还介绍了常微分方程在生物学、经济学和物理学等领域中的应用案例。

第四章概率论与数理统计概率论与数理统计是数学系学生必修的一门课程，它对于理解和应用概率的基本概念以及数据的统计分析方法至关重要。

本章主要介绍了概率论和数理统计的基本概念和原理，包括概率、随机变量、概率分布、参数估计和假设检验等。

此外，还介绍了概率论与数理统计在现实生活中的应用，如投资决策、人口统计和品质控制等。

第五章多元函数微积分多元函数微积分是高等数学中的重要分支，对于数学系学生来说具有重要的理论和应用价值。

本章主要介绍了多元函数的极限、连续性和偏导数等概念，以及多元函数的极值和泰勒展开等计算方法。

此外，还介绍了多元函数在工程学和自然科学中的应用，如最优化问题、曲线积分和曲面积分等。

《高等数学（微积分）》教学大纲课程代码:执行日期:许可部门：上海商学院教务处适用专业：公共必修课有效期限：2009.9—2012.7上海商学院基础学院高等数学（微积分）教学大纲课程名称：高等数学（微积分）课程编码：英文名称：Advanced Mathematics（Calculus）学时：144 学分：8开课学期：第一学年第一、第二学期适用专业：财经类本科课程类别：公共必修课先修课程：完成高中阶段的数学课程建议教材：21世纪高等学校经济数学教材《微积分》杨爱珍主编复旦大学出版社一、课程目的、任务数学向社会科学渗透及社会的数字化是当今科技发展的一般趋势。

它是一门研究客观世界数量关系和空间形式的科学，也是一种思维模式和文化素养。

数学教育在培养高素质经济管理人才中具有其独特的、不可替代的重要作用。

《高等数学》是高等学校经管类专业本科生必修的重要基础理论课程。

通过课程的教学，应使学生获得一元函数微积分、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程及其经济应用方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，为学习各类后继课程和今后从事科研活动、阅读或撰写科技论文奠定必要的数学基础。

在教学过程中要注意培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，综合运用所学知识分析解决问题的能力和较强的自主学习能力，逐步培养学生的探索精神和创新能力。

二、课程教学基本要求本课程按不同教学内容分为两个层次。

文中用粗体字排印的内容，应使学生深入领会和掌握，并能熟练运用。

其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算的要求用“掌握”一词表述。

非黑体字排印的内容，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。

其中，概念、理论的要求用“了解”一词表述，方法、运算的要求用“会”或“了解”一词表述。

（一）函数、极限、连续（18学时）1．理解函数的概念，了解函数的基本性态（奇偶性、周期性、单调性、有界性）。

2．理解复合函数的概念，了解反函数的概念，理解初等函数的概念。

高等数学系列教材目录第一册：微积分基础1.数集与函数1.1 数集的表示与运算1.2 函数的定义与性质1.3 常用函数及其图像2.极限与连续2.1 数列与极限2.2 函数的极限2.3 连续函数与间断点3.导数与微分3.1 导数的定义与计算3.2 微分的概念与应用3.3 高阶导数与高阶微分4.一元函数的应用4.1 函数的单调性与极值4.2 函数的凹凸性与拐点4.3 泰勒公式及其应用第二册：多元函数微积分1.二元函数与偏导数1.1 二元函数的定义与性质1.2 偏导数与全微分1.3 隐函数与参数方程求导2.多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值2.2 隐函数极值与参数方程极值2.3 条件极值与拉格朗日乘子法3.重积分3.1 二重积分的计算3.2 三重积分的计算3.3 积分次序与坐标变换4.曲线与曲面积分4.1 曲线积分的计算4.2 曲面积分的计算4.3 斯托克斯定理与高斯公式第三册：级数与常微分方程1.级数的收敛性与性质1.1 数项级数的概念与性质1.2 正项级数的审敛法1.3 交错级数与绝对收敛2.幂级数与函数展开2.1 幂级数的收敛域与收敛半径 2.2 幂级数的运算与逐项求导2.3 函数的泰勒级数展开3.常微分方程基础3.1 微分方程的基本概念3.2 一阶线性微分方程3.3 高阶线性微分方程4.常微分方程应用4.1 古典物理问题的建模与求解 4.2 生物、经济与工程领域的应用4.3 相图与稳定性分析第四册：向量与解析几何1.向量代数基础1.1 向量的定义与运算1.2 向量的线性相关性与线性无关性1.3 向量的内积与外积2.空间直线与平面2.1 三维空间的点、直线与平面2.2 直线的方向向量与法向量2.3 空间直线与平面的位置关系3.空间曲线与曲面3.1 曲面的参数方程与一阶偏导数 3.2 流形与曲率3.3 空间曲线、曲面与切线法向第五册：数学分析基础1.度量空间与拓扑1.1 度量空间的定义与性质1.2 拓扑空间的概念与特征1.3 开集、闭集与连通性2.泛函分析2.1 功能空间与泛函空间2.2 线性算子与线性泛函2.3 无穷维空间与紧性理论3.微分流形3.1 流形的定义与性质3.2 曲线与曲面的切空间3.3 切向量场与流形上的积分4.测度论基础4.1 测度空间的定义与测度函数4.2 测度的可测性与测度的完备性4.3 测度函数与积分运算这是《高等数学系列教材》的目录，详细介绍了每一册的章节内容。

大学高等数学教材目录第一章前言1.1 数学教材的重要性1.2 数学教材的组成要素第二章函数与极限2.1 函数的概念与性质2.1.1 函数的定义2.1.2 函数的图像与性质2.2 极限的概念与性质2.2.1 极限的定义2.2.2 无穷小量与无穷大量2.3 一元函数的极限2.3.1 极限的运算法则2.3.2 连续函数与间断点2.4 多元函数的极限2.4.1 多元函数的定义与性质2.4.2 多元函数的极限计算2.5 极限存在准则与极限运算法则 2.5.1 极限存在准则2.5.2 极限运算法则的应用第三章导数与微分3.1 导数的概念与性质3.1.1 导数的定义与解释3.1.2 导数的几何意义与物理意义 3.2 导数运算法则3.2.1 导数的四则运算3.2.2 链式法则与复合函数的导数 3.3 高阶导数与隐函数求导3.3.1 高阶导数的定义3.3.2 隐函数求导的方法3.4 微分与微分近似3.4.1 微分的定义与计算3.4.2 微分近似与局部线性化第四章积分与定积分4.1 不定积分与反导函数4.1.1 不定积分的概念与性质4.1.2 基本积分公式与换元积分法4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义与几何意义4.2.2 定积分的计算方法4.3 定积分的应用4.3.1 几何应用：曲线长度与曲面面积 4.3.2 物理应用：质量、质心与弧长 4.4 微积分基本定理及其应用4.4.1 第一型与第二型微积分基本定理 4.4.2 牛顿-莱布尼茨公式的推广第五章一元函数的级数5.1 数项级数5.1.1 数项级数的概念与性质5.1.2 数项级数的敛散性判定5.2 幂级数与函数展开5.2.1 幂级数的收敛半径5.2.2 幂级数的基本性质与展开5.3 函数项级数5.3.1 函数项级数的概念与性质5.3.2 函数项级数的一致收敛性5.4 泰勒级数与傅里叶级数5.4.1 泰勒级数的定义与应用5.4.2 傅里叶级数的定义与计算第六章多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.1.1 多元函数的定义6.1.2 多元函数的极限与连续性6.2 偏导数与全微分6.2.1 偏导数的定义与计算6.2.2 全微分与多元函数的微分近似 6.3 多元复合函数与隐函数求导6.3.1 多元复合函数的偏导数6.3.2 多元隐函数的求导方法6.4 梯度与方向导数6.4.1 多元函数的梯度6.4.2 方向导数与梯度的应用第七章多元函数的积分学7.1 二重积分的概念与性质7.1.1 二重积分的定义与几何意义 7.1.2 二重积分的计算方法7.2 二重积分的应用7.2.1 几何应用：面积与质心7.2.2 物理应用：质量与矩7.3 三重积分的概念与性质7.3.1 三重积分的定义与几何意义 7.3.2 三重积分的计算方法7.4 三重积分的应用7.4.1 几何应用：体积与质心7.4.2 物理应用：质量与转动惯量7.5 曲线与曲面积分7.5.1 第一型曲线积分7.5.2 第二型曲线积分与曲面积分第八章常微分方程8.1 微分方程的基本概念8.1.1 微分方程的定义与分类8.1.2 初值问题与解的存在唯一性 8.2 一阶常微分方程8.2.1 可分离变量方程8.2.2 一阶线性方程8.3 二阶线性常系数齐次微分方程 8.3.1 特征方程与通解形式8.3.2 边值问题与特解法8.4 高阶线性常系数齐次微分方程 8.4.1 特征方程与通解形式8.4.2 边值问题与特解法8.5 常微分方程的应用8.5.1 骨架曲线与特解的选择8.5.2 物理领域中的应用第九章向量代数与空间解析几何9.1 向量的基本概念与运算9.1.1 向量的定义与性质9.1.2 向量的线性运算与数量积9.2 空间直线与平面9.2.1 空间直线的参数方程9.2.2 空间平面的法向量与标准方程 9.3 空间曲线与曲面9.3.1 曲线的参数方程与切向量9.3.2 曲面的方程与切平面9.4 空间解析几何的应用9.4.1 空间中的曲线运动问题9.4.2 几何体的性质与计算第十章空间向量与向量函数微积分10.1 空间向量的运算10.1.1 空间向量的定义与基本性质10.1.2 空间向量的线性运算与向量积 10.2 空间向量的微积分10.2.1 向量函数的极限与连续性10.2.2 向量函数的导数与曲率10.3 曲线与曲面的向量微积分10.3.1 参数曲线的弧长与切向量10.3.2 向量场与曲面积分第十一章多元函数与多元积分11.1 多元复合函数与链式法则11.1.1 高阶导数的定义与计算11.1.2 链式法则与复合函数的高阶导数 11.2 多元函数的积分11.2.1 多元函数的定积分11.2.2 重积分的计算方法11.3 极坐标与球面坐标系下的积分11.3.1 极坐标系下的二重积分11.3.2 球面坐标系下的三重积分11.4 多元积分的应用11.4.1 几何应用：质心与转动惯量 11.4.2 物理应用：质量、通量与功率第十二章向量场与曲线积分12.1 向量场的基本概念和性质12.1.1 向量场的定义与性质12.1.2 向量场的流线与发散度12.2 曲线积分的概念与性质12.2.1 曲线积分的定义12.2.2 曲线积分的计算方法12.3 格林公式与环量12.3.1 格林公式的表述与应用12.3.2 环量与全微分12.4 曲面积分的概念与性质12.4.1 曲面积分的定义与计算12.4.2 流量与高斯公式12.5 散度与环量12.5.1 散度的定义与计算12.5.2 散度与高斯公式的应用第十三章曲线曲面积分与斯托克斯公式 13.1 曲线积分的类型与计算13.1.1 第一型与第二型曲线积分13.1.2 曲线积分计算方法13.2 曲面积分的类型与计算13.2.1 第一型与第二型曲面积分13.2.2 曲面积分计算方法13.3 散度定理与高斯公式13.3.1 散度定理的表述与应用13.3.2 高斯公式与流量计算13.4 斯托克斯定理与环量13.4.1 斯托克斯定理的表述与应用 13.4.2 环量计算与应用第十四章常微分方程数值解14.1 常微分方程初值问题的数值解法14.1.1 欧拉方法与改进的欧拉方法14.1.2 龙格-库塔方法14.2 常微分方程边值问题的数值解法14.2.1 二点边值问题与分段线性插值14.2.2 有限差分方法与微分方程的离散化14.3 常微分方程数值解的误差估计14.3.1 局部截断误差与全局截断误差14.3.2 稳定性与收敛性的分析结语15.1 数学学科的重要性与发展15.2 高等数学教材的应用与拓展15.3 数学学科对于人类社会的贡献本教材将大学高等数学知识进行系统整理和归纳，以便帮助读者更好地学习和理解数学的基本概念、原理和应用。

《高等数学》教学大纲课程编号：课程性质：专业基础课课程类别：必修课先修课程：学分：4总学时数：144周学时数： 4开课单位：计算机科学系一、课程简介高等数学是理工科(非数学)本科专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

通过本课程的学习，使学生会获得高等数学各方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础；逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，培养学生综合运用所学数学知识去分析问题和解决问题的能力。

二、培养目标(一)知识培养目标通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、微分方程；4、向量代数与空间解析几何；5、多元函数微积分学；6、无穷级数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

(二)能力培养目标引导学生在生活实践中使用数学，在其它课程中应用数学，增强运用数学方法、借助计算机来分析和解决实际问题的能力；形成积极应用数学的氛围，在教学活动中，渗透素质教育，使学生提高逻辑思维能力，注重培养严谨求实的科学态度，树立科学的世界观。

三、课程内容（请细化到每一节的内容）第一章函数与极限§1.1 映射与函数【学时】：4【了解】: 1.函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。

2.反函数的概念。

3. 建立简单应用问题中的函数关系式的方法。

【掌握】: 1. 函数的概念，函数的表示方法。

2. 复合函数及分段函数的概念。

3. 基本初等函数的性质及其图形【重点】: 1.复合函数及分段函数的概念。

2．基本初等函数的性质及其图形。

【难点】: 分段函数的建立与性质§1.2 数列极限【学时】：2【了解】:数列的极限与其子数列的极限之间的关系【掌握】: 1.数列极限的概念，数列极限的性质。

2.子数列的概念【重点】:数列极限的概念、性质【难点】:数列极限的概念§1.3 函数极限【学时】：2【了解】:【掌握】: 1. 函数极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

○微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科。

内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。

微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。

它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。

积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。

我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。

微积分学是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。

他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。

因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。

学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。

所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。

在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。

就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。

这个概念是成功的。

微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。

特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

高等数学大学所有教材目录第一章：微积分- 微积分原理- 函数与极限- 导数与微分- 奇偶函数与对称性- 极值与最值- 微分中值定理- 泰勒展开与近似计算- 不定积分与定积分- 曲线的长度与曲面的面积- 定积分的应用第二章：向量代数与空间解析几何- 向量的概念与运算- 向量的数量积与夹角- 向量的叉积与混合积- 直线与平面的方程与位置关系- 空间曲线与曲面的方程与位置关系- 向量代数与几何应用第三章：多元函数与一元关系- 多元函数的极限与连续性- 偏导数与全微分- 多元函数的极值与最值，凹凸性- 隐函数与显函数及其导数- 多元复合函数的导数- 多元函数的泰勒展开与近似计算- 一元关系与参数方程第四章：多元函数微分学- 多元函数的向量表示与全微分- 多元函数的极值问题- 二元函数的二阶偏导数与极值- 一元函数的高阶导数与极值问题- 隐函数的高阶导数与极值问题- 多元函数的泰勒展开- 多元函数的空间曲线与曲面第五章：重积分- 重积分的概念与性质- 重积分的计算方法- 重积分的应用- 重积分的计算应用- 曲面的面积与曲线的长度- 曲面积分与曲线积分- 重积分的物理应用第六章：曲线积分与曲面积分- 曲线的参数方程- 参数方程下的曲线积分- 向量场与曲线积分- 曲面的参数方程- 参数方程下的曲面积分- 向量场与曲面积分- 曲线积分与曲面积分的物理应用第七章：常微分方程与初值问题- 一阶常微分方程- 高阶常微分方程- 线性常微分方程组- 二阶线性常微分方程的求解- 高阶线性常微分方程的求解- 常微分方程的物理应用第八章：级数与幂级数- 数列与级数的概念- 收敛与发散的判断- 正项级数与比较判别法- 交错级数与绝对收敛- 幂级数的概念与性质- 幂级数的收敛域和展开式- 幂级数的求和与逐项求导第九章：傅里叶级数与傅里叶变换- 周期函数与傅里叶级数- 傅里叶级数的性质- 傅里叶级数的收敛性- 傅里叶级数的展开系数- 傅里叶级数的奇偶性和对称性- 傅里叶变换与傅里叶反变换- 拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换第十章：线性代数- 矩阵与向量空间- 线性方程组与矩阵求逆- 特征值与特征向量- 正交矩阵与对角化- 复数域与线性变换- 内积空间与正交变换- 非线性方程组与迭代法总结：高等数学大学所有教材的目录涵盖了微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数与一元关系、多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、常微分方程与初值问题、级数与幂级数、傅里叶级数与傅里叶变换、线性代数等重要内容。

一元幂指函数的微积分性质及应用张勇军;何文峰;符一平【摘要】幂指函数是一类非常重要的函数,它在实际生活中会经常遇到.因此,更进一步的了解和掌握幂指函数的各种性质,对解决一些实际问题非常的重要.介绍了幂指函数的一些微分性质.【期刊名称】《长江大学学报（自然版）理工卷》【年(卷),期】2011(008)009【总页数】2页(P6-7)【关键词】幂指函数;微分;积分;性质【作者】张勇军;何文峰;符一平【作者单位】海南大学信息科学技术学院,海南海口570228;海南大学信息科学技术学院,海南海口570228;海南大学信息科学技术学院,海南海口570228【正文语种】中文【中图分类】O157.1《数学分析》和《高等数学》教材中对于幂指函数的内容非常少，仅仅只给出了幂指函数的定义[1]及一些求导公式[2]，而且例题与课后的习题也很少。

然而在其他的一些教材、参考资料以及近几年的研究生入学考试中却又经常出现，于是对幂指函数的性质更进一步的了解与掌握是非常必要的。

笔者就幂指函数的微积分性质进行了一些研究及应用。

定理1 一元幂指函数y=u(x)v(x)(u(x)>0,u(x),v(x)均为可微函数)的微分公式为：dy=[u(x)]v(x)[v(x)lnu(x)]′dx d2y=[u(x)]v(x){[v(x)lnu(x)]″+[v(x)lnu(x)]′2}dx2 d3y=[u(x)]v(x){[v(x)lnu(x)]‴+3[v(x)lnu(x)]″[v(x)lnu(x)]′+[v(x)lnu(x)]′3}dx3 dn+1y={[u(x)]v(x)[v(x)lnu(x)]′}(n)dxn+1证明dy=d[u(x)v(x)]=[u(x)v(x)]′dx=[u(x)v(x)][v(x)lnu(x)]′dx={[u(x)v(x)]{[v(x)lnu(x)]‴+([v(x)lnu(x)]′2)′}+{[v(x)lnu(x)]″+[v(x)lnu(x)]′2}[u(x)v(x)]′}dx3定理2 若u(x),v(x)为可微函数，且u(x)>0，则:(C∈∀R)证明因u(x),v(x)为可微函数，且u(x)>0,故:u(x)dx=u(x)v(x)[v(x)lnu(x)]′dx(C∈∀R)例1 设y=xx(x>0),求dy,d2y,d3y,…,dn+1y。

《高等数学》课程学习指导（部分）绪论《高等数学》(基本内容是微积分)是同学们来到高校要学习的第一门数学课，也是理工科院校高校生最重要的基础课之一。

在起先学习这门课程的时候，假如对该课程探讨的对象是什么及探讨的基本思想方法是什么能有一个初步的了解，那么，对今后如何学习该课程是大有好处的！假如将学习这门课看作是对微积分这座神奇的科学殿堂的一次探究，那么，这个绪论就是为了大家描绘一张简洁的导游图！本次课的目的就是向同学们简要介绍微积分探讨的对象和基本思想在此基础上，我们还将简要说明本课程的教学方法，并就如何学习这门课程向同学们提几点建议。

一、教学内容微积分探讨的对象和方法，关于本课程的教学方法和学习方法。

二、教学要求1．了解初等数学探讨的对象是：常数或常量，简洁的规则几何形体(如直线、直边形、直面形等)，而高等数学探讨的对象是：变数或变量、函数，困难的不规则几何形体(如曲线、曲面、曲边形、曲面形等)。

2．初步理解微积分的基本探讨方法——微元分析法，即(1) 在微小局部，“以匀代不匀”，求得所求量的近似值；(2) 通过极限，将近似值转化为精确值。

3．导数是探讨函数在一点处改变的快慢程度(改变率)。

在匀称改变状况下，需用除法计算的量，在非匀称改变的状况下，往往可用导数来计算，因此，导数可看作初等数学中商(除法)的推广；积分是探讨函数在某一区间内改变的大小，它可看作初等数学中积(乘法)的推广。

4．函数是微积分探讨的对象，极取是微积分的理论基础。

5．学习方法的建议：(1) 培育自学的实力，在学习过程中特殊要特殊留意概念、理论和思想方法的理解；(2) 勤于思索，敢于和擅长发觉问题，大胆提出问题，发表自己的见解，培育自己的创新精神和创新实力。

(3) 培育应用数学的意识、爱好和实力。

第一章映射与函数，极限与连续函数(18-20学时)函数是微积分探讨的对象，它刻画了客观世界变量之间相互联系相互依靠的关系；极限是刻画变量在改变过程中的改变趋势，它既是一个重要概念，又是学习微积分的重要工具和思想方法；函数的连续性是借助于极限概念揭示出来的变量在改变过程中的一个基本性态，连续函数是微积分探讨的主要对象。

《高等数学》教学大纲一、课程的性质和任务课程的性质：高等数学是高职高专各专业必修的一门重要基础课。

高等数学的思想、内容、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分,是提高学生文化素质,进一步学习有关专业知识,专业技术必不可少的工具。

主要任务：本着"服务专业,兼顾数学体系的原则"，重视数学的思想本质，倡导和发展数学的应用性，全面提高学生的数学素质；以必需、够用为度的原则。

使学生在高中文化的基础上，进一步学习和掌握一元微积分学、多元微积分学、微分方程、级数等内容。

三、课程教学内容第一章绪论了解本课程发展过程及思想方法。

第二章函数熟悉掌握函数的概念、基本初等函数、复合函数、初等函数；掌握函数的性质，反函数；了解分段函数。

重点：函数的定义和定义域。

难点：复合函数的概念。

第三章极限与连续熟悉掌握极限的概念，无穷小和无穷大概念，函数连续的概念；掌握无穷小和函数极限的关系、极限四则运算、两个重要极限，间断点分类和初等函数的连续性；了解无穷小的比较、等价无穷小、连续函数和、差、积、商的连续性及反函数与复合函数连续性。

重点：函数极限的概念、无穷小、极限四则运算、函数在某一点连续的概念。

难点：函数极限的概念、求应用问题中的最值判定函数在某点连续性。

第四章导数与微分熟悉掌握导数的概念、几何意义、求导公式和导数的四则运算，复合函数求导法则；掌握变化率问题、反函数求导法、隐函数求导法，求函数的微分；能理解微分的定义及几何意义，会求参数方程导数、高阶导数和使用对数求导法；运用微分公式和运算法则，了解可导与连续的关系。

重点：导数的定义、导数的四则运算、复合函数求导法则、基本初等函数的导数公式。

难点：导数的定义、复合函数求导法则。

第五章一元函数微分学的应用熟练掌握拉格朗日定理和罗必塔法则；能判定函数的单调性并求其极值，讨论曲线的凹凸，求其拐点，求渐近线和作函数的图象，应用最值解决一些实际问题；了解柯西定理。

重点：拉格朗日定理、判定函数的单调性并求其极值、求应用问题中的最值。