一元函数微分学及其应用练习题与自测题
习题2-1 导数
1．假定0()f x '存在，则000
()()
lim
h f x ah f x bh h
→+--= ．
2．求曲线ln y x =在点(,1)e 处的切线方程和法线方程． 3．过点(2,0)-作曲线x y e =的切线，求此切线方程．
4．若函数22,1
,1x x y ax b x ⎧+≤=⎨+>⎩
在1x =处可导，求,a b 的值．
5．已知2
1,0
(),0
x e x f x x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，求()f x '． 6．讨论函数2
1sin , 0
()0 , 0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性与可导性．
习题2-2 求导法则与求导公式
1．求下列函数的导数：
（1）24(1)y x x =++． （2
）y = （3）21sin y x x =． （4
）y = （5
）y e =． （6
）ln(0)y x a =+>．
2．讨论分段函数2
1cos sin ,0
(),0x x x f x x
x x ⎧+>⎪=⎨⎪≤⎩在分段点0x =处的连续性和可导性．
3．设()f x 可导，求(sin )y f x =的二阶导数22d y
dx
．
4．求函数2
x y xe =的二阶导数． 5．求函数x y xe =的n 阶导数．
习题2-3 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 1
．求由方程arctan
y
x
=()y y x =的导数； 2．过点(4,2)-作椭圆223x xy y ++=的切线，求此切线方程． 3．求下列函数的导数：
（1）1x
x y x ⎛⎫
= ⎪
+⎝⎭
（0x >）． （2
）y =
4．求由方程x
e xy e +=所确定的函数()y y x =的二阶导数22d y
dx
．
5．求由参数方程(sin )
(1cos )
x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0a >）所确定的函数的二阶导数22d y dx ：
6．某人以2/m s 的速度通过一座桥，桥面高出水面20m ，在此人的正下方有一
条小船以4
/3m s 的速度在与桥垂直的方向航行，求经5s 后，人与桥相分离的速
度．
习题2-4 函数的微分
1．将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：
（1）d （ ）45
x dx -=． （2）d （ ）3x e dx -=． 2．求下列函数的微分：
（1
）y =． （2）22(1)n
n
x y x =+．
习题2-5 中值定理
1．函数32()452f x x x x =-+-在区间[0,1]上满足Lagrange 中值定理的
ξ= ．
2．试用中值定理证明不等式：arctan arctan a b a b -≤-．
3．设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：至少存在一点
(0,)a ξ∈，使()()0f f ξξξ'+=．
习题2-6 L’Hospital 法则及其应用
1．求下列极限： （1）0
ln tan 7lim ln tan 2x x x
+
→． （2）sin 3lim tan 5x x
x π→．
（3）30
arcsin lim
sin x x x x →-． （4）1lim(1)tan 2
x x x π→-． （5）11lim 1ln x x x x →⎡⎤-⎢⎥-⎣
⎦． （6）()1
ln 0lim cot x x x +→． （7）()2
2
lim cos x
x x π
π
--→
．
2．当0x →时，()sin()f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，求,a b 的值．
3．当0x →时，2
112
x e x x ---是x 的k 阶无穷小，则k 等于多少？
习题2-7 泰勒公式
1．求函数()tan f x x =的带有佩亚诺型余项的3阶Maclaurin 公式．
2．利用Taylor 公式求极限
:22
20
112lim (cos )sin x x x x e x
→+
--．
习题2-8 函数的单调性与曲线的凹凸性
1．点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点，则a = ，b = ． 2．求函数4222y x x =-+的单调增减区间．
3
．证明不等式：1ln(x x ++>0x >）． 4．求函数1
x
y x x =+-的凹凸区间及拐点．
习题2-9 函数的极值、最值及其应用
1
．求函数y =
的极值．
2．求函数2x y x e -=在区间[]3,7-上的最大值和最小值：
3．当a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在点3x π
=处具有极值？它是极
大值还是极小值？并求此极值．
4．在车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使小屋的面积最大？
习题2-10 函数图形的描绘 1．求函数1
ln(1)x y e x
=
++的渐近线方程． 2．描述函数21
y x x
=+的图形．
习题2-11 曲率
1．求曲线cos sin x a t
y b t =⎧⎨=⎩（,0a b >）的弧微分ds ．
2．对数曲线ln y x =上哪一点处的曲率最大？
一元微分学及其应用自测题
一.选择题
1．函数2
21sin cos ,0()1,0x x x f x x
x x ⎧+>⎪
=⎨⎪+≤⎩
在0x =处【 】． （A ）极限不存在 （B ）不连续． （C ）连续但不可导． （D ）可导． 2．设函数()arctan f x x =，若()'()f x xf ξ=，则2
2
lim
x x ξ→=【 】．
（A ）1． （B ）
23． （C ） 12． （D ）1
3
． 3. 函数23(1)(2)y x x x =--的不可导点个数为【 】． （A ）0． （B ）1． （C ）2． （D ）3． 4. 函数34(1)(2)y x x =--的拐点个数为【 】．
