第三章 一元函数微分学本章主要内容有：一元（隐）函数求导方法、微分中值定理、Taylor 公式、不等式的证明、凸函数、导数的应用（极值、函数作图等）等.I 基本概念与主要结果一 导数与微分1 导数定义1 设函数)(x f y =在点0x 某领域内有定义，若极限0)()(lim0x x x f x f x x --→ 存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作)(0x f '. 等价形式：.lim )()(lim )()(lim )(00000000xy h x f h x f x x f x x f x f x h x ∆∆=-+=∆-∆+='→∆→→∆ 当上述极限不存在时，可研究其单侧极限，即左右导数.左导数：设函数)(x f y =在点0x 的左领域),(00x x δ-上有定义，若左极限)0()()(lim 000<∆<-∆-∆+-→∆x xx f x x f x δ 存在，则称该极限为函数f 在点0x 左导数，记作).(0x f -' 类似可定义右导数：xx f x x f x f x ∆-∆+='+→∆+)()(lim )(0000（δ<∆<x 0）. 左右导数统称为单侧导数.可导的充要条件：f 在点0x 可导⇔f 在点0x 的左右导数存在，且相等.有限增量公式：设)(x f 在点0x 可导，则x y xx f x x f x f x x ∆∆=∆-∆+='→∆→∆00000lim )()(lim)(， 由此得 ).()(0x o x x f y ∆+∆'=∆称之为f 在点0x 的有限增量公式. 注意，此公式对0=∆x 仍旧成立.若函数f 在区间I 上每点都可导，则称f 为I 上的可导函数，此时，若区间I 为闭区间，则区间的端点处的导数应理解为相应的单侧导数.2 导数的几何意义函数f 在点0x 可导的充要条件是：曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 存在不平行于y 轴的切线.若函数)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线方程为).)(()(000x x x f x f y -'=-注 此说明：可导一定存在切线，但存在切线未必可导.3 导数与连续的关系（1）f 在点0x 可导，则f 在点0x 连续，但反之不成立.（2）f 在点0x 的左（右）导数存在，则f 在点0x 左（右）连续.4导函数的两大特性：（1）)(x f '无第一类间断点；（2）)(x f '具有介值性.其证明参看例1和例2.5 求导法则（1）四则运算法则设函数)(),(x v x u 在x 可导，则)()(),()(x v x u x v x u ⋅±在x 可导，当0)(≠v v 时，)()(v v x u 在x 可导，且 )()())()((x v x u x v x u '±'='±；)()()()())()((x v x u x v x u x v x u '+'='；.)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2）复合函数求导的链式法则设)(x u ϕ=在点0x 可导，)(u f y =在点)(00x u ϕ=可导，则复合函数))((x f y ϕ=在点0x 可导，且).())(()))(((00x x f x f ϕϕϕ''='（3）反函数求导法则设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在点0y 某领域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在点)(00y x ϕ=可导，且.)(1)(00y x f ϕ'=' 6 参数方程求导法则设函数)(x f y =由参数方程 ,),(),(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 给出，若)(t x ϕ=具有反函数，)(),(t t φϕ可导，且0)(≠'t ϕ，则.)()(t t dx dy ϕφ''= 7 基本初等函数求导公式c c ,0='为常数； 1)(-='αααx x ；x x cos )(sin ='； x x sin )(cos -='；x x 2sec )(tan ='； x x 2csc )(cot -='；x x x tan sec )(sec ='； x x x cot csc )(csc -='；211)(arcsin x x -='； 211)(arccos xx --='；211)(arctan x x +='； 211)(arccot xx +-='； a a a x x ln )(='； x x e e =')(；a x x a ln 1)(log ='； .1)(ln x x =' 8 微分定义2 设函数)(x f y =在点0x 某领域内有定义，若y 在点0x 的改变量y ∆可以表示为)(x o x A y ∆+∆=∆，其中A 是与x ∆无关的常数，)(x o ∆表示x ∆的高阶无穷小量，则称函数)(x f y =在点0x 可微，并称x A ∆为)(x f y =在点0x 的微分，记作)d (d 0x A x A y x x =∆== 或 )d ()(d 0x A x A x f x x =∆==. 9 可微与可导的关系函数f 在点0x 可微的充要条件是：f 在点0x 可导.10 一阶微分形式的不变性对函数)(u f y =，不论u 是自变量，还是中间变量，都有.d )(d u u f y '=此性质常用来求函数的导数.11 近似计算与误差估计.)()()(000x x f x f x x f ∆'+≈∆+绝对误差：x x f y ∆'≈∆)(0.相对误差：.)()(00x x f x f y y ∆'≈∆ 12 高阶导数函数)(x f y =一阶导数)(x f '的导数，称为二阶导数，记作)(x f ''；一般地，1-n 阶导数的导数称为n 阶导数，记为)()(x f n 或 n n n n dxy d dx x f d =)(. 二阶以及二阶以上导数都称之为高阶导数.高阶导数运算法则（1） )()())()(()()()(x v x u x v x u n n n ±=±.（2） Leibniz 公式 ∑=-=n k k n k k n n x v x u C x v x u 0)()()()()()]()([. 若干简单函数的n 阶导数：n n x n x -+--=ααααα)1()1()()( ；)2sin()(sin )(πn x x n +=； )2cos()(cos )(πn x x n +=； )1,0(ln )!1()1()(log 1)(≠>--=-a a ax n n n n x a ； n n n xn x )!1()1()(ln 1)(--=-； n x n x a a a )(ln )()(=；.)()(x n x e e =高阶导数的计算经常用到数学归纳法.13 高阶微分函数)(x f y =的一阶微分dy 的微分，称为二阶微分，记作y d 2；一般地，1-n 阶微分 y d n 1-的微分，称为n 微分，记作y d n ，即.)())(()()(1)1(1n n n n n n dx x f dx x f d y d d y d ===---二阶以及二阶以上的微分都称为高阶微分.注 （1）高阶微分不在具有形式不变性；（2）符号)(,,222x d x d dx 意义各不相同，22)(dx dx dx dx =⋅=，x d 2表示x 的二阶微分，而)(2x d 表示2x 的微分.二 微分中值定理1 极值定义3 若函数f 在点0x 的某领域)(0x U 内对一切)(0x U x ∈，都有))()(()()(00x f x f x f x f ≤≥，则称函数f 在点0x 取得极大（小）值，称点0x 为极大（小）值点，极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.注 极值是函数的局部性质，因此，极大值未必大于极小值.定理1（极值的第一充分条件）设函数f 在点0x 连续，在某领域),(00δx U 内可导.（1）若当),(00x x x δ-∈时，0)(≤'x f ，当),(00δ+∈x x x 时，0)(≥'x f ，则)(x f 在点0x 取得极小值；（2）若当),(00x x x δ-∈时，0)(≥'x f ，当),(00δ+∈x x x 时，0)(≤'x f ，则)(x f 在点0x 取得极大值.定理2（极值的第二充分条件）设函数f 在点0x 的某领域),(0δx U 内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且.0)(,0)(00≠''='x f x f（1）若0)(0<''x f ，则f 在0x 取得极大值；（2）若0)(0>''x f ，则f 在0x 取得极小值.注 仿定理2，由Taylor 定理可以给出借助于更高阶导数的极值判别充分条件.2 Fermat 定理设函数f 在点0x 某领域内有定义，且在点0x 可导，若0x 为f 的极值点，则必有.0)(0='x f注（1）使得0)(='x f 的点x 称为f 的驻点或稳定点.（2）极值点未必是稳定点，稳定点未必是极值点. 对于可导函数来说，极值点一定是稳定点. 对于一般函数来说，极值点必为f 的稳定点或不可导点.（3）最值点未必是极值点，只有当最值点落在区间内部（即不是区间的端点）时，最值点才是极值点，此性质常用来寻找导数为零的点.（4）最值点必为极值点或区间的端点，或者说，最值点必为稳定点、不可导点或区间端点.3 Rolle 中值定理若函数f 满足如下条件：（1）f 在闭区间],[b a 上连续；（2）f 在开区间),(b a 内可导；（3）)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf注（1） 几何意义：若函数f 满足上述条件，则在曲线)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf ，使得该点处的切线平行于曲线端点连线（x 轴）.（2）此定理可推广为：若函数f 在开区间),(b a （有界或无界区间）内可导，且)(lim )(lim x f x f bx a x -+→→=， 其中极限可以是有限数，或∞+，或∞-，在),(b a 内至少存在一点ξ，使得.0)(='ξf4 Lagrange 中值定理若函数f 满足下列条件：（1）f 在闭区间],[b a 上连续；（2）f 在开区间),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得.)()()(ab a f b f f --='ξ 注（1） 几何意义：若函数f 满足上述条件，则在曲线)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf ，使得该点处的切线平行于曲线端点连线.（2）几种不同的表示形式：b a a b f a f b f <<-'=-ξξ),)(()()(；10),))((()()(<<--+'=-θθa b a b a f a f b f ；10,)()()(<<+'=-+θθh h a f a f h a f ；.)()()(ξf a f b f a b '-=-特别注意最后一式在解题中的应用.若令0,x a x b ==，则中值定理又可写成).())(()(00x f x x f x f +-'=ξ5 Cauchy 中值定理若函数)(),(x g x f 满足下列条件：（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导；（3）在开区间),(b a 内g f '',不同时为零；（4）)()(b g a g ≠，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得.)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ 几何意义：若在直角坐标平面uv 内的曲线参数方程],,[),(),(b a x x f v x g u ∈⎩⎨⎧== 满足上述条件，则曲线上至少存在一点))(),((ξξv u ，使得该点的切线平行于曲线两端点的连线.6 Taylor 定理（公式）若函数f 在点0x 存在n 阶导数，则称由这些导数构造的n 次多项式∑=-=nk k n x x k x f x T 000)()(!)()( 为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，)(x T n 中的各项系数),,2,1(!)(0)(n k k x f k =称为Taylor 系数.带Peano 型余项的Taylor 公式：若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有).)(()()(0n n x x o x T x f -+=带Lagrange 型余项的Taylor 公式：若函数f 在],[b a 上存在直至n 阶的连续导数，在),(b a 内存在1+n 阶导数，则对任意给定的],[,0b a x x ∈，至少存在一点ξ，ξ介于x 与0x 之间，使得.)()!1()()()(10)1(++-++=n n n x x n f x T x f ξ 当00=x 时，上述两个公式又称为Maclaurin 公式.注意比较两种不同类型余项的Taylor 公式的条件与结论，前者给出了定性的描述，后者给出了定量的刻画，注意它们在不同场合的应用.几种常见函数的Maclaurin 公式：)(!!212n nxx o n x x x e +++++= ；)()!12()1(!5!3sin 1212153---+--+++-=n n n x o n x x x x x ； )()!2()1(!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= ； )(32)1ln(32n nx o n x x x x x ++++-=+ ； )(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x ++--++-++=+ααααααα ； ).(1112n n x o x x x x+++++=- 注意以上几个公式在不定式极限计算中的应用.7 微分中值定理之间的关系（1）Rolle Lagrange Cauchy Taylor ⇒⇒⎭⎬⎫； （2）微分中值定理的推广设函数h g f ,,在区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，定义)()()()()()()()()()(x h x g x f b h b g b f a h a g a f x F =， 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得 .0)()()()()()()()()()(='''='ξξξξh g f b h b g b f a h a g a f F 特别地，若令1)(,)(≡=x h x x g ，即得Lagrange 中值定理（若再有)()(b f a f =，便是Rolle 中值定理）；若令1)(≡x h ，便得Cauvhy 中值定理的另一形式：)].()()[()]()()[(a g b g g a g b g f -'=-'ξξ若附加Cauchy 中值定理的条件，可得到Cauchy 中值定理一样的形式.8 应用（1）判断可导函数在给定区间内根的存在性和根的个数问题；（2）对于给定的可微函数得到某些中值公式，并证明某些等式或不等式；（3）推倒某些可微函数的整体性质，如单调性，有界性，最值，一致连续性，以及某些导函数的极限等问题；（4）求解某些不定式极限问题（L ’Hospital 法则，等价无穷小替换）；（5）研究函数曲线的形态，如曲线的单调性，凹凸性，渐进线，极值等，描绘某些函数的图象；（6）近似计算，方程近似求解等.中值定理的灵活运用是本章重点和难点. 如果要解决的问题中含有未知的“ξ”，首先应分析题目中所给函数的条件，若仅有连续性条件，则只能用闭区间上连续函数的性质，而不能使用微分中值定理；若有可微性条件，往往要用到微分中值定理；若函数二阶可导，往往要两次使用罗尔或拉格朗日中值定理，或直接使用泰勒公式；若存在三阶或三阶以上导数，则泰勒公式是首选. 其次，要对所证明的等式或不等式进行适当的恒等变形，使之符合定理的形式.三 凸函数1 凸函数的几种定义及其等价关系：定义1 设函数)(x f 在区间I 有定义，如果I x x ∈∀21,，)1,0(∈∀λ，有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+，称函数)(x f 为I 上的凸函数，式中“≤”改为“<”时，称为严格凸函数. 反之，如果总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+，则称f 为I 上的凹函数. 式中的不等号改为严格不等号时，称之为严格凹函数.下面仅就凸函数进行讨论.定义2 设函数)(x f 在区间I 有定义，如果I x x ∈∀21,，有2)()()2(2121x f x f x x f +≤+. 称函数)(x f 为I 上的凸函数，式中“≤”改为“<”时，称为严格凸函数.定义3 设函数)(x f 在区间I 有定义，如果I x x n ∈∀,,1 ，有2)()()(211x f x f n x x f n ++≤++ . 称函数)(x f 为I 上的凸函数，式中“≤”改为“<”时，称为严格凸函数.定义4 设函数)(x f 在区间I 有定义，如果I x x n ∈∀,,1 ，1,01=≥∀∑=ni i i λλ，有)()()(21111x f x f x x f n n n λλλλ++≤++ .称函数)(x f 为I 上的凸函数，式中“≤”改为“<”时称为严格凸函数.定义5 设函数)(x f 在区间I 有定义且可导，如果曲线)(x f y =的切线保持在曲线的下方， 称函数)(x f 为I 上的凸函数；若除切点外，切线严格保持在曲线的下方，则称之为严格凸函数.定义 6 设函数)(x f 在区间I 有定义且可导，如果)(x f '单增，称函数)(x f 为I 上的凸函数.注 定义1与定义4等价；定义2与定义3等价；当)(x f 连续时，定义1至定义4均等价；当函数可导时，以上6个定义均等价.由定义6立得定义7 若函数)(x f 在I 存在二阶导数，则)(x f 为凸函数⇔0)(≥''x f .（辽宁师大） 2 凸函数的性质与定理定理1 设函数)(x f 在I 有定义，则下列条件等价：321321,,,x x x I x x x <<∈∀，（1）)(x f 为I 上的凸函数；（2）13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--； （3）23231313)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--； （4）23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--； （5）曲线)(x f y =上三点))(,()),(,()),(,(332211x f x C x f x B x f x A 所围成的有向面积0)(1)(1)(121332211≥x f x x f x x f x . 推论1（清华大学）若函数)(x f 为I 上的凸函数，则321321,,,x x x I x x x <<∈∀，13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--2323)()(x x x f x f --≤. 推论2 若函数)(x f 为I 上的凸函数，则I x ∈∀0，过0x 的弦的斜率0)()(x x x f x f k --= 是x 的增函数，且当函数为严格时凸函数时，斜率k 严格单调递增.推论3 若函数)(x f 为I 上的凸函数，则I 上任意四点v u t s <<<，有uv u f v f s t s f t f --≤--)()()()(. 事实上也是充分条件.推论4 若函数)(x f 为I 上的凸函数，则I x ∈∀0，在0x 的左右导数均存在，皆为增函数，且.int ),()(I x x f x f ∈∀'≤'+-.推论5 若函数)(x f 为I 上的凸函数，则)(x f 在I int 内连续.定理2（中国科技大学）设函数)(x f 在区间I 有定义，则)(x f 为凸函数的充要条件是：R I x ∈∃∈∀α,0 ，使得I x ∈∀，有)()()(00x f x x x f +-≥α.证 （1）必要性因为)(x f 为凸函数，由推论4知： I x ∈∀0，)(0x f -'存在，且00)()(x x x f x f --单增趋于)(0x f -'（-→0x x ），由此，任取)(0x f -'≥α，则当0x x <时，有 )()()(00x f x x x f +-≥α.同理，当)(0x f +'≤α时，则当0x x >时，有 )()()(00x f x x x f +-≥α.而)()(00x f x f +-'≤'，所以存在α：)()(00x f x f +-'≤≤'α，I x ∈∀，有 )()()(00x f x x x f +-≥α.（2）充分性设321x x x <<是定义域上的任意三点，由已知条件，对2x ，存在α，使得I x ∈∀，有)()()(22x f x x x f +-≥α.分别令31,x x x x ==可得23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤≤--α. 由定理1知)(x f 为凸函数.推论1 设函数)(x f 在I 内可导，则)(x f 为凸函数的充要条件是：,0 I x ∈∀有)())(()(000x f x x x f x f +-'≥.推论2 若函数)(x f 为I 凸函数，则,0 I x ∈∀在曲线)(x f y =上，过点))(,(00x f x 可作一直线l ，使曲线位于直线l 之上.若f 为严格凸函数，则除点))(,(00x f x 外，曲线严格地位于直线l 的上方.II 典型例题与方法一 导函数的两大特性1 导函数无第一类间断点例1（南京大学）设函数)(x f 在),(b a 内处处可导. 证明：),(b a 中的点或为)(x f '的连续点，或为)(x f '的第二类间断点.证 只需证明：若)(x f '在点),(0b a x ∈左右极限存在，则)(x f '在该点连续. 由已知条件知函数)(x f 在点),(0b a x ∈可导，由右导数定义及微分中值定理得)(),(lim )()(lim )()(0000000x x f x x x f x f x f x f x x x x <<'=--='='+→+→+ξξ. 由假设)(x f '在点0x 存在右极限，根据上式可得)0()(lim )(000+'='='+→x f f x f x x ξ. 同理可证：若)(x f '在点0x 存在左极限，则必有)0()(lim )(000-'='='-→x f f x f x x ξ. 因此，)(x f '在点),(0b a x ∈连续，从而无第一类间断点.思考题1（西安交大2003）设)(x f 在),(b a 内可导，证明：（1）),(0b a x ∈∀，)(x f '在0x 处不可能发生第一类间断；（2）当)(x f '在),(b a 内单调时，)(x f '必在),(b a 内连续.思考题2（武汉大学）若函数)(x f 在),(b a 可导，)(x f '在),(b a 内单调，则)(x f '在),(b a 内连续.思考题3（北京大学）设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且存在极限l x f a x ='+→)(lim ，则右导数存在，且.)(l a f ='+思考题4（中科院）设⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,)(x x x x f 证明：不存在一个函数以)(x f 为其导函数.2 导函数具有介值性例2（G. Darboux 定理）（西安交大，武汉大学，北京师范大学,北航2001）若函数)(x f 在],[b a 上可导，且)()(b f a f '<'，则c ∀：)()(b f c a f '<<'，),(b a ∈∃ξ，使得c f =')(ξ.提示： 作辅助函数cx x f x g -=)()(，则)(x g 在],[b a 可导，且0)()(,0)()(>-'='<-'='c b f b g c a f a g .只需证明：),(b a ∈∃ξ，使得0)(='ξg .事实上，由于0)()(lim)(<--='+→ax a g x g a g a x ，则当a x >而充分接近a 时，)()(a g x g <. 同理可证：当b x <而充分接近b 时，)()(b g x g <. 这样)(x g 的最小值点ξ必落入),(b a 内，从而为)(x g 的极值点，由Fermat 定理知0)(='ξf .严格证明请读者自己给出.例3（武汉大学）设有界函数)(x f 实数集R 上二次可微. 证明：R x ∈∃0，使得0)(0=''x f .证法一 若)(x f ''在R 上变号，由导函数的介值定理知R x ∈∃0，使得0)(0=''x f . 若)(x f ''在R 上不变号，不妨设0)(>''x f ，此表明)(x f '严增，因此存在0)(,≠'∈c f R c .由泰勒定理得2))((21))(()()(c x f c x c f c f x f -''+-'+=ξ， 其中ξ介于x 与c 之间. 由 0)(>''x f 知0)(>''ξf . 于是，若0)(>'c f ，令+∞→x 得+∞→)(x f ，若0)(<'c f ，令-∞→x 得+∞→)(x f ，这与)(x f 有界矛盾，故)(x f ''在R 上变号，从而结论成立.证法二 若R b a ∈<∃，使得)()(b f a f '='，由Rolle 定理知结论成立. 若,,R b a ∈∀)()(b f a f '≠'，则)(x f '在R 上严格单调. 事实上，若不然，则321x x x <<∃,有)()()(321x f x f x f '>'<' 或 )()()(321x f x f x f '<'>'，由导函数的介值定理知：),,(),,(3221x x b x x a ∈∈∃有)()(b f a f '='，与假设矛盾，故)(x f '在R 上严格单调. 不妨设严格单增，则存在0)(,≠'∈c f R c . 若0)(>'c f ，则当c x >时，由拉格朗日中值定理得)())(()()(+∞→+∞→-'+=x c x f c f x f ξ.若0)(<'c f ，则当c x <时，由拉格朗日中值定理得)())(()()(-∞→+∞→-'+=x c x f c f x f ξ.由此得)(x f 在R 无界，这与已知条件矛盾，故命题为真.二 导数与可微问题1 显函数求导问题例4（武汉大学2003）设dt t t x F x ⎰-=1ln )(，求).(x F '解 由左右导数定义得xdtt t dt t t x F x F F x x x ⎰⎰--→→+-=-='++1010ln ln lim )0()(lim )0(xdt t t xdtt t xx xx ⎰⎰++→→==0000ln limln lim0ln lim 0==+→x x x ；同理可求：,0)0(='-F 所以.0)0(='F例5（北京大学2002）设x x x x f arcsin 1)(2+-=，求).(x f ' 解 .121111)(22222x x x x x x f -=-+---='例6（人民大学2001）设2111arcsin )1()(xxe x x xf x +-++=-，求).1(f ' 解 记1)1()(-+=x e x x x g ，则212ln 41)1ln(21)(ln +-++=x x x x g ，两边关于x 求导得]2141)1(21)[()(-++='x x x g x g ， .0)1(='g222222112)1(211)1(11)11(arcsinx x x x x x x x x ++--+-⋅+--='+-，22)11(arcsin12-=+-=x x x ， 所以，.22)1(-='f 例7（北京科技大学1998）设0>x ，⎰=2sin )(x xdu uuxx f ，求).(x f ' 解 0,0>∃>∀αx ，使得)1,(,22+∈ααx x ，在矩形区域]1,[]1,[22+⨯+αααα上，)sin (,sin u uxx u ux ∂∂ 均连续，所以xx x x x du u ux x f x x x 23sin 2sin )sin ()(2-⋅+'='⎰xx x uxdu x x23sin sin 2cos 2-+=⎰xx x x x x x 2323sin sin 2sin sin -+-=.sin 2sin 323xx x -=例8（西北工业大学）设)))((()(,1)(2x f f f x f xxx f n =+=（n 个f ），求).(x f n '解 由数学归纳法易证：.,1)(2+∈+=Z n nx x x f n于是.)1(111)1()(3222222nx x nx nx nx nx nxx x f n +=++-+='+='思考题5 求下列函数的导数： （1）)sin(sin x x xy =（复旦大学1999）；（2）xx y cos tan =（复旦大学1998）； （3）⎩⎨⎧≥+<=,0),1ln(,0,cos 2x x x x y （华东师大1998）（4）1ln arctan 22+-=x xx e e e y （山东大学）；（5）x x x y arcsin 12+-=（北京大学2002）； （6）⎰++=tudu e y sin 111)1( （北京化工大学）；（7）)12sin(212x x x y +++-= （广西大学）.2 分段函数求导问题例9 设.0)0(=f 证明：)(x f 在点0=x 处可微的充要条件是：存在在点0=x 处连续的函数)(x g ，使得)()(x xg x f =，且).0()0(g f ='证 由导数的定义易证充分性成立，只证必要性. 令⎪⎩⎪⎨⎧='≠=,0),0(,0,)()(x f x x x f x g则由题设及导数定义得)0()0()(lim )(lim)(lim 00f xf x f x x f xg x x x '=-==→→→， 即)(x g 在0=x 处连续，且由)(x g 的定义得)()(x xg x f =.例10（中科院2003，湘潭大学）设m 为自然数，在),(+∞-∞上定义函数f 为⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x x x x f m（1）当m 为何值时，)(x f 在点0=x 处连续； （2）当m 为何值时，)(x f 在点0=x 处可导；（3）当m 为何值时，)(x f '在点0=x 处连续. 解（1）要使0)0(1sin lim )(lim 0===→→f x x x f m x x ，当且仅当.2≥m（2）由导数定义得xx x f x f m x x 1sin lim )0()(lim100-→→=-，要使f 在0=x 处可导，即上式极限存在，当且仅当2≥m ，且.0)0(='f（3）当0≠x 时，,1cos 1sin )(21x x xmx x f m m ---=' （*）要使)(x f '连续，当且仅当极限)0()(lim 0f x f x '='→成立. 由（2）知2≥m ，因此，由（*）式知，当且仅当02>-m ，即.3≥m思考题6（山东大学）试作一函数在),(+∞-∞内二阶可微，使得)(x f ''在0=x 处不连续，其余处处连续.思考题7（华东化工学院） 确定常数b a ,，使函数⎩⎨⎧≤>+=,1,,1,)(2x x x b ax x f 处处连续，且可微.例11（内蒙古大学）讨论函数⎩⎨⎧∈+∈-=,\),1(,),1()(Q R x x x Q x x x x f的连续性和可微性.解 首先证明：)(x f 在0=x 处连续. 事实上0)0(=f ，且)1,0(U x ∈∀时，有x f x f 2)0()(≤-，因此，)1(2,0<=∃>∀δεδε，当),0(δU x ∈时，有ε<-)0()(f x f ，所以，)(x f 在0=x 处连续. 下证)(x f 在任意点00≠=x x 处不连续. 事实上，分别取收敛于0x 的有理点列{}n a 和无理点列{}n b ，有),1()1(lim )(lim 00x x a a a f n n n n n -=-=∞→∞→),1()1(lim )(lim 00x x b b b f n n n n n +=-=∞→∞→显然当00≠x 时，)1()1(0000x x x x +≠-，由海涅定理（归结原则）知极限)(lim 0x f x x →不存在，从而不连续，当然不可微.最后证明：)(x f 在点0=x 处可微. 事实上，当0≠x 时，有x xxx f x f x f =-=--)(1)0()(，从而有1)0()(lim=-→xf x f x ，即.1)0(='f例12（哈尔滨工大）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=,0,,0,cos )()(x a x xxx g x f 其中)(x g 具有二阶连续导数，且.1)0(=g（1）确定a 的值，使)(x f 在点0=x 连续； （2）求)(x f '；（3）讨论)(x f '在点0=x 处的连续性.解（1）由洛必达法则得)0()sin )((lim cos )(lim)(lim 000g x x g xxx g x f x x x '=+'=-=→→→，要使)(x f 在0=x 处连续，必须使).0(g a '=（2）当0≠x 时，2cos )()sin )(()(xxx g x x g x x f +-+='； 当0=x 时，由定义及洛必达法则得x g x xx g x f x f f x x )0(cos )(lim )0()(lim )0(00'--=-='→→ 20)0(cos )(lim xg x x x g x '--=→ x xg x g x 2sin )0()(lim 0+'-'=→.21)0(21+''=g所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+''≠+-+'='.0),1)0((21,0,cos )()sin )(()(2x g x xxx g x x g x x f（3）由于2cos )()sin )((lim)(lim xxx g x x g x x f x x +-+'='→→x xx g x x g x x g x x 2sin )(sin )()cos )((lim0-'-+'++''=→2cos )(lim 0xx g x +''=→)1)0((21+''=g所以，)(x f '在0=x 处连续.例13（中科院2002，西安电子科技大学）设)(x f 为二次连续可微函数，且.0)0(=f定义函数⎪⎩⎪⎨⎧='≠=,0),0(,0,)()(x f x x x f x g证明：)(x g 连续可微.证 当0≠x 时，2)()()(x x f x f x x g -'='；当0=x 时，200)0()(lim)0()(lim)0(x f x x f x g x g g x x '-=-='→→ x f x f x 2)0()(lim 0'-'=→).0(21f ''=且有)0()0(212)(lim )()(lim)(lim 0200g f x x f x xx f x f x x g x x x '=''=''=-'='→→→， 即)(x g '在0=x 处连续，当0≠x 时，)(x g '显然连续，所以)(x g '连续可微.思考题8（云南大学，吉林大学）设)(x f 在R 上有二阶连续的导数，且0)0(=f . 令⎪⎩⎪⎨⎧='≠=,0),0(,0,)()(x f x x x f x g证明（1）)(x g 在R 上连续；（2）)(x g 在R 上可微；（3）)(x g '在R 上连续.3 抽象函数的导数与可微问题例14 设在领域),0(δU 内函数g f ,满足)()(x g x f ≤，且 .0)0()0(='=g g 求).0(f '解 由已知条件得0)0()0(=≤g f ，即.0)0(=f 于是),0(0δU x ∈∀，有.)0()()()()0()(0xg x g x x g x x f x f x f -=≤=-≤由0)0(='g 得0)0()(lim=-→x g x g x ，从而由两边夹定理得0)0()(lim=-→xf x f x ，即.0)0(='f例15 设函数)(x ϕ在a x =处连续，分别讨论下列函数在a x =处是否可导： （1）)()()(x a x x f ϕ-=； （2）)()(x a x x f ϕ-=； （3）.)()()(x a x x f ϕ-=解（1）可导. 由)(x ϕ在a x =处连续及导数定义得).()(lim )()(lim)(a x ax a f x f a f a x ax ϕϕ==--='→→ （2）因为)()(lim )()(lim )(a ax x a x a x a f x f a f a x a x ϕϕ=--=--='++→→+；同理可得).()(a a f ϕ-='- 所以当0)(=a ϕ时，)()(a f a f -+'='，可导；否则不可导.（3）类似（1）可得)()(a a f ϕ='，所以可导.例16（人民大学2001）设函数)(x f 连续，)0(f '存在，并且满足：.,,)()(41)()()(R y x y f x f y f x f y x f ∈∀-+=+（1）证明：)(x f 在R 上可微；（2）若,21)0(='f 求).(x f 解（1）令0==y x 得)0(41)0()0(2f f f -=， 解之得.0)0(=f 由)0(f '存在知存在极限).0()(limf hh f h '=→ 从而，R x ∈∀，由假设条件可得hx f h f x f h f x f h x f h x f h h )()()(41)()(lim)()(lim 00--+=-+→→ )()(41)(41)(lim 20h f x f x f h h f h -+⋅=→ )](41)[0(2x f f +'=，所以，)](41)[0()(2x f f x f +'='，即)(x f 在R 上可微.（2）记)(x f y =，则有)41(212y y +='，整理得dx y y d =+2)2(1)2(， 两边积分得c x y +=2arctan ，即).tan(21c x y += 注意到0)0(=y ，由此得0=c ，故所求函数为.tan 21)(x x f y == 例17（中科院2003） 设函数f 在点0=x 连续，且满足.)()2(lim 0A xx f x f x =-→ 求证：)0(f '存在，并且.)0(A f ='证 由极限定义知，0,0>∃>∀δε，当),0(0δU z ∈时，有ε<--A zz f z f )()2(，即.)()2(εε+<-<-A zz f z f A任取),0(0δU x ∈，令n m x z m,,2,1,2 ==-，则有)(2)()2()(2εε+<-<---A xz f z f A m m m m ，.,,2,1n m =将上述n 式相加得).)(21()2()())(21(εε+-<-<-----A xx f x f A n n n令∞→n ，则由f 在0=x 处连续得εε+≤-≤-A xf x f A )0()(，即ε≤--A xf x f )0()(，由导数定义知.)0(A f ='.例18 设函数)(x f 在点a 处连续，且)(x f 在点a 处可导，证明：)(x f 在点a 处也可导.解 若0)(>a f ，由连续函数的保号性知，存在点a 的某领域)(a U ，使得)(a U x ∈时，0)(>x f ，从而有ax a x a x x f ax a f x f a x a f x f =→→'=--=--)()()(lim )()(lim ，即)(x f 在点a 可导.同理可证：当0)(<a f 时，)(x f 在点a 也可导.当0)(=a f 时，由)(x f 在点a 可导，可设其导数为A ，则有a x x f a x a f x f A ax ax -=--=→→)(lim)()(lim，由此知：当+→a x 时，可得0≥A ；当-→a x 时，可得0≤A ，故.0=A 即,0)(lim =-→ax x f a x 则0)(lim =-→a x x f a x ，所以 0)(lim )()(lim =-=--→→ax x f a x a f x f a x a x . 4 隐函数的求导问题例19（浙江大学2001）设可微函数)(x y y =满足方程x x e ye y y x 7sin 2-+-=，求).0(y '解 方程两边关于x 求导得,7cos 2sin 2-+'+-'-='x e x y e ye e y y y y x x将0=x 代入原方程得.0)0(=y 再将0,0==y x 代入上式得72)0()0(-+'-='y y ，故.25)0(-='y5 参数方程求导例20（华东理工大学）设⎰=21ln )(t udu u t x ，⎰=122ln )(tudu u t y ，求.dxdy 解 由参数方程求导公式得.ln 2ln 222225t t t t t dtdx dt dy dx dy -=-== 例21（北京化工大学）已知⎰++=tudu e y sin 111)1(，其中)(x t t =是由⎩⎨⎧==,sin ,2cos v t v x 所确定，求.dxdy解 由所给参数方程可得 2221sin 21t v x -=-=，从而有.4)1(cos 4)1(cos sin 11sin 11t e t t e t dtdx dt dy dx dy t t +++-=-+==6 反函数求导例22（厦门大学）已知k ke x f x,)(='为不等于零的常数，求)(x f 的反函数的二阶导数.解 记)(x f y =，其反函数记为)(y x ϕ=，则)(1)(x f y '='ϕ， 于是.1)]([)())(1())(1()(223x e k x f x f dxdy x f dx d x f dy d y -='''-='='=''ϕ7 高阶导数与高阶微分例23（中国地质大学2002）设)(x f ''存在，且满足方程)(y x f y +=，求.,22dxy d dx dy 解 方程两边关于x 求导得)1)((y y x f y '++'='， （1）解之得.)(1)(y x f y x f y +'-+'=' （2）由（1）式继续关于x 求导得y y x f y y x f y ''⋅+'+'++''='')()1)((2，解之方程，并将得（2）式代入化简可得.))(1()(3y x f y x f y +'-+''='' 注 求二阶导数，往往并不是直接求一阶导数的导数，而是转化为含有一阶导数的方程两边求导问题，这样往往能大大降低计算量.例24（复旦大学1998）已知)()()(2x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ'在a x =的某领域内连续，求).(a f ''解 由于)()()()(2)(2x a x x a x x f ϕϕ'-+-='，所以.0)(='a f 由导数定义及)(x ϕ'的连续性假设得)]()()(2[lim )()(lim )(a a x x ax a f x f a f a x a x ϕϕ'-+=-'-'=''→→).(2a ϕ=例25 已知⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 求.,22dx y d dx dy 解 由参数方程求导公式得ttt a t a dx dy cos 1sin )cos 1(sin -=-=， )cos 1()cos 1(sin )cos 1(cos )()(2222t a t t t t dt dx dx dydt d dxdy dx d dx y d ----===.)cos 1(12t a --= 注 求参数方程表示的函数的二阶导数，通常情况下并不是直接套用公式，而是求一阶导数（它是参数的函数）关于参变量的导数，再除以自变量关于参变量的导数. 这种方法也适用于更高阶的导数.例26（北京工业大学）设x x x f ωsin )(=，求证：.,2,1),cos 2sin ()1()(122)2( =--=-n x n x x x f n n n n ωωωω解 当1=n 时，x x x x f ωωωcos sin )(+='，x x x x f ωωωωsin cos 2)(2-=''，即1=n 时，结论成立. 假设k n =时结论成立，即)cos 2sin ()1()(122)2(x k x x x f k k k k ωωωω---=，则当1+=k n 时，有]sin 2cos sin [)1()(2122)12(x k x x x x f k k k k k ωωωωωω++-=++]cos sin )12([)1(122x x x k k kkωωωω+++-=，]sin cos cos )12([)1()()1(21212)22(x x x x k x f k k k k k ωωωωωω++++-++-=]cos )1(2sin [)1(12)1(21x k x x k k k ωωωω++++--=，由数学归纳法知结论成立.例27（华中科技大学）设x x f arctan )(=，求).0()(n f解法一 当1<x 时，有∑∞=-=+='022)1(11)(n n n x x x f ， 从而)(x f 的Maclaurin 展式为∑∞=++-=01212)1()(n n nn x x f ， 因此，⎩⎨⎧+=-==.12,)!2()1(,2,0)0()(k n k k n fkn 解法二记)(x f y = ，则211x y +='，即.1)1(2='⋅+y x上式两边关于x 求导得02)1(2='+''⋅+y x y x .利用Leibniz 公式，上式两边求n 阶导数得.0)1()1(2)1()1()2(2=+++++++n n n y n n xy n y x例28（南京大学）求 ).0()ln (2>x x x d n 解 记x x y ln 2=，则x x x y +='ln 2， 3ln 2+=''x y ，,2xy ='''，.3,1)!3(2)1(21)(≥--=--n x n y n n n所以，⎪⎩⎪⎨⎧--=+=+=--.)!3(2)1(,2,)3ln 2(,1,)1ln 2()ln (2122n n n n dx x n n dx x n dx x x x x d注 求高阶导数或高阶微分通常有四种方法：数学归纳法，Leibuniz 公式，递推公式法和幂级数方法.思考题9（同济大学）试用数学归纳法证明：.)1()(11)(11x n n n xn e xe x+--= 例29（华东师大2000）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,1,0,sin )(x x x xx f求).0()(n f解 由x sin 的幂级数展开式得：当0≠x 时，++-+++-=)!12()1(!5!31sin 242n x x x x x n n，从而由幂级数的逐项可微性，有0)0()(lim)0(0=-='→xf x f f x ，31)(!32lim )sin (lim )0()(lim )0(000-=+-='='-'=''→→→x x o x x x xx f x f f x x x ， 031)(10131lim )0()(lim )0(2200=+++-=''-''='''→→xx o x x f x f f x x ， 51)(51lim )0()(lim )0(00)4(=+='''-'''=→→x x o x x f x f f x x ，由数学归纳法易证：.,2,1,2,11)1(,12,0)0()( =⎪⎩⎪⎨⎧=+--==k k n k k n f kn 思考题10（浙江大学2002）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-.0,0,0,)(21x x e x f x 求).0()(n f8 其它相关问题例30（湖北大学2001）设)(x f 为可导函数. 证明：若1=x 时，有)()(22x f dxd x f dx d =， 则必有0)1(='f ，或 .1)1(=f证 由复合函数求导法则得)(2)(22x f x x f dx d'⋅=， )()(2)(2x f x f x f dxd '=， 由已知条件得)()()(2x f x f x f x '='，将1=x 代入上式得0)]1(1)[1(=-'f f ，从而可得0)1(='f ，或 .1)1(=f例31（四川大学1999）函数xe y -=在0=x 处是否连续，是否可导，是否有极值，为什么？解 函数xey -=在0=x 处连续，不可导，有极大值，极大值为1. 事实上，ue y =连续，x u -=连续，由复合函数连续性定理知xe y -=在0=x 处连续. 又⎪⎩⎪⎨⎧<=>=-,0,,0,1,0,x e x x e y xx （1）由洛必达法则（或等价无穷小替换）得1lim 1lim )0(00-=-=-='-→-→+++x x x x e xe y ；1lim 1lim )0(00==-='--→→-x x x x e xe y ，即)0()0(-+'≠'y y ，所以函数在0=x 处不可导. 由（1）式知，函数在0<x 时单调递增，在0>x 时单调递减，所以在0=x 处取得极大值，极大值为.1)0(=y例32（北京科技大学，东北师大）设)(x f 在点a x =某领域有定义，且在该领域内可导，计算极限.0,0,)()(lim≠≠+-+→βαβαtt a f t a f t解 由导数定义得tt a f t a f t )()(lim0βα+-+→ta f t a f t a f t a f t t βββααα)()(lim )()(lim 00-+--+=→→).()(a f '-=βα注（1）不能使用洛必达法则；（2）只要f 在a x =处可导，结论仍然成立.例33（武汉大学）社函数)(x f 在点0x 的某领域)(0x U 内有定义. 证明：到数)(0x f '存在的充要条件是：存在这样的函数)(x g ，它在)(0x U 内有定义，在点0x 连续，且在)(0x U 内成立等式：).()()()(00x g x x x f x f -+=证 充分性显然，下证必要性.令⎪⎩⎪⎨⎧='≠--=.),(,,)()()(00000x x x f x x x x x f x f x g 则容易验证)(x g 满足题目中的条件，所以命题成立.例34 设函数)(x f 定义在R 上，证明：（1）若)(x f 是奇函数，则奇数阶导数是偶函数，偶数阶导数是奇函数； （2）若)(x f 是偶函数，则奇数阶导数是奇函数，偶数阶导数是偶函数； （3）若)(x f 是奇函数，则0)0(,0)0()2(==n f f （n 是正整数）；（4）若)(x f 是偶函数，则.,2,1,0,0)0()12( ==+n fn证（1）若)(x f 是奇函数，则R x ∈∀，有)()(x f x f --=，两边求导得)()(x f x f -'='， )()(x f x f -''-=''，一般地，我们有.,2,1,2),(,12),()()2()12()( =⎪⎩⎪⎨⎧=---=-=-n n k x fn k x f x fn n k由奇偶函数的定义知结论成立.（2）若)(x f 为偶函数，则R x ∈∀，有)()(x f x f -=，仿上可得.,2,1,2),(,12),()()2()12()( =⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-n n k x fn k x f x fn n k由奇偶函数的定义知结论成立.（3）由奇函数的定义得)0()0(f f -=，所以.0)0(=f 同时，由已证结论（1）立得.0)0()2(=n f（4）由（2）立得.0)0()12(=+n f例35（人民大学2001）设,cos 1sin 1)(2425x xxx x f +⋅+=求.)(),0(11)6()6(⎰-dx x f f解 容易验证)(x f 为奇函数，由上题结论知)()6(x f 也为奇函数，所以.0)(,0)0(11)6()6(==⎰-dx x f f例36（东北师大）证明：若)(x f 在R 上连续，且对任意R y x ∈,，有)()()(y f x f y x f =+，则)(x f 在R 上可微.证 若0)(≡x f ，或1)(≡x f ，则命题显然成立. 若)(x f 不恒为零，也不恒等于1，则R x ∈∃0，使得0)(0≠x f ，由此得0)()()()(000≠-=+-=x f x x f x x x f x f ，从而.0)(≠x f 由归纳法，对任意正整数m ，有。
