第8章广义逆矩阵及其应用精品PPT课件

(3) 若 C , 并且 0 , 那么
(A) 1 A ;
(4) 若 P,Q 可逆, 那么
（8.1.8）
(PAQ) Q1AP1 ;
（8.1.9）
(5) ( Ar )r A , (A ) A .
（8.1.10）
证明 (1) 由 AA A A可知, AH ( A )H AH AH ,于是有
( AG) H AG ，
（8.1.4）
4 个方程的全部或一部分，则称 G 为 A 的一个广义逆矩阵，并把上 面 4 个方程叫做穆尔-彭诺斯（M-P）方程．进一步，如果 G 满足 M-P 的 4 个方程式，则称 G 为 A 的穆尔-彭诺斯广义逆，记为 G A{1,2,3,4} ，一般地，如果 G 满足 4 个 M-P 方程式中的第
定义 8.1.3 设 A 为一个 m n 复矩阵，若有一个 n m 复矩阵 G 存在，使得
AG Em 或 GA En ，
则称 G 为 A 的右逆或左逆，记为 G AR1 或 G AL1 ，即有
AAR1 Em 或 AL1 A En ．
（8.1.5）Байду номын сангаас
不难证明： AR1 与 AL1 同时存在当且仅当 A1 存在，此 时有 A1 AR1 AL1 ．
(3) 因为 (A)(1 A )(A) ( 1 )(AA A) A , 所以
(A) 1 A .
(4) 设 PAQ 的 减 号 逆 为 G , 即 (PAQ)G(PAQ) PAQ , 则
i1, i2 ,ik (1 k 4) 个 ， 则 称 G 为 A 的 一 种 弱 逆 ， 记 为 G A{i1, i2 ,ik }．
由于 M-P 的 4 个方程都各有一定的解释，并且应用起
来各有方便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分
方程的 G ，总之，按照定义８.1.1 可推得，满足 1 个，2 个，
第8章 广义逆矩阵及其应用
广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，这种推广的必要性， 是线性方程组的求解问题的实际需要，设有线性方程组
Ax b ，当 A 是 n 阶方阵，且 det(A) 0 时，则方程组存 在唯一解且可表示为： x A1b ．但是，在许多实际问题中 所遇到的矩阵 A 往往是奇异方阵或是任意的 m n 矩阵（一 般 m n ），显然不存在通常的逆矩阵 A1 ，这就促使人们去
( AH ) ( A )H .
(2) 因为（AA）2 ( AA )( AA ) ( AA A) A AA , 所以 AA 为
幂等矩阵. 同理可证 A A 为幂等矩阵. 由于 rank( A) rank( AA ) rank( AA A) rank( A) ,
所以有 rank( A) rank( AA ) . 同理可证 rank( A) rank( A A) .
一般地，各类广义逆不是唯一，并且不难证明以下结 果，这说明广义逆是普通逆矩阵的推广．
定理 8.1.1 当 A 可逆时， A 有唯一的减号逆、 自反广义逆、最小范数广义逆、最小二乘广义逆及 加号逆，并且
A Ar Am Al A A1 ． 在广义逆矩阵理论中还有另外一类广义逆矩阵 的概念：单边广义逆，即所谓矩阵右逆与左逆的概 念．
由定义不难看出：
A A{1,2} A{1} ； A A{1,3} A{1} ； A A{1,4} A{1} ．
1 0
例 8.1.1 设 A 1
1
0 0
，
B
1 0
0 1
00
，C
1 0
0 0
0 1
，
由于
ABA A， ACA A ，
所以， B 与 C 均为 A 的减号逆．
例 8.1.2 设 A 0 为一个 m n 复矩阵，则 A{1} A{1,3} A{1,4} Cnm ， A{1,2} A 0 ．
3 个，4 个 M-P 方程的广义逆矩阵共有 15 类，即
C
1 4
C
2 4
C43
C
4 4
15 ．
但应用较多的是以下 5 类：
A{1}， A{1, 2}， A{1, 3}， A{1, 4}， A{1, 2, 3, 4}．
下面将会看到，只有 A{1, 2, 3, 4}是唯一确定的，其他各 类广义逆矩阵都不唯一：
想象能否推广逆矩阵的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似
性质的矩阵 G ，使方程组的解仍可以表示为 x Gb 的形式．
1920 年穆尔（Moore）首先提出了广义逆矩阵的概念，但其后 的 30 年未引起人们的重视．直到 1955 年彭诺斯（Penrose）利用四 个矩阵方程给出了广义逆矩阵的新的更简便实用的定义之后，广义 逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，其理论和应用得到了迅速发 展，已成为矩阵论的一个重要分支，广义逆矩阵在数理统计、最优 化理论、控制理论、系统识别、数字图象处理等许多领域都具有重 要应用．
本章着重介绍几种常见的广义逆矩阵及其在解线性方程组中的 应用．
8.1 矩阵的几种广义逆
8.1.1 广义逆矩阵的基本概念
定义 8.1.1 设 A C mn 为任意复数矩阵，如果存在复矩阵
G C nm ，满足
AGA A ， GAG G ，
（8.1.1） （8.1.2）
(GA) H GA ，
（8.1.3）
在给出广义逆的计算方法与应用之前，我们先来讨论 广义逆矩阵的若干基本性质．
8.1.2 广义逆矩阵的基本性质
性质 8.1.1 设 A 为任意一个 m n 复矩阵，则
(1) ( AH ) ( A )H ;
（8.1.6）
(2) AA 与 A A 均为幂等矩阵, 且
rank( A) rank( AA ) rank( A A) ; （8.1.7）
定义 8.1.2 设 A C mn 为任意复数矩阵，则 （1）广义逆矩阵类 A{1}中任意一个矩阵均称为 A 的减号逆，记 为 A ； （2）广义逆矩阵类 A{1, 2}中任意一个矩阵均称为 A 的自反减号 逆，记为 Ar ； （3）广义逆矩阵类 A{1, 3}中任意一个矩阵均称为 A 的最小范数 广义逆，记为 Am ； （4）广义逆矩阵类 A{1, 4}中任意一个矩阵均称为 A 的最小二乘 广义逆，记为 Al ； （5）广义逆矩阵类 A{1, 2, 3, 4}中矩阵称为 A 的加号逆，或穆 尔-彭诺斯广义逆，记为 A ．