线性代数的基本概念

线性代数知识点全归纳线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射。

它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。

下面将对线性代数的主要知识点进行全面归纳。

1.矩阵及其运算：矩阵是线性代数的基本概念之一，由若干行和列组成的方阵。

常见的矩阵运算有加法、减法、数乘、矩阵乘法和转置等。

2.向量及其运算：向量是一个有序数组，具有大小和方向。

常见的向量运算有加法、减法、数乘、点乘和叉乘等。

3.线性方程组：线性方程组是线性代数的核心内容之一、包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。

解线性方程组的方法有高斯消元法、克莱姆法则和矩阵求逆等。

4.向量空间与线性变换：向量空间是线性代数的基本概念之一，包含零向量、加法和数乘运算。

线性变换是一种保持向量空间结构的映射。

5.基与维度：基是向量空间的一组线性无关向量，可以由基线性组合得到向量空间中的任意向量。

维度是向量空间中基的数量。

6.线性相关与线性无关：向量组中的向量线性相关指存在非零的线性组合，其系数不全为零。

如果向量组中的向量线性无关，则任何线性组合的系数都为零。

7.线性变换与矩阵：线性变换可以用矩阵表示，矩阵的列向量表示线性变换作用于基向量上后的结果。

矩阵乘法可以将多个线性变换组合为一个线性变换。

8.特征值与特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量，使得它在该线性变换下只发生伸缩而不发生旋转，那么这个向量称为该线性变换的特征向量，对应的伸缩比例为特征值。

9.二次型与正定矩阵：二次型是线性代数中的重要概念，是一个关于变量的二次函数。

正定矩阵是指二次型在所有非零向量上的取值都大于零。

10.内积与正交性：内积是向量空间中的一种运算，它满足线性性、对称性和正定性。

正交性是指两个向量的内积为零，表示两个向量互相垂直。

11.正交变换与正交矩阵：正交变换是指保持向量长度和向量之间夹角的变换。

正交矩阵是一种特殊的方阵，它的行向量和列向量两两正交，并且长度为112.奇异值分解与特征值分解：奇异值分解将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，另外两个是对角矩阵。

序 言1.什么是线性代数：线性代数名曰代数，是代数学乃至整个数学的一个非常重要的学科，顾名思义，它是研究线性问题的代数理论，具体来说是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。

1.1 那么什么是代数呢？代数英文是Algebra ，源于阿拉伯语，其本意是“结合在一起”的意思。

也就是说代数的功能是把许多看似不相关的事物“结合在一起”，也就是进行抽象。

抽象的目的不是为了显示某些人智商高，而是为了解决问题的方便，为了提高效率，把许多看似不相关的问题化归为一类问题。

比如线性代数中的一个重要的抽象概念是线性空间（对所谓的要满足“加法”和“数乘”等八条公理的元素的集合），而其元素被称为向量。

也就是说，只要某个集合里的元素满足那么几条公理，元素之间的变化满足这些规律，我们就可以对这个集合（现在可以改名为线性空间了）进行一系列线性化处理和分析，这个陌生的集合的性质和结构特点我们一下子就全知道了，因为宇宙间的所有的线性空间类的集合的性质都一样，地球人都知道（如果地球人都学了线性代数的话）。

多么深刻而美妙的结论！这就是代数的一个抽象特性。

1.2 那么线性问题又是什么样的问题呢？在大家的科技实践中，从实际中来的数学问题无非分为两类：一类线性问题，一类非线性问题。

线性问题是研究最久、理论最完善的；而非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解。

因此遇到一个具体的问题，首先判断是线性还是上非线性的；其次若是线性问题如何处理，若是非线性问题如何转化为线性问题。

下面我们通过介绍一个重要的概念来逐渐的把握线性这个核心意思。

“线性”的意义线性代数里面的线性主要的意思就是线性空间里的线性变换。

线性变换或线性映射是把中学的线性函数概念进行了重新定义，强调了函数的变量之间的变换的意义。

线性函数的概念线性函数的概念在初等数学和高等数学中含义不尽相同（高等数学常常把初等数学的关键概念进行推广或进一步抽象化，初等数学的概念就变成了高等数学概念的一个特例）。

刘金峰线代讲义摘要：1.刘金峰线代讲义概述2.线性代数的基本概念3.线性方程组的解法4.特征值与特征向量5.矩阵的谱分解6.二次型7.奇异值分解8.总结正文：一、刘金峰线代讲义概述《刘金峰线代讲义》是一本关于线性代数（又称“线代”）的教材，适用于本科生学习。

线性代数是数学的一个分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵、线性变换等概念，具有广泛的应用价值。

刘金峰教授以其丰富的教学经验和深厚的学术造诣，为学生提供了一本内容详实、逻辑清晰的线代教材。

二、线性代数的基本概念线性代数的基本概念包括向量、线性方程组、矩阵、行列式等。

向量是具有大小和方向的量，可以用来表示空间中的点或者方向。

线性方程组是包含多个变量的代数方程，这些方程的解构成了一种特定的关系。

矩阵是一种特殊的数表，可以用来表示线性方程组、线性变换等。

行列式是矩阵的一种性质，可以用来判断矩阵的性质。

三、线性方程组的解法线性方程组的解法有多种，如高斯消元法、克莱姆法则等。

高斯消元法是一种基于矩阵的行变换的方法，可以将线性方程组化为简化阶梯形矩阵，从而求解方程组。

克莱姆法则是求解线性方程组中逆矩阵的一种方法，可以用来求解具有唯一解的线性方程组。

四、特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。

特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量，它们满足矩阵与特征向量的乘积等于特征值与特征向量的乘积。

特征值与特征向量可以用来描述线性变换的性质，具有重要的理论意义和实际应用价值。

五、矩阵的谱分解矩阵的谱分解是将矩阵分解为特征值对角矩阵与特征向量矩阵的乘积，可以更好地描述矩阵的结构和性质。

谱分解在很多领域有广泛的应用，如信号处理、图像处理等。

六、二次型二次型是一种特殊的线性方程组，可以用来描述空间中的曲面或者超曲面。

研究二次型的性质可以帮助我们更好地理解空间几何中的问题。

七、奇异值分解奇异值分解是一种线性代数中的分解方法，可以将矩阵分解为三个矩阵的乘积，从而揭示矩阵的内部结构。

第一讲 基本概念1．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等.线性方程组的解是一个n 维向量()n k k k ,,21 〔称为解向量〕,它满足：当每个方程中的未知数i x 都用i k 替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种：无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题有两个：〔1〕判断解的情况.〔2〕求解,特别是在有无穷多解时求通解.021====m b b b 的线性方程组称为齐次线性方程组.n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种：唯一解〔即只要零解〕和无穷多解〔即有非零解〕.把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0,所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组,简称导出组. 2．矩阵和向量 〔1〕基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由n m ⨯个数排列成的一个m 行n 列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个n m ⨯型矩阵.例如是一个54⨯矩阵,对于上面的线性方程组,称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211 和()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211|β 为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i 行第j 列的数称为()j i ,位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A 和B 相等〔记作B A =〕,是指它的行数相等,列数也相等〔即它们的类型相同〕,并且对应的元素都相等.由n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是n a a a ,,,21 的向量可表示成()n a a a ,,,21 或⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21,请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样〔左边是n ⨯1矩阵,右边是1⨯n 矩阵〕.习惯上把它们分别称为行向量和列向量.〔请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.〕一个n m ⨯的矩阵的每一行是一个n 维向量,称为它的行向量；每一列是一个m 维向量,称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A 的列向量组为n ααα,,,21 时〔它们都是表示为列的形式！〕可记()n A ααα,,,21 =.矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量α和β相等〔记作βα=〕,是指它的维数相等,并且对应的分量都相等. 〔2〕线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加〔减〕法：两个n m ⨯的矩阵A 和B 可以相加〔减〕,得到的和〔差〕仍是n m ⨯矩阵,记作()B A B A -+,法则为对应元素相加〔减〕.数乘：一个n m ⨯的矩阵A 与一个数c 可以相乘,乘积仍为n m ⨯的矩阵,记作cA ,法则为A 的每个元素乘c .这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律：① 加法交换律：A B B A +=+. ② 加法结合律：()()C B A C B A ++=++. ③ 加乘分配律：()cB cA B A c +=+.()dA cA A d c +=+. ④ 数乘结合律：()()A cd A d c =. ⑤00=⇔=c cA 或0=A .转置：把一个n m ⨯的矩阵A 行和列互换,得到的m n ⨯的矩阵称为A 的转置,记作TA 〔或A '〕. 有以下规律：①()A A TT=. ②()T T TB A B A +=+. ③()T TcA cA =.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当α是列向量时,Tα表示行向量,当α是行向量时,Tα表示列向量.向量组的线性组合：设s ααα,,,21 是一组n 维向量,s c c c ,,,21 是一组数,则称s s c c c ααα+++ 2211为s ααα,,,21 的〔以s c c c ,,,21 为系数的〕线性组合.n 维向量组的线性组合也是n 维向量. 〔3〕n 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n 的矩阵也常常叫做n 阶矩阵.把n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.〔其上的元素行号与列号相等.〕 下面列出几类常用的n 阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵：对角线外的元素都为0的n 阶矩阵.单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵,记作E 〔或I 〕.数量矩阵：对角线上的元素都等于一个常数c 的对角矩阵,它就是cE . 上三角矩阵：对角线下的元素都为0的n 阶矩阵. 下三角矩阵：对角线上的元素都为0的n 阶矩阵.对称矩阵：满足A A T =矩阵.也就是对任何()j i j i ,,,位的元素和()i j ,位的元素总是相等的n 阶矩阵.〔反对称矩阵：满足A A T -=矩阵.也就是对任何()j i j i ,,,位的元素和()i j ,位的元素之和总等于0的n 阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.〕 3．矩阵的初等变换和阶梯形矩阵 矩阵有以下三种初等行变换： ①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.<称这类变换为倍加变换>类似地,矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了.初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵：一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足： ①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增. 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角. 简单阶梯形矩阵：是特殊的阶梯形矩阵,特点为： ③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意：1．一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2．一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的. 4．线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程组〔即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组〕. 线性方程组的同解变换有三种： ①交换两个方程的上下位置. ②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下：〔1〕写出方程组的增广矩阵()β|A ,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵()γ|B . 〔2〕用()γ|B 判别解的情况：如果最下面的非零行为()d |0,,0,0 ,则无解,否则有解.有解时看非零行数r 〔r 不会大于未知数个数n 〕,n r =时唯一解；n r <时无穷多解. 〔推论：当方程的个数n m <时,不可能唯一解.〕 〔3〕有唯一解时求解的初等变换法：去掉()γ|B 的零行,得到一个()1+⨯n n 矩阵()00|γB ,并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵()η|E ,则η就是解.对齐次线性方程组：〔1〕写出方程组的系数矩阵A ,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B .〔2〕用B 判别解的情况：非零行数n r =时只有零解：n r <时有非零解〔求解方法在第五章讲〕.〔推论：当方程的个数n m <时,有非零解.〕 讨论题1．设A 是n 阶矩阵,则〔A 〕A 是上三角矩阵⇒A 是阶梯形矩阵. 〔B 〕A 是上三角矩阵⇐A 是阶梯形矩阵. 〔C 〕A 是上三角矩阵⇔A 是阶梯形矩阵.〔D 〕A 是上三角矩阵与A 是阶梯形矩阵没有直接的因果关系. 2．下列命题中哪几个成立？〔1〕如果A 是阶梯形矩阵,则A 去掉任何一行还是阶梯形矩阵. 〔2〕如果A 是阶梯形矩阵,则A 去掉任何一列还是阶梯形矩阵. 〔3〕如果()B A |是阶梯形矩阵,则A 也是阶梯形矩阵. 〔4〕如果()B A |是阶梯形矩阵,则B 也是阶梯形矩阵. 〔5〕如果⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 是阶梯形矩阵,则A 和B 都是阶梯形矩阵.第二讲 行列式一．概念复习 1．形式和意义形式：用2n 个数排列成的一个n 行n 列的表格,两边界以竖线,就成为一个n 阶行列式： 如果行列式的列向量组为n ααα,,,21 ,则此行列式可表示为n ααα,,,21 .意义：是一个算式,把这2n 个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号！〔不必形式一样,甚至阶数可不同.〕 每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作A .行列式这一讲的核心问题是值的计算,以与判断一个行列式的值是否为0.2．定义〔完全展开式〕2阶和3阶行列式的计算公式： 2112221122211211a a a a a a a a -=.一般地,一个n 阶行列式的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为：nnj j j ααα 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标n j j j 21构成n ,,2,1 的一个全排列〔称为一个n 元排列〕,共有!n 个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有!n 个项. 所谓代数和是在求总和时每项先要乘1+或1-.规定()n j j j 21τ为全排列n j j j 21的逆序数〔意义见下面〕,则项n nj j j a 2121αα所乘的是()()n j j j 211τ-.全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算：标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数：()10002323436512,215634002323=+++++=τ.至此我们可以写出n 阶行列式的值：()()∑-=nnn j j j nj j j j j j nnn n nna a a a a a a a a a a 212121212122221112111ατ.这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和,称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上〔下〕三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0. 3．化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的1-n 阶行列式称为()j i ,位元素ij a 的余子式,记作ij M .称()ij ji ij M A +-=1为元素ij a 的代数余子式.定理〔对某一行或列的展开〕行列式的值等于该行〔列〕的各元素与其代数余子式乘积之和.命题第三类初等变换〔倍加变换〕不改变行列式的值.化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理,于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握. 4．其它性质行列式还有以下性质：① 把行列式转置值不变,即A A T =.② 某一行〔列〕的公因子可提出.于是,A c cA n =. ③ 对一行或一列可分解,即如果某个行〔列〕向量γβα+=,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行〔列〕向量α换为β或γ所得到的行列式.例如γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+.④ 把两个行〔列〕向量交换,行列式的值变号.⑤ 如果一个行〔列〕向量是另一个行〔列〕向量的倍数,则行列式的值为0. ⑥某一行〔列〕的各元素与另一行〔列〕的对应元素的代数余子式乘积之和0=. ⑦如果A 与B 都是方阵〔不必同阶〕,则B A A A B*0 B0* ==.X 德蒙行列式：形如 in ni n i n i n n na a a a a a a a a a a a ----32122322213211111 的行列式〔或其转置〕.它由n a a a a ,,,,321 所决定,它的值等于()∏-ji i jαα.因此X 德蒙行列式不等于n a a a a ,,,,0321 ⇔两两不同.对于元素有规律的行列式〔包括n 阶行列式〕,常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等. 5．克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n 〔即系数矩阵为n 阶矩阵〕的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为()D D D D D D n / , ,/ ,/21 ,这里D 是系数行列式的值,i D 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进：按法则给的公式求解计算量太大,没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够.法则的改进：系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法：对增广矩阵()β|A 作初等行变换,使得A 变为单位矩阵：()()ηβ||E A →,η就是解.用在齐次方程组上：如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是0≠A .第三讲 矩阵一．概念复习1．矩阵乘法的定义和性质定义2．1 当矩阵A 的列数和B 的行数相等时,和A 和B 可以相乘,乘积记作AB .AB 的行数和A 相等,列数和B 相等.AB 的()j i ,位元素等于A 的第i 个行向量和B 的第j 个列向量〔维数相同〕对应分量乘积之和. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ns n n s s b b b b b b b b b B 212222111211,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==ms m m s s c c c c c c c c c AB C 212222111211,则nj in j i j i ij b a b a b a c +++= 2211.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同：① 矩阵乘法有条件. ② 矩阵乘法无交换律.③ 矩阵乘法无消去律,即一般地由0=AB 推不出0=A 或0=B .由AC AB =和0≠A 推不出C B =.〔无左消去律〕 由CA BA =和0≠A 推不出C B =.〔无右消去律〕请注意不要犯一种常见的错误：把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来. 矩阵乘法适合以下法则：① 加乘分配律 ()AC AB C B A +=+,()BC AC C B A +=+. ② 数乘性质()()AB c B cA =.③ 结合律 ()()BC A C AB =.④()TT TA B AB =.2．n 阶矩阵的方幂和多项式任何两个n 阶矩阵A 和B 都可以相乘,乘积AB 仍是n 阶矩阵.并且有行列式性质：B A AB =.如果BA AB =,则说A 和B 可交换.方幂 设k 是正整数,n 阶矩阵A 的k 次方幂kA 即k 个A 的连乘积.规定E A =0.显然A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则：①h k h k A A A +=.②()kh hkA A =. 但是一般地()kAB 和k k B A 不一定相等！n 阶矩阵的多项式设()0111a x a xa x a x f m m m m ++++=-- ,对n 阶矩阵A 规定 ()E a A a A a A a A f m m m m 0111++++=-- .称为A 的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E .乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有：()2222B AB A B A +±=±；()()()()B A B A B A B A B A -+=-+=-22.二项展开式成立：()∑=-=+mi i i m i mmB A CB A 1等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的.一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解. 3．分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵〔一切A 的纵向切割和B 的横向切割一致！〕,再用它们来作乘法.〔1〕两种常见的矩阵乘法的分块法则〔2〕⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222212212122112122121211211211112221121122211211B A B A B A B A B A B A B A B A B B B B A AA A要求ij A 的列数jk B 和的行数相等. 准对角矩阵的乘法：形如的矩阵称为准对角矩阵,其中k A A A ,,,21 都是方阵. 两个准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k A A A A00000021, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k B B B B00000021如果类型相同,即i A 和i B 阶数相等,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k k B A B A B A AB000002211. 〔2〕乘积矩阵的列向量组和行向量组设A 是n m ⨯矩阵B 是s n ⨯矩阵.A 的列向量组为n ααα,,,21 ,B 的列向量组为s βββ,,,21 ,AB 的列向量组为s γγγ,,,21 ,则根据矩阵乘法的定义容易看出〔也是分块法则的特殊情形〕：①AB 的每个列向量为：i i A βγ=,s i ,,2,1 =. 即()()s s A A A A ββββββ,,,,,,2121 =. ②()Tn b b b ,,,21 =β,则n n b b b A αααβ+++= 2211.应用这两个性质可以得到：如果()Tni i i i b b b ,,,21 =β,则n ni i i i b b b A αααβγ+++== 22111.类似地,乘积矩阵AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i 个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的. 〔1〕当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.〔2〕利用以上规律容易得到下面几个简单推论：用对角矩阵Λ从左侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量；用对角矩阵Λ从右侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵kE 乘一个矩阵相当于用k 乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵. 两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.〔3〕矩阵分解：当一个矩阵C 的每个列向量都是另一个A 的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B ,使得AB C =.例如设()γβα,,=A ,()γαγβαγβα2,3,2++--+=C ,令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211012131B ,则AB C =.〔4〕初等矩阵与其在乘法中的作用对单位矩阵E 作一次初等〔行或列〕交换,所得到的矩阵称为初等矩阵. 有三类初等矩阵： ()j i E ,：交换E 的i ,j 两行〔或列〕所得到的矩阵.()()c i E ：用非0数c 乘E 的第i 行〔或列〕所得到的矩阵,也就是把E 的对角线上的第i 个元素改为c .()()c j i E ,()j i ≠：把E 的第j 行的c 倍加到第i 行上〔或把第i 列的c 倍加到第j 列上〕所得到的矩阵,也就是把E 的()j i ,位的元素改为c .命题 对矩阵作一次初等行〔列〕变换相当于用一个相应的初等矩阵从左〔右〕乘它. 4．矩阵方程和可逆矩阵〔伴随矩阵〕 〔1〕矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程： 〔I 〕B AX =. 〔II 〕B XA =.这里假定A 是行列式不为0的n 阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.〔否则解的情况比较复杂.〕当B 只有一列时,〔I 〕就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B 有s 列,设()s B βββ,,,21 =,则X 也应该有s 列,记()s X X X X ,,,21 =,则有i i AX β=,s i ,,2,1 =,这是s 个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而BAX =有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A ,可同时求解,即得 〔I 〕的解法：将A 和B 并列作矩阵)B A ,对它作初等行变换,使得A 变为单位矩阵,此时B 变为解X .〔II 〕的解法：对两边转置化为〔I 〕的形式：B X A =.再用解〔I 〕的方法求出T X ,转置得X .矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成〔I 〕或〔II 〕的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解. 〔2〕可逆矩阵的定义与意义定义设A 是n 阶矩阵,如果存在n 阶矩阵B ,使得E AB =,E BA =,则称A 为可逆矩阵.此时B 是唯一的,称为A 的逆矩阵,通常记作1-A . 如果A 可逆,则A 在乘法中有消去律：00=⇒=B AB ；C B AC AB =⇒=.〔左消去律〕；00=⇒=B BA ；C B CA BA =⇒=.〔右消去律〕如果A 可逆,则A 在乘法中可移动〔化为逆矩阵移到等号另一边〕：C A B C AB 1-=⇔=.1-=⇔=CA B C BA .由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：〔I 〕B AX =的解B A X 1-=. 〔II 〕B XA =的解1-=BA X .这种解法想法自然,好记忆,但是计算量比初等变换法大〔多了一次矩阵乘积运算〕.〔3〕矩阵可逆性的判别与性质定理 n 阶矩阵A 可逆0≠⇔A .证明 "⇒〞对E AA =-1两边取行列式,得11=-A A ,从而0≠A .〔并且11--=A A .〕"⇐〞因为0≠A ,矩阵方程E AX =和E XA =都有唯一解.设B ,C 分别是它们的解,即E AB =,E CA =.事实上()C CE CAB EB B C B =====,于是从定义得到A 可逆. 推论如果A 和B 都是n 阶矩阵,则E BA E AB =⇔=.于是只要E AB =〔或E BA =〕一式成立,则A 和B 都可逆并且互为逆矩阵. 可逆矩阵有以下性质：①如果A 可逆,则1-A 也可逆,并且()A A =--11.T A 也可逆,并且()()T T A A 11--=.0≠c 时,cA 也可逆,并且()111---=A c cA .对任何正整数k ,k A 也可逆,并且()()k k A A 11--=.〔规定可逆矩阵A 的负整数次方幂()()k k k A A A 11---==.〕②如果A 和B 可逆,则AB 也可逆,并且()111---=A B AB .〔请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.〕初等矩阵都是可逆矩阵,并且()()j i E j i E ,,1=-,()()()()11--=c i E c i E ,()()()()c j i E c j i E -=-,,1. 〔4〕逆矩阵的计算和伴随矩阵①计算逆矩阵的初等变换法当A 可逆时,1-A 是矩阵方程E AX =的解,于是可用初等行变换求1-A ：这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多. ②伴随矩阵若A 是n 阶矩阵,记ij A 是A 的()j i ,位元素的代数余子式,规定A 的伴随矩阵为()T ij mn n nn n A A A A A A A A A A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 212221212111*. 请注意,规定n 阶矩阵A 的伴随矩阵并没有要求A 可逆,但是在A 可逆时,*A 和1-A 有密切关系. 基本公式：E A A A AA ==**.于是对于可逆矩阵A ,有A A A /*1=-,即1*-A A A .因此可通过求*A 来计算1-A .这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较,伴随矩阵法的计算量要大得多,除非2=n ,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a c b d d c b a *, 因此当0≠-bc ad 时,()bc ad a c b d d c b a -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1.伴随矩阵的其它性质：①如果A 是可逆矩阵,则*A 也可逆,并且()()*/*11--==A A A A . ②1*-=n A A .③()()T T A A **=. ④()**1A c cA n -=.⑤()***A B AB =；()()k k A A **=.⑥当2>n 时,()A A A n 2**-=；2=n 时,()A A =**.。

《线性代数》根据“卓越工程师‎教育培养计‎划”的基本要求‎，突出基本概‎念、基本理论、基本技能，注重培养学‎生数学素质‎。

教材在满足‎教学要求的‎前提下，适当降低理‎论推导的要‎求，但重视阐明‎基本理论的‎脉络。

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由于研究关‎联着多个因‎素的量所引‎起的问题，则需要考察‎多元函数。

如果所研究‎的关联性是‎线性的，那么称这个‎问题为线性‎问题。

历史上线性‎代数的第一‎个问题是关‎于解线性方‎程组的问题‎，而线性方程‎组理论的发‎展又促成了‎作为工具的‎矩阵论和行‎列式理论的‎创立与发展‎，这些内容已‎成为我们线‎性代数教材‎的主要部分‎。

最初的线性‎方程组问题‎大都是来源‎于生活实践‎，正是实际问‎题刺激了线‎性代数这一‎学科的诞生‎与发展。

另外，近现代数学‎分析与几何‎学等数学分‎支的要求也‎促使了线性‎代数的进一‎步发展。

矩阵和行列‎式行列式出现‎于线性方程‎组的求解，它最早是一‎种速记的表‎达式，现在已经是‎数学中一种‎非常有用的‎工具。

行列式是由‎莱布尼茨和‎日本数学家‎关孝和发明‎的。

1693 年4 月，莱布尼茨在‎写给洛比达‎的一封信中‎使用并给出‎了行列式，并给出方程‎组的系数行‎列式为零的‎条件。

同时代的日‎本数学家关‎孝和在其著‎作《解伏题元法‎》中也提出了‎行列式的概‎念与算法。

1750 年，瑞士数学家‎克莱姆 (G.Crame‎r,1704-1752) 在其著作《线性代数分‎析导引》中，对行列式的‎定义和展开‎法则给出了‎比较完整、明确的阐述‎，并给出了现‎在我们所称‎的解线性方‎程组的克莱‎姆法则。

稍后，数学家贝祖‎ (E.Bezou‎t,1730-1783) 将确定行列‎式每一项符‎号的方法进‎行了系统化‎，利用系数行‎列式概念指‎出了如何判‎断一个齐次‎线性方程组‎有非零解。

总之，在很长一段‎时间内，行列式只是‎作为解线性‎方程组的一‎种工具使用‎，并没有人意‎识到它可以‎独立于线性‎方程组之外‎，单独形成一‎门理论加以‎研究。