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矩阵论第8章广义逆矩阵及其应用

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矩阵论广义逆

矩阵论广义逆

矩阵论广义逆矩阵是线性代数中的重要概念，广义逆是矩阵论中的一个关键概念。

在矩阵论中，广义逆用于解决矩阵方程的求解问题。

本文将介绍矩阵论中的广义逆以及其应用。

1. 广义逆的定义在矩阵论中，矩阵的广义逆是指对于任意矩阵A，存在一个矩阵X，满足以下条件：1) AXA=A2) XAX=X3) (AX)^T=AX4) (XA)^T=XA广义逆的存在性和唯一性是矩阵论中的一个重要问题，对于满足以上条件的矩阵X，我们称其为A的广义逆，记作A⁺。

2. 广义逆的性质广义逆具有以下性质：1) AA⁺A=A2) A⁺AA⁺=A⁺3) (A⁺)^T=A⁺4) (AA⁺)^T=AA⁺广义逆的性质使得它在矩阵方程的求解中具有重要作用。

3. 广义逆的应用广义逆在矩阵方程的求解中有广泛的应用，下面介绍其中几个常见的应用：3.1 线性方程组的求解对于线性方程组Ax=b，如果A的广义逆A⁺存在，那么方程的解可以表示为x=A⁺b。

广义逆的存在性保证了线性方程组的解的存在性，并且通过广义逆的计算，可以得到解的一个特解。

3.2 最小二乘问题的求解最小二乘问题是指在给定线性方程组Ax=b无解时，求解使得||Ax-b||^2最小的x。

如果A的广义逆A⁺存在，那么最小二乘问题的解可以表示为x=A⁺b。

广义逆的计算可以通过奇异值分解等方法来实现。

3.3 线性回归分析线性回归分析是统计学中的一种重要方法，用于建立自变量与因变量之间的线性关系。

在线性回归分析中，广义逆可以用于求解回归系数，得到最佳拟合直线，并用于预测和推断。

4. 广义逆的计算方法广义逆的计算方法有多种，常见的包括伪逆法、奇异值分解法等。

伪逆法是通过对矩阵A进行分解或变换，得到A的伪逆矩阵。

奇异值分解法则是通过对矩阵A进行奇异值分解，得到A的伪逆矩阵。

这些计算方法都是基于矩阵的特征和性质进行推导和求解的。

5. 广义逆的应用举例以线性方程组的求解为例，假设有如下线性方程组：2x+y=3x+3y=9将其转化为矩阵形式为：A=[2 1; 1 3]b=[3; 9]求解线性方程组的解可以通过计算广义逆来实现。

第八章 矩阵的广义逆

第八章 矩阵的广义逆

第八章矩阵的广义逆前言初等变换和标准形初等变换和标准形举例
§8.1 广义逆矩阵减号逆的概念
减号逆存在定理及求法减号逆存在定理及求法续
关于减号逆公式的注一个减号逆确定所有减号逆1减号逆的主要性质续减号逆的主要性质续
减号逆的主要性质续左逆与右逆的概念矩阵左逆与右逆的求法自反广义逆的概念
自反广义逆的存在与唯一性自反广义逆的唯一性自反广义逆与左(右)逆的关系用满秩分解求自反广义逆
自反广义逆的求法自反广义逆的求法续§8.2 伪逆矩阵
伪逆的存在性求伪逆举例
伪逆的唯一性
伪逆的性质
⎞
⎛−101求伪逆举例
§8.3 广义逆与线性方程组
一般矩阵方程有解的条件一般矩阵方程的通解
用减号逆求解相容线性方程组举例相容线性方程组的最小模解0130
−
相容方程组最小模解的充要条件
相容方程组最小模解的充要条件续
求相容方程组最小模解举例
Ax,即‖Ax-b‖>0.
不相容方程组的最小二乘解
R(A)
Ax 0
不相容方程组的最小二乘解举例用广义逆求最小二乘解定义8.3.2:线性方程组Ax=b 的一个最佳最小二乘
矩阵方程的最小二乘解。

广义逆矩阵作用

广义逆矩阵作用

广义逆矩阵作用广义逆矩阵是矩阵理论中的一个重要概念，它在多个领域中都有广泛的应用。

本文将介绍广义逆矩阵的定义、性质以及应用，并探讨其在实际问题中的作用。

一、广义逆矩阵的定义在矩阵理论中，矩阵A的广义逆矩阵，记作A⁺，是满足以下条件的矩阵：1. AA⁺A = A，即A乘以广义逆矩阵再乘以A等于A本身。

2. A⁺AA⁺= A⁺，即广义逆矩阵乘以A再乘以广义逆矩阵等于广义逆矩阵本身。

二、广义逆矩阵的性质1. 广义逆矩阵的广义逆矩阵是它本身，即(A⁺)⁺ = A⁺。

2. (AB)⁺= B⁺A⁺，即两个矩阵的乘积的广义逆矩阵等于右边矩阵的广义逆矩阵乘以左边矩阵的广义逆矩阵。

3. (A⁺)ᵀ= (Aᵀ)⁺，即广义逆矩阵的转置等于原矩阵的转置的广义逆矩阵。

4. (AᵀA)⁺Aᵀ= A⁺，即矩阵A的转置与A的乘积的广义逆矩阵等于A的广义逆矩阵乘以A的转置的广义逆矩阵。

三、广义逆矩阵的应用1. 线性方程组的求解：对于一个线性方程组Ax = b，如果A是列满秩矩阵（即A的列向量线性无关），则方程组有唯一解x = A⁺b。

如果A不是列满秩矩阵，方程组可能有无穷多解，此时可以通过最小二乘法求解，即x = A⁺b是方程组的最小二乘解。

2. 伪逆最小二乘法：当矩阵A不是一个方阵时，无法求出其逆矩阵。

此时可以使用广义逆矩阵来进行最小二乘拟合，例如曲线拟合和数据降维等问题。

3. 线性回归分析：广义逆矩阵可以用于线性回归模型的参数估计，通过最小化残差平方和来求解回归方程的参数。

4. 信号处理：广义逆矩阵可以用于信号处理中的滤波、降噪和频谱估计等问题，提高信号处理的精度和效果。

5. 图像处理：广义逆矩阵可以应用于图像处理中的去噪、图像复原和图像压缩等问题，提高图像处理的质量和效率。

6. 线性规划：广义逆矩阵可以用于线性规划问题的求解，例如最优化问题和约束优化问题等。

7. 控制系统：广义逆矩阵在控制系统中有广泛的应用，如系统辨识、状态估计、控制器设计和自适应控制等方面。

矩阵分析第八章

矩阵分析第八章

((AAH)(AAH)+)H=((AAH)+)H(AAH)H=(AAH)+(AAH) = (A+)HA+(AAH)=(A+)H(A+A)AH=(A+)H(A+A)HAH = (A+)HAH(A+)HAH=(AA+)H(AA+)H=AA+AA+ = A(A+A)HA+=(AAH)(A+)HA+=(AAH)(AAH)+ ((AAH)+(AAH))H=(AAH)H((AAH)+)H=(AAH)(AAH)+ = (AAH)(A+)HA+=A(A+A)HA+=AA+AA+ = (AA+)H(AA+)H=(A+)HAH(A+)HAH=(A+)H(A+A)HAH = (A+)H(A+A)HAH=(A+)HA+(AAH)=(AAH)+(AAH) (3)的证明与(2)类似, 略.
0 −1 Q 0
例 2：设A−是A∈Cm×n的一个广义逆, 则对任意的V∈Cn×m, W∈Cn×m,
X = A − + V ( Em − AA − ) + ( E n − A − A)W
也是A的一个广义逆矩阵. 证明： AXA = AA − A + AV ( E m − AA − ) A + A( E n − A − A)WA
“⇐” 设A−满足AA−A = A 且 rankA = rankA−, 则: rankAA− = rankA = rankA− ⇒ dim N(AA−) = dim N(A−) 又因为N(AA−) ⊃ N(A−), 从而 N(AA−) = N(A−). 由 AA−A = A ⇒ AA− − AA−AA− = 0 ⇒ ⇒ AA−(E− AA−) = 0 ⇒ A−(E− AA−) = 0 A− = A−AA−

矩阵的广义逆及其应用

矩阵的广义逆及其应用

矩阵的广义逆及其应用矩阵的广义逆，也称为矩阵的Moore-Penrose逆，是矩阵理论中的一个重要概念。

广义逆是对于不可逆矩阵的一种推广，可以用来求解一些特殊类型的线性方程组或优化问题。

本文将介绍矩阵的广义逆的定义、性质以及在实际问题中的应用。

定义对于一个矩阵A，如果存在矩阵B，使得以下条件成立：1.ABA = A2.BAB = B3.(AB)^T = AB4.(BA)^T = BA则矩阵B被称为矩阵A的广义逆，记作A^+。

性质矩阵的广义逆具有以下性质：1.若A是可逆矩阵，则A的广义逆与A的逆相等，即A^+ = A^{-1}。

2.若A是一个方阵，但不可逆，则A的广义逆存在但不唯一。

3.若A是一个矩阵且A+存在，则A+也是一个矩阵。

4.若A是一个矩阵，B是A的广义逆，则B也是A^+的广义逆。

应用矩阵的广义逆在实际问题中有着广泛的应用，下面介绍几个典型的应用场景：线性最小二乘法在线性回归问题中，我们通常需要求解一个线性方程组AX = B。

如果A不是满秩矩阵，即A不可逆，我们可以使用A的广义逆来求解最小二乘解X，即X =A^+B。

控制系统在控制系统中，经常会遇到状态估计或者控制问题，通常涉及到求解一个线性方程组。

如果问题中的系数矩阵不可逆，可以使用矩阵的广义逆来求解。

信号处理在信号处理中，经常需要对信号进行平滑处理或者噪声去除。

矩阵的广义逆可以用来求解平滑信号的逼近或者滤波问题。

总之，矩阵的广义逆在各个领域都有着重要的应用，能够帮助我们解决一些复杂的线性问题，提高问题的求解效率。

结论矩阵的广义逆是矩阵理论中的一个重要概念，具有很多独特的性质和应用。

通过本文的介绍，希望读者能够对矩阵的广义逆有更深入的了解，并在实际问题中灵活运用。

广义逆的性质与应用

广义逆的性质与应用

广义逆的性质与应用广义逆是矩阵理论中的重要概念，广义逆的性质与应用涵盖了多个领域，包括线性代数、最小二乘法、控制论、信号处理等。

本文将介绍广义逆的定义、性质及其在不同领域中的应用。

一、定义与性质1.1 定义广义逆也被称为伪逆或摩尔－彭若斯广义逆，是对于非方阵的矩阵而言的一种逆。

对于任意的m x n矩阵A，它的广义逆记作A^+ ，满足以下条件：1) AA^+A = A2) A^+AA^+ = A^+3) (AA^+)^T = AA^+4) (A^+A)^T = A^+A1.2 性质广义逆具有以下一些重要性质：1) 如果A是可逆矩阵，则A的广义逆等于A的逆。

2) A的广义逆是唯一的。

3) 两个矩阵的广义逆的乘积等于它们各自广义逆的乘积。

4) 广义逆具有非负性：如果A的元素都是非负的，则A的广义逆的元素也都是非负的。

5) 当A是满秩矩阵时，AA^+ = I，即A乘以它的广义逆等于单位矩阵。

二、应用领域2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用于解决拟合问题的数学方法，广义逆在最小二乘法中起着重要作用。

对于线性方程组Ax=b，其中A是一个非方阵，x和b是两个向量，如果该方程组无解，我们可以通过广义逆来寻找一个最优解，即使得Ax尽量接近b的解x^* = A^+b。

2.2 控制论广义逆在控制论中的应用主要是在系统建模和控制器设计中。

在一些复杂的系统中，往往无法直接求解系统的解析解。

通过广义逆，我们可以得到一种近似解，在控制器设计中，可以利用广义逆来求解动态系统的逆动力学问题。

2.3 信号处理广义逆在信号处理中也起着重要作用，特别是在图像恢复、压缩感知以及信号降噪等方面的应用。

通过广义逆，可以对噪声干扰下的信号进行恢复和重构，提高信号的质量和准确性。

2.4 数据挖掘在数据挖掘中，广义逆被广泛应用于矩阵分解、推荐系统和聚类分析等领域。

通过广义逆，可以对大量的数据进行降维处理，提取有效的特征，并用于分类和预测任务。

三、总结广义逆作为矩阵理论的重要内容，具有广泛的应用价值。

广义逆矩阵及其应用

广义逆矩阵及其应用
２１年 １ ０１ ２月 第 ４期
伊 犁师 范学 院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｌＮｏ ｍａ Ｕｎｖ ｒｉ （ ｔ ｒｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ） ｏ ｒａ ｉ ｒ ｌ ｉｅ ｓ ｙ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅＥ ｉｏ ｏ Ｙｉ ｔ Ｓ ｉ
Ｄｅ ． ｃ２０１ １
分析．由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论 、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用已为
人们所认识 ，因而大大推动 了广义逆矩阵的研究，本文对广义逆矩阵做简单介绍，并进一步讨论它在线性 方程 组求 解 中 的应用 ．
１ 广 义逆 矩 阵的引入
１２ ９ ０年 ＥＨ． ｏｅ 先引进 了广 义逆 矩 阵这 一概 念 ，其后 ３ 未能 引起 人们 的重视 ，直 到 １ ５ ． Ｍｏ ｒ 首 ０年 ９ ５年 ， ＲＰ ｎｏｅ给 出 了 Ｍｏ ｒ ．ｅ ｒｓ ｏｅ的广‘ 义逆矩 阵 的定义 之后 ， 义逆 矩阵 的研 究才 进入 了一 个新 的时期．后 来人们 证 』‘
则称 Ｇ为 Ａ的一个广义逆矩阵，简称广义逆，把上面 ４ 个方程叫做 —Ｐ 方程，其 中（） Ｊ 为转置共轭
矩阵．
下面将看到满足部分条件的广义逆矩阵一般并不唯～，因此我们把满足条件 （ ）的广义逆矩阵的集 １ 合 记 为 Ａ｛） １；满 足条 件 （ ） ４ １、（ ）的广义 逆矩 阵 的集合记 为 Ａ｛，） 等．本文将 讨论 Ａ｛） １ 等 ４ １ ， ｛，２ ， １ ） ｛ ，４ ， ｛ ，３ ， ｛，２ ，４ 以及它们在线性方程组中的应用． １ ） １ ） １ ，３ ）
２ １ 广义逆 矩阵 一 ． 的定义 及存在性 定义 １ 设有矩阵 Ａ∈ … ，如果存在矩阵Ｇ∈ ，满足条件 Ａ Ａ＝Ａ，则称 Ｇ为矩阵 的＿ 义 ［ １ Ｃ Ｃ Ｇ ｒ ‘

第8章广义逆矩阵及其应用

第8章广义逆矩阵及其应用
AR1 AH ( AA H ) 1 ．
同理可证（2）．
这里要特别指出的是，对于行或列满秩的矩阵 A ， AR1 与 AL1 是不可能同时存在的，当且仅当 A 为满秩矩阵时 AR1 与 AL1 才同时存在，并且都等于逆矩阵 A1 ，另外，由右逆与左逆的定
义不难看出右逆与左逆满足 M-P 方程（8.1.1），（8.1.2），从而有 下面结论．
( AG) H AG ，
（8.1.4）
4 个方程的全部或一部分，则称 G 为 A 的一个广义逆矩阵，并把上
面 4 个方程叫做穆尔-彭诺斯（M-P）方程．进一步，如果 G 满足
M-P 的 4 个方程式，则称 G 为 A 的穆尔-彭诺斯广义逆，记为
G A{1,2,3,4} ，一般地，如果 G 满足 4 个 M-P 方程式中的第
在，使（8.1.1）与（8.1.2）都成立，即
AGA A GAG G
则称 G 为 A 的一个{1,2}-广义逆，记为 G A{1, 2} 或 G A{1,2} ，也称 G
为 A 的一个自反减号广义逆，记为 G Ar ，即有
AAr A A ， Ar AAr Ar ．
（8.1.10）
显 然 ， 自 反 减 号 逆 Ar 是 一 种 特 殊 的 减 号 逆 A ， 它 满 足 自 反 性
P C mm , Q C nn 使得
PA
Q
Er 0
00 ，
则 A 的减号逆矩阵存在，且可表示为
（8.1.7）
A
Q
Er G21
G12 G22
P
，
（8.1.8）
其中 G12,G21,G22 分别是 r (m r) ，(n r) r ，(n r) (m r) 的任意
矩阵．

广义逆矩阵及其应用【文献综述】

广义逆矩阵及其应用【文献综述】

毕业论文文献综述数学与应用数学广义逆矩阵及其应用一、前言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。

“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。

而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。

从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。

在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。

先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。

凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。

1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。

文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。

另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。

1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。

后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。

泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。

他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。

1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。

1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。

第八章矩阵的广义逆

第八章矩阵的广义逆

第八章矩阵的广义逆
第八章矩阵的广义逆前言初等变换和标准形初等变换和标准形举例
§8.1 广义逆矩阵减号逆的概念
减号逆存在定理及求法减号逆存在定理及求法续
关于减号逆公式的注一个减号逆确定所有减号逆1减号逆的主要性质续减号逆的主要性质续
减号逆的主要性质续左逆与右逆的概念矩阵左逆与右逆的求法自反广义逆的概念
自反广义逆的存在与唯一性自反广义逆的唯一性自反广义逆与左(右)逆的关系用满秩分解求自反广义逆
自反广义逆的求法自反广义逆的求法续§8.2 伪逆矩阵
伪逆的存在性求伪逆举例
伪逆的唯一性
伪逆的性质
101求伪逆举例
§8.3 广义逆与线性方程组
一般矩阵方程有解的条件一般矩阵方程的通解
用减号逆求解相容线性方程组举例相容线性方程组的最小模解0130
相容方程组最小模解的充要条件
相容方程组最小模解的充要条件续
求相容方程组最小模解举例
Ax,即‖Ax-b‖>0.
不相容方程组的最小二乘解
R(A)
Ax 0
不相容方程组的最小二乘解举例用广义逆求最小二乘解定义8.3.2:线性方程组Ax=b 的一个最佳最小二乘
矩阵方程的最小二乘解。

广义逆矩阵及其应用

广义逆矩阵及其应用

个、2
个、3
个、4
个
Moore—Penrose
方程的广义逆矩阵共有 C41
+
C
2 4
+
C
3 4
+ C44
= 15 种，但应用
较多的是以下五种
A{1}, A{1,2}, A{1,3}, A{1,4}, A{1,2,3,4}
以后将会看到，只有 A{1, 2 , 3, 4}是唯一确定的，其它各种广义逆矩阵都不能唯一确定，每一种广义
逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代
控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识，因而大大推动了对广义逆矩阵的研究，使得这一
学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。
本章着重介绍几种常用的广义逆矩阵及其在解线性方程组中的应用。
§1 矩阵的几种广义逆 1．1 广义逆矩阵的基本概念
1 0 A = Q0 1 P,* 为任意实数
* *
设有 A ∈ R mxn ，下面的定理给出了 rank A－与 rank A 之间的关系。
定理 1—2 rank A－≥rank（A A－）≥rank A
证 因为 AA－ A=A，即（AA－）A=A，所以有 rank（AA－）≥rank A
么，另一个的减号逆也可以求出来。
定理 1—1（存在性） 任给 m × n 阶矩阵 A，那么减号逆 A－一定存在，但不唯一。
证 分两种情况，如果 rank A=0 即，A=0m×n，这时对任意的 X ∈ R mxn ，都有 0X0=0，所以任 意 n × m 阶矩阵 X 都是零矩阵的减号逆。
再设 rank A=r＞0，那么存在 m 阶满秩矩阵 P 与 n 阶满秩矩阵 Q，使得

广义逆矩阵的应用

广义逆矩阵的应用


推论 1 设 A C
m n
， C D

m p
， AX D 则
有解的充要条件是存在 ，使得 A
AA D D
成立. 此时 AX D的通解为

X A D Y AA Y


Y C
n p
.
返回
推论 2 设 B C
m n
， C D
p n
， XB D 则

D2
返回
任取X 0是()的一个公共解 A1 ( X X 0 ) 0, ( X X 0 ) A2 0 R( X X 0 ) N ( A1 ), R( A2 ) N ( X X 0 ) Y , Z
返回




AA DB B AYB AA AYBB B
D AYB AYB D
X A DB Y A AYBB 是AXB D的解
设G是AXB D的任一解





AGB D
返回
G A DB G A DB





A DB G A AGBB
充分性
返回
X A1 D1 D2 A2 A1 A1 D2 A2





A1 X A1 A1 D1 A1 D2 A2 A1 A1 A1 D2 A2 D1 A1 D2 A2 A1 D2 A2

D1
XA2 A1 D1 A2 D2 A2 A2 A1 A1 D2 A2 A2 A1 D1 A2 D2 A1 D1 A2 A2 A2 A1 D1 A2 D2 A1 D1 A2

广义逆矩阵及其应用

广义逆矩阵及其应用

广义逆矩阵及其应用广义逆矩阵是指矩阵A的伪逆矩阵，一般记作A⁺。

矩阵的伪逆是指对于任意的非零向量b，使得b = A⁺bA的最小范数解存在。

伪逆矩阵是在求解线性方程组时非常有用的工具，在各种应用领域有着广泛的应用。

广义逆矩阵的定义在数学中，矩阵A的伪逆矩阵A⁺是这样一个矩阵，它满足下列条件：1. A⁺A = AA⁺ = I2. (AA⁺)⁺ = AA⁺3. (A⁺A)⁺ = A⁺A其中I是单位矩阵。

矩阵的伪逆是矩阵理论中非常重要的一个概念，它实际上是求解线性方程组Ax = b的一个很好的工具。

当方程组中b不完全在A的列空间中时，方程组是不唯一解或无解的。

这时，我们就需要引入广义逆矩阵，求解最小范数解。

广义逆矩阵的计算广义逆矩阵的计算可以使用三种方法：求导法、奇异值分解法和QR分解法。

1. 求导法如果矩阵A是可逆矩阵，则广义逆矩阵A⁺等于A的逆矩阵。

但是，如果矩阵A是非可逆矩阵，则不一定存在逆矩阵，此时我们需要使用求导法来计算广义逆矩阵。

求解广义逆矩阵的过程中，我们需要使用矩阵微积分中的求导技巧，通过求解矩阵的导数来计算其广义逆矩阵。

这种方法虽然可以保证计算出来的广义逆矩阵满足广义逆矩阵的特性，但计算量较大，所以一般用于小规模的矩阵。

2. 奇异值分解法通过奇异值分解，可以很容易地计算出矩阵的广义逆，这是一种非常快速且广泛使用的方法。

同时这种方法也可以使用化简版本的奇异值分解，虽然计算效率较低，但是精度更高，能够更好地比较微弱的值。

3. QR分解法QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵与上三角矩阵的方法，可以用于计算矩阵A的广义逆。

使用QR分解计算广义逆矩阵需要先进行QR分解，然后将因QR分解产生的下三角矩阵H逆序，并将结果中的非零行提出来，得到矩阵的伪逆矩阵。

广义逆矩阵的应用广义逆矩阵在各种应用领域中有着广泛的应用，下面列举一些常用的应用：1. 求解无解或非唯一解的线性方程组当线性方程组Ax = b无解或非唯一解时，我们就需要使用广义逆矩阵。

广义逆矩阵的应用北京邮电大学北邮期末矩阵论文

广义逆矩阵的应用北京邮电大学北邮期末矩阵论文

广义逆矩阵的应用摘要：线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。

为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。

广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。

关键词：特征值广义相关系数Moore-Penrose方程线性方程组1.引言矩阵概念和线性代数学科的引进和发展是源于研究线性方程组系数而产生的行列式的发展.莱布尼兹,微积分学的两个奠基者之一,在1693年使用了行列式,克莱姆于1750年提出了用行列式求解线性方程组的公式(即今天著名的克莱姆法则).相对比地,行列式的隐含使用最早出现在18世纪晚期拉格郎日关于双线性型的著作里.拉格郎日希望刻画多变量函数的极大值与极小值.他的方法今天以拉格郎日乘数法闻名.为此,他首先要求第一个偏导数为0,再需要关于第二个偏导数的矩阵成立一个条件.这个条件今天称之为正定或负定,尽管拉格郎日没有明显地使用矩阵.在1800年左右,高斯发现了高斯消去法,他用此方法解决了天体计算和后来大地测量(关于测量或确定地球形状或定位地球表面一个点的应用数学分支,称之为大地测量学)计算中的最小平方问题.尽管高斯的名字相伴随从线性方程组逐次逍去变量的这项技术,但从发现的早在几个世纪前的中文手稿中解释了如何用"高斯的"消去法解带有三个未知量的三个方程构成的线性方程组.多年来,高斯消去法被认为是大地测量学,而非数学,发展的一部分.首次印刷出来的高斯—约当消去法是在W. 约当写的关于大地测量学的手册里.许多人错误地认为著名数学家 C.约当是"高斯—约当"消去法中的约当. 为了矩阵代数的丰富发展,人们既需要适当的概念,还需要适当的矩阵乘法.这两种需要在同一时间和同一地点交汇了.在1814年于英格兰,J.J.西勒维斯特首先引进了术语"Matrix",作为一列数的名称,这是胚胎的拉丁词.矩阵代数于1855年由亚瑟凯莱的工作得到了发展.凯莱研究了线性变换的合成,导致定义了矩阵乘法,使得合成变换ST的系数矩阵是S的矩阵与T的矩阵的乘积.他继续研究这些合成包括矩阵逆的代数.著名的凯莱—哈密尔顿定理断言,一个方阵是它的特征多项式的根.这个定理于1 858年在凯莱的"关于矩阵理论备忘录"的著作里给出.代表矩阵的单个字母A的使用对于矩阵代数的发展是关键的.早期的公式det(AB)=det(A)det(B)提供了矩阵代数与行列式的联系.凯莱写下了"有许多事情说明关于矩阵的理论,似乎对我而言,比行列式理论重要". 数学家们也试图发展向量代数,但没有任意维数的两个向量积的自然定义.涉及到非交换向量积(亦即VW×不一定等于WV×)的第一个向量代数由赫尔曼格拉斯曼在他的书"维数理论"(1844)提出来的.格拉斯曼的书也引进了一个列矩阵与一个行矩阵的乘积,导致了今天所谓的单纯的或秩1的矩阵.在19世纪晚期,美国数学物理学家W.吉布斯发表了关于向量分析的著名论文.在那篇论文里,吉布斯把一般的矩阵,他称之为并向量(dyadics),表示为单纯矩阵(吉布斯称为并向量(dyads))的和.后来物理学家P.A.M.迪拉克引进了术语"行-列"(bra-ket)来表示我们现在称之为行向量乘以列向量的纯量积,术语"列-行(ket-bra)"表示一列向量乘以行向量的积,从而导致如同上面的我们现在称做的单纯矩阵.我们现在把列矩阵和向量视为同一的习惯是由物理学家们在20世纪引进的.矩阵一直与线性变换紧密结合着.直到1900年,它们仅仅是线性变换理论的有限维的情形.向量空间的现代定义是由皮亚诺于1888年引进的.不久,其元素是函数的抽象向量空间跟着出现了.第二次世界大战后随着数字计算机的发展,矩阵,特别是矩阵的数值分析方面有新的进展.约翰冯诺伊曼和赫尔曼戈德斯坦于1947年在分析舍入误差中引进了条件数.阿兰图灵和冯诺伊曼在程序存储计算机方面是二十世纪的巨人.图灵于1948年引进了矩阵的LU分解,L是对角线上为1的下三角矩阵,U是梯形矩阵.在解一系列线性方程组时普遍采用LU分解,每个方程组有同一系数矩阵.QR分解的好处是在10年后认识到的.Q是其列为正交向量的矩阵而R是上三角矩阵,其对角线元素是正的.QR分解用于各种计算如解方程,找特征值的计算机算法中.矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、科学试验、信号传输等重大领域有着极其广泛的应用。

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或穆尔-彭诺斯广义逆，记为 A ．
由定义不难看出：
A A{1,2} A{1} ；A A{1,3} A{1} ；A A{1,4} A{1} ．
1 例 8.1.1 设 A 1
1
0 0 0
，
B
1 0
0 1
0 0
，
C
1 0
0 0
0 1
，由于
ABA A， ACA A ，
所以， B 与 C 均为 A 的减号逆．
同理 G1 A G2 A ．
所以 G1 G1 AG1 G1 AG2 G2 AG2 G2 ，
故加号逆是唯一的．
8.1.3 广义逆矩阵的计算： 1. 减号逆 AGA A
定 理 8.1.2 设 A 是 m n 矩 阵 ， rank( A) r ， 非 奇 异 矩 阵
P C mm , Q C nn
本章着重介绍几种常见的广义逆矩阵及其在解线性方程组中 的应用．
8.1 矩阵的几种广义逆
8. 1. 1 广义逆矩阵的基本概念
定 义 8.1.1 设 A C mn 为 任 意一个 复 数 矩阵 ， 如果 存 在复 矩 阵
G C nm ，满足 AGA A ， GAG G ，
（8.1.1） （8.1.2）
P
3 0 2
2 0 1
7 1 1 0 4 g31
0 1
1 g32
0
10
3 7g31 g31
2 4g31
2 7g32 g32 ，
1 4g32
其中， g31 , g32 是任意常数．
特别地，取 g31 0, g32 0 ，得 A 的一个减号逆：
A
3 0
2
2 0 ． 1
1 2
3 1
0 1
3 1
0 1
0 0
1
~ 0
1
0 1 0 2
0 0 0 1
1 2
3 1
0 1
3 1
0
0
1
，
0 1 0
* 0 0 1
*
0 0 1
0 1 0
所以，
Q
1 0
0
2 0 1
1 1 0
，
P
1 2
3 1
0 1
3 1
0 0 ，并且 1
A
Q
Er G21
1
G12 G22
P
性质 8.1.5 设 A Cmn , 则 A 右（或左）可逆的充要条件是 A 行（或列）满秩.
证明 如果 A 行满秩, 则 AAH 是 m 阶可逆矩阵, 令
G AH ( AAH )1 , 由于 AG AAH ( AAH )1 Em , 故 G 是 A 的一个右逆矩阵.
如果 A 右可逆, 即存在 AR1 使得 AAR1 Em , 于是
满足 4 个 M-P 方程式中的第 i1, i2 ,, ik (1 k 4) 个，则称 G 为 A 的一 种弱逆，记为 A{i1,i2 ,,ik } ，或 G A{i1 , i2 ,, ik }．
由于 M-P 的 4 个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方
便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的 G ，总之，
按照定义８.1.1 可推得，满足 1 个，2 个，3 个，4 个 M-P 方程的广
义逆矩阵共有 15 类，即
C41
C42
C
3 4
C
4 4
15 ．
但应用较多的是以下 5 类：
A{1}， A{1, 2}， A{1, 3}， A{1, 4}， A{1, 2, 3, 4}．
下面将会看到，只有 A{1, 2, 3, 4}是唯一确定的，其他各类广义
0
~
1
1
2
0 * 0 1 0
0
0
1
0
0
1
1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0 1 0 0 1
~
3
7
2
~
3
2
7
，
0 1 0
0 0 1
2
4
1
2
1
4
因此，
Q
3 0
2
2 0 1
7 1 4
，
P
1 0
10 ，并且
A
Q
Er G21
G12 G22
.
其中 G12 是 n (m n) 的任意矩阵．
(2) 如 果 rank(A) m , 并 且 存 在 非 奇 异 矩 阵 Q C nn , 使 得
AQ Em 0, 则
AR1
A
Ar
Al
Q
Em G21
，
其中 G21 是 (n m) m 的任意矩阵．
2. A 的自反广义逆矩阵 Ar 的计算（ AGA A ， GAG G ）
性质 8.1.2 设 ACmn , B,C A{1} , 则 BAC A{1,2} ．
性质 8.1.3 设 ACmn , A A{1} , 则 (1) rank( A) rank(A ) ; (2) A A{1,2} 的充要条件是 rank( A) rank( A ) ．
性质 8.1.4 设 ACmn , 并且右（或左）可逆, 则 AR1 A Ar Al （或 AL1 A Ar Am ）.
从而当用初等变换将 A Er 时，相同的初等行变换就将 Em P
而相同的初等列变换就将 En Q
对矩阵
A E
分别是 P 及 Q .
E *
进行初等变换，当
A
的位置化为
Er
时，
E
的位置就
1 1 2 例 8.1.3 求 A 2 2 1 的减号逆 A ．
解 因为
31 0 1 0
所以
G
Q
Er G21
G12 G22
P
.
定理 8.1.2 不仅给出了{1}-广义逆的存在性，而且给出了{1}-广义逆的 表示与计算办法：
（1）求非奇异矩阵 P,Q ,
使得
PAQ
Er 0
0 0
；
（2）写出
A
的减号逆
A
Q
Er G21
G12 G22
P
.
P 及 Q 的求法：
因为
PAQ
Er 0
00 ，所以 PEm P ， EnQ Q ，
（8.1.5）
不 难 证 明 ： AR1 与 AL1 同 时 存 在 当 且 仅 当 A1 存 在 ， 此 时 有 A1 AR1 AL1 ．
8.1.2 广义逆矩阵的基本性质 性质 8.1.1 设 A 为任意一个 m n 复矩阵，则
(1) ( AH ) ( A )H ;
(2) AA 、A A 均为幂等矩阵, 且 rank( A) rank( AA ) rank( A A) ;
由定理8.1.2与性质8.1.4、性质8.1.5可推得下面结果：
推论 8.1.2 设 A 是 m n 矩阵，那么下列命题成立： (1) 如 果 rank( A) n , 并 且 存 在 非 奇 异 矩 阵 P Cmm , 使 得
PA
En 0
,
则
AL1 A Ar Am En G12 P ，
0 0
Q
1
．
由
AGA
A
得
P1
Er 0
0 0
Q1GP1
Er 0
0 0
Q1
P1
Er 0
0 0
Q
1
，
即
Er 0
0 0
Q1GP1
Er 0
0 0
Er 0
0 0
．
设
G
Q
G11 G21
G12 G22
P
，那么
Er 0
0 0
G11 G21
G12 G22
Er 0
0 0
Er 0
00 ，
解得 G11 Er ，其它任意，
(GA)H GA ，
（8.1.3）
( AG) H AG
（8.1.4）
中的部分或全部方程，则称 G 为 A 的一个广义逆矩阵，并把上面 4 个方程 叫做穆尔-彭诺斯（M-P）方程．进一步，如果 G 满足 M-P 的 4 个方程式， 则称 G 为 A 的穆尔-彭诺斯广义逆，记为 G A{1,2,3,4} ．一般地，如果 G
0 0
2 0 1
1 1 1 0 0 g31
0 1 g32
g13 g23 g33
1 2
3 1
0 1
3 1
0
0 1
1 3
g 31
g 32
g 31
2 3
g 32
g 33
2
3 g23
2 3
1 3
g 32
g13
2g 23
g 33
1 3
g 32
g 33
1 3 g23
其中， g31, g32, g13, g23, g33 是任意常数.
g13 2g 23 g33
g 33
，
g 23
1 2 0
特别地，
A
3 0
3 0
0
就是
A
的一个减号逆.
2 3
1 3
0
例 8.1.4
求
A
1 2
1 2
2 3
的减号逆
A
．
解 因为
1 1 2 1 0 1 0 0 1 0
A E3
E2 *
2 1 0
2 0 1
3 0 1 2 4 1 0 1
第8章 广义逆矩阵及其应用
广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广. 1920 年穆尔（Moore）首先 提出了广义逆矩阵的概念，但其后的 30 年未引起人们的重视．直 到 1955 年彭诺斯（Penrose）利用四个矩阵方程给出了广义逆矩 阵的新的更简便实用的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一 个新的时期，其理论和应用得到了迅速发展，已成为矩阵论的一 个重要分支，广义逆矩阵在数理统计、最优化理论、控制理论、 系统识别、数字图象处理等许多领域都具有重要应用．