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广义逆矩阵

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第4章 矩阵的广义逆

第4章 矩阵的广义逆

例题1 设W是C n 的子空间，证明 存在到W的投影 变换， 使R（）=W。
3、正交投影的性质
定理4.16（P . 104）设W是C n的子空间，x0C n， x 0 W，如果是空间C n向空间W的正交投影， 则
( x0 ) x0 y x0
y W
含义：点（x0）是空间 W 中与点x 0距离最近的点。
讨论：对任何满足式( ¤) 的左逆B，X=Bb都是方程组的
解，如何解释方程组的解是惟一的？
§ 4. 2 广义逆矩阵
思想：用公理来定义广义逆。 一、减号广义逆 定义4 . 2 (P . 95) A C m n ，如果，G C n m使得，
AGA=A，则矩阵G为的A减号广义逆。或{1}逆。A的 减号逆集合A{1}={A1–1，A2–1， ， Ak–1} 例题1 A C nn可逆，则A–1 A{1}； A单侧可逆，则A –1LA{1}；A–1RA{1}。 减号逆的求法：定理4.5（P . 95） 减号逆的性质：定理4.6 (P . 96)
• 设A满秩分解A=BC， 则A + =CH （CCH ）–1（BH B）–1BH 。 • （定理4.9）设A奇异值分解 ：
H A U V ，则 0 0

1 0 H A V U 0 0
例题1 求下列特殊矩阵的广义逆；
零矩阵0； 1阶矩阵( 数) a； a1 对角矩阵
4、A + A与AA +的性质 定理4.15（P . 104）
A + A的性质：
• （A + A）2 = A + A，（A + A）H = A + A • C n =R（A + ） N（A） • R （A + ）= N（A）

第4章 矩阵的广义逆

第4章 矩阵的广义逆

定义 3 设 A 为一个 m n 复矩阵，若有一个 n m 复矩阵 G 存在， 使（ 1 ）成立，即 AGA A ，则称 G 为 A 的一个 {1}-广义逆，记为
G A{1} 或 G A{1} ，也称 G 为 A 的一个减号广义逆，记为 G A ， 即有 AA A A ． （5）
A为列满秩
7
推论 设 A C mn , 则
(1) A左可逆的充要条件是 N ( A) {0};
( 2) A右可逆的充要条件是 R( A) C m .
证 充分性：N ( A) {0}
rank ( A) n
必要性： A左可逆
Ax 0只有零解
A为列满秩
1 ALபைடு நூலகம்A En
x N ( A)
由于 M-P 的 4 个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方 便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的 G ，总之， 按照定义 2 可推得，满足 1 个，2 个，3 个，4 个 M-P 方程的广义逆 矩阵共有 15 类，即
1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 ．
使得
AGb b ( b R( A))
m n
则称G为A的广义逆矩阵 , 记为G A .
定理1设 A C
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
充要条件是存在 G C nm , 使其满足AGA A
14
定理1 设 A C
m n
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
nm
充要条件是存在 G C
15
由AGA A可得： AGAx0 Ax0 b 即，AGb b, 说明x Gb是方程 Ax b 的解. G是A的减号逆 , G A . m n nm 设 A C , 且 A C 是A的一个广义 推论 1 逆矩阵A , 则

矩阵论广义逆矩阵

矩阵论广义逆矩阵
(1) ；（2） ．
解（1）例4．9已求得
于是
（2）
由于 的惟一性，它所具有的一些性质与通常逆矩阵的性质相仿，归纳如下．
定理6．12设 ，则
(1) ；
(2) ，
(3) ，其中λ∈C，且 如式(6．3)；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ， ；
(8)当U和V分别是m阶与n阶酉矩阵时，有
(9) 的充分必要条件是rankA=m；
则对任意 矩阵
是A的{1}-逆；当L=O时，X是A的{1，2}-逆．
证因为
容易验证，由式(6.1)给出的矩阵X满足AXA=A．所以X∈A{1}．
当L=O时，易知式(6.1)的矩阵X还满足XAX=A，故X∈A{1，2}．
证毕
需要指出的是，式(6.1)中矩阵L任意变化时，所得到的矩阵X并非是满足AXA=A的所有矩阵，即只是A{1}的一个子集．
则有
A=( )=AB( )=ABW
证毕
在式(6．1)中取L=O，即有X∈A{1，2}，此时rankX=r=rankA．这个结论具有一般性．
定理6．8设 ，则 的充分必要条件是rankX=rankA．
证若X∈A{1，2}，则有
rankA=rank(AXA)≤rankX=rank(XAX)≤rankA
即rankX=rankA．
第六章广义逆矩阵
当A是n阶方阵，且detA≠0时，A的逆矩阵 才存在，此时线性方程组Ax=b的解可以简洁地表示为x= ．近几十年来，由于解决各种问题的需要，人们把逆矩阵的概念推广到不可逆方阵或长方矩阵上，从而产生了所谓的广义逆矩阵．这种广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵相一致；而且这种广义逆矩阵可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾的方程组)各种“解”的统一描述．

广义逆矩阵

广义逆矩阵

广义逆矩阵广义逆矩阵是数学中常见的一种概念，它也被称为奇异值分解（SVD）或反矩阵（INV）。

它的定义可以用矩阵的形式表示：它是一个方阵A的反函数，可以把方阵A的列投影到A的行上，并且，A的行可以投影到A的列上。

广义逆矩阵可以用来求解线性方程组，而且还有许多应用，比如科学数值计算和模式识别等都要用到它。

广义逆矩阵最早被提出于1890年，由英国数学家哈密尔顿发现，他发现了一个定理：任何原矩阵A可以化简为一个单位矩阵U和一个单位对称矩阵V的乘积，其中U和V的乘积就是A的广义逆矩阵。

这个定理是有益的，可以极大地简化计算乘积的过程，使得求解大型矩阵的逆矩阵成为可能。

为了更好地理解广义逆矩阵，我们可以用一个实际的例子来说明：假设有一个5x5的方阵A，它的第一行是：a11, a12, a13, a14, a15如果我们求这个方阵A的广义逆矩阵，则我们需要将该矩阵A化简为单位矩阵U和单位对称矩阵V的乘积，同时要求U和V分别除以矩阵A的每一行：u1/a11, u2/a12, u3/a13, u4/a14, u5/a15v1/a11, v2/a12, v3/a13, v4/a14, v5/a15最后，乘积U和V就是方阵A的广义逆矩阵了。

广义逆矩阵也可以用来求解一般的线性方程组。

假设要求解一元n次方程组ax+by=c，其中a，b和c是实数，x和y是未知数。

首先，我们可以把方程组以矩阵形式写出：A = [ a b ; c 1 ]然后可以计算A的广义逆矩阵A^-1，关于x和y的一元n次方程组的解就是A^-1中的每一列向量：x = [ x ; y]因此，我们只要计算出A的广义逆矩阵，就可以得到方程组的解。

此外，广义逆矩阵在科学数值计算和模式识别中也有重要的应用。

在科学数值计算中，它可以用来简化符号计算，以及求解矩阵的积分。

在模式识别中，它可以用来求解线性模型，如最小二乘拟合，和多变量模型，从而用于数据分析和建模等。

综上所述，广义逆矩阵是一个极其重要的概念，它在数学、科学计算和科学模式识别中都有着重要的应用，可以大大简化计算过程，使得解决大型矩阵的问题成为可能。

广义逆矩阵

广义逆矩阵

广义逆矩阵
广义逆矩阵是指一个非奇异的复矩阵的逆矩阵，这种逆矩阵可以使得不同的矩阵进行运算。

广义逆矩阵可以分为两类：一类是经典矩阵，即特定的正交矩阵；另一类是非正交矩阵，即一般矩阵。

经典矩阵的广义逆矩阵可以用某种特殊的正交矩阵表示，这种正交矩阵是矩阵的逆，可以使任意矩阵进行运算。

此外，经典矩阵的广义逆矩阵也满足下列几个性质：（1）它是一个对称矩阵；（2）它是一个非奇异矩阵；（3）它的转置是它的逆；（4）它的乘法是广义乘法的结果；（5）它的乘积满足基本乘法定理。

非正交矩阵的广义逆矩阵也有一些和经典矩阵相似的特点：（1）它是一个对称矩阵；（2）它是一个非奇异矩阵；（3）它的转置是它的逆；（4）它的乘法是广义乘法的结果；（5）它的乘积满足基本乘法定理。

然而，经典矩阵和非正交矩阵的广义逆矩阵也有一些不同之处。

例如，非正交矩阵的广义逆矩阵可以使不可逆的矩阵变成可逆的矩阵，而经典矩阵的广义逆矩阵不能实现这一点。

此外，非正交矩阵的广义逆矩阵还具有长时间计算性质，而经典矩阵的广义逆矩阵则不具备这种性质。

上述介绍了广义逆矩阵的定义和特性。

可以看出，广义逆矩阵是一种可以使任意矩阵进行运算的矩阵，它具有很多性质，特别是可以使不可逆的矩阵变成可逆的矩阵，并具有长时间计算性质，所以广义逆矩阵在矩阵数学的应用中非常重要。

总的来说，广义逆矩阵是一种重要的矩阵，它可以使任何类型的矩阵进行计算，具有非常重要的应用价值。

如果我们能够更好地理解它的性质，也许我们就能更好地利用它来解决数学问题。

矩阵广义逆

矩阵广义逆

矩阵广义逆
1 矩阵广义逆
什么是矩阵广义逆？矩阵广义逆，又称为双射矩阵（Bidiagonal Matrix），是指一个n阶方阵A，对于该矩阵有一个n阶矩阵B满足
AB=BA=E，其中E为n阶单位矩阵，那么矩阵B就叫做矩阵A的广义逆。

记B为A^#。

2 求解矩阵广义逆
矩阵A的广义逆矩阵B存在，当且仅当A^*A存在逆矩阵，即A^*A 的逆矩阵为：(A^*A)^-1=A^-1*(A^*)^-1，其中A^*为A的共轭转置。

那么矩阵A的广义逆矩阵变成B=(A^*)^-1*A^-1。

这样，就可以使用共轭转置和逆矩阵的公式将矩阵A的广义逆矩阵B计算出来。

3 应用
矩阵广义逆在线性数学中有广泛的应用，例如在图像处理和微分
方程求解中都有广泛的应用。

在求解复杂的线性方程组时，通常也会
使用矩阵的广义逆来求解，从而简化求解的步骤。

在框架计算中，矩
阵的广义逆也被用来构建有效的模型，以了解问题的最优解。

因此可以看出，矩阵广义逆在线性数学中有着重要的作用，其计
算方法也非常简便，是一种重要的数学工具。

矩阵的广义逆及其应用.ppt

高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
(6) 若F是列满秩矩阵，则 F (F H F )1 F H
(7) 若G是行满秩矩阵，则 G GH (GGH )1
(8) 若矩阵A的满秩分解为A FG，则有 A G F ；
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵 一、矩阵的广义逆
设A Rnn，对于线性方程组 Ax b，当A可逆时， 方程组有唯一解：x A1b.
若矩阵 A不可逆时，如何求解方程组 Ax b?
更一般，当矩阵 A Rmn不是方阵时，如何讨论 方程组 Ax b的解， 其中x Rn，b Rm ? 为了分析和解决上述问题，引入广义逆的概念.
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
定理2：设A Rmn，b Rm，x Rn，若性方程组 Ax b 是相容的，即方程组Ax b 有解，则其
通解为： x Ab (In A A)t，t是任意n 1向量. 证明：首先证明t Rn，x Ab (In A A)t是 方程组的解，然后证明方程组的任一解x，均可 表示成x Ab (In A A)t的形式.
A


1
1
1
2

(3)(1)3

0
3 3 2 4
0
1 2 4
0
1
2

0 4 8
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
1
A

0
0
1 2 4 (1)(2)2 1 1 0 0

广义逆矩阵与线性最小二乘

广义逆矩阵与线性最小二乘广义逆矩阵及其应用是线性代数中一个重要的研究方向。

在许多实际问题中，我们需要找到一种方法来解决超定方程组的问题。

而广义逆矩阵就是解决这类问题的有效工具之一。

本文将介绍广义逆矩阵的定义和性质，并探讨其在线性最小二乘问题中的应用。

一、广义逆矩阵的定义广义逆矩阵，也被称为伪逆矩阵，是矩阵理论中的一种扩展。

对于任意的实矩阵A，它的广义逆矩阵记作A⁺。

如果存在一个矩阵B，满足以下条件：1）ABA=A；2）BAB=B；则矩阵B为A的广义逆矩阵。

二、广义逆矩阵的性质广义逆矩阵具有以下性质：1）(A⁺)⁺=A，即广义逆矩阵的广义逆矩阵等于原矩阵本身；2）(AB)⁺=B⁺A⁺，即矩阵乘法的广义逆等于矩阵广义逆的乘法；3）(Aᵀ)⁺=(A⁺)ᵀ，即转置矩阵的广义逆等于广义逆的转置；4）如果A是满秩矩阵，则A⁺=A⁻¹，即广义逆矩阵等于逆矩阵。

三、广义逆矩阵的应用1. 线性最小二乘线性最小二乘问题是指在一组超定方程中，通过最小化误差的平方和，找到最佳的解。

设A为一个m×n的实矩阵，b为一个m维实向量，我们的目标是找到一个n维实向量x，使得||Ax-b||²取得最小值。

利用广义逆矩阵，线性最小二乘问题可以转化为求解如下方程的问题：A⁺Ax = A⁺b其中，A⁺表示A的广义逆矩阵。

解x = A⁺b即可得到最小二乘解。

2. 线性方程组的逼近解对于一个不一定可逆的矩阵A，我们可以通过广义逆矩阵来逼近求解线性方程组Ax=b。

即使A不是方阵，也可以通过广义逆矩阵来找到一个近似解。

通过求解A⁺Ax=A⁺b，我们可以得到一个逼近解x = A⁺b。

这在实际问题中往往是非常有用的，特别是当我们无法求解方程组的精确解时。

四、总结广义逆矩阵是一种重要的工具，在线性代数中广泛应用于解决超定方程组的问题。

它具有许多重要的性质，使得它成为线性最小二乘和逼近解的有力工具。

通过合理利用广义逆矩阵，我们可以在实际问题中找到最佳的解，为相关领域的研究和应用提供了新的途径。

线性代数中的广义逆

线性代数中的广义逆线性代数中的广义逆是一种特殊的矩阵运算，它在解决线性方程组、最小二乘问题以及矩阵逆的计算中具有重要作用。

本文将详细介绍广义逆的定义、性质和应用，以加深对该概念的理解。

一、广义逆的定义与性质广义逆是针对非方阵而言的。

对于一个m×n的矩阵A，在矩阵A的扩展实数域中，若存在一个n×m的矩阵B，使得AB和BA均为投影矩阵，则称B为A的广义逆，记作A^+。

广义逆具有以下性质：1. 幂等性：(A^+)^+ = A^+2. 逆性：(AB)^+ = B^+A^+3. 秩性：(A^+)A和A(A^+)的秩相等4. 唯一性：若A^+和B^+都是A的广义逆，则A^+ = B^+二、广义逆的应用广义逆在线性方程组的求解中扮演着重要角色。

对于一个m×n的线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为已知向量。

若A的行秩等于列秩，则该方程组有唯一解。

然而，在实际问题中，方程组常常出现行秩小于列秩的情况，此时无法直接求解。

利用广义逆的概念，我们可以构造最小二乘解。

最小二乘解是指使得||Ax-b||^2（欧氏范数下的二范数）最小的解。

通过广义逆的求解方法，可以找到最接近方程组Ax=b的解x*，即使得||Ax*-b||^2取得最小值。

特别地，当A的列秩等于n（A是满秩列）时，最小二乘解与精确解重合。

广义逆还在矩阵逆的计算中起到重要作用。

当方阵A不可逆时，可以使用广义逆来近似计算逆矩阵。

通过广义逆的逆性质，我们可以得到A的近似逆矩阵A^+的逼近解析表达式。

三、广义逆的计算方法1. 伪逆法：通过奇异值分解（SVD）求解广义逆，即A^+=VΣ^+U^T，其中U、Σ、V分别是A的左奇异向量矩阵、对角奇异值矩阵和右奇异向量矩阵。

2. 矩阵分块法：将矩阵A分块，利用分块矩阵性质求解广义逆。

3. Moore-Penrose逆矩阵：Moore-Penrose逆矩阵是一种特殊的广义逆矩阵，是广义逆的一种常用表示形式。

工程矩阵理论(第6章-矩阵的广义逆)

线性方程组求解
矩阵的广义逆可以用于求解线性方程组，特别是当系数矩阵奇异或接近奇异时，广义逆提供了有效的 解决方案。
最小二乘解
在最小二乘问题中，广义逆可以找到使得残差平方和最小的解，这在数据分析和统计中非常有用。
在控制论中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，广义逆可以用于分析 系统的稳定性，通过计算系统的极点 来评估系统的动态行为。
04
矩阵的广义逆的存在性条件
存在性条件
矩阵A的秩为n
矩阵A的秩必须等于其维数n，即 $rank(A) = n$，以保证存在一个广义逆 矩阵。
VS
线性方程组有解
矩阵A所对应的线性方程组必须有解，即 系数矩阵A的行列式值不为零，即 $det(A) neq 0$。
唯一性条件
要点一
矩阵A为非奇异矩阵
矩阵A必须是非奇异矩阵，即其行列式值不为零，即 $det(A) neq 0$，以保证广义逆矩阵的唯一性。
程实际需求。
工程实例三：最优化问题求解
总结词
最优化问题求解是矩阵广义逆的一个重要应用方向。
详细描述
在工程领域中，经常需要解决各种最优化问题，如线 性规划、二次规划、非线性规划等。这些问题的数学 模型通常可以转化为矩阵形式。通过利用矩阵的广义 逆，可以高效地求解这些最优化问题，为工程实践提 供更好的解决方案。
最小二乘法的优点是简单易行，适用于大规模数据的计算。 但是，它只能找到一个近似解，而不是精确解。
迭代法
迭代法是一种通过不断迭代来逼近解的方法。在矩阵的广 义逆中，迭代法可以用来求解线性方程组的迭代解。通过 不断迭代更新解向量，最终逼近方程组的解。
迭代法的优点是适用于大规模数据的计算，且可以找到精 确解。但是，迭代法的收敛速度较慢，需要多次迭代才能 得到满意的结果。
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H
m ×n r
U A AU = diag( λ1 , λ2 , , λn ) = Λ
H H
证明
A = UΛ U A
H
+
+
H
解：因为
A A = Udiag( λ1 , λ2 , , λn )U = U ΛU
H H
H
不妨设
λ1 , λ2 , , λr ≠ 0, λr +1 = λr +2 === λn 0
推论：若 A ∈ C
+
m×r r
，则
H −1 H
A = ( A A) A
若 A∈C
r ×n r ，则 +
A = A ( AA )
H
+
H −1
定理6：伪逆矩阵 A 唯一。 证明：设 X , Y 都是 A 的伪逆矩阵，则
= X XAX = XAYAX = X ( AY ) ( AX )
H
H
X ( AXAY = X = XAY ) ( AY )
H H
+
H −1
−1
H
1 1 0 ( 1 0 −1 0 ) −1 [ ] −1 −1 −1 −1 ([ −1 2] ) [ −1 2] 2 1 −1 2 1 1 = = 0 [ −1 2 0 0 ] 10 10 −1 1 −2
阵方程(1)的一般解(通解)为
I r B −1 (3) X =Q P C D 其中 B, C , D 分别是任意 r × ( s − r ), ( n − r ) × r ,
−1
( n − r ) × ( s − r ) 矩阵。
证明：把形如(3)的矩阵以及(2)式代入矩阵方程 (1)，得到：
H H H −1 −1 H −1
因此
( A A) A = C (CC ) ( B B ) (CC ) CC B
H H H H H
+
H −1 H
−1
H −1
H
C = A (CC ) ( B B ) B
H H
H −1
−1
+
同理可证：
A ( A A) = A
H H
+
+
例3：设 A ∈ C ，则 A A 是正定或半正定 n ×n Hermite矩阵，故存在 U ∈ C ，使得
第十章 广义逆矩阵
10.1 广义逆矩阵的概念 10.2 广义逆矩阵A+和A10.3 广义逆矩阵的应用
定理1：设 A是数域 K上一个 s × n 矩阵，则矩 阵方程 (1) AXA = A 总是有解。如果 rank( A) = r ，并且
I r 0 (2) A= P Q 0 0 n 阶可逆矩阵，则矩 其中 P 与 Q 分别是 s 阶、
+
0 0
1 设 A= 1 B O 设 A= ，其中 B 是可逆矩阵，则 O O
B A = O
+ −1
1 2 + ，那么 A = 1 2
O O
+ −1
如果 A是一个可逆矩阵，那么 A = A
下面我们讨论伪逆矩阵的求法 定理5：设 A ∈ C m×n , A = BC 是 A 的一个满 秩分解，则
即
I r B −1 Qγ = P β C D 先分析 Qγ 与 P −1β 之间的关系。由已知 Aγ = β ，
因此我们有
I r 0 −1 0 0 Qγ = P β −1 分别把 Qγ , P β 分块，设 行 Y1 }r Qγ = Y2 }n − r行
H + H H + H + + + H + + + H H H +
A (3) A ( AA ) ( A A) A = =
证明：容易验证(1)，(2)，现在只证(3)。 H 设 A = BC 是 A 的满秩分解，则 A A 的满 秩分解可以写成
A A = C ( B BC )
H H H
其中 C
H +
Ir γ =Q C
− −1
0 −1 β P 0 0 −1 P 0
从而只要取
则
γ =Aβ
−
Ir A =Q C
定理4(齐次线性方程组解的结构定理)：数域 K 上 n 元齐次线性方程组 AX = 0 的通解为
= X ( I n×n − A A) Z −1 其中 A 是 A 的任意给定的一个广义逆，Z 取遍 n K 中任意列向量。
X = A β + ( I n×n − A A) Z
− −
Z取 其中 A− 是 A 的任意给定的一个广义逆， n 遍 K 中任意列向量。
证明：我们已经知道 A β 是非齐次线性方程 − 组 AX = β 的一个解，又知道( I n×n − A A) Z 是导出组 AX = 0 的通解，所以 − − X = A β + ( I n×n − A A) Z 是 AX = β 的通 解。
因为 P, Q 可逆，所以从上式得
I r 0 I r 0 I r 0 0 0 QGP 0 0 = 0 0
(4)
把矩阵 QGP 分块，设
代入(4)式得
H QGP = C
B D
(5)
即
I r 0 H 0 0 C
X = C (CC ) ( B B ) B
H H
H −1
−1
H
是 A 的伪逆矩阵。 例 1 ：设 求A 。
+
−1 0 1 A= 2 0 −2
解：利用满秩分解公式可得
−1 = A BC = [1 0 −1] 2
从而 A 的伪逆矩阵是
A = C (CC ) ( B B ) B
证明：任取 Z ∈ K n ，我们有
− −
−
A[( I n×n − A A) Z ] = ( A − AA A) Z = 0Z = 0 − 所以 = X ( I n×n − A A) Z 是方程组 AX = 0 的
解。
反之，设 η 是方程组 AX = 0 的解，要证存在 − n = η ( I n×n − A A) Z。取 Z = η Z ∈ K ，使得 我们有
充分性。设
− −
得
定理3(非齐次线性方程组解的结构定理)：设非 齐次线性方程组 AX = β 有解，则它的一般解 (通解）为 −
X=Aβ
其中 A 是 A 的任意一个广义逆。 证明：任取 A 的一个广义逆 A− ，我们来证 − X = A β 是方程组 AX = β 的解： 已知 AX = β 有解，根据前一个定理得：
是列满秩，B BC 为行满秩，故由式 H H −1 H −1 H X = C (CC ) ( B B ) B 得
H
H H H H H −1 H −1
H
( A A) = ( B BC ) ( B BCC B B ) (CC ) C = C H ( B H B ) H ( B H B ) −1 (CC−1 C = C (CC ) ( B B ) (CC ) C
B I r 0 I r 0 = D 0 0 0 0
H 0 I r 0 0 0 = 0 0
由此得出，H = I r ，代入(5)式便得出
Ir G =Q C
−1
B −1 P D
这证明了矩阵方程(1)得任意一个解都能表示成 (3)的形式，所以公式(3)是矩阵方程(1)的通解。 定义1：设 A 是一个 s × n 矩阵，矩阵方程 AXA = A 的通解称为 A 的广义逆矩阵，简称 − 为 A 的广义逆。我们用记号 A 表示 A 的一 个广义逆。
Ir 左边 = P 0
0 I −1 r QQ 0 C
B −1 I r P P D 0
0 Q 0
I r 0 I r = P 0 0 C Ir B Ir = P 0 0 0 I r 0 = P Q 0 0 = A = 右边
取 = B 0, = D 0, = C (0, ,0, k Y ,0, ,0)
−1 2 i
则
Ir C
于是
0 −1 Ir P= β 0 C
−1
0 Z1 Z1 Y1 Qγ = = = 0 0 CZ1 Y2
H H
= XAYAY = ( XA) (YA) Y
H H
= (YAXA) = Y (YA) = Y YAY = Y
H H
根据此定理知，若 A ∈ C
n ×n n
，则 A = A
+
−1
。
定理7：设 A ∈ C
+ +
m ×n
，则
H + + + H +
(1) ( A ) = A A ) A (A ) A (2) = ( AA ) (= A A (A ) = ( A A) = (A )
(6)
行 Z1 }r P β = Z 2 }s − r行
−1
则(6)式成为
I r 0 Y1 Z1 0 0 Y = Z 2 2 = Y1 Z = 0，因为 β ≠ 0，所以 所以 1, Z2 −1 ′ = ( k1 , , k r ) ， P β ≠ 0，从而 Z1 ≠ 0 。设 Z1 且设 ki ≠ 0 。
( I n×n − A A)η = η − A Aη =
− −
η − A ( Aη ) = η − 0 = η