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矩阵论广义逆矩阵是线性代数中的重要概念，广义逆是矩阵论中的一个关键概念。
在矩阵论中，广义逆用于解决矩阵方程的求解问题。
本文将介绍矩阵论中的广义逆以及其应用。
1. 广义逆的定义在矩阵论中，矩阵的广义逆是指对于任意矩阵A，存在一个矩阵X，满足以下条件：1) AXA=A2) XAX=X3) (AX)^T=AX4) (XA)^T=XA广义逆的存在性和唯一性是矩阵论中的一个重要问题，对于满足以上条件的矩阵X，我们称其为A的广义逆，记作A⁺。
2. 广义逆的性质广义逆具有以下性质：1) AA⁺A=A2) A⁺AA⁺=A⁺3) (A⁺)^T=A⁺4) (AA⁺)^T=AA⁺广义逆的性质使得它在矩阵方程的求解中具有重要作用。
3. 广义逆的应用广义逆在矩阵方程的求解中有广泛的应用，下面介绍其中几个常见的应用：3.1 线性方程组的求解对于线性方程组Ax=b，如果A的广义逆A⁺存在，那么方程的解可以表示为x=A⁺b。
广义逆的存在性保证了线性方程组的解的存在性，并且通过广义逆的计算，可以得到解的一个特解。
3.2 最小二乘问题的求解最小二乘问题是指在给定线性方程组Ax=b无解时，求解使得||Ax-b||^2最小的x。
如果A的广义逆A⁺存在，那么最小二乘问题的解可以表示为x=A⁺b。
广义逆的计算可以通过奇异值分解等方法来实现。
3.3 线性回归分析线性回归分析是统计学中的一种重要方法，用于建立自变量与因变量之间的线性关系。
在线性回归分析中，广义逆可以用于求解回归系数，得到最佳拟合直线，并用于预测和推断。
4. 广义逆的计算方法广义逆的计算方法有多种，常见的包括伪逆法、奇异值分解法等。
伪逆法是通过对矩阵A进行分解或变换，得到A的伪逆矩阵。
奇异值分解法则是通过对矩阵A进行奇异值分解，得到A的伪逆矩阵。
这些计算方法都是基于矩阵的特征和性质进行推导和求解的。
5. 广义逆的应用举例以线性方程组的求解为例，假设有如下线性方程组：2x+y=3x+3y=9将其转化为矩阵形式为：A=[2 1; 1 3]b=[3; 9]求解线性方程组的解可以通过计算广义逆来实现。
线性代数中的广义逆及其应用线性代数是数学的重要分支之一，在物理、工程、计算机科学等领域中有着广泛的应用。
在线性代数中，广义逆是一个重要的概念，在许多实际问题中都能够发挥重要的作用。
一、广义逆的定义在矩阵的乘法中，若矩阵A和B满足AB=I，则A称为B的逆，B称为A的逆。
但是，在很多实际问题中，矩阵并没有一个逆矩阵。
这时，就需要使用广义逆来解决问题。
广义逆的定义是：对于任意一个矩阵A，若存在一个矩阵X，使得下列三个条件同时满足：1. AXA = A2. XAX = X3. (AX)^T = AX，(XA)^T = XA则称矩阵X为A的广义逆（记作A^+）。
需要注意的是，如果A存在逆矩阵，则A的广义逆就是A的逆矩阵。
二、广义逆的性质广义逆具有许多重要的性质，它们对于理解广义逆的应用具有重要的意义。
1. A^+AA^+ = A^+2. (AA^+)^T = AA^+3. A^+(AA^+)^T = A^+这些性质表明，广义逆和矩阵的乘法和转置操作之间具有某种程度上的关联。
这些关联能够帮助我们在实际问题中应用广义逆来求解问题。
三、广义逆的应用广义逆在许多实际问题中都有广泛的应用，下面介绍其中的几个例子。
1. 线性回归在线性回归问题中，需要求解形如y = Ax + b的等式，其中y、x、b均为列向量，A为已知的矩阵。
如果A不存在逆矩阵，就无法直接求解x。
此时，可以使用广义逆来解决问题。
设A^+为A的广义逆，则x = A^+y - A^+b。
这个公式可以帮助我们求解线性回归问题，即使A没有逆矩阵。
2. 伪逆控制在控制理论中，伪逆控制是一种重要的方法。
伪逆控制的目标是控制一个非线性系统，使其达到某个特定的状态。
伪逆控制通常使用广义逆来解决问题。
首先，将非线性系统表示为y = f(x)，其中y是控制系统的输出，x是控制系统的输入。
然后，使用广义逆来求解x = A^+y，其中A是将f(x)展开为一组线性方程的雅可比矩阵。
广义逆矩阵作用广义逆矩阵是矩阵理论中的一个重要概念，它在多个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍广义逆矩阵的定义、性质以及应用，并探讨其在实际问题中的作用。
一、广义逆矩阵的定义在矩阵理论中，矩阵A的广义逆矩阵，记作A⁺，是满足以下条件的矩阵：1. AA⁺A = A，即A乘以广义逆矩阵再乘以A等于A本身。
2. A⁺AA⁺= A⁺，即广义逆矩阵乘以A再乘以广义逆矩阵等于广义逆矩阵本身。
二、广义逆矩阵的性质1. 广义逆矩阵的广义逆矩阵是它本身，即(A⁺)⁺ = A⁺。
2. (AB)⁺= B⁺A⁺，即两个矩阵的乘积的广义逆矩阵等于右边矩阵的广义逆矩阵乘以左边矩阵的广义逆矩阵。
3. (A⁺)ᵀ= (Aᵀ)⁺，即广义逆矩阵的转置等于原矩阵的转置的广义逆矩阵。
4. (AᵀA)⁺Aᵀ= A⁺，即矩阵A的转置与A的乘积的广义逆矩阵等于A的广义逆矩阵乘以A的转置的广义逆矩阵。
三、广义逆矩阵的应用1. 线性方程组的求解：对于一个线性方程组Ax = b，如果A是列满秩矩阵（即A的列向量线性无关），则方程组有唯一解x = A⁺b。
如果A不是列满秩矩阵，方程组可能有无穷多解，此时可以通过最小二乘法求解，即x = A⁺b是方程组的最小二乘解。
2. 伪逆最小二乘法：当矩阵A不是一个方阵时，无法求出其逆矩阵。
此时可以使用广义逆矩阵来进行最小二乘拟合，例如曲线拟合和数据降维等问题。
3. 线性回归分析：广义逆矩阵可以用于线性回归模型的参数估计，通过最小化残差平方和来求解回归方程的参数。
4. 信号处理：广义逆矩阵可以用于信号处理中的滤波、降噪和频谱估计等问题，提高信号处理的精度和效果。
5. 图像处理：广义逆矩阵可以应用于图像处理中的去噪、图像复原和图像压缩等问题，提高图像处理的质量和效率。
6. 线性规划：广义逆矩阵可以用于线性规划问题的求解，例如最优化问题和约束优化问题等。
7. 控制系统：广义逆矩阵在控制系统中有广泛的应用，如系统辨识、状态估计、控制器设计和自适应控制等方面。
广义逆矩阵的计算方法及意义广义逆矩阵是矩阵理论中的一个非常重要的概念，它不仅在数值计算中具有重要意义，而且在优化理论、信号处理以及系统控制等领域也广泛应用。
本文将从广义逆矩阵的定义、计算方法及其意义等方面阐述这一重要概念。
一、广义逆矩阵的定义广义逆矩阵的定义是指，对于任意的一个矩阵A ∈ Rm×n，若存在一个矩阵A+ ∈ Rn×m，使得下列两个条件成立，即：A × A+ × A = AA+ × A × A+ = A+则称A+为A的广义逆矩阵。
其中，A+也满足下列两个条件：(A × A+)T = A × A+(A+ × A)T = A+ × A需要注意的是，如果A的列线性无关，则A+实际上就是A的逆矩阵。
二、广义逆矩阵的计算方法广义逆矩阵的计算方法有以下几种：（1）矩阵求导法矩阵求导法是一种比较简单的计算广义逆矩阵的方法。
它的基本思想是，将A与A的转置相乘，得到一个对称矩阵B，然后对B进行求导，最终就可以得到广义逆矩阵A+。
但是，这种方法的计算复杂度较高，适用范围也比较狭窄。
（2）奇异值分解法奇异值分解法是一种较广泛使用的计算广义逆矩阵的方法。
该方法的基本思想是，将A进行奇异值分解，得到A = UΣVT，然后对Σ进行逆运算，得到Σ+，最后通过A+ = VΣ+UT，就可以得到广义逆矩阵A+。
（3）正交交替投影法正交交替投影法是一种可以解决较大规模矩阵计算问题的方法。
该方法的基本思想是，通过Von Neumann展开，将广义逆矩阵的计算转化为一个正交投影问题，然后利用正交的性质以及平衡收敛的原理，不断迭代求解，最终得到广义逆矩阵A+。
三、广义逆矩阵的意义广义逆矩阵作为一种重要的矩阵理论工具，具有许多重要的应用意义，下面我们对其进行简单的介绍：（1）最小二乘法在数据处理的过程中，经常会出现数据不完备或者存在噪声的情况。
浅介几种广义逆矩阵及其应用矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门最有实用价值的数学理论。
其中所涉及到的一个重要分支——广义逆矩阵，有许多好的性质和用途，已成为许多领域研究并解决问题的强有力工具，是矩阵理论在最近几十年中的新成就之一。
本文主要介绍[]几种常用广义逆矩阵的基本知识及广义逆矩阵在生产生活中的应用。
标签：广义逆矩阵；基本介绍；应用1 背景介绍广义逆产生于线性方程组求解的实际需要，其思想可追溯到1903年E.I.弗雷德霍姆所研究的关于积分算子的一种广义逆，随后由E.H.Moore在1920年提出任意矩阵的广义逆定义，然而在其后的30年却未能引起人们关注，直到1955年，R.Penrose定义了Moore的广义逆矩阵之后，广义逆矩阵的发展才开拓了一片新的天地。
后来人们证明Moore和R.Penrose的两种广义逆矩阵是等价的，因而被称为M一P广义逆矩阵。
至此，广义逆矩阵正式诞生，此后的逐步发展也使其具有了广泛的应用。
2 几种常见广义逆矩阵的简单介绍我们引用方便的M—P方法来定义广义逆矩阵：设任意复数矩阵Amn，如果存在复数矩阵Bnm，满足M-P方程，即（1）ABA=A（2）BAB=B（3）（AB）H=AB（4）（BA）H=BA的全部或一部分，则称B为A的广义逆矩阵。
由此易推算广义逆矩阵有15种。
在这里，重点研究和介绍五种，即：A-、自反广义逆Ar-，极小范数广义逆Am-，最小二乘广义逆Al-及伪逆矩阵A+。
2.1 A-满足方程（1）的记为A-，其重要性质有：（1）A广义逆的转置等于A转置的广义逆，即（AT）-=（A-）T；（2）若复方阵A满秩，那么A的逆等于A的广义逆，且A-唯一；（3）秩（A）≤秩（A-）；（4）秩（A）=秩（AA-）=秩（A-A）；（5）线性方程组Ax=b有解（相容）当且仅当AA-b=b。
2.2 自反广义逆Ar-满足方程（1）和（2）的是自反广义逆。
若X、Y都是A的广义逆矩阵，则Z=XAY是A的自反广义逆。
矩阵的广义逆及其应用矩阵的广义逆，也称为矩阵的Moore-Penrose逆，是矩阵理论中的一个重要概念。
广义逆是对于不可逆矩阵的一种推广，可以用来求解一些特殊类型的线性方程组或优化问题。
本文将介绍矩阵的广义逆的定义、性质以及在实际问题中的应用。
定义对于一个矩阵A，如果存在矩阵B，使得以下条件成立：1.ABA = A2.BAB = B3.(AB)^T = AB4.(BA)^T = BA则矩阵B被称为矩阵A的广义逆，记作A^+。
性质矩阵的广义逆具有以下性质：1.若A是可逆矩阵，则A的广义逆与A的逆相等，即A^+ = A^{-1}。
2.若A是一个方阵，但不可逆，则A的广义逆存在但不唯一。
3.若A是一个矩阵且A+存在，则A+也是一个矩阵。
4.若A是一个矩阵，B是A的广义逆，则B也是A^+的广义逆。
应用矩阵的广义逆在实际问题中有着广泛的应用，下面介绍几个典型的应用场景：线性最小二乘法在线性回归问题中，我们通常需要求解一个线性方程组AX = B。
如果A不是满秩矩阵，即A不可逆，我们可以使用A的广义逆来求解最小二乘解X，即X =A^+B。
控制系统在控制系统中，经常会遇到状态估计或者控制问题，通常涉及到求解一个线性方程组。
如果问题中的系数矩阵不可逆，可以使用矩阵的广义逆来求解。
信号处理在信号处理中，经常需要对信号进行平滑处理或者噪声去除。
矩阵的广义逆可以用来求解平滑信号的逼近或者滤波问题。
总之，矩阵的广义逆在各个领域都有着重要的应用，能够帮助我们解决一些复杂的线性问题，提高问题的求解效率。
结论矩阵的广义逆是矩阵理论中的一个重要概念，具有很多独特的性质和应用。
通过本文的介绍，希望读者能够对矩阵的广义逆有更深入的了解，并在实际问题中灵活运用。
广义逆的性质与应用广义逆是矩阵理论中的重要概念，广义逆的性质与应用涵盖了多个领域，包括线性代数、最小二乘法、控制论、信号处理等。
本文将介绍广义逆的定义、性质及其在不同领域中的应用。
一、定义与性质1.1 定义广义逆也被称为伪逆或摩尔－彭若斯广义逆，是对于非方阵的矩阵而言的一种逆。
对于任意的m x n矩阵A，它的广义逆记作A^+ ，满足以下条件：1) AA^+A = A2) A^+AA^+ = A^+3) (AA^+)^T = AA^+4) (A^+A)^T = A^+A1.2 性质广义逆具有以下一些重要性质：1) 如果A是可逆矩阵，则A的广义逆等于A的逆。
2) A的广义逆是唯一的。
3) 两个矩阵的广义逆的乘积等于它们各自广义逆的乘积。
4) 广义逆具有非负性：如果A的元素都是非负的，则A的广义逆的元素也都是非负的。
5) 当A是满秩矩阵时，AA^+ = I，即A乘以它的广义逆等于单位矩阵。
二、应用领域2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用于解决拟合问题的数学方法，广义逆在最小二乘法中起着重要作用。
对于线性方程组Ax=b，其中A是一个非方阵，x和b是两个向量，如果该方程组无解，我们可以通过广义逆来寻找一个最优解，即使得Ax尽量接近b的解x^* = A^+b。
2.2 控制论广义逆在控制论中的应用主要是在系统建模和控制器设计中。
在一些复杂的系统中，往往无法直接求解系统的解析解。
通过广义逆，我们可以得到一种近似解，在控制器设计中，可以利用广义逆来求解动态系统的逆动力学问题。
2.3 信号处理广义逆在信号处理中也起着重要作用，特别是在图像恢复、压缩感知以及信号降噪等方面的应用。
通过广义逆，可以对噪声干扰下的信号进行恢复和重构，提高信号的质量和准确性。
2.4 数据挖掘在数据挖掘中，广义逆被广泛应用于矩阵分解、推荐系统和聚类分析等领域。
通过广义逆，可以对大量的数据进行降维处理，提取有效的特征，并用于分类和预测任务。
三、总结广义逆作为矩阵理论的重要内容，具有广泛的应用价值。
题目广义逆矩阵及其应用学院专业通信与信息系统学生学号目录第一章前言 (1)第二章广义逆矩阵 (2)§2.1 广义逆矩阵的定义 (2)§2.2 广义逆矩阵的性质 (3)第三章广义逆矩阵的计算 (12)§3.1 一般广义逆求解 (12)§3.2 Moore-Penrose 广义逆 (16)结论 (19)第一章前言线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。
为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。
广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。
逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。
为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广：（1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在；（2）它具有通常逆矩阵的一些性质；（3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。
满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。
1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。
1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。
美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。
我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。
1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。
1955年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。
现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。
第二章广义逆矩阵§2.1 广义逆矩阵的定义一、Penrose广义逆矩阵的定义为了推广逆矩阵的概念，我们引进了广义逆矩阵的定义，下面给出广义逆矩阵的Moore-Penrose 定义。
定义2.1设矩阵n m∈满足如下四个Penrose方程X⨯∈，若矩阵m n CCA⨯AXA=（ⅰ）AXXAX=（ⅱ）AX H=AX(（ⅲ）)XA H=XA(（ⅳ）)中的一部分或全部方程，则称X为A的一个广义逆矩阵。
若X 只满足（ⅰ）式，则X 成为A 的一个}1{-逆，可记为()1A ，所有满足}1{-逆的X 构成的集合记为{}1A 。
若X 满足四个方程中的第k j i ,,, 个方程，则称X 为A 的一个{}k j i ,,, -逆，记为()k j i A ,,, ，所有满足{}k j i ,,, -逆的X 构成的集合记为{}k j i A ,,, 。
二、常见广义逆定义按照广义逆定义，分别满足一个、两个、三个和四个方程的广义逆矩阵一共有44342414C C C C +++=15类，其中常见的有{}1A ，{}2,1A ，{}3,1A ，{}4,1A ，{}4,3,2,1A 。
定义2.2 设有复矩阵n m C A ⨯∈。
若有一个m n ⨯复矩阵X 存在，使下式成立，则称X 为A 的减号逆：A AXA = (2.1)当1-A 存在时，显然1-A 满足上式，可见减号逆X 是普通逆矩阵1-A 的推广；另外，由A AXA =得H H A AXA =)(，即H H H H A A X A =可见，当X 为A 的一个减号逆时，H X 就是H A 的一个减号逆。
定义2.3 设复矩阵n m C A ⨯∈，若有一个m n ⨯矩阵X ，满足：A AXA =且X XAX =称X 为A 的一个自反逆矩阵，记作为-r A ，-r A 满足Penrose 方程的（ⅰ），（ⅱ）式，所以}2,1{A A r ∈-。
显然，自反广义逆为减号逆的子集。
对矩阵X 是矩阵A 的{}1-逆，即{}1A X ∈, 若矩阵A 也是矩阵X 的{}1-逆，即{}1X A ∈， 则X 为A 的一个自反逆矩阵。
定义2.4 设复矩阵n m C A ⨯∈，若有一个m n ⨯矩阵X ，满足：A AXA = 及 AX AX H =)(，则称X 为A 的最小二乘广义逆，记作-l A ，-l A 满足Penrose 方程的（ⅰ），（ⅲ）式，所以}3,1{A A m ∈-。
最小二乘广义逆是用条件AX AX H =)(对减号逆进行约束后所得到的子集。
定义2.5 设复矩阵n m C A ⨯∈，若有一个m n ⨯矩阵X ，满足：A AXA = 及 XA XA H =)(，则称X 为A 的最小范数广义逆，记作-m A ，-m A 满足Penrose 方程的（ⅰ），（ⅳ）式，所以}4,1{A A l ∈-。
显然，最小范数广义逆也是减号逆的子集。
若X 满足全部四个方程，则称X 为A 的Moore-Penrose 广义逆矩阵，记为+A 。
§2.2 广义逆矩阵的性质将一个非零矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，是矩阵分解理论中的常见问题。
特别是在广义逆矩阵的计算与研究中有着重要的应用。
定义2.6 设矩阵n m r C A ⨯∈（r ＞0），如果存在一个列满秩矩阵r m r C F ⨯∈与一个行满秩矩阵n r r C G ⨯∈使得FG A =，则称上式为A 的一个满秩分解。
定理2.1 对任意矩阵n m r C A ⨯∈（r ＞0），必存在着矩阵r m r C F ⨯∈和n r r C G ⨯∈使FG A =。
证明： 由r rankA =，对A 进行若干次初等行变换后，可将A 化为行阶梯矩阵B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0G B ， 其中r rankG =。
故存在若干个m 阶初等矩阵的乘积P ，使得B PA =，即B P A 1-=， 将1-P 分块为 []M F P ,1=-,r m rC F ⨯∈，)(r m m C M -⨯∈，便有[]FG G M F A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0,。
因F 是可逆矩阵1-P 的前r 列，所以F 是一个r m ⨯列满秩矩阵，G 是n r ⨯行满秩矩阵，故FG A =是A 的一个满秩分解。
上式FG A =是A 的一个满秩分解，但是A 的满秩分解并不是唯一的。
任意取一个r 阶非奇异矩阵B ,若FG A =是一个满秩分解，则显然()()G B FB A 1-=也是A 的一个满秩分解。
一、{1}-逆的性质定理2.2 设n m C A ⨯∈，则A 的Moore-Penrose 逆存在且唯一。
证 设 r rankA =.若r =0，则A 是n m ⨯零矩阵，可以验证m ⨯n 零矩阵满足四个Penrose 方程。
若r>0，则A 有满秩分解分解FG A =,取()()H H H H F F F GG G X 11--=，则X 满足4个Penrose 方程，所以，X 是Moore-Penrose 广义逆矩阵。
设X ，Y 均满足四个Penrose 方程，则()()()()()()()Y Y YA Y Y A Y YA XA XAY AY AX X A Y A XX AYA XX A XX AX X X H H H H H H H H H H H H H H H H ========== 综上所诉，+A 存在且唯一。
+A 满足四个Penrose 方程的所有方程，所以，+A 属于15类广义逆矩阵中的任意一类。
上面我们证明了+A 的存在性，所以，任意的类广义逆矩阵都是存在的。
对任意的C ∈λ，定义+λ为⎩⎨⎧=≠=-+00,0,1λλλλ （2.4）下面给出{1}-逆的一些性质。
定理2.3 设n m C A ⨯∈，n m C B ⨯∈，C ∈λ，则（1）}1{)()1(H H A A ∈；（2）}1){()1(A A λλ∈+；（3）若S 和T 非奇异，则}1){(1)1(1SAT S A T ∈--；（4）()rankA rankA ≥1；（5）()1AA 和()A A 1均为幂等矩阵且与A 同秩；（6）；)())((),()(),()()1()1()1(H H A R A A R A N A A N A R AA R ===（7）()n I A A =1的充要条件是n rankA =，()m I AA =1的充要条件是m rankA =；（8）()()A A AB AB =1的充要条件是rankA AB rank =)(，()()B AB AB B =1的充要条件是rankB AB rank =)(。
证 （1）由()}1{1A A ∈， 有()A A AA =1， 两边同时求共轭转置得 ()()H H A A AA =1， 即()H H H H A A A A =)(1，由定义知()()}1{1H H A A ∈。
（2）()()()()()A A AA A A A λλλλλ==+11, 由{1}-逆定义得， ()()}1{1A A λλ∈+。
（3）()()()()()SAT SAT S A SATT SAT S A T SAT ==----111111, 由{1}-逆定义得，()()}1{111SAT S A T ∈--。
（4）()()()()()rankA A AA rank AA rank rankA =≥≥111, 故 ()rankA rankA ≥1.。
（5）()()()()()11121AA AA AA AA ==， 故()1AA 为幂等矩阵，又由 ()()()()()A A A AA A A A 11121==， 故()A A 1为幂等矩阵， 所以rankA AA rank A AA rank rankA ≤≤=)()()1()1(，也即rankA AA rank =)()1(。
同理，rankA A A rank =)()1(。
（6）由)()()()()1()1(A R A AA R AA R A R =⊃⊃, 得 ())()(1A R AA R =， 类似的，由)()()()()1()1(A N A AA N A A N A N =⊂⊂，得())()1(A N A A N =。
