下载文档原格式
?1994-2016 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 173 一广义逆矩阵的应用韩海清(湖北理工学院数理学院 435003)【摘要】本文首先对矩阵的广义逆进行定义及其分类，然后主要对一 些重要的广义逆的性质和求解进行详细的讨论。
通过研究这些重要的 广义逆矩阵的性质和求解方法，最后利用广义逆矩阵求解线性方程组 的通解及最小二乘解。
【关键词】线性方程组；广义逆矩阵；相容方程组；通解1、 引言广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，推广的必要性，首先是从 线性方程组的求解问题出发的，设有线性方程组ZVx = 6。
当A 是 n 阶方阵且心ry \#0时，则方程组解存在且唯一，^二八-1幻当A 奇异方阵或是任意的m Xn 矩阵时，人们想象能否推广逆的概念， 引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵G ，使得其解仍可以表'示为x ^ Gb 。
著名代数学家兄Pnrow 以明确的形式给出了 Moore 的广义 逆矩阵的定义后，广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期。
由 于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论 等许多领域中起着非常重要的作用，因而大大推动了对广义逆矩 阵的研究，使得这一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重 要分支[1—2]。
2、 广义逆矩阵对任意复数矩阵A mX n ，如果存在复矩阵G…Xm ，满足：⑴AGA =八.⑵GAG=G ⑶(GA)H = GA ⑷（y \G)H = AG 则称 G 为 A 的一个Moore — Pnror 广义逆，并把上面四个方程叫做Moore —Pnror 方程，简称M — _P 方程。
若G 只满足⑴式，则G 成为A 的一个{1}—逆，可记为A (1)，所有满足{1}—逆的G 构成的集合 记为A {1}。
若X 满足四个方程中的第…4个方程，则称G 为A 的一个，是}—逆，记为A (!’K ”’W ,所有满足,是} —逆的G 构成的集合记为A …，…，是}定义1设A 为一个mXn 复矩阵，若有一个nXm 复矩阵G 存在，使AGA =A ，(AG )H= AG ，则称G 为A 的一个{1，4}—广义逆，记为 GA {1，4}或G=A 14}，也称G 为A 的一个最小二乘广义逆，记为G = A —，即有AA —A = A ，(AA 「）H = AA —.显然，最小二乘广义逆A 「是一 种特殊的减号逆A _，是用条件(1.4)限制所得出的减号逆。
浅介几种广义逆矩阵及其应用矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门最有实用价值的数学理论。
其中所涉及到的一个重要分支——广义逆矩阵，有许多好的性质和用途，已成为许多领域研究并解决问题的强有力工具，是矩阵理论在最近几十年中的新成就之一。
本文主要介绍[]几种常用广义逆矩阵的基本知识及广义逆矩阵在生产生活中的应用。
标签：广义逆矩阵；基本介绍；应用1 背景介绍广义逆产生于线性方程组求解的实际需要，其思想可追溯到1903年E.I.弗雷德霍姆所研究的关于积分算子的一种广义逆，随后由E.H.Moore在1920年提出任意矩阵的广义逆定义，然而在其后的30年却未能引起人们关注，直到1955年，R.Penrose定义了Moore的广义逆矩阵之后，广义逆矩阵的发展才开拓了一片新的天地。
后来人们证明Moore和R.Penrose的两种广义逆矩阵是等价的，因而被称为M一P广义逆矩阵。
至此，广义逆矩阵正式诞生，此后的逐步发展也使其具有了广泛的应用。
2 几种常见广义逆矩阵的简单介绍我们引用方便的M—P方法来定义广义逆矩阵：设任意复数矩阵Amn，如果存在复数矩阵Bnm，满足M-P方程，即（1）ABA=A（2）BAB=B（3）（AB）H=AB（4）（BA）H=BA的全部或一部分，则称B为A的广义逆矩阵。
由此易推算广义逆矩阵有15种。
在这里，重点研究和介绍五种，即：A-、自反广义逆Ar-，极小范数广义逆Am-，最小二乘广义逆Al-及伪逆矩阵A+。
2.1 A-满足方程（1）的记为A-，其重要性质有：（1）A广义逆的转置等于A转置的广义逆，即（AT）-=（A-）T；（2）若复方阵A满秩，那么A的逆等于A的广义逆，且A-唯一；（3）秩（A）≤秩（A-）；（4）秩（A）=秩（AA-）=秩（A-A）；（5）线性方程组Ax=b有解（相容）当且仅当AA-b=b。
2.2 自反广义逆Ar-满足方程（1）和（2）的是自反广义逆。
若X、Y都是A的广义逆矩阵，则Z=XAY是A的自反广义逆。
![矩阵逆的推广及应用[文献综述]](https://uimg.taocdn.com/99a57e0cd0d233d4b14e69b3.webp)
毕业论文文献综述信息与计算科学矩阵逆的推广及应用一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、科学实验、信号传输等重大领域有着极其广泛的应用。
随着科技日异月新的进步，人类社会开始步入信息化、数字化时代，矩阵在生活实践中的应用越来越广泛，矩阵理论的研究也就越来越重要。
在生产实践和科学实验中，人们经常碰到一类线性系统：b Ax =， （1）其中，nm CA ⨯∈，n C x ∈，mC b ∈。
当r b A rank A rank ==),()(时，该方程组有解，且n r =时，有唯一解，n r <时，有无穷多组解，当),()(b A rank A rank <时，该方程组无解。
无解的线性方程组好像是最为乏味并且没有实际意义。
但事实相反，在某些实际问题中，如数据处理、多元分析、最优化理论、现代控制理论、网络理论等学科中，所遇到的方程组往往是不相容方程组，没有一个nC x ∈能使方程精确相等。
因此在实际应用中，需要找一个nC x ∈，使得Ax 尽可能的逼近b ，如何去找这样的x ？为了解决这一问题，数学家们做了大量的工作。
高斯最先引入了最小二乘法，并从统计方面证明它的合理性。
所谓最小二乘，就是找出一个nC x ∈，使得系统的残差Ax b r -=的2范数最小，即2||||min r nCx ∈。
如何计算最小二乘问题，成了一个重要的课题。
但人们总希望能像A 可逆时那样显式地写出其解x 的表达式，为适应这种需要，广义逆应运而生。
由文献]1[的结果，我们知道了广义逆的确是逆矩阵的推广，本文首先对矩阵的广义逆进行定义、分类，然后详细讨论每一类广义逆矩阵的性质及其求解方法，其中包括减号逆的性质与求解，自反减号逆的性质与求解以及加号逆的唯一性证明与求解。
通过对每一类广义逆矩阵的求解方法的研究，最后探讨矩阵的广义逆在解线性方程组中的应用。
广义逆矩阵矩阵（Matrix）是数学中使用最广泛的数据结构，它包含了数学中许多基本概念，比如向量、空间、线性变换等，矩阵被广泛应用到物理、生物、经济、工程等领域。
广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix）是矩阵的基本概念，它的存在及性质的研究是现代矩阵论的一个重要分支，它在科学研究和工程应用中扮演着重要的角色。
一般而言，矩阵逆等价于矩阵乘积为单位矩阵。
矩阵A的逆被称为A的广义逆，它可以被定义为一个或多个矩阵变化，使得结果等于单位矩阵。
矩阵求逆是现代数学中最重要的问题之一，它是线性代数和几何学的基础。
只有求出矩阵的逆，才能对矩阵进行变换，从而更好地理解线性变换的意义。
此外，求逆矩阵的过程中存在极大的数学难题和技术挑战，尤其是当矩阵维度较高、矩阵元素灵活变化时，实际问题求解更为困难。
广义逆矩阵不仅仅能够分解矩阵，它还能够用来处理矩阵的特殊情况，比如非方阵、正定矩阵以及秩不足的情况，这些现实中的应用情况都可以有效的利用广义逆矩阵来进行处理。
例如，当求解矩阵的某些特殊情况时，矩阵的逆就可以使用广义逆矩阵：如果矩阵的秩不足，那么将该矩阵的广义逆算出来，就可以求出该矩阵的解析解；同理，当求解矩阵的特征值时，通过广义逆矩阵可以求出所有特征值，而不受矩阵形状限制。
另外，广义逆矩阵在数值计算中也有着巨大的用处，当用有限精度浮点数方式实现函数f(x)时，可以用广义逆矩阵来表示该函数，从而提高计算效率。
从上面可以看出，广义逆矩阵在现代数学和高等数学的研究中扮演着重要的角色，它可以用来求解矩阵的特殊情况，求解一般线性方程，甚至可以应用到数值计算中，极大的提高效率和准确度。
研究广义逆矩阵的方法非常多，主要有矩阵分解法、特征值分解法和最小二乘法等，其中，矩阵分解法是求解广义逆矩阵最常用的方法，它可以利用“矩阵特征分解法”来求得一个矩阵的广义逆，这种方法简单、高效、计算量小，所谓的“矩阵特征分解法”实质上是将n×n矩阵A分解为“固定矩阵M”和“可逆矩阵X”的乘积，即AX=M，可以看出，X就是A的广义逆，也就是说，广义逆矩阵可以通过将一个n×n矩阵分解成M和X两个矩阵得到。
矩阵的广义逆及其应用矩阵的广义逆，也称为矩阵的Moore-Penrose逆，是矩阵理论中的一个重要概念。
广义逆是对于不可逆矩阵的一种推广，可以用来求解一些特殊类型的线性方程组或优化问题。
本文将介绍矩阵的广义逆的定义、性质以及在实际问题中的应用。
定义对于一个矩阵A，如果存在矩阵B，使得以下条件成立：1.ABA = A2.BAB = B3.(AB)^T = AB4.(BA)^T = BA则矩阵B被称为矩阵A的广义逆，记作A^+。
性质矩阵的广义逆具有以下性质：1.若A是可逆矩阵，则A的广义逆与A的逆相等，即A^+ = A^{-1}。
2.若A是一个方阵，但不可逆，则A的广义逆存在但不唯一。
3.若A是一个矩阵且A+存在，则A+也是一个矩阵。
4.若A是一个矩阵，B是A的广义逆，则B也是A^+的广义逆。
应用矩阵的广义逆在实际问题中有着广泛的应用，下面介绍几个典型的应用场景：线性最小二乘法在线性回归问题中，我们通常需要求解一个线性方程组AX = B。
如果A不是满秩矩阵，即A不可逆，我们可以使用A的广义逆来求解最小二乘解X，即X =A^+B。
控制系统在控制系统中，经常会遇到状态估计或者控制问题，通常涉及到求解一个线性方程组。
如果问题中的系数矩阵不可逆，可以使用矩阵的广义逆来求解。
信号处理在信号处理中，经常需要对信号进行平滑处理或者噪声去除。
矩阵的广义逆可以用来求解平滑信号的逼近或者滤波问题。
总之，矩阵的广义逆在各个领域都有着重要的应用，能够帮助我们解决一些复杂的线性问题，提高问题的求解效率。
结论矩阵的广义逆是矩阵理论中的一个重要概念，具有很多独特的性质和应用。
通过本文的介绍，希望读者能够对矩阵的广义逆有更深入的了解，并在实际问题中灵活运用。
毕业论文文献综述数学与应用数学广义逆矩阵及其应用一、前言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。
而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。
在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。
凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。
1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。
文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。
另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。
1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。
后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。
泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。
他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。
1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。
1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。
目录摘要 (III)ABSTRACT (IV)1前言 (1)1.1选题的背景和目的 (1)1.2本文要解决的问题和所用的方法 (1)2 广义逆矩阵的概念 (2)2.1广义逆矩阵的基本概念 (2)2.2减号逆 (3)2.3自反广义逆 (4)2.4最小范数广义逆 (4)2.5最小二乘广义逆 (5)2.6加号逆 (6)3 广义逆矩阵的性质 (8)4广义逆矩阵的计算方法 (10)4.1满秩长方阵的广义逆的概念 (10)4.2广义逆矩阵的计算方法 (10)4.2.1初等变换法 (10)4.2.2满秩分解法 (11)5广义逆在解线性方程组中的应用 (14)5.1线性方程组的求解问题的提法 (14)5.2相容方程组的通解与减号逆 (15)5.3相容方程组的极小范数解与最小范数广义逆 (16)5.4不相容方程组的最小二乘解与最小二乘广义逆 (18)5.5加号逆的应用 (20)总结 (22)谢辞 (23)参考文献 (24)摘要广义逆矩阵是对一般逆矩阵的推广，把方阵求逆推广到非奇异矩阵求逆。
广义逆矩阵在解线性方程组中有广泛的应用，它为解决复杂线性方程组提供了一种捷径。
掌握正确的使用广义逆矩阵具有重要的意义。
论文具体讨论了广义逆矩阵的概念、性质及计算方法，还有不同类型的广义逆矩阵在解线性方程组中的应用。
举出了应用广义逆矩阵来解决不同类型的实例，并且每一个例子解答前有分析，解答后有总结或结论，并从中归纳出一些应用规律。
本论文主要通过总结广义逆矩阵的概念及不同的应用，巩固并加深了矩阵的基础知识，同时也提高了分析解题能力。
关键词：广义逆矩阵；满秩长方阵；线性方程组；最小二乘解Generalized Inverse Matrix and Its ApplicationABSTRACTGeneralized inverse matrix is the promotion of the general inverse matrix, which is the inverse square extended to non-singular matrix inversion. Generalized inverse matrix are widely used in solving linear equations, and it provides a shortcut to solve complex linear equations. It is very important to master the correct use of generalized inverse matrix.The paper specifically discusses the concept of generalized inverse matrix, the nature and method of calculation, and there are different types of generalized inverse matrix in the solution of linear equations. There are some different instances of the application of generalized inverse matrix in the paper,.We can be concluded and find the law from the case. We consolidate the basics of matrix generalized inverse matrix by summing up the concept and different applications, improving our problem solving ability.Key Words: generalized inverse matrix; long full rank matrix; linear equations; least squares solution1前言1.1 选题的背景和目的我们知道矩阵逆的概念只对非奇异方阵才有意义，但是在实际问题中我们碰到的矩阵并不都是方阵，即使是方阵也不都是非奇异的。
毕业论文文献综述数学与应用数学关于FUZZY矩阵的加权广义逆的探讨广义逆的概念最早是I. Fredholm于1903年提出的，他给出了积分算子的广义逆，并称之为“伪逆”。
D. Hilbert于1904年讨论广义Green函数时含蓄地提出了微分算子的广义逆。
W. Reid于1931年的论文中，谈到了微分算子广义逆的历史。
E. H. Moore于1920年首先提出了矩阵的广义逆，他利用投射矩阵定义了矩阵唯一的广义逆。
在这之后30年中，广义逆没有引起大家足够的重视。
虽然在1937年Siegel又提出过矩阵的广义逆，但直到50年代中期，围绕着某些广义逆的最小二乘性质及广义逆与线性方程组解的关系的讨论，才使广义逆的研究有了新的起色。
这些性质由Bjerhammar于1951年考虑到，他重新发现Moore逆，同时也注意到广义逆与线性方程组解的关系。
特别是1955年, Penrose改进并推广了Bjerhammar关于线性方程组的结果, 并证明了给定矩阵的Moore逆是满足下列四个方程：（1）AXA＝A（2）XAX＝X（3）(AX)*＝AX( 4 ) (XA)*=XA（其中*表示矩阵的共轭转置）的唯一的矩阵X, 这一结果非常重要并富有成果,以致这个唯一的广义逆被通称为Moore-Penrose逆. 从此广义逆的研究进入了一个新的时期. 其理论和应用得到了迅速发展, 已经成为矩阵论一个重要的分支。
随着矩阵广义逆研究的不断深入，一般域、除环、主结合环上矩阵、以及Fuzzy矩阵的广义逆的研究已有不同程度的进展。
近年来，Fuzzy矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究方向。
Fuzzy矩阵在电路理论，网络理论，自动机理论，自动控制以及图论等学科中，有广泛的应用。
比如文献[4]，[5]中给出了Fuzzy 矩阵在工程技术，计算机科学，物理学，生物学等各个领域的广泛应用和Fuzzy矩阵的广义逆理论在Fuzzy矩阵理论中的重要的地位等研究。
广义逆矩阵及其应用广义逆矩阵是指矩阵A的伪逆矩阵，一般记作A⁺。
矩阵的伪逆是指对于任意的非零向量b，使得b = A⁺bA的最小范数解存在。
伪逆矩阵是在求解线性方程组时非常有用的工具，在各种应用领域有着广泛的应用。
广义逆矩阵的定义在数学中，矩阵A的伪逆矩阵A⁺是这样一个矩阵，它满足下列条件：1. A⁺A = AA⁺ = I2. (AA⁺)⁺ = AA⁺3. (A⁺A)⁺ = A⁺A其中I是单位矩阵。
矩阵的伪逆是矩阵理论中非常重要的一个概念，它实际上是求解线性方程组Ax = b的一个很好的工具。
当方程组中b不完全在A的列空间中时，方程组是不唯一解或无解的。
这时，我们就需要引入广义逆矩阵，求解最小范数解。
广义逆矩阵的计算广义逆矩阵的计算可以使用三种方法：求导法、奇异值分解法和QR分解法。
1. 求导法如果矩阵A是可逆矩阵，则广义逆矩阵A⁺等于A的逆矩阵。
但是，如果矩阵A是非可逆矩阵，则不一定存在逆矩阵，此时我们需要使用求导法来计算广义逆矩阵。
求解广义逆矩阵的过程中，我们需要使用矩阵微积分中的求导技巧，通过求解矩阵的导数来计算其广义逆矩阵。
这种方法虽然可以保证计算出来的广义逆矩阵满足广义逆矩阵的特性，但计算量较大，所以一般用于小规模的矩阵。
2. 奇异值分解法通过奇异值分解，可以很容易地计算出矩阵的广义逆，这是一种非常快速且广泛使用的方法。
同时这种方法也可以使用化简版本的奇异值分解，虽然计算效率较低，但是精度更高，能够更好地比较微弱的值。
3. QR分解法QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵与上三角矩阵的方法，可以用于计算矩阵A的广义逆。
使用QR分解计算广义逆矩阵需要先进行QR分解，然后将因QR分解产生的下三角矩阵H逆序，并将结果中的非零行提出来，得到矩阵的伪逆矩阵。
广义逆矩阵的应用广义逆矩阵在各种应用领域中有着广泛的应用，下面列举一些常用的应用：1. 求解无解或非唯一解的线性方程组当线性方程组Ax = b无解或非唯一解时，我们就需要使用广义逆矩阵。
广义逆矩阵
广义逆矩阵是线性代数中非常有用的概念，它能够解决复杂的数学问题。
本文将对它的定义、性质及其应用进行详细的介绍，以帮助读者更好地理解这一概念。
广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix），也称为
Moore-Penrose逆矩阵，它是矩阵A的可逆矩阵，用A+表示。
它是A 满足四个基本性质（Moore-Penrose性质）时的矩阵，即：
1、AA+A=A；
2、A+AA+ =A+；
3、(A+A)T=A+A；
4、(AA+)T=AA+。
由定义可知，广义逆矩阵的存在与矩阵A可逆有关。
如果A可逆，则A+就是A的逆矩阵；如果A不可逆，则A+是A的广义逆矩阵。
因此，广义逆矩阵是一个更广泛的概念，它正是由于A不可逆，才能够定义，它可以应用于A不可逆的情况。
广义逆矩阵在很多实际应用中扮演了重要的角色。
例如，在统计学中，可以通过广义逆矩阵来求解非方阵（不可逆）的最小二乘问题，以此解决非线性回归问题。
此外，广义逆矩阵可以应用于图像处理方面。
在传感器校准领域，广义逆矩阵可以用于消除传感器矩阵中的非线性影响，从而使图像获得更高的质量。
此外，广义逆矩阵还可以用于控制理论中的MPC（Model
Predictive Control）方法，这种方法将控制系统中的非线性因素表示为一个矩阵，并利用广义逆矩阵来计算系统未来一段时间的状态。
综上所述，广义逆矩阵在解决复杂数学问题中显示出了强大的能力。
它不仅可以用于统计学，还可以用于图像处理和控制理论，通过广义逆矩阵来解决非线性问题，以更好地表示系统的特征。
广义逆矩阵的应用摘要：线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。
为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。
广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。
关键词：特征值广义相关系数Moore-Penrose方程线性方程组1.引言矩阵概念和线性代数学科的引进和发展是源于研究线性方程组系数而产生的行列式的发展.莱布尼兹,微积分学的两个奠基者之一,在1693年使用了行列式,克莱姆于1750年提出了用行列式求解线性方程组的公式(即今天著名的克莱姆法则).相对比地,行列式的隐含使用最早出现在18世纪晚期拉格郎日关于双线性型的著作里.拉格郎日希望刻画多变量函数的极大值与极小值.他的方法今天以拉格郎日乘数法闻名.为此,他首先要求第一个偏导数为0,再需要关于第二个偏导数的矩阵成立一个条件.这个条件今天称之为正定或负定,尽管拉格郎日没有明显地使用矩阵.在1800年左右,高斯发现了高斯消去法,他用此方法解决了天体计算和后来大地测量(关于测量或确定地球形状或定位地球表面一个点的应用数学分支,称之为大地测量学)计算中的最小平方问题.尽管高斯的名字相伴随从线性方程组逐次逍去变量的这项技术,但从发现的早在几个世纪前的中文手稿中解释了如何用"高斯的"消去法解带有三个未知量的三个方程构成的线性方程组.多年来,高斯消去法被认为是大地测量学,而非数学,发展的一部分.首次印刷出来的高斯—约当消去法是在W. 约当写的关于大地测量学的手册里.许多人错误地认为著名数学家 C.约当是"高斯—约当"消去法中的约当. 为了矩阵代数的丰富发展,人们既需要适当的概念,还需要适当的矩阵乘法.这两种需要在同一时间和同一地点交汇了.在1814年于英格兰,J.J.西勒维斯特首先引进了术语"Matrix",作为一列数的名称,这是胚胎的拉丁词.矩阵代数于1855年由亚瑟凯莱的工作得到了发展.凯莱研究了线性变换的合成,导致定义了矩阵乘法,使得合成变换ST的系数矩阵是S的矩阵与T的矩阵的乘积.他继续研究这些合成包括矩阵逆的代数.著名的凯莱—哈密尔顿定理断言,一个方阵是它的特征多项式的根.这个定理于1 858年在凯莱的"关于矩阵理论备忘录"的著作里给出.代表矩阵的单个字母A的使用对于矩阵代数的发展是关键的.早期的公式det(AB)=det(A)det(B)提供了矩阵代数与行列式的联系.凯莱写下了"有许多事情说明关于矩阵的理论,似乎对我而言,比行列式理论重要". 数学家们也试图发展向量代数,但没有任意维数的两个向量积的自然定义.涉及到非交换向量积(亦即VW×不一定等于WV×)的第一个向量代数由赫尔曼格拉斯曼在他的书"维数理论"(1844)提出来的.格拉斯曼的书也引进了一个列矩阵与一个行矩阵的乘积,导致了今天所谓的单纯的或秩1的矩阵.在19世纪晚期,美国数学物理学家W.吉布斯发表了关于向量分析的著名论文.在那篇论文里,吉布斯把一般的矩阵,他称之为并向量(dyadics),表示为单纯矩阵(吉布斯称为并向量(dyads))的和.后来物理学家P.A.M.迪拉克引进了术语"行-列"(bra-ket)来表示我们现在称之为行向量乘以列向量的纯量积,术语"列-行(ket-bra)"表示一列向量乘以行向量的积,从而导致如同上面的我们现在称做的单纯矩阵.我们现在把列矩阵和向量视为同一的习惯是由物理学家们在20世纪引进的.矩阵一直与线性变换紧密结合着.直到1900年,它们仅仅是线性变换理论的有限维的情形.向量空间的现代定义是由皮亚诺于1888年引进的.不久,其元素是函数的抽象向量空间跟着出现了.第二次世界大战后随着数字计算机的发展,矩阵,特别是矩阵的数值分析方面有新的进展.约翰冯诺伊曼和赫尔曼戈德斯坦于1947年在分析舍入误差中引进了条件数.阿兰图灵和冯诺伊曼在程序存储计算机方面是二十世纪的巨人.图灵于1948年引进了矩阵的LU分解,L是对角线上为1的下三角矩阵,U是梯形矩阵.在解一系列线性方程组时普遍采用LU分解,每个方程组有同一系数矩阵.QR分解的好处是在10年后认识到的.Q是其列为正交向量的矩阵而R是上三角矩阵,其对角线元素是正的.QR分解用于各种计算如解方程,找特征值的计算机算法中.矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、科学试验、信号传输等重大领域有着极其广泛的应用。
毕业论文开题报告数学与应用数学广义逆矩阵及其应用一、选题的背景、意义矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。
而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。
在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。
凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。
1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。
文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。
另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根(特征值)以及有关矩阵的一些基本结果。
凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。
1855年，埃米特(C.Herm计e,1822〜1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。
后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831〜1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。
泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。
他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。
毕业论文文献综述数学与应用数学广义逆矩阵及其应用一、前言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。
而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。
在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。
凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。
1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。
文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。
另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。
1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。
后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。
泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。
他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。
1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。
1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。
傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。
矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。
而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。
矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都有十分广泛的应用。
矩阵理论不但是经典数学的基础，同时又是很有实用价值的数学理仑。
计算机的广泛应用为矩阵理论的应用开辟了广阔的应用前景。
逆矩阵的概念在矩阵理论中占有重要位置，尤其求解方程组问题，它显得更为重要。
但是，一般的逆矩阵只是对非奇异的方阵才有意义，也就是说，当方程组的个数等于未知数的个数时．才可以用矩阵的逆来表示方程组的解。
实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定是非奇异的，所以要考虑将逆矩阵的概念进行推广。
广义逆矩阵的思想可追溯到19O3年瑞典数学家弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆(称之为伪逆)。
1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆．而任意矩阵广义逆的定义最早是由美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在192O年提出来的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。
由于不知其用途，该理论几乎未被注意，这一概念在以后3O 年中没有多大发展。
我国数学家曾远荣在1933年、美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼和弟子默里在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。
1951年瑞典人布耶尔哈梅尔A重新发现了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。
1955年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose R)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore—Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。
现如今，Moore—Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。
二、主题我们认识一个新的知识，首先从它的概念出发。
文献[1]、[2]中给出了Moore —Penros 广义逆矩阵的定义。
设m n A C ⨯∈，若有某个m n X C ⨯∈，满足①AXA A = ②XAX X =③()T AX AX = ④()T XA XA =中的全部或其中的一部分，则称X 为A 的一个Moore —Penros 广义逆矩阵。
按照定义，如果X 是满足第i 个条件的广义逆矩阵，就记为{}1A ，如果X 是满足第,i j 个条件的广义逆矩阵，就记为{},i j A 。
如果G 是满足第,,i j k 个条件的广义逆矩阵，就记为{},,i j k A ，如果G 是满足四个条件的广义逆矩阵，就记为{}1,2,3,4A 。
除了{}1,2,3,4A 是唯一确定之外，其余各类广义逆矩阵都不是唯一确定的，每一类广义逆矩阵都包含着一类矩阵，为了表示这种情况，把满足前面所述相应条件的一切Moore —Penrose 广义逆矩阵分别记为{}A i ，{},A i j ，{},,A i j k上述共有15类Moore —Penrose 广义逆矩阵中，应用较多的是以下5种：(1){}1A ，其中任意一个固定广义逆矩阵记为A -；(2){}1,2A ，其中任意一个固定广义逆矩阵记为r A -；(3){}1,3A ，其中任意一个固定广义逆矩阵记为 m A -；(4){}1,4A ，其中任意一个固定广义逆矩阵记为 l A -；(5){}1,2,3,4A A +=其中A +满足全部四个条件，显然有{}1A A +∈，{}1,2A A +∈，{}1,3A A +∈，{}1,4A A +∈。
在了解了广义逆矩阵的概念之后，我们再来看它的一些性质。
文献[3]中给出了广义逆矩阵的一些性质及。
性质1：A 为实n 阶方阵，若A 可逆。
则1A -即为A 的广义逆矩阵。
性质2：若A 有广义逆矩阵B ，则B 是唯一的(后面记B A +=)。
引理： A 为m r ⨯阶实矩阵，A 为列满秩阵，则T A A 可逆。
(或A 为行满秩阵，则T AA 可逆)。
性质3：H 为m r ⨯阶实阵，L 为r n ⨯阶实阵。
且()()r H r L r ==。
则()1T T H H H H -+=,()1T T L L LL -+=且()()r H r L r ++==。
推论1：H 为m r ⨯阶列满秩实阵，则r H H I +=。
L 为r n ⨯阶行满秩实阵，则r LL I +=。
推论2：A 为n 阶可逆实方阵，则1A A +-=。
性质4：A +为m n ⨯阶实矩阵A 的广义逆矩阵，则()()T T A A ++=。
性质5：A 为m n ⨯阶实矩阵，()r A r =，A 的满秩分解为A HL =，其中H ，L 分别为m r ⨯阶与r n ⨯阶秩为r 的实矩阵，则A 广义逆矩阵A L H +++=。
性质6：A +为A 的广义逆矩阵，则()()()()r A r AA r A A r A +++===。
性质7：A 为m n ⨯阶实矩阵，则()()n r I A A n r A +-=-。
性质8：A +为m n ⨯阶实阵A 的广义逆矩阵，则矩阵方程AX b AA b b +=⇔=有解。
且当有解时一个解为X A b +=。
现在，我们已经知道了广义逆矩阵的概念以及它的一些性质，接下来就来看下它的一些应用。
首先是在解线性方程组中的应用。
文献[2]、[4]都给出了矩阵的左逆和右逆，文献[2]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]还给出了与线性方程组的解关系。
1、矩阵A 的左逆1L A -与右逆1R A -定义1：若有n m G C ⨯∈， 使得AG I = (或GA I =)，则称G 为A 的右逆1R A - (或左逆1L A - )，即1RAA I -=(或1L A A I -=)。
在一般情况下，11L R A A --≠．若11L R A A --=，则1A - 存在，且111L R A A A ---==。
引理1：若A 是行(或列)满秩， 则必存在A 的右逆1R A -(或左逆1L A -)，且()11R A A AA --**=(或()11L A AA A --**=。
2、A -与相容方程组的解引理2：(相容方程组的通解)相容方程组AX b =的通解为()n X A b I A A Y --=++，其中Y 为n C 中的任意元素。
3、m A -与相容方程组的极小范数解引理3：设n m G C ⨯∈，使Gb 是相容方程组AX b =的极小范数解的充要条件是，G 满足AGA A =和()GA GA *=。
m A -的计算方法如下： (1)当A 是行(或列)满秩时，则()11m R A A A AA ---**== (或()11m L A A A A A ---**==) (2)当{}()min ,rank A r m n =<时，将A 满秩分解为A CD =，其中C 为列满秩，D为行满秩，则11mR L A A D C ----==。
(3)在一般情况下，用满秩分解来求m A -是很麻烦的，我们可以做()m A A AA --**=4、l A -与不相容方程组的最小二乘解引理4：设n m G C ⨯∈，X Gb =是不相容方程组AX b =最小二乘解的充要条件是，G 满足AGA A =和()GA GA *=l A -的计算方法如下：(1)当A 是行(或列)满秩时，则()11l R A A A AA ---**== (或()11l L A A A A A ---**==) (2)当{}()min ,rank A r m n =<时，将A 满秩分解为A CD =，其中C 为列满秩，D为行满秩，则11l RL A A D C ----==。
(3)在一般情况下，用满秩分解来求m A -是很麻烦的，我们可以做()l A A A A --**=在最小二乘解、曲线拟合和多元线性回归分析中常常要计算不相容方程组的最小二乘解，广义逆矩阵的理论使求不相容方程组的最小二乘解的方法标准化、规范化了，整个求解过程归结为求A 的广义逆l A -，无需求误差平方和的极值等一套繁琐的步骤．5、A +与线性方程组的极小最小二乘解引理5：不相容方程组AX b =的极小最小二乘解为X A b +=，其中ml A A AA --= A 的计算方法如下：(1)如果A 为满秩方阵，则A A +-=；(2)如果12(,,,),,1,2,,n i A diag d d d d C i n =∈=L L ，则12(,,,)n A diag d d d ++++=L ，其中0,01,0i i i id d d d +=⎧⎪=⎨≠⎪⎩当时当时 (3)如果A 为行满秩矩阵，则()11R A A A AA -+-**==；(4)如果A 为列满秩矩阵，则()11L A A A A A -+-**== ； (5)如果A 为降秩的m n ⨯矩阵，可用满秩分解求A ，即将A 满秩分解成A CD =，其中,m r r n C C D C ⨯⨯∈∈，且{}min ,rankC rankD r rankA m n ===<，()()1111,L R C C C C D D DD ---**-**==，则11R L A D C +--=。
