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?1994-2016 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 173 一广义逆矩阵的应用韩海清(湖北理工学院数理学院 435003)【摘要】本文首先对矩阵的广义逆进行定义及其分类，然后主要对一 些重要的广义逆的性质和求解进行详细的讨论。
通过研究这些重要的 广义逆矩阵的性质和求解方法，最后利用广义逆矩阵求解线性方程组 的通解及最小二乘解。
【关键词】线性方程组；广义逆矩阵；相容方程组；通解1、 引言广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，推广的必要性，首先是从 线性方程组的求解问题出发的，设有线性方程组ZVx = 6。
当A 是 n 阶方阵且心ry \#0时，则方程组解存在且唯一，^二八-1幻当A 奇异方阵或是任意的m Xn 矩阵时，人们想象能否推广逆的概念， 引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵G ，使得其解仍可以表'示为x ^ Gb 。
著名代数学家兄Pnrow 以明确的形式给出了 Moore 的广义 逆矩阵的定义后，广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期。
由 于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论 等许多领域中起着非常重要的作用，因而大大推动了对广义逆矩 阵的研究，使得这一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重 要分支[1—2]。
2、 广义逆矩阵对任意复数矩阵A mX n ，如果存在复矩阵G…Xm ，满足：⑴AGA =八.⑵GAG=G ⑶(GA)H = GA ⑷（y \G)H = AG 则称 G 为 A 的一个Moore — Pnror 广义逆，并把上面四个方程叫做Moore —Pnror 方程，简称M — _P 方程。
若G 只满足⑴式，则G 成为A 的一个{1}—逆，可记为A (1)，所有满足{1}—逆的G 构成的集合 记为A {1}。
若X 满足四个方程中的第…4个方程，则称G 为A 的一个，是}—逆，记为A (!’K ”’W ,所有满足,是} —逆的G 构成的集合记为A …，…，是}定义1设A 为一个mXn 复矩阵，若有一个nXm 复矩阵G 存在，使AGA =A ，(AG )H= AG ，则称G 为A 的一个{1，4}—广义逆，记为 GA {1，4}或G=A 14}，也称G 为A 的一个最小二乘广义逆，记为G = A —，即有AA —A = A ，(AA 「）H = AA —.显然，最小二乘广义逆A 「是一 种特殊的减号逆A _，是用条件(1.4)限制所得出的减号逆。
浅介几种广义逆矩阵及其应用矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门最有实用价值的数学理论。
其中所涉及到的一个重要分支——广义逆矩阵，有许多好的性质和用途，已成为许多领域研究并解决问题的强有力工具，是矩阵理论在最近几十年中的新成就之一。
本文主要介绍[]几种常用广义逆矩阵的基本知识及广义逆矩阵在生产生活中的应用。
标签：广义逆矩阵；基本介绍；应用1 背景介绍广义逆产生于线性方程组求解的实际需要，其思想可追溯到1903年E.I.弗雷德霍姆所研究的关于积分算子的一种广义逆，随后由E.H.Moore在1920年提出任意矩阵的广义逆定义，然而在其后的30年却未能引起人们关注，直到1955年，R.Penrose定义了Moore的广义逆矩阵之后，广义逆矩阵的发展才开拓了一片新的天地。
后来人们证明Moore和R.Penrose的两种广义逆矩阵是等价的，因而被称为M一P广义逆矩阵。
至此，广义逆矩阵正式诞生，此后的逐步发展也使其具有了广泛的应用。
2 几种常见广义逆矩阵的简单介绍我们引用方便的M—P方法来定义广义逆矩阵：设任意复数矩阵Amn，如果存在复数矩阵Bnm，满足M-P方程，即（1）ABA=A（2）BAB=B（3）（AB）H=AB（4）（BA）H=BA的全部或一部分，则称B为A的广义逆矩阵。
由此易推算广义逆矩阵有15种。
在这里，重点研究和介绍五种，即：A-、自反广义逆Ar-，极小范数广义逆Am-，最小二乘广义逆Al-及伪逆矩阵A+。
2.1 A-满足方程（1）的记为A-，其重要性质有：（1）A广义逆的转置等于A转置的广义逆，即（AT）-=（A-）T；（2）若复方阵A满秩，那么A的逆等于A的广义逆，且A-唯一；（3）秩（A）≤秩（A-）；（4）秩（A）=秩（AA-）=秩（A-A）；（5）线性方程组Ax=b有解（相容）当且仅当AA-b=b。
2.2 自反广义逆Ar-满足方程（1）和（2）的是自反广义逆。
若X、Y都是A的广义逆矩阵，则Z=XAY是A的自反广义逆。
![矩阵逆的推广及应用[文献综述]](https://img.taocdn.com/s1/m/99a57e0cd0d233d4b14e69b3.png)
毕业论文文献综述信息与计算科学矩阵逆的推广及应用一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、科学实验、信号传输等重大领域有着极其广泛的应用。
随着科技日异月新的进步，人类社会开始步入信息化、数字化时代，矩阵在生活实践中的应用越来越广泛，矩阵理论的研究也就越来越重要。
在生产实践和科学实验中，人们经常碰到一类线性系统：b Ax =， （1）其中，nm CA ⨯∈，n C x ∈，mC b ∈。
当r b A rank A rank ==),()(时，该方程组有解，且n r =时，有唯一解，n r <时，有无穷多组解，当),()(b A rank A rank <时，该方程组无解。
无解的线性方程组好像是最为乏味并且没有实际意义。
但事实相反，在某些实际问题中，如数据处理、多元分析、最优化理论、现代控制理论、网络理论等学科中，所遇到的方程组往往是不相容方程组，没有一个nC x ∈能使方程精确相等。
因此在实际应用中，需要找一个nC x ∈，使得Ax 尽可能的逼近b ，如何去找这样的x ？为了解决这一问题，数学家们做了大量的工作。
高斯最先引入了最小二乘法，并从统计方面证明它的合理性。
所谓最小二乘，就是找出一个nC x ∈，使得系统的残差Ax b r -=的2范数最小，即2||||min r nCx ∈。
如何计算最小二乘问题，成了一个重要的课题。
但人们总希望能像A 可逆时那样显式地写出其解x 的表达式，为适应这种需要，广义逆应运而生。
由文献]1[的结果，我们知道了广义逆的确是逆矩阵的推广，本文首先对矩阵的广义逆进行定义、分类，然后详细讨论每一类广义逆矩阵的性质及其求解方法，其中包括减号逆的性质与求解，自反减号逆的性质与求解以及加号逆的唯一性证明与求解。
通过对每一类广义逆矩阵的求解方法的研究，最后探讨矩阵的广义逆在解线性方程组中的应用。
广义逆矩阵矩阵（Matrix）是数学中使用最广泛的数据结构，它包含了数学中许多基本概念，比如向量、空间、线性变换等，矩阵被广泛应用到物理、生物、经济、工程等领域。
广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix）是矩阵的基本概念，它的存在及性质的研究是现代矩阵论的一个重要分支，它在科学研究和工程应用中扮演着重要的角色。
一般而言，矩阵逆等价于矩阵乘积为单位矩阵。
矩阵A的逆被称为A的广义逆，它可以被定义为一个或多个矩阵变化，使得结果等于单位矩阵。
矩阵求逆是现代数学中最重要的问题之一，它是线性代数和几何学的基础。
只有求出矩阵的逆，才能对矩阵进行变换，从而更好地理解线性变换的意义。
此外，求逆矩阵的过程中存在极大的数学难题和技术挑战，尤其是当矩阵维度较高、矩阵元素灵活变化时，实际问题求解更为困难。
广义逆矩阵不仅仅能够分解矩阵，它还能够用来处理矩阵的特殊情况，比如非方阵、正定矩阵以及秩不足的情况，这些现实中的应用情况都可以有效的利用广义逆矩阵来进行处理。
例如，当求解矩阵的某些特殊情况时，矩阵的逆就可以使用广义逆矩阵：如果矩阵的秩不足，那么将该矩阵的广义逆算出来，就可以求出该矩阵的解析解；同理，当求解矩阵的特征值时，通过广义逆矩阵可以求出所有特征值，而不受矩阵形状限制。
另外，广义逆矩阵在数值计算中也有着巨大的用处，当用有限精度浮点数方式实现函数f(x)时，可以用广义逆矩阵来表示该函数，从而提高计算效率。
从上面可以看出，广义逆矩阵在现代数学和高等数学的研究中扮演着重要的角色，它可以用来求解矩阵的特殊情况，求解一般线性方程，甚至可以应用到数值计算中，极大的提高效率和准确度。
研究广义逆矩阵的方法非常多，主要有矩阵分解法、特征值分解法和最小二乘法等，其中，矩阵分解法是求解广义逆矩阵最常用的方法，它可以利用“矩阵特征分解法”来求得一个矩阵的广义逆，这种方法简单、高效、计算量小，所谓的“矩阵特征分解法”实质上是将n×n矩阵A分解为“固定矩阵M”和“可逆矩阵X”的乘积，即AX=M，可以看出，X就是A的广义逆，也就是说，广义逆矩阵可以通过将一个n×n矩阵分解成M和X两个矩阵得到。
矩阵的广义逆及其应用矩阵的广义逆，也称为矩阵的Moore-Penrose逆，是矩阵理论中的一个重要概念。
广义逆是对于不可逆矩阵的一种推广，可以用来求解一些特殊类型的线性方程组或优化问题。
本文将介绍矩阵的广义逆的定义、性质以及在实际问题中的应用。
定义对于一个矩阵A，如果存在矩阵B，使得以下条件成立：1.ABA = A2.BAB = B3.(AB)^T = AB4.(BA)^T = BA则矩阵B被称为矩阵A的广义逆，记作A^+。
性质矩阵的广义逆具有以下性质：1.若A是可逆矩阵，则A的广义逆与A的逆相等，即A^+ = A^{-1}。
2.若A是一个方阵，但不可逆，则A的广义逆存在但不唯一。
3.若A是一个矩阵且A+存在，则A+也是一个矩阵。
4.若A是一个矩阵，B是A的广义逆，则B也是A^+的广义逆。
应用矩阵的广义逆在实际问题中有着广泛的应用，下面介绍几个典型的应用场景：线性最小二乘法在线性回归问题中，我们通常需要求解一个线性方程组AX = B。
如果A不是满秩矩阵，即A不可逆，我们可以使用A的广义逆来求解最小二乘解X，即X =A^+B。
控制系统在控制系统中，经常会遇到状态估计或者控制问题，通常涉及到求解一个线性方程组。
如果问题中的系数矩阵不可逆，可以使用矩阵的广义逆来求解。
信号处理在信号处理中，经常需要对信号进行平滑处理或者噪声去除。
矩阵的广义逆可以用来求解平滑信号的逼近或者滤波问题。
总之，矩阵的广义逆在各个领域都有着重要的应用，能够帮助我们解决一些复杂的线性问题，提高问题的求解效率。
结论矩阵的广义逆是矩阵理论中的一个重要概念，具有很多独特的性质和应用。
通过本文的介绍，希望读者能够对矩阵的广义逆有更深入的了解，并在实际问题中灵活运用。
毕业论文文献综述数学与应用数学广义逆矩阵及其应用一、前言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。
而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。
在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。
凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。
1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。
文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。
另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。
1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。
后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。
泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。
他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。
1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。
1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。
傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。
矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。
而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。
矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都有十分广泛的应用。
矩阵理论不但是经典数学的基础，同时又是很有实用价值的数学理仑。
计算机的广泛应用为矩阵理论的应用开辟了广阔的应用前景。
逆矩阵的概念在矩阵理论中占有重要位置，尤其求解方程组问题，它显得更为重要。
但是，一般的逆矩阵只是对非奇异的方阵才有意义，也就是说，当方程组的个数等于未知数的个数时．才可以用矩阵的逆来表示方程组的解。
实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定是非奇异的，所以要考虑将逆矩阵的概念进行推广。
广义逆矩阵的思想可追溯到19O3年瑞典数学家弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆(称之为伪逆)。
1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆．而任意矩阵广义逆的定义最早是由美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在192O年提出来的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。
由于不知其用途，该理论几乎未被注意，这一概念在以后3O 年中没有多大发展。
我国数学家曾远荣在1933年、美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼和弟子默里在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。
1951年瑞典人布耶尔哈梅尔A重新发现了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。
1955年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose R)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore—Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。
现如今，Moore—Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。
二、主题我们认识一个新的知识，首先从它的概念出发。
文献[1]、[2]中给出了Moore —Penros 广义逆矩阵的定义。
设m n A C ⨯∈，若有某个m n X C ⨯∈，满足①AXA A = ②XAX X =③()T AX AX = ④()T XA XA =中的全部或其中的一部分，则称X 为A 的一个Moore —Penros 广义逆矩阵。
按照定义，如果X 是满足第i 个条件的广义逆矩阵，就记为{}1A ，如果X 是满足第,i j 个条件的广义逆矩阵，就记为{},i j A 。
如果G 是满足第,,i j k 个条件的广义逆矩阵，就记为{},,i j k A ，如果G 是满足四个条件的广义逆矩阵，就记为{}1,2,3,4A 。
除了{}1,2,3,4A 是唯一确定之外，其余各类广义逆矩阵都不是唯一确定的，每一类广义逆矩阵都包含着一类矩阵，为了表示这种情况，把满足前面所述相应条件的一切Moore —Penrose 广义逆矩阵分别记为{}A i ，{},A i j ，{},,A i j k上述共有15类Moore —Penrose 广义逆矩阵中，应用较多的是以下5种：(1){}1A ，其中任意一个固定广义逆矩阵记为A -；(2){}1,2A ，其中任意一个固定广义逆矩阵记为r A -；(3){}1,3A ，其中任意一个固定广义逆矩阵记为 m A -；(4){}1,4A ，其中任意一个固定广义逆矩阵记为 l A -；(5){}1,2,3,4A A +=其中A +满足全部四个条件，显然有{}1A A +∈，{}1,2A A +∈，{}1,3A A +∈，{}1,4A A +∈。
在了解了广义逆矩阵的概念之后，我们再来看它的一些性质。
文献[3]中给出了广义逆矩阵的一些性质及。
性质1：A 为实n 阶方阵，若A 可逆。
则1A -即为A 的广义逆矩阵。
性质2：若A 有广义逆矩阵B ，则B 是唯一的(后面记B A +=)。
引理： A 为m r ⨯阶实矩阵，A 为列满秩阵，则T A A 可逆。
(或A 为行满秩阵，则T AA 可逆)。
性质3：H 为m r ⨯阶实阵，L 为r n ⨯阶实阵。
且()()r H r L r ==。
则()1T T H H H H -+=,()1T T L L LL -+=且()()r H r L r ++==。
推论1：H 为m r ⨯阶列满秩实阵，则r H H I +=。
L 为r n ⨯阶行满秩实阵，则r LL I +=。
推论2：A 为n 阶可逆实方阵，则1A A +-=。
性质4：A +为m n ⨯阶实矩阵A 的广义逆矩阵，则()()T T A A ++=。
性质5：A 为m n ⨯阶实矩阵，()r A r =，A 的满秩分解为A HL =，其中H ，L 分别为m r ⨯阶与r n ⨯阶秩为r 的实矩阵，则A 广义逆矩阵A L H +++=。
性质6：A +为A 的广义逆矩阵，则()()()()r A r AA r A A r A +++===。
性质7：A 为m n ⨯阶实矩阵，则()()n r I A A n r A +-=-。
性质8：A +为m n ⨯阶实阵A 的广义逆矩阵，则矩阵方程AX b AA b b +=⇔=有解。
且当有解时一个解为X A b +=。
现在，我们已经知道了广义逆矩阵的概念以及它的一些性质，接下来就来看下它的一些应用。
首先是在解线性方程组中的应用。
文献[2]、[4]都给出了矩阵的左逆和右逆，文献[2]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]还给出了与线性方程组的解关系。
1、矩阵A 的左逆1L A -与右逆1R A -定义1：若有n m G C ⨯∈， 使得AG I = (或GA I =)，则称G 为A 的右逆1R A - (或左逆1L A - )，即1RAA I -=(或1L A A I -=)。
在一般情况下，11L R A A --≠．若11L R A A --=，则1A - 存在，且111L R A A A ---==。
引理1：若A 是行(或列)满秩， 则必存在A 的右逆1R A -(或左逆1L A -)，且()11R A A AA --**=(或()11L A AA A --**=。
2、A -与相容方程组的解引理2：(相容方程组的通解)相容方程组AX b =的通解为()n X A b I A A Y --=++，其中Y 为n C 中的任意元素。
3、m A -与相容方程组的极小范数解引理3：设n m G C ⨯∈，使Gb 是相容方程组AX b =的极小范数解的充要条件是，G 满足AGA A =和()GA GA *=。
m A -的计算方法如下： (1)当A 是行(或列)满秩时，则()11m R A A A AA ---**== (或()11m L A A A A A ---**==) (2)当{}()min ,rank A r m n =<时，将A 满秩分解为A CD =，其中C 为列满秩，D为行满秩，则11mR L A A D C ----==。
(3)在一般情况下，用满秩分解来求m A -是很麻烦的，我们可以做()m A A AA --**=4、l A -与不相容方程组的最小二乘解引理4：设n m G C ⨯∈，X Gb =是不相容方程组AX b =最小二乘解的充要条件是，G 满足AGA A =和()GA GA *=l A -的计算方法如下：(1)当A 是行(或列)满秩时，则()11l R A A A AA ---**== (或()11l L A A A A A ---**==) (2)当{}()min ,rank A r m n =<时，将A 满秩分解为A CD =，其中C 为列满秩，D为行满秩，则11l RL A A D C ----==。
(3)在一般情况下，用满秩分解来求m A -是很麻烦的，我们可以做()l A A A A --**=在最小二乘解、曲线拟合和多元线性回归分析中常常要计算不相容方程组的最小二乘解，广义逆矩阵的理论使求不相容方程组的最小二乘解的方法标准化、规范化了，整个求解过程归结为求A 的广义逆l A -，无需求误差平方和的极值等一套繁琐的步骤．5、A +与线性方程组的极小最小二乘解引理5：不相容方程组AX b =的极小最小二乘解为X A b +=，其中ml A A AA --= A 的计算方法如下：(1)如果A 为满秩方阵，则A A +-=；(2)如果12(,,,),,1,2,,n i A diag d d d d C i n =∈=L L ，则12(,,,)n A diag d d d ++++=L ，其中0,01,0i i i id d d d +=⎧⎪=⎨≠⎪⎩当时当时 (3)如果A 为行满秩矩阵，则()11R A A A AA -+-**==；(4)如果A 为列满秩矩阵，则()11L A A A A A -+-**== ； (5)如果A 为降秩的m n ⨯矩阵，可用满秩分解求A ，即将A 满秩分解成A CD =，其中,m r r n C C D C ⨯⨯∈∈，且{}min ,rankC rankD r rankA m n ===<，()()1111,L R C C C C D D DD ---**-**==，则11R L A D C +--=。
