浙江大学 浙大 卢兴江版微积分答案

6 定积分及其应用习题6.11. （1）e 1- （2）13 （3）122. （1）24R p （2）72（3）03. （1）1201d 1x x +ò （2）10ò （3）（i ）10d ()x a b a x +-ò 或 11d b ax b a x-ò （ii ）[]1ln ()d e a b a x x +-ò 或 1ln d e ba x xb a -ò 习题6.21. （1）112300d d x x x x >蝌 （2）553233(ln )d (ln )d x x x x >蝌 （3）222200sinsin d d xx x x x pp >蝌 2. （1[]222,0,1x x ?（2）提示：分析函数2()1xf x x=+在[]0,2上的最大（小）值. 3. 提示：取()()g x f x = 4. 提示：利用积分中值定理或定积分的定义证明.5. 提示：令()()F x xf x =对()F x 在10,2轾犏犏臌上用罗尔定理。

6. 提示：证明在[]0,p 内至少存在两点12,x x 使12()()0f f x x ==.习题6.31. （1）(2)sin 2x x - （2）6233e cos()x x x -（3）[][]sin ln 1sincos cos 1sinsin x x x x -+-+ （4）2221()d 2()x f t t x f x +ò（5）1()d xf t t ò2. （1）23（2）1 （3）1 （4）24p （5）13. 提示：利用夹逼定理.4. 4()sin 21f x x p =--. 5. 提示：2()y f x ⅱ= 6. 提示：利用2[()()]d 0baf x tg x x -?ò，其中t 为任意常数.7.（1）741)1)33p -++ （2）2 （3）143p - （4）26p （5）14 （6）12（7）24e --8. 提示：利用泰勒公式()()22a b a b f x f f x x 骣骣++¢琪琪=+-琪琪桫桫，x 位于x 与2a b+之间. 习题6.41. （1）15 （2）2 （3）16 （4）p （53p（6）121e骣琪-琪桫 （7）24p （8）34 （9）352e 2727- （10）1ln 32- （11）3p -（12）8p（13）43p - （14）(ln 2-+ （15）()3e 15p - （16）13（提示：222101110111xx x x x x x e dx dx dx e e e ----=++++⎰⎰⎰） （17）1 （18）4π（提示：作变换2x t π=-） （19）2 （20）13（21）34p （22）当n 为偶数时：131222n n n n p ---g g L g g ；当n 为奇数时：131123n n n n ---g g L g g （23）ln 28p2. 713e-3. 提示：22()d ()d ()d a bbb a b aaf x x f x x f x x ++=+蝌?，对2()d ba b f x x +ò作变换()x a b t =+-.4. 若f 是连续偶函数，()()d xaF x f t t =ò不一定为奇函数. 例如：2311()d 13x F x x x x ==-ò5.1n （提示：对10()d x n n n t f x t t --ò作变换n nx t u -=，用洛必达法则或导数的定义.） 6. ()1cos113-（提示：用分部积分法） 7. 提示：用分部积分法 8. (0)2f =. 9.（1）2101, 1321d , 103231, 023p p p p x x p x p p p ì骣ï琪-+<-琪ï桫ïï+=-++-?íïïï+?ïïîò （2）411,01()221, 12x x x F x x x ì-+-?ï=íï-＃î10. 提示：利用()tan f x x =在0,4p 轾犏犏臌的单调性. 习题6.51.（1）2565 （2）1 （3）2p（4）163 （5）12442,633S S p p =+=- （6）92 （7）238a p （8）1ln 22 （9）1122.（1）a （2）43p3.（1）2R p （2）1ln(224+ （3）6a （4）22p 4. 1ln 32-5. 4 7. 3163a 8. （1）22x V p =，22y V p = （2）56p （3）24p （4）,33p p（5）23332325,6,7x y y a V a V a V a p p p ==== 9.2p10. 44815p11. （1）21)p （2）33211113ln 93222π⎡⎛+⎛⎫⎢ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦12. 22arcsin a a 骣+ 13. 2560g r （焦） 14. 0.5625 kg/m 2. 15. 3.675（焦） 16. 1674.667 g （焦） 17.22503h pr （焦） 18. ()343R H R H p w w +- 19. 212Mgh mgh +（焦）20.21.222k ph R k p ++ 22.()kmM a a l +，其中k 为万有引力常数 23. 22ln 12kM al a l骣琪+琪+桫，其中k 为万有引力常数 习题6.61.211=-ò用矩形公式，梯形公式和抛物线公式计算(8)n = 2. 3.141592 （可利用抛物线公式计算120d 1xx +ò）3. 周长204l p q =ò，用抛物线公式计算(16)n =深其近似值为22.1035.习题6.71. （1）收敛，13 （2）发散 （3）收敛，1ln 242p +（4（5 （6312p -（7）收敛，12（8）收敛，238- （9）收敛，2（10）收敛，83 （11）收敛，p （12）发散（13）收敛，79 （14）收敛，p （15）收敛，(ln 22p+（16）当1k £时发散，当1k >时，收敛于1(ln 2)1kk--2. 提示：作积分变换1xt = 3. 2a b ==- 4*.（1）收敛 （2）收敛 （3）发散 （4）发散 （5）收敛 （6）收敛 （7）收敛 （8）发散 （9）收敛 （10）当1p <且1q <时收敛，其他发散. （11）收敛 （12）收敛 （13）当1n m >+时收敛，当1n m ?时发散 （14）当12p <<时收敛，其他发散 （15）当3m <时收敛，当3m ³时发散 （16）当12n <<时收敛，其他发散. 5.（1）11(1)n n p +G + （2）(1)p G +6.（1）1!2m （2）12122m +⎛⎫Γ=⎪⎝⎭ （3）(1)!3m m m -g 7. （1）130（2）111,22B n 骣琪+琪桫 = 12!(21)!!n n n +⋅+。

4 微分中值定理及导数应用习题4.11.（1）4373，()f 为最小值。

（2）,()2f 为最大值。

（3）1，()f 为最大值。

2.（1）(1)1f ，(2)4f ，3(2)(1)()()3221f f f f ；（2）(0)30,(0)0,()0363ff ff ff；（3）()14f ，()14f，()()444()(arccos)2()44f f f f ；（4）(1)(1)(1)1,(1)1,()(0)01(1)f f f f f f .3.2. 4. 提示：利用Lagrange 定理. 5. 提示：用反证法.6. 提示：利用Rolle 定理.7. 提示：对()()1f x F x x在0,1上用罗尔定理 8. 提示：利用Lagrange 定理. 9. 提示：f 在,a b 上有界. 10. 提示：证明()0f x .11.（1）不能，理由见（2）; （2）112，233，323. 12. 4.13. （1）提示：利用“()0f x 则()f x C （常数）”的结论。

（2）提示：令22()1tan sec f x x x ，证明()0f x .14（1）提示：和差化积或直接用拉格朗日定理; （2）提示：利用Lagrange 定理.习题4.21. 提示：利用函数单调性定义和拉格朗日定理。

2.（1）单调减少. （2）单调增加. （3）单调增加. （4）单调增加.3.（1）在1(,)2内单调增加，在1(,)2内单调减少；（2）在,1或1,内单调减少， 在1,1内单调增加；（3）当0时，f 单调减少；当0α>时，f 在(0,)单调增加，在(,)单调减少；（4）在,1或0,1内单调减少，在1,0或1,内单调增加.4. 提示：设()()F x xf x ，证明F 在12(,)x x 内必取到F 在12,x x 上的最小值或者最大值.5.（3）提示：令()n f x x ，在,b a 上用拉格朗日定理。

诚信应考 考出水平 考出风格浙江大学城市学院2006—2007学年第二学期考试试卷《 微积分（B ）II 》开课单位：计算分院 ；考试形式：闭卷；考试日期：07年7月10日；时间：120分钟一． 微分方程问题(本大题共 3 题，每题 5分，共15 分)1． 求解微分方程 20(4)2,1x y x xy y ='-==.解：222(4)2, (4)dy dy x x xy dx dx y x -==-； ()()122222121,　4(4)(4)ln ln 4, 4,　c dy x dy dxd x y x y x y x C ye x ==---=-+=±-⎰⎰⎰⎰记1cC e =±，得通解：()24y C x =-， 由01x y==，得14C =-，所以微分方程特解为()2144y x =-- 点评：此题考可分离变量微分方程掌握情况。

可分离变量微分方程的关键是将方程通过因式分解，使,x y “分家”，变成：()()f y dy g x dx =形式，然后积分。

本题还要注意1cC e =±的变化。

2.求解微分方程 22x y xy xe -'-=.解: 2()2,()x p x x q x xe -=-=,()222222222222(2)(2)22221241144x dx x dxx x x x x x x x x x x xy e xe e dx C e xe e dx C e xe dx C e e d x C e e C e Ce ----------⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+=--+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰点评： 本题为典型的一阶线性微分方程()()y p x y q x '+=，这类方程只要记住公式：()()()p x dx p x dxy e q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰注意公式中三个不定积分计算后不需要另再加积分常数，因为本公式中已经有C 了。

浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = .2.已知2a =r ,3b =r ,3a b ⋅=r r ,则a b +=r r.3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = .4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，把所选字母填入题后的括号内）6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 （A ）2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6π . [ ]7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分cos 2d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为（A）1(,)dy f x y dx ⎰⎰（B）1(,)dy f x y dx ⎰⎰（C）10(,)dx f x y dy ⎰⎰（D）10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -=（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-. [ ]9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处（A ）偏导数存在，函数不连续 （B ）偏导数不存在，函数连续（C ）偏导数存在，函数连续 （D ）偏导数不存在，函数不连续 [ ]三、解答题10.（本题满分10分）求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M （1，－1，2）处的切线方程与法平面方程.11.（本题满分10分）设F 可微，z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数，并设23F F ''≠，求z zx y∂∂+∂∂. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集，求2[e sin()]d x Dx y σ++⎰⎰.13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤，计算二重积分221 d Dx y σ+-⎰⎰. ＜15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微，且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y . 浙江大学2007－2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题（每小题5分，共25分） 1．231421=-++=d .2．a b +====v v 3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'= 4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=DDd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ，()()⎰⎰+=+=+=∴Db a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()0111,dy f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题（每小题5分，共20分）6．选（B ）. l 1的方向向量{}1,2,1-，l 2的方向向量{}2,1,1--，{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选（D ）. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D ，化成直角坐标后故知选（D ）.8．选（C ）. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选（A ）. ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===，偏导数存在. 取kx y =，()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异，所以不连续．三、解答题（10～14每题10分，15题5分，共55分） 10．由L ，视x 为自变量，有 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,，得 87,45==dx dz dx dy ， 所以切线方程为87245111-=+=-z y x ， 法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=，即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-.12．D 在第一象限中的一块记为D 1，D 在第三象限中的一块记为D 2，()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.所以，原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z ，它的最大值点，最小值点与2z 的一致，用拉格朗日乘数法，设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x z y x z z y x F μλμλ，求偏导数，并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂，1830F y x λμ∂=+=∂， 2430F z z z λμ∂=-+=∂，22920Fx y z x∂=+-=∂ ， 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ． 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时，1=z最小；当35,5-=-=y x 时，5=z 最大.14．将分成如图的两块，41的圆记为D 1，另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++，有222xy y x y x u ++=∂∂，从而知()()y y x y x y x u ϕ++=2221arctan,，又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂，推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++， 所以，()2221,arctan 2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可： 所以，()C y y x y x y x u +++=22221arctan,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期 《 微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间： 年 月 日 所需时间：120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ________一、 填空题（每小题5分，满分30分） 1． 直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2． 数量场2),,(zye z y x g x +=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u ρ函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u ρ的方向导数为 .3． 设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z +== 具有二阶连续偏导数，则=∂∂∂yx z 2.4． 设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D ，则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5． 已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切，则切点坐标为 ，公共切平面方程为.6． 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f ，∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π，其中Λ,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π，则.)27(=S二、 （满分10分）求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.三、 （满分10分）计算⎰⎰-10222d d xy e x y .四、 (满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定，试求1022==∂∂y x x z.五、 （满分15分）设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离，求),,(z y x d 的最大，最小值 .六、 (满分15分)如图是一块密度为ρ（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R 的半圆直 径上拼上一个矩形，矩形的另一边为h ）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.(满分5分) 求证:当0,1≥≥s t时，成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3. )3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰1222d d xy ex y -⎰⎰⎰-==--212212220142)d 41(d d y y ex ey 2y yy四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d 最小距离：2236),,(323131-=-d ，最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d cos d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhRRr r r y x x七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s且对固定的1>t ， 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以，t s ln =取得最小值且为0，则 0),(≤s t F ，即1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a). (A)123I I I >> (B) 213I I I >> (C)123I I I << (D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) xe b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。

第八章 微分方程初步第一节 微分方程的概念1． 验证函数212y C x C x =+是否为微分方程2220yy y x x'''-+=的解．解：122y C C x y C '''=+=２，　２， 代入方程：()221212222222()0y y y C C C x C x C x x x x x'''-+=-⋅+++=２２ 因此是解。

2．验证由方程22x xy y C -+=所确定的函数为微分方程(2)2x y y x y '-=-的通解．解：对22x xy y C -+=两边求导，有2()20x y xy yy ''-++=，即有 (2)2x y y x y '-=-，是解有因为解中一个任意常数，任意常数个数与微分方程阶数相同，因此是通解。

3．验证函数1212()(,xy C C x e C C -=+为任意常数）是微分方程20y y y '''++=的通解，并求满足初始条件004,2,x x y y =='==-的特解．解：2122122212212()(),()(2),x x x x x x y C e C C x e C C C x e y C e C C C x e C C C x e ------'=-+=--''=----=--- 将上式代入方程左边有：21221212(2)2()()0x x x C C C x e C C C x e C C x e ------+--++=，有因为解中２个任意常数，任意常数个数与微分方程阶数相同，因此是通解。

由004,2,x x y y =='==-得： 124,2C C ==特解：(42)xy x e -=+第二节一阶微分方程1、求下列可分离变量微分方程的通解（或特解）（1）0 xydx=解：1,dyy=　11211,(1)ln, ln,,C Cdy x yyy Cy y e--=-=+==±⋅=⎰（20 +=解：,=,=()21,y=-arcsin,x C=即为通解（3）212,0x yxy xe y-='==解: 22,,x y y xdyxe e e dy xe dxdx-=⋅=()()22222222221,,211,,221111,ln,2224y x y xy x x y x xy x x x xe dy xe dx e xdee xe e dx e xe e dxe xe e C y xe e C===-=-⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰由12xy==，得1,C=211ln()122xy x e⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦（4）23(4),1xx x y y y='-==．解:22,,(4)(4)dy dx dy dxy x x y x x==--⎰⎰()411111ln,ln ln ln4,4441ln ln,,4444Cy dx y x x Cx xC xx xy C y ex x x=+=--+-=+=±⋅=---⎰ 由31xy==，得113C=，43(4)xyx=-。

浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一 、填空题（每小题5分.共25分.把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a =,3b =,3a b ⋅=,则a b += . 3.设(,)f u v 可微.(,)yxz f x y =,则dz = .4.设()f x 在[0.1]上连续.且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数.交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题（每小题5分.共20分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的.把所选字母填入题后的括号内）6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 （A ）2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6π. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数.极坐标系中的二次积分cos 2d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为（A）100(,)dy f x y dx ⎰⎰ （B）100(,)dy f x y dx ⎰⎰（C）10(,)dx f x y dy ⎰⎰（D）10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数.则5()2S -=（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-. [ ] ＜9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处（A ）偏导数存在.函数不连续 （B ）偏导数不存在.函数连续（C ）偏导数存在.函数连续 （D ）偏导数不存在.函数不连续 [ ] 三、解答题10.（本题满分10分）求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M （1.－1.2）处的切线方程与法平面方程.11.（本题满分10分）设F 可微.z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数.并设23F F ''≠.求z zx y∂∂+∂∂. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集.求2[e sin()]d xDx y σ++⎰⎰. 13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤.计算二重积分22 1 d Dx y σ+-⎰⎰.15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微.且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y .浙江大学2007－2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题（每小题5分.共25分） 1．231421=-++=d .2．22()()2496a b a b a b a b a b +=+⋅+=++⋅=++=3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'=4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=D Dd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ. ()()⎰⎰+=+=+=∴Db a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()0111,dy f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题（每小题5分.共20分） 6．选（B ）.l 1的方向向量{}1,2,1-.l 2的方向向量{}2,1,1--.{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选（D ）. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D .化成直角坐标后故知选（D ）.8．选（C ）. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选（A ）. ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===.偏导数存在. 取kx y =.()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异.所以不连续．三、解答题（10～14每题10分.15题5分.共55分） 10．由L .视x 为自变量.有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++.0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,.得 87,45==dx dz dx dy . 所以切线方程为87245111-=+=-z y x .法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=.即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-.12．D 在第一象限中的一块记为D 1.D 在第三象限中的一块记为D 2.()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.32222312101xx x x x xxxD D e d e d dx e dy dx e dy σσ-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()222210103333011x x x x x x e dx xx e dx x x e dx xx e dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰()2111130021()112x u u u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-⎰⎰⎰()()()()3312101sin sin sin sin x x xxD D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()103301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()13301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ⎡⎤⎡⎤=-+-+++-+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 所以.原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z .它的最大值点.最小值点与2z 的一致.用拉格朗日乘数法.设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x zy x z z y x F μλμλ.求偏导数.并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂.1830F y x λμ∂=+=∂. 2430F z z z λμ∂=-+=∂.22920Fx y z x∂=+-=∂ . 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ． 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时.1=z 最小；当35,5-=-=y x 时.5=z 最大.14．将分成如图的两块.41的圆记为D 1.另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ ()()()σσσd y x d y x d y xD DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=11111222222()()()()1222211122220211211211()43343D Dx y d x y d d r rdr dy xy dx πσσθππ=--++-=-++-=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y =++-++++.有222xy y x y x u ++=∂∂.从而知()()y y x y x y x u ϕ++=2221arctan,.又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂.推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++. ()()22,y y y y C ϕϕ'==+所以.()2221,arctan2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可：222222()(2)y x xy dx x y y dy x y x y++-++++()()22222211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y--=+++=++++ ()221(arctan)2x d xy y y =++ 所以.()C y y x y x y x u +++=22221arctan,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期 《 微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间： 年 月 日 所需时间：120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ________一、 填空题（每小题5分.满分30分） 1． 直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2． 数量场2),,(zye z y x g x +=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u的方向导数为 .3． 设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z+== 具有二阶连续偏导数.则=∂∂∂yx z 2.4． 设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D.则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5． 已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切.则切点坐标为 .公共切平面方程为.6． 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f .∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π.其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π.则.)27(=S二、 （满分10分）求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.1002 22dd x yex y.三、（满分10分）计算⎰⎰-四、 (满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定.试求1022==∂∂y x x z.五、 （满分15分）设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离.求),,(z y x d 的最大.最小值 .六、 (满分15分)如图是一块密度为ρ（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R 的半圆直 径上拼上一个矩形.矩形的另一边为h ）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.七、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时.成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3. )3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=22222020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+⇒+=+=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰10222d d xy ex y -⎰⎰⎰-==--212212220142)d 41(d d y y e x e y 2y yy2120202020221d d d d 212212212212212------=-+=+=⎰⎰⎰⎰e y e ey y e e y y e yy y y y四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴== ,02632222222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 2102294ex zy x =∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d )14()()1(2222-++++++-+=z y x z y x y x L μλ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=±===++='==+='-==⇒≠=++-+='=⇒==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223231221z y x L z y x z y x L x z L xz x y y y x L x y x L z y xμλμλμμλλμμλ，无解最小距离：2236),,(323131-=-d .最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d cos d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhRRr r r y x xR h R h R 320312)21(232=⇒=⋅+-⋅ ⎰⎰=Dxdxdy y I 2302202)832(d θsin d d d 22R R h r r r y y x RhRR πθππ+=⋅+=⎰⎰⎰⎰--- 七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s.ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==⇒=-=' 且对固定的1>t . 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以.t s ln =取得最小值且为0.则 0),(≤s t F .即s e t tt ts +-≤ln1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A)123I I I >> (B)213I I I >> (C)123I I I << (D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛.则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2、、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。

习题101 解：（1）这是一阶微分方程。

3sin 4cos y x x =-Q ，3cos 4sin y x x '∴=+，有 3cos 4sin 3sin 4cos 7sin cos 0y y x x x x x x '+=++-=-≠ 所以， 3sin 4cos y x x =-不是方程 0y y '+=的解。

（2）这是二阶微分方程。

2 x y x e =Q ，222(2),x x x y xe x e x x e '∴=+=+，222(2)(22)(2)(24)x x x x y x x e x e x x e x x e ''=+=+++=++有222222 2(24)2(2)?(2442)20x x x x x y y y x x e x x e x e x x x x x e e '''-+=++-++++--+=≠=所以，2xy x e =不是方程20y y y '''-+=的解。

（3）这是二阶微分方程。

1212 x x y C e C e λλ=+Q ，12122211221122,x x x x C e C e y C e C e y λλλλλλλλ''+'∴=+=，有12121222112211122212121212()())(()x x x x x x C e C e C e C e C y C y e e y λλλλλλλλλλλλλλλλλλ'''-++=++-+++11221212222211111222211212122122==0x x x x x x x x C e C e C e C e C e C e C e C e λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+---++所以，1212xx y C e C e λλ=+是方程1212()0y y y λλλλ'''-++=的解。

浙江大学2004-2005学年秋冬季学期《微积分》课程期末考试试卷一、填空题1．1lim()xx x e x →-= .2．设()f x 可导，2(cos )f x y x =则d d yx= . 3．ln (0)xy x x=>的值域范围为 . 4．3121x x -=⎰5．设,arcsin x y t⎧⎪=⎨=⎪⎩则22d d y x = . 6．当0x →时，20cos d 2x tx e t t x --⎰与B Ax 等价无穷小，则常数A = ，B = .二、计算题1.求221d .22x x x x +++⎰ 2．已知(0),(),f a f b π==且()f x ''连续，求[]0()()sin d f x f x x xπ''+⎰.3．求2+∞⎰.4．求曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得的旋转体体积x V 和y V .5．在曲线段 2(08)y x x =≤≤上, 求一点2(,)P a a 使得过P 点的切线与直线0,8y x ==所围成的三角形的面积最大．三、求幂级数2021!n n n x n ∞=+∑的收敛区间以及在收敛区间上的和函数，并求级数0212!nn n n ∞=+∑的和.四、证明若2,e a b e <<<则2224ln ln ()b a b a e ->-⋅ 五、已知sin 0()0x e x x F x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩为连续函数.（1）求常数a ； （2）证明()F x 的导函数连续.浙江大学2004-2005学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、填空题1．2110ln()lim()lim x x x x x x e x e x e →→--=1002ln()1lim lim 22()x x x x e x e x x e x x e e e →→---===．2. 22(cos )d (cos )[2(cos )(cos )sin ln ]d f x y f x x f x f x x x x x'=-⋅． 3． (1,]e-∞ ．4.3121x x -+⎰．111x x x --=+⎰⎰12x x =⎰， 令sin x t =222222001312sin cos td 2sin (1-sin t)d 2()224228t x t x πππππ===⋅-⋅⋅=⎰⎰.5.由x =d d x t = a r c s i n y t =，d d y t =d 1d y x t =-，2221d d yt x==．6. 由洛必达法则20100cos d cos 12lim lim x tx B B x x x e t t x e x xAx ABx-→→----=⎰， 2323310[1()][1()]12!3!2!lim B x x x x x o x o x xABx-→++++-+--=， 其中：232331(),cos 1()2!3!2!xx x x e x o x x o x =++++=-+33101()3lim 1B x x o x ABx -→-+==, 得13,13B AB -=⎧⎪⎨=-⎪⎩，即1,412A B =-=. 二、计算题 1.22221221d d d 22221(1)x x x x x x x x x x ++=-++++++⎰⎰⎰=2ln(22)arctan(1)x x x C ++-++．2.[]00()()sin d ()sin d ()sin d f x f x x x f x x x f x x x πππ''''+=+⎰⎰⎰()sin d sin d ()f x x x x f x ππ'=+⎰⎰00()sin d sin ()()cos d f x x x xf x f x x x πππ''=+-⎰⎰00()sin d cos ()()sin d f x x x xf x f x x x πππ=--⎰⎰=a b +.3.221x +∞+∞=-⎰⎰21arcsinx +∞=-=6π . 4. 22sin d 2x V x x πππ==⎰,2002sin d 2cos 2cos d 2y V x x x x x x x πππππππ==-+=⎰⎰．5. 解:（1）过点2(,)P a a 的切线方程为 22()y a a x a -=-， 令0y =，得22()a a x a -=-，得2a x =， 令8x =，得222(8)16y a a a a a =+-=-，令221()(8)(16)(8)222a aS a a a a =--=-，213()(8)2(8)()(8)(8)22222a a a aS a a '=-+--=-- ，令()0S a '=，得163a =，16a =（舍）．1333()(8)(8)1622222a a S a a ''=----=- ，16316()1680323S ''=⋅-=-<，所以，当163a =时，三角形面积最大．三、因为 2220102121()!(1)!!n n n n n n n x x x n n n ∞∞∞===+=+-∑∑∑2220()2!n x n x x e n ∞==+∑222222(21)x x x x e e e x =+=+，所以2220021212(221)5!!n n n n n n e e n n ∞∞==++==⋅+=∑∑．四、 设 2()ln ,()f x x g x x ==，在[,]a b 上由柯西定理，有 222ln ln ln 2,b a e a b e b a ξξξ-=<<<<- .再令2ln 1ln (),()0()x xx x e x x x ϕϕ-'==<<,故()x ϕ单调下降，得222(),()x e x e e ϕ><<，有2ln 2e ξξ>,得2224ln ln ()b a b a e ->-. 五、 (1）因为 0sin lim1x x e xx→=， 所以1a =． (2）0sin 1(0)lim x x e xx F x→-'=20sin lim x x e x x x→-= 00sin cos 12cos lim lim 122x x x x x e x e x e x x →→+-===， 所以，2(s i n c o s )s i n,0;()1,0.x x x x e x e x e x x F x x x ⎧+-≠⎪'=⎨⎪=⎩而 20sin cos sin limx x x x xe x xe x e xx →+-02cos lim 12x x xe x x →==,所以 ()F x '在(,)-∞+∞上是连续的．浙江大学2005-2006学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、 计算题1.已知抛物线2y ax bx c =++过点(1,2)，且在该点的曲率圆方程为22151()(),222x y -+-=则a = ,b = ,c =2.设12()sin d x f x t t =⎰，则(1) 10()d f x x =⎰ ；(2) 1()lim1x f x x →=- 3.若011lim ,2a x x →=则a = 4.当x = 时，函数2x y x =⋅取得极小值.5.曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线方程为 *6.已知01(cos sin ),(0,2),2n n n xa a nxb nx x ππ∞=-=++∈∑则5b = （此题不作要求）二、求极限1.0sin tan lim tan (1)ln(1)x x x x x e x →--- 2. 21sin 0lim(cos )xx x → 三、求导数1.设函数()x x y =由sin 0y x x -+=所确定，求22d d ,d d x xy y2.设sin arctan ,ln(x t t y t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩ 求22d d ,d d y y x x 3.设()arccot xy x e =-()y x '. 四、求积分 1.21d (1)(1)x x x ++⎰．2.x ．3.1321(x x x -+⎰． 4.20sin 2d 1cos xxx xπ+⎰．五、设曲线21:1(01),C y x x =-≤≤x 轴和y 轴所围区域被曲线22:(0)C y ax a =>分为面积相等的两部分，试求常数a .六、将函数12()arctan 12x f x x -=+展开成x 的幂级数，并求级数0(1)21nn n ∞=-+∑的和.七、设()f x 在(,)a +∞内可导，且lim (),x f x a →∞'=证明：()limx f x a x→∞=．浙江大学2005-2006学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案 一、计算题1. 由2y ax bx c =++，有2,2y ax b y a '''=+=，得112,2,2x x a b c y a b y a =='''++==+=由曲率圆方程22151()(),222x y -+-=两边求导，152()2()022x y y '-+-=，得1,21x y y =='=，5222()02x y y y y ''''++-=，得1,24x y y ==''=根据2y ax bx c =++与曲率圆22151()(),222x y -+-=在点(1,2)有相同的,,y y y '''；得到 24,21,2a a b a b c =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩， 所以有2,3,3a b c ==-=.2. （1）11120()d (sin d )d xf x x t t x =⎰⎰⎰＝111220sin d sin d xx t t x x x +⎰⎰12201=sin d 2x x ⎰ =12011cos (1cos1)22x -=- ． （2）1211sin d ()limlim 11xx x t tf x x x →→=--⎰21sin lim sin11x x →-==-. 3. 因为，当0x →时2112x, 所以200112lim ,2a x x x x →→==得 2a = . 4. ()2x y x x =⋅,()22ln 2x x y x x '=+,令()0,22ln 20x x y x x '=+=，解得 1ln 2x -=， 由于2()2ln 22ln 22ln 22ln 2(2ln 2)x x x x y x x x ''=++=+， 当1ln 2x =-时，1()0ln 2y -''>，所以当1ln 2x -=时，()2x y x x =⋅取到极小值．5. 因为, 21111arctan ,,,arctan1124x x y x y y y x π==''=====+， 所以，切线方程为 1(1)24y x π=-+. 6. 515b =．二、求极限1. 0sin tan lim tan (1)ln(1)x x x x x e x →---=30sin (cos 1)cos lim x xx x x→--，注：当0x →时1,ln(1)x e x x x --- , 20cos 11lim2x x x →-==-． 2. 因为 ,21sin 0lim(cos )xx x →=2cos 11cos 1sin 0lim[1(cos 1)]x x xx x -⋅-→+- ，而 20cos 11limsin 2x x x →-=-，1cos 1lim[1(cos 1)]x x x e -→+-=， 所以 11sin2lim(cos )xx x e-→=．三、求导数1. 对方程sin 0y x x -+=两边关于y 求导数,注意到()x x y =,有 d d 1cos 0d d x x x y y -+=,得 d d xy =11cos x-, 222d 1d()d()(cos )d d 1-cos d d d (1-cos )y xx x yx yy y x '--===3sin (1cos )x x -=-. 2. 2d 1sin arctan ,cos d 1x x t t t t t=-=-+, ln(y t =，d d y t =d d d d d yy t x t==, 222d d (1)cos 1yxt t =⎡⎤+-⎣⎦．3.111()arccot arccot [ln ln(1)]arccot ln(1)222xx x x x x y x e e e e e x e =---+=-++，2211()122(1)12(1)x x x x x x xe e e y x e e e e '=--+=--++++. 四、 １.21d (1)(1)x x x ++⎰=22111()d 2111x x x x x -++++⎰ 2111ln 1ln(1)arctan 242x x x C =+-+++. 2. (令15x t =)x =145315d t t t t +⎰=11215d 1t t t +⎰ =9753215()d 1tt t t t t t t -+-+-+⎰ =108642211111115[ln(1)]1086422t t t t t t C -+-+-++=28242231551515153155151515ln(1)282422x x x x x x C -+-+-++.3.1321(x x x -+⎰11x x -=⎰22202sin cos d t t t π=⎰ 注：令sin x t =22202sin (1sin )d t t t π=-⎰1312()224228πππ=⋅-⋅⋅=.4. 20sin 2d 1cos x x x x π+⎰=220dcos 1cos x x xπ-+⎰=20dln(1cos )x x π-+⎰ 2200ln(1cos )ln(1cos )d x x x x ππ=-+++⎰＝22(cos )ln 2(1)2d 1n nn x x n ππ+∞=-+-⋅⋅+∑⎰1201(1)ln 2cos d n nn x x n ππ-∞=-=-+∑⎰ 12201(1)ln 22cos d n n n x x n ππ-∞=-=-+⋅∑⎰=11(1)(21)!!ln 22(2)!!2n n n n n ππ-∞=---+⋅⋅⋅∑.五、由 221,y x y ax⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点0x =, 311212002(1)d ()33x S S x x x +=-=-=⎰，022310012[(1)]d ()33x x a S x ax x x x +=--=-=⎰，由12S S =，得212323=⋅， 所以 3a =.六、由12()arctan 12x f x x -=+， 2221()2(1)4,142n n nn f x x x x ∞=-'==--<+∑， 210(1)4()()d (0)2421n n x n n f x f x x f xn π∞+=-'=+=-+∑⎰， 当12x =时，210(1)41024212n n n n n π∞+=-=-+∑， 得 0(1)214nn n π∞=-=+∑.七、解法一：由洛必达法则, ()()lim lim 1x x f x f x a x →+∞→+∞'==.解法二：① 若0a =，由lim ()0x f x →+∞'=，按定义知0ε∀>，10x ∃>，当1x x >时，恒有()2f x ε'<．1(,)b x ∀∈+∞，当x b >时，有()()()2f x f b f x b x b εξ'-=-<-，由于()()()()2f x f b f x f b x b ε-≤-<-，有()()2f x f b x b ε≤+-，再取2x b >，使得2()2f b x ε<，当2x x >时， 有2()()()()()()2222x bf b x b f b f x f x f b f b x x x x x x εεεεε---+=<+<+<+=， 所以，()lim0x f x x→+∞=． ② 若0a ≠，由lim ()x f x a →+∞'=，则有 lim [()]0x f x ax →+∞'-=， 设()()F x f x ax =-，有lim ()0x F x →+∞'=，由①知，()()limlim 0x x F x f x axx x→+∞→+∞-==，得证．浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、求导数或微积分（1）设sin43(arctan 2)ln 2x y x x =++，求d d yx .（2）设22d ,sin()d t ts x e s y t s s -==-⎰⎰，求t =d d y x 及22d d y x .（3）设()y y x =是由方程210x y e x xy +---=确定的x 的可导函数，求0d x y =. 二、求积分（4）求60x ⎰.（5）求2arctan d xxe x e ⎰. （6）求1+∞⎰.三、求极限 （7）求3012cos lim[()1]3x x x x →+-. （8）设()f a ''存在，()0f a '≠，求11lim[]()()()()x af a x a f x f a →-'--.（9）设1121)1))nn n u n n n ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦（（（1，求lim n n u →∞. 四、选择题（10）设2620arcsin d ,(1)d xt t t e t αβ==-⎰⎰，则0x →时 [ ]（A ）αβ与是同阶但不等价无穷小. （B ）αβ与是等价无穷小. （C ）αβ是的高价无穷小. （D ）βα是的高价无穷小. （11）设级数1n n a ∞=∑收敛，则下述结论不正确的是[ ]（A ）11()n n n a a ∞+=+∑必收敛. （B ）2211()n n n a a ∞+=-∑必收敛.（C ）2211()n n n a a ∞+=+∑必收敛. （D ）2211()n n n a a ∞+=-∑必收敛.（12）设1,0,()()()d ,0,x x e x f x F x f t t x x -⎧≤==⎨>⎩⎰，则()0F x x =在处[ ]（A ）极限不存在 （B ）极限存在，但不连续（C ）连续但不可导 （D ）可导（13）设()y f x =为连续函数，除点x a =外，()f x 二阶可导，()y f x ''=的图形如图， 则() [ ]y f x =（A ）有一个拐点，一个极小值点，一个极大值点. （B ）有二个拐点，一个极小值点，一个极大值点. （C ）有一个拐点，一个极小值点，二个极大值点. （D ）有一个拐点，二个极小值点，一个极大值点.五、（14）设曲线2y ax =(0,x ≥常数0)a >与曲线21y x =-交于点A ，过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面形D ．(I) 求D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积()V a ；（II ）求a 的值使()V a 为最大.六、（15）将函数21()arctan ln(1)2f x x x x =-+在0x =处展开成泰勒级数（即麦克劳林级数）并指明成立范围.七、（16）设0,x >证明2()(4)(2)20x x f x x e x e =---+<．浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、求导数或微分(1） sin 4sin 4122d 14cos 4ln sin 46(arctan 2)d 14x x y x x x x x x x x -=⋅+⋅++． (2) 由 20d ts x e s -=⎰，得2d d t xe t -=，由20sin()d ty t s s =-⎰，令t s u -=，得0220sin d sin d tty u u u u =-=⎰⎰，得2d sin d y t t =，所以222d d sin ,d d t t y ye t e x x π==，2222222222(sin )d 2sin 2cos d t t t tt t e t y te t te t x e e--'+== 22222(sin cos )t te t t =+, 22d d t y x π=．(3) 由 210x y e x xy +---=及0x =，得0y =，对方程 210x y e x xy +---= 两边取微分有(d d )2d (d d )0x y e x y x x y y x ++--+=， 将0x =，0y =代入，得 0d d x y x ==．二、求积分 （4）解66x x =⎰⎰6x =⎰ （令33sin x t -=）2227(1sin )cos cos d t t t t ππ-=+⎰22012754cos d 54222t t πππ==⋅⋅=⎰．（5）解 令x e t =，2arctan d xxe x e ⎰＝3arctan d t t t ⎰211arctan d 2t t =-⎰ 2221arctan 1[d ]2(1)t t t t t =--+⎰ 2221arctan 11[d d ]21t t t t t t =--++⎰⎰ 21arctan 1[arctan ]2t t C t t=-+++ 21arctan [arctan ]2x x xxe e e C e-=-+++． （6）解t =，1+∞⎰202d 1t t +∞+⎰02arcta n t π+∞==. 三、求极限 (7) 解 3012cos lim[()1]3xx x x →+- 2cos ln()3301lim [1]x x x e x +→=- 注2cos ln()32cos [1ln(),(0)]3xx x e x x ++-→ 2012cos limln()3x xx →+= 201cos 1lim ln(1)3x x x →-=+ 注[cos 1cos 1ln(1),(0)33x x x --+→] 201cos 11lim ()36x x x →-==． (8) 解 11lim[]()()()()x af a x a f x f a →-'--()()()()lim ()()(()())x a f x f a f a x a f a x a f x f a →'---='-- ＝()()lim()(()())()()()x af x f a f a f x f a f a f x x a →''-'''-+-2()()()lim ()(()())2(())()()x a f x f a f a x a f a f x f a f a f a f x x a→''-''-=='-'''+-． （9）解 由 112[1)1))]nn n u n n n =+++（（（1， 取11ln ln(1)n n i i u n n==+∑,则 11100011limln lim ln(1)ln(1)d ln(1)d 2ln 211n n n n i i x u x x x x x n n x →∞→∞==+=+=+-=-+∑⎰⎰,所以 2ln 214lim n n u e e-→∞==． 四、（10）解：因为262000arcsin d limlim (1)d xx x t t te tαβ→→=-⎰⎰注：由洛必达法则2222331arcsin 3lim 1x x x x xe -→⋅=- 注：221,(0)x e x x -→ 22320231arcsin 1lim33x x x x x →==⋅， 所以，αβ与是同阶但不等价无穷小，则选 A ． （11）解：（A ） 因为11111()nn n n n n n aa a a ∞∞∞++===+=+∑∑∑11212n n n n n n a a a a ∞∞∞====+=+∑∑∑，而1nn a∞=∑收敛，所以11()n n n a a ∞+=+∑必收敛，（B ）因为222222222221122311211()n n n n n n n a a a a a a a a a a a ∞++++=-=-+-++-+-=∑，所以2211()n n n a a ∞+=-∑必收敛．（C ）因为2212345221111()n n n n n n n a a a a a a a a a a ∞∞++==+=+++++++=-∑∑所以2211()n n n a a ∞+=+∑必收敛,（D ）221234522112()(1)n n n n n n n n a a a a a a a a a ∞∞++==-=-+-++-+=-∑∑未必收敛，例如 1(1)n n n ∞=-∑收敛， 但221(1)nn n n a n ∞∞==-=∑∑发散，则结论不正确的是D ，本题选Ｄ（12）解：由1,0,()()()d ,0,x x e x f x F x f t t x x -⎧≤==⎨>⎩⎰，则 11121,0,()11,02x t x x t e dt e e x F x e dt e x x ----⎧=-≤⎪=⎨⎪=-+>⎩⎰⎰，即 112,0,()11,02x e e x F x e x x --⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩， 因为 12101lim ()lim(1)12x x F x e x e ++--→→=-+=-， 11lim ()lim()1x x x F x e e e ----→→=-=- 所以 ()F x 在0x =处连续．因为 2012(0)lim 0x x F x++∆→∆'==∆， 01(0)lim 1xx e F x-∆-∆→-'==∆，(0)(0)F F +-''≠所以，()F x 在0x =不可导，所以选Ｃ． （13）如图，在点(,0)b 处，左边0y ''>，右边0y ''<，而点(,0)b 处0y ''=，所以点(,0)b 为曲线的拐点； 同理，在点(0,)d 处，左边0y ''<，右边0y ''>，而点(0,)d 处0y ''=，所以点(0,)d 为曲线的拐点； 在点(,0)c 处，左边0y '<，右边0y '>，而点(,0)c 处0y '=，所以点x c =为函数的极小值点； 在点(,0)a 处，左边0y '>，右边0y '<，而点(,0)a 处0y '=，所以点x a =为函数的极大值点， 所以，曲线有二个拐点，一个极小值点，一个极大值点. 选（B ）五、解：由22,1y ax y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩求得交点)1a A a +（如图）， 直线OA 的方程y x =． （Ｉ） 旋转体体积 ()Va 2224()d 1a x a x x aπ=-+⎰=25/2215(1)a a π⋅+， （II ）53222552(1)(1)d ()22d 15(1)a a a a V a a a π+-+=⋅+ 27/2(4)15(1)a a a π-=+．在0a >处有唯一驻点4a =，当04a <<时d ()0d V a a >， 当4a >时，d ()0d V a a<, 故4a =为唯一极大值点，为最大值点．六、（15）解：由21()arctan ln(1)2f x x x x =-+21()arctan ,(),1f x x f x x'''==+展开之，20()(1),(1,1)n n n f x x x ∞=''=-∈-∑，两边积分，得212100(1)(1)()(0),(1,1)2121n n n n n n f x f x x x n n ∞∞++==--''=+=∈-++∑∑，再次两边积分，得220(1)()(0)(21)(22)nn n f x f x n n ∞+=-=+++∑220(1),(1,1)(21)(22)nn n x x n n ∞+=-=∈-++∑． 右边级数在1x =±处收敛，左边函数在1x =±处连续，所以成立范围可扩大到闭区间[1,1]-． 七、（16）证法1：由2()(4)(2)2x x f x x e x e =---+2(0)0,()(1)(1),2xx x f f x e x e '==---(0)0f '=2221()()44x x x xx f x e xe xe e ''=-=-．而当0x >时2114x e >>，所以当0x >时()0f x ''<， 于是知，当0x >时，()0f x '<，从而知，当0x >时，()0f x <. 证法2：由证法一，有 2211()(0)(0)()()022f x f f x f x f x ξξ''''''=++=< 证法3：由2()(1)(1)2xx x f x e x e '=---()1()2x x xx e x ξ='⎡⎤=--⎣⎦()02xe ξξ=-<，所以()0f x <．注：设()(1)x g x x e =-，在[,]2xx 上的拉格郎日中值定理，有()2(1)(1)1(),222xx x x x x x e x e x e x x ξξ='⎡⎤---=--<<⎣⎦ ．浙江大学2007-2008学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、(每小题6分)（1）设4cos 1tan 5ln 2x x y x e x π=++，求d d y x .（2）设由参数式22ln(1)x t ty t t ⎧=+⎨=-+⎩，确定了y 为x 的函数()y y x =，求曲线()y y x =的凹、凸区间及拐点坐标（区间用x 表示，点用(,)x y 表示）.（3）求210sin lim()x x x x→（4）求(2)]x x →+∞+二、(每小题6分) （5）求21d (1)x x x +⎰.（6）求arcsin d xxe x e⎰. （7）求230d x xe x +∞-⎰.三、（第(8)-(11)小题每小题8分，第(12)小题6分） （8）（8分） 设()y y x =是由32210y xy x x ++-+=及(1)0y =所确定，求131()d lim (1)x x y t tx →-⎰.（9）（8分）设2()231x f x x x =-+，试将()f x 展开成x的幂级数，并求()(0)(1)n f n ≥.（10）（8分） 设常数0a >，讨论曲线y ax =与2ln y x =在第一象限中公共点的个数. （11）（8分） 设0a <，曲线2y ax bx =+当01x ≤≤时0y ≥.又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围成的图形的面积13D =，试确定常数a 与b 使该图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积V 最小.（12）（6分） 设()f x 在区间(0,1)内可导，且()f x M '≤（M 为常数）证明：① 级数1111(()())22n n n f f ∞+=-∑绝对收敛； ② 1lim ()2n n f →∞存在.四、选择题（四选一，每小题4分）（13）设()()(),()()()f x u x v x g x u x v x =+=-，并设0lim ()x u x →与0lim ()x v x →均不存在，则下列结论正确的是 [ ]（A ）若0lim ()x f x →不存在，则0lim ()x g x →必存在.（B ）若0lim ()x f x →不存在，则0lim ()x g x →必不存在.（C ）若0lim ()x f x →存在，则0lim ()x g x →必不存在.（D ）若0lim ()x f x →存在，则0lim ()x g x →必存在.（14）曲线1ln(1)(1)x y e x x =++-的渐近线的条数 [ ]（A ）4条 （B ）3条. （C ）2条. （D ）1条.（15）设2122()lim 1n n n x x xf x x -→∞++=+，则()f x 的不连续点的个数为 [ ] （A ）0个 （B ）1个. （C ）2个. （D ）多于2个. （16）设()f x [,]a b 上可导，且()0,()0,f a f b ''><下述结论不正确的是[ ] （A ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f a >； （B ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f b >； （C ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x '=；（D ）至少存在一点0(,)x a b ∈使01()(()())2f x f a f b =+．（17）设0(1,2,)n a n >=，下列结论正确的是[ ]（A ）若存在0N >，当n N >时均有11n n a a +<，则1n n a ∞=∑必收敛. （B ）若存在0N >，当n N >时均有11n n a a +>，则1n n a ∞=∑必发散. （C ）若1n n a ∞=∑收敛.则必存在0N >，当n N >时必有11n na a +<， （D ）若1n n a ∞=∑发散.则必存在0N >，当n N >时必有11n na a +>．浙江大学2007-2008学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、(每小题6分)（1）24cos 4cos d 5cos sec 54(sin ln )d 2x x x x y xx e x e x x x x x =++-． （2）由22x t t =+，d 2(1)d x t t =+，ln(1)y t t =-+，d d 1y t t t =+，2d d 2(1)y tx t =+， 224d 1d 2(1)y tx t -=+，令 22d 0d y x =， 得 1t = 当11t -<<时，22d 0d yx> 曲线凹；当1t >时，22d 0d yx< 曲线凸，当1t =时，对应拐点．换成,x y ，当13x -<<时， 曲线()y y x =凹； 当3x >时， 曲线当()y y x =凸，点(3,1ln 2)-为拐点．（3）解 因为2211sin ln()00sin lim()lim xxx x x x x ex→→= ，而22001sin 1sin limln lim ln(11)x x x x x x x x→→=+-，201sin lim (1)x x x x →=- 注sin sin ln(11)1,(0)x xx x x+--→ 3200sin cos 11lim lim 36x x x x x x x →→--===-， 所以 21160s i n l i m ()x x xe x-→=．（4）lim (2))xx →+∞+2lim (1)]x x x→+∞=+222sin 2(1(1))limx x x ++-+=22sin 24()limx x x --=sin 42lim 1x x --==- ．二、 （5）22111d ()d (1)(1)x x x x x x x -=-+++⎰⎰ =1ln ln 1x x C x--+++．（6） 方法1：令 arcsin x e t =，则cos sin ,ln sin ,d d sin x te t x t x t t===2arcsin cos d d sin x x e t tx t e t=⎰⎰1d()sin t t =-⎰ 1d sin sin t t t t =-+⎰ ln csc cot sin t t t C t =-+-+arcsin ln x x x e e e e C ---=-+-+，或写成arcsin ln 1x x e e x C -=--++．方法2：令 x e t =，则1ln ,d d ,(0)x t x t t t==>2arcsin arcsin 1d d arcsin d x xe t x t t e t t==-⎰⎰⎰arcsin t t =-+arcsin tt=-+arcsin 1ln t C t t =--++arcsin ln 1x x e e x C -=+-．（7）2232200011d d d 22x x tx ex x e x te t +∞+∞+∞---==⎰⎰⎰001[d ]2t t te e t +∞+∞--=-+⎰011[]22t e +∞-=-=．三、（8）解 由32210y xy x x ++-+=，1lim ()0x y x →=两边关于x 求导数，有23220y y xy y x ''+++-=，得222()3x yy x y x--'=+，1lim ()0x y x →'=， 222(3)(2)(22)(61)()(3)y x y x y yy y x y x ''+-----+''=+，1lim ()2x y x →''=-． 由洛必达法则，1321111()d ()()()1limlimlim lim (1)3(1)6(1)63x x x x x y t ty x y x y x x x x →→→→'''====----⎰． （9）解：()(21)(1)xf x x x =--1111121112x x x x-=-=+---- 0(2)nn n n x x ∞∞===-+∑∑1(21),2n n n x x ∞==-<∑ ()(0)(21)!,1n n f n n =-≥（10）解：令()2ln f x ax x =-，有2()f x a x'=-，令()0f x '=，得2x a=，22()f x x''=，由于()0f x ''>，所以22()22ln f a a=-为()f x 的唯一极小值，为最小值.以下讨论最小值的符号.①若222ln 0a->，即2a e >时，()0f x >，()f x 无零点，两曲线无公共点；②若2a e=，则当且仅当a e =时，()0f x =，()f x 有唯一零点，两曲线在第一象限中相切；③若20a e <<，有2()0f a<时，有因0lim ()x f x +→=+∞，lim ()x f x →+∞=+∞， 所以在区间2(0,)a 与2(,)a+∞内，()f x 各有至少一个零点，又因为在这两个区间中()f x 分别是严格单调的，所以()f x 正好有两个零点，即两曲线在第一象限中有且仅有两个交点． （11）解：因0a <，且当01x ≤≤时，0y ≥，所以如下图1211()d 323b ax bx x a +=+=⎰，所以312a b =-， 221220()d ()523a ab b V ax bx x ππ=+=++⎰21()51030b b π=-+，d 1()d 1015V b b π=-+，22d d 15V bb π=，令d 0d V b =，32b =，2232d 0d b V b=>，为唯一极小值，故32b V=为最小值，此时53,42a b =-=．（12）① 由拉格朗日中值定理 1111111111()()()()()()222222n n n n n n f f f f M ξξ++++''-=-=≤， 而1112n n ∞+=∑收敛，所以，1111[()()]22n n n f f ∞+=-∑绝对收敛；② 111()()22n n S f f +=-,因为lim n n S →∞存在，所以1lim ()2n n f →∞存在．四、 （13）解 （A ）若0lim ()x f x →不存在，则0lim ()x g x →必存在.不正确，例如 211(),()u x v x x x ==， 221111(),()f x g x x x x x=+=-， 此时0lim ()x f x →不存在，0lim ()x g x →也不存在．（B ）若0lim ()x f x →不存在，则0lim ()x g x →必不存在.不正确，例如 11(),()u x v x x x ==，2(),()0f x g x x==，此时0lim ()x f x →不存在，0lim ()0x g x →=存在．（C ）若0lim ()x f x →存在，则0lim ()x g x →必不存在.假设0lim ()x g x →存在，由()()2()f x g x u x +=，得0lim ()x u x →存在，与已知矛盾，所以结论正确．（D ）若0lim ()x f x →存在，则0lim ()x g x →必存在.由上述（Ｃ），说明0lim ()x g x →必存在不正确．所以结论正确的是Ｃ，本题选Ｃ． （14）解，因为11lim[ln(1)](1)x x e x x →++=∞-，1lim[ln(1)](1)x x e x x →++=∞-,有铅垂渐近线（0,1x x ==）2条，因为1lim[ln(1)]0(1)x x e x x →-∞++=-，有水平渐近线（0y =）1条，又因为 2()1l n (1)l i m l i m []1,1(1)xx x f x e a x x x x→+∞→-∞+=+==-,1lim[()]lim[ln(1)](1)x x x f x ax e x x x →+∞→+∞-=++--lim[ln (1)]lim[ln ln(1)]x x x x x x e e x e e x --→+∞→+∞=+-=++-lim ln(1)0x x e -→+∞=+=,有斜渐近线（y x =）1条，所以本题共有4条渐近线，选A.（15）解22122,1,3,1,2()lim 11,121,1,n n n x x x x x x x f x x x x x-→∞⎧+<⎪⎪=⎪++⎪==⎨+-=-⎪⎪⎪>⎪⎩， 则()f x 的不连续点(1,1x x =-=)的个数为2个所以选C. （16）解 取2()4,[1,1],1,1,()3,()3f x x x a b f a f b =-∈-=-===,当(1,1)x ∈-时()3f x >,()2,()2,()2f x x f a f b '''=-==-,满足题目条件:（A ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f a >，成立, （B ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f b >；成立, （C ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x '=；成立,（D ）至少存在一点0(,)x a b ∈使01()(()())2f x f a f b =+．不成立. 所以本题选D（17）解 （A ）不成立,例如11n n ∞=∑,满足当1n >时 111n n a n a n +=<+, 但11n n∞=∑发散, （B ）成立,若存在0N >，当n N >时均有111,n n n na a a a ++>>， 则必有lim 0n n a →∞≠ 则1n n a ∞=∑必发散.（C ）不成立, 例如 21(1)2n n n ∞=-+∑收敛，但不存在0N >，当n N >时必有11n n a a +<， （D ）不成立,例如 11n n ∞=∑发散,但则存在0N >，当n N >时有111n na n a n +=<+．浙江大学2008-2009学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、求导数或微分(每小题6分)（1）设sin 3(cos )(arcsin 2)x y x x e π=++，求d y .（2）设由参数式3arctan 16x t t y t t=++⎧⎨=+⎩，所确定的函数()y y x =在1t =-处的一阶导数d d yx , 及二阶导数22d d yx.二、求极限(每小题6分)（3）011lim()1x x x e →--, （4）lim x(5)21lim(sin cos )x x x x x →+.三、求积分(每小题6分)（6） 221ln d (1)x x x x x x -+-⎰, （7）11(2)x x x -+⎰, （8）已知2d 2x ex +∞-=⎰，求0xx -+∞⎰．四、(每小题6分)（9）试将函数12()arctan 12xf x x-=+展开成x 的幂级数，并写出此展开式成立的开区间. （10）求幂级数1!nnn n x n∞=∑的收敛半径及收敛区间，并讨论收敛区间端点处级数的敛散性. 五、(每小题8分)（11） 求由方程3222220y y xy y x -++-=确定的函数()y y x =的极值,并问此极值是极大值还是极小值,说明理由．（12）求由曲线2y x =与2y x =+围成的图形绕水平线4y =旋转一周所生成的旋转体体积V .（13）设()f x 在[0,1]上连续，(0)0f =，并设()f x 在0x =处存在右导数(0)1f +'=，又设0x +→时，220()()d ()d x x F x x f u u u u =-⎰⎰与n Ax 为等价无穷小，求常数n 及A 的值．六、(每小题8分)（14）设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，(,)a b 内可导， （Ｉ）叙述并证明拉格朗日中值定理；（II ）如果再设()()f a f b =,且()f x 不是常数,试证明至少存在一点(,)a b ξ∈,使()0f ξ'>．（15）设n 为正整数，24021()d d 1nx x e t F x e t t t -=++⎰⎰（I ）试证明：函数()F x 有且仅有一个（实）零点（即()0F x =有且仅有一个实根），并且是正的，记此零点n x ；（II ）试证明级数21n n x ∞=∑收敛．浙江大学2008-2009学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、求导数或微分(每小题6分)（1）sin 2d [(cos )(cos ln cos tan sin )6(arcsin 2)x y x x x x x x x =-+．（2）222d 2d ,3(2)d 1d x t y t t t t +==++，21d d 3(1),6d d t y y t x x =-=+=222222d d()d 66(1)d 2d d 21yy t t t x t x x t t +===+++， 221d 4d t y x =-=-．二、求极限(每小题6分)（3）00111lim()lim 1(1)x x x x x e xx e x e →→---=-- 注1,0x e x x -→ 201lim x x e xx →--= 011lim 22x x e x →-==． （4）limlim x x =lim2x ==-．(5)21201ln(sin cos )lim(sin cos )lim xx x x x x x x x x e →→++=，而22001ln(1sin cos 1)limln(sin cos )lim x x x x x x x x x x→→++-+= 20sin cos 11lim 2x x x x x →+-==， 注：ln(1sin cos 1)sin cos 1,0x x x x x x x ++-+-→所以，21lim(sin cos )x x x x x →+=三、求积分（6） 222111ln d ()ln d (1)(1)x x x x x x x x x x -+=+--⎰⎰ 1ln d ln ln d()1x x x x =--⎰⎰ 21ln 1ln d 21(1)x x x x x x =-+--⎰ 21ln 11ln ()d 211x x x x x x =-+---⎰ 21ln ln ln 1ln 21x x x x C x =-+--+-． （7）112211(2)(24x x x x x x x x --+=++⎰⎰110x x =⎰ 令sin x t =22210sin cos d t t t π=⎰222010sin (1sin )d x x x π=-⎰131510()224228πππ=⋅-⋅⋅=．(8)2(1xxx e -+∞+∞-=--⎰⎰0]xx -+∞=--⎰2024d xu u e u -+∞+∞-==⎰⎰四、（9）12()arctan12xf x x -=+， 221(12)(2)(12)2()12(12)1()12x x f x x x x +---'=-+++ 22422814x x -==-++ 21212012(4)(1)2,2n n n n n x x x ∞∞++===--=--<∑∑， 12120()(0)(1)2d x n n n n f x f x x ∞++==+-∑⎰12121011(1)2,4212n n n n x x n π∞+++==+-<+∑．（10）记!n nn a n =，由11(1)!11(1)limlim lim lim !1(1)(1)n n n n n n n n n nnn a n n n a n en n++→∞→∞→∞→∞++====++． 所以，收敛半径R e =，收敛区间为(,)e e -，在x e =±处，级数成为1!()nnn n e n∞=±∑， 考察!n n n n u e n =，有111(1)n n n u eu n+=>+， 所以lim 0n n u →∞≠，并且也有lim(1)0n n n u →∞-≠，所以在x e =±处，该级数都发散．（11）由3222220y y xy y x -++-=, 求导有2(6421)220y y x y y x '-+++-=,令0y '=,得y x =与3222220y y xy y x -++-=联立,有3222(21)0x x x x x x -+=-+=,解之得唯一解0x =.相应地有0y =, 此时的确可由2(6421)220y y x y y x '-+++-=解出y ',故0x =为驻点. 再有 222()6421x yy y y x -'''=-++ 2222(6421)(22)2()(6421)(6421)y y x y x y y y x y y x ''-++----++=-++． 以0x y ==,及0y '=代入,得20y ''=>,故当0x =时, y 为极小值,极小值0y =.（12）由2,2y x y x ⎧=⎨=+⎩得交点(1,1),(2,4)-，则由上图22221[(4)(4(2)]d V x x x π-=---+⎰2241(1249)d x x x x π-=+-+⎰235211108[1223]55x x x x ππ-=+-+=．(13)220000()d ()d ()lim lim x x n nx x x f u u u uF x Ax Ax++→→-=⎰⎰22201()2()d ()2lim x n x xf x x f u u x x Anx+-→+=⎰2201200()()2limlim (1)x n n x x f u duf x xAnx An n x++--→→==-⎰ 2302()lim (1)n x f x An n x +-→=-25202()(0)lim (1)n x f x f An n x x+-→-=- 按题意, 0()lim 1n x F x Ax +→=,又220()(0)lim (0)1x f x f f x++→-'==, 若5n >则25202()(0)lim (1)n x f x f An n x x+-→--为∞, 若5n <则25202()(0)lim 0(1)n x f x f An n x x +-→-=-为,均与题意不符,故 5n =，于是25202()(0)1lim (1)10n x f x f An n x x A +-→-=-⨯,所以110A =． (14)(I)略,(II)设存在0(,)x x a b =∈,使0()0,f x >在区间0[,]a x 上用拉格郎日中值定理,存在0(,)(,)a x a b ξ∈⊂使得00()()()0f x f a f x aξ-'=>-, 如果存在0(,)x a b ∈,使0()0,f x <在区间0[,]x b 上用拉格郎日中值定理类似可证． (15) (I) 24021()d d 1nx xe t F x e t t t -=++⎰⎰，2014021(0)d d 01t F e t t t -=+<+⎰⎰， 2140211()d d 01e tn F e t t nt -=+>+⎰⎰，24()01nxx nx ne F x ee -'=+>+，故知存在唯一的n x 使 1()0,0n n F x x n =<<．(II) 因为 221nx n <,211n n∞=∑收敛， 故21nn x∞=∑收敛．。

浙江大学城市学院微积分（1）期中试卷参考解答1.220022e11lim lim 21.112ln(1)22ax x x ax a a x x→→-====+由于，则：2.00003(1)111(1)()0 1.(2)lim ()0lim ()0().e 13(1)(3)lim ()2lim 2lim 5111x x x x x x f x x x f x f x x f x x f x xx x →-→+-→→→====+∞=--=+=+==--函数的间断点为和，，故，为的第二类间断点，故，为可去间断点.3.11(1)lim 511(2)lim 50xx xy x →∞===+∞=由于，故，为曲线的渐近线；由于，故，为曲线的渐近线.4. 00002020(1)()0 2.1(2)lim ()arctan lim ()0().2(3)lim ()lim ()1()22x x x x f x x x f x f x x f x f x f x x fx ππ→-→+→-→+===-=+∞==-+=+=函数的间断点为和，，故，为的第二类间断点为的第一类间断点.5. (2(1)())().y f f x x =这些间断点的求的间断点，并指出类型；求曲线的渐近线00001001(1)()0 1.lim ()0lim ()0.lim ()1.(2)lim ()lim ()()0 1.x x x x x f x x x f x f x x f x x f x f x y f x x x →-→+→→+→==∙==+∞=∙=∞==+∞=∞===函数的间断点为和，；故，为其第二类间断点，故，为其第二类间断点因为，，故曲线的渐近线为和6.2222()221lim lim 1e 3ln 3.2xx c cxc x c c x x x c c c x c x c -⋅-→∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭由于，则： 7.2()()2()()d sec (2)(2)2e e ()d 2(2)sec (2)e e ().f x f x f x f x yf x f x x f x xf x f x x f x ''=⋅⋅++''=++ 8.01()()()11()()()()()1()()()()(1)()lim lim ().11()()(2)lim 1e.()x n f a f a f a n f a f a f a f a nnf a n f a f a f a x f a n f a f a xn f a f a n I f a ∆→→∞+-⋅+-'→∞+-+∆-''==∆⎛⎫+- ⎪=+= ⎪ ⎪由于9. ()44(1)0 1.(2)e 510.1e d .0.e 5d xy xy xy x x yx y xy y yy y y y x==''+--=-'=⇒=-当时，等式两边同时对求导：因此， 10. 222(1)(2)d .y y x '=+-==11.20222d d 22d d (1)2(1). 2.d 1d d d 1d d 4(1)d (2)4(1).d 1dt yy t y t t x x x t ty y t t t x x=+===+⇒=+'+===+12.3322(1)24.d 2(2).d 1x yy y x yy x y x y ''+==+等式两边同时对求导，有因此13. ()222211(1)(22).1+22.22(2)d .222xy y x x yy x x y y x xy y x yy x yx yyy dx x y x yx y'-'⋅=⋅++⎛⎫⎪⎝⎭''-=+++'==≠--等式两边同时对求导：因此由上可得： 14. 0e (1)e e .1e e(2)0e d d .1e yyyyy a yx x x y y y x x y a y y x x ='''+=⇒=-'====-方程两边同时对求导，有当时，；因此，，15. 00()(0)1(0)limlim arctan 0.1arctan .2x x f x f f x x xx π→→-'===<其中：16.()1ln ln ln(1)3ln(3).21113ln 1.2131ln 1.(1)(3)x y x x x x x y x y x x y x x x x =++-+⎛⎫'=++- ⎪++⎝⎭⎫'=+-⎪++两边取对数，有两边同时对求导，因此17. 330d (e 1)3e 3.d ()t t t yf dyx f t dx='-⋅=='由于，则：18. 22002sec 1tan lim lim 2.11cos 2x x x x I xx →→-===-19. 22221arctan 12lim lim lim 1.111x x x x x x I x xxπ→∞→∞→∞--+====+-20. 2000e 1sin e cos e sin 1lim lim lim .222x x x x x x x x x I x x →→→---+==== 21. 2000(1)ln(1)(1)ln(1)1ln(1)11limlim lim .ln(1)22x x x x x x x x x x I x x x x →→→-++-++-+-====-+22.()243003200022222444440(e 1)2(e 1)(e 1)lim lim 42(e 1)1e 11e 11lim lim lim .42224e 1():21e 1()e 1().241()4lim x x x x x x x x x x x xxx x x x I x x x x x x x x x x o x x x o x x x o x x o x I x →→→→→→-----==-----=====+++--=+⇒--=++==【】：【】：由Taylor 展开，，则因此方法一方法二1.423.222222000cos csc 1sin lim lim .4(2)88.22ln cos 1ln[1(cos 1)]1cos 11lim lim lim .4448x x u u u xx x I x x u x u u u u I u u u πππππ→→→→→-===----==-+--====-【】：【】：令：，则：方法一方法二 24.222222001(1)0()~3tan ~().3(2)0()~4sin ~8()()1(3)lim lim .()88x x x f x x x f x x x x x x g x x f x x g x x →→→⨯→--==--当时，，故，是的二阶无穷小量当时，，故，是的二阶无穷小量.25.4d cos d (1)cot .d sin d (2)4t y b t b y bt x a t a x at P ππ===-⇒=--=曲线在处对应的点，则：26.3d sin sin d (1).d (1cos )1cos d 1(2)321:.32t y a t t yx a t t x C t P a C t l y a x πππ===⇒=--⎫=⎪⎪⎝⎭⎫=-=-⎪⎪⎝⎭曲线在处对应的点为，，则曲线在处的切线方程 27. 2()[01]0() 1.(01)().f x f x c f c c <<∃∈=设在，上连续，且证明：，使得22()()()[01](0)(0)0(1)(1)10.(01)()0().g x f x x g x g f g f c g c f c c =-=>=-<∃∈==令，则：在，上连续，且，由连续函数的零点存在定理，，使得，即28. ()arctan [01]f x x =Lagrange Lagrange 叙述中值定理，试问在，上是否满足.ξ中值定理的条件，为什么？如果满足条件，试求出满足定理条件的中值“” 22(1):()[]()()()()()().(2)()arctan [01](01)()[01]11(3)()(1)(0)()(10).141(01)f x a b a b a b f b f a fb a f x x f x f x f f f x ξπξξξ'∃∈-=-='=-==-=++∈Lagrange Lagrange 中值定理设在，上连续，在，内可导，则：，使得由于函数在，上连续，在，内可导，故，在，上满足中值定理的条件.由于，则：其中，ξ=，因此，29. 123()()()()()f x a b f x f x f x ==设在，内具有二阶导数，且，其中：()123()()0.a x x x b c a b f c ''<<<<∃∈=，证明：，使得1223123112223121212(1)()[][]()()()()()()()0.(2)[]()()()0.f x x x x x f x f x f x c x x c x x f c f c c c c c c a b f c ==''∃∈∈==''∃∈⊂=Rolle Rolle 函数在区间，、，上可导，且，由定理，，，，使得再在区间，上应用定理，，，使得30. ()[]()0()f x a b f x a b ξ>∃∈设在，上可微且，证明：，使得()=ln ()()[]()()()()().()()()()ln ().()()()F x f x F x a b a b F b F a F b a f x f b f F x b a f x f a f ξξξξ'∃∈-=-'''==-Lagrange 记，则：在，上可导，由中值定理，，使得又。

1. 求下列函数的全微分.(1) 2222+=-s t u s t；(2) ()2222+=+x y xyz x y e；(3) ()arcsin 0=>x z y y；(4) ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=y x x yz e ；1.解 （1）()()222232322222222()()22222∂--+⋅---==∂--Q u s s t s t s s st s t ss s t s t ()()222223232222222()()22222u t s t s t t ts t ts s t s t s t ∂--+---==∂--g ()()2322222244u u st t dz ds dt ds dt s t s t s t ∂∂-∴=+=-∂∂-- （2）()()()222222222222++++∂=++⋅∂Q x y x y xyxyx y x y yz xex y ex xy()2222222244222222+++⎛⎫--=++⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyx y x y xe x y e x e x y x y()()()22222222222-2+++∂=++⋅∂x y x y xy xyy x x y xzye x y eyxy()()2222222222442222+++-+⎛⎫-=+⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyy x x y y x yeey e xy xy2244442222x y xyz z x y y x dz dx dy x edx y dy x y x y xy +⎛⎫⎛⎫∂∂--∴=+=+++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭（3）11∂===∂Qg zxyy22⎛⎫⎛⎫∂=-=-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭z x x yy yz zdz dx dy x y∂∂∴=+=∂∂（4）22221y x y x x y x y z y y x e e x x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-= ⎪∂⎝⎭Q 22221y x y x x y x y z x x y e e y x y xy ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-+= ⎪∂⎝⎭222222y x y x x y x y z z z y x x y dz dx dy e dx e dy x y y x y xy⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∂∂∂--∴=+==+∂∂∂ 2. 求函数2arctan1=+xz y 在1,1==x y 处的全微分. 2.解 ()()()()()()()22222222222222222211111111111++∂++=⋅=⋅=∂++++++++Q y y z y y x x y y x y y xy()()()()()()22222222222222211222111111+∂-⋅--=⋅=⋅=∂++++++++y z x y xy xyx yy y x y y xy()()21,11125111z x ∂+∴==∂++ ， ()()21,12125111∂-⋅==-∂++z y ()1,12255dz dx dy ∴=- 3. 求函数22=-xyz x y当2,1,0.02,0.01==∆=∆=x y x y 时的全微分和全增量，并求两者之差.3.解 ()()()(),, 2.02,1.011,1z z x x y y z x y z z ∆=+∆+∆-=-()()22222.02 1.0121 2.0420.6670.667021 4.08 1.0232.02 1.01⨯⨯=-=-=-=--- ()()()2223222222222--⋅∂--===-∂---Q y x y xy x z x y y y x x y x y x y ()()()()22322222222--⋅-∂+==∂--x x y xy y z x xy y x y x y()2,111413z x ∂∴=-=-∂- ，()()22,182110941z y ∂+⨯==∂- ()2,11100.020.010.070.0110.00439dz ∴=-⨯+⨯=-+=00.0040.004z dz ∴∆-=-=-.*4讨论函数()()()()(),0,0,0,,0,0⎧≠⎪=⎨⎪=⎩xy x y f x y x y 在()0,0点的连续性、可导性、可微性以及其偏导函数在()0,0的连续性.4.解()()()()()(),0,0,0,0lim ,lim 00,0x y x y f x y xy f →→===Q(),f x y ∴在()0,0点连续 又()()()00,00,0000,0lim lim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆--===∆∆Q ()()()000,0,0000,0limlim 0y y y f y f f y y∆→∆→∆--===∆∆Q ()()0,00,0,00x y f f ∴==.()(()(,0,0,0,0,0,00limlim limx y x y f x y f z dzρρ→∆∆→∆∆→∆∆--∆-==Q()()()0,0,0x y <∆∆→Qlim0z dzρρ→∆-∴=故函数(),f x y 在()0,0点可微. 由()(),0,0x y ≠时(),=-Q x f x y y xy()23222sinx yy xy=-+(),=-y f x y x xy()23222xy x xy=-+()(),0,0lim 0x y y →=Q，()()()()23,0,0222lim→=+x y x yy kx xy()()()33323222=lim11→==+⋅+x kx ky kx k xk ，k 不同值不同()()()23,0,0222lim→∴+x y xy xy不存在，故()()(),0,0lim ,xx y f x y →不存在.(),x f x y ∴在()0,0点不连续，同理可证(),y f x y 在点()0,0不连续.*5.计算()2.050.99的近似值.5.解 令00,1,2,0.01,0.05yz x x y x y ===∆=∆= 则1,ln y y z z yx x x x y-∂∂==∂∂ ()()1,21,22,0z zx y ∂∂∴==∂∂ ()()()2.0521,21,20.991120.0100.0510.02 1.02∂∂∴≈+∆+∆=+⨯+⨯=+=∂∂z zx y x y*6.设有厚度为，内高为，内半径为的无盖圆柱形容器，求容器外壳体积的近似值(设容器的壁和底的厚度相同).6.解 设容器底面积半径为r ，高为h0.1cm 10cm 2cm则容器体积2V r h π= 22,V V rh r r hππ∂∂==∂∂Q22∴=+dV rhdr r dh ππ002,10,0.1,0.1r cm h cm r cm h cm ==∆=∆=()()22,102,1020.10.1400.140.1 4.4∴∆≈=⋅+⋅=⨯+⨯=V dV rh r πππππ*7. 测得直角三角形两直角边的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm ，试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差和相对误差.7.解 设直角三角形的直角边长分别为,x y ，则斜边z =，zzxy∂∂==∂∂由题意007,24,0.1,0.1x y x y δδ====z ∴的绝对误差为()()7,247,247240.10.10.242525∂∂=+=⨯+⨯=∂∂z x y z z x y δδδz 的相对误差()7,240.240.009625=≈zz δ。