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浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝ ，tan2α＝ ．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 ．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝ ．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是 ．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝ ，S 5＝ ． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝ ；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ， 解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]， 则|a →|∈[0，2]． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ， 由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0， 由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12． 故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π． 因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ， 则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)， 可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。
一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分）1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。
2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为__________________。
3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。
4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。
5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。
6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。
7．在22P ⨯中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。
8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊆，若12dim dim V V =，则_____________________。
9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。
10．向量α在基12,,,n ααα⋅⋅⋅（1）与基12,,,n βββ⋅⋅⋅（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。
二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分）1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。
（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()10V V σσ-+=。
（ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。
（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++⋅⋅⋅+=与12n x x x ==⋅⋅⋅=的解空间，则12n V V P ⊕= （ ）5．2211nn i i i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑为正定二次型。
高考模拟试卷数学文科卷本试题卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式： 球的表面积公式24R S π=球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径 锥体的体积公式Sh V 31=其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高柱体的体积公式Sh V =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 台体的体积公式h S S S S V )(312211++=其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（2015柯桥二检文改编）已知全集{}7,6,5,4,3,21，=U ，集合{}52,1A ，=，{}6,5,4B C U =，则集合=⋂B A（ ）A ．{}2,1 B ． {}5 C ．{}32,1， D ．{}7,6,4,3 2.（2016嵊州一检改编）设,a b ∈R ，则“220a b ->”是0a b ”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3.（2016嵊州一检）已知γβα，，为不同的平面，m l ，为不同的直线．若l =⋂βα，α⊂m ，l //γ，γ⊥m ，则 （ ）A ．m //βB ．β⊥mC ．l //mD ．m l ⊥ 4.（2016宁波一检文改编）已知实数列{}n a 是等比数列，若8753-=a a a ， 则955191a a a a a a ++（ ）A ．有最小值12B ．有最大值12C ．有最小值4D ．有最大值4 5．（2016嘉兴一检文）已知函数)sin()(ϕω+=x A x f 2,0πϕω<>（ ）的部分图象如图所示，则=)(πf yA ．3B ．0C ．2-D ． 16. （2015杭州七校模拟）已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）A. 2枝玫瑰的价格高B. 3枝康乃馨的价格高C.价格相同D.不能确定7.（2015衢州二模文）若直线02=+-by ax )0,0(>>b a 被圆014222=+-++y x y x 所截得的弦长为4，则ba 32+的最小值为 （ ） A ． 10 B ．624+ C ．324+ D ． 648．(2015温州二模理)如图所示，C B A ,,是双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若AC BF ⊥且CF BF =，则该双曲线的离心率是（ ）x125π12π-2O2-A ．B ．C ．D ． 3非选择题部分二、填空题：（本大题共7小题, 前4小题每题6分, 后3小题每题4分,共36分）．9．（2015嵊州二检文改编）已知函数)(x f y =为R 上的偶函数，当0≥x 时，7)2(log )(2-+=x x f ，则)2(f =__________，))0((f f =__________。
2024年浙江省浙大附中数学高三第一学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数2sin 1x xy x +=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β3．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．854．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<5．已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 6．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=7．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．8．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC FD ．三棱锥B CEF -的体积为定值10．已知集合{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个11．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．13i -+D ．13i --12．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江大学城市学院线性代数期末试卷及解答浙江大学姜豪汇编2012年2月目录第一部分试卷真题城院线代11—12学年第一学期期末试卷 (2)城院线代10—11学年第二学期期末试卷 (4)城院线代10—11学年第一学期期末试卷 (6)城院线代09—10学年第二学期期末试卷 (7)城院线代09—10学年第一学期期末试卷 (9)第二部分答案与评估城院线代11—12学年第一学期期末试卷答案 (11)城院线代11—12学年第一学期期末试卷难度与题量评估 (12)城院线代10—11学年第二学期期末试卷答案 (12)城院线代10—11学年第二学期期末试卷难度与题量评估 (13)城院线代10—11学年第一学期期末试卷答案 (13)城院线代10—11学年第一学期期末试卷难度与题量评估 (14)城院线代09—10学年第二学期期末试卷答案 (14)城院线代09—10学年第二学期期末试卷难度与题量评估 (16)城院线代09—10学年第一学期期末试卷答案 (16)城院线代09—10学年第一学期期末试卷难度与题量评估 (17)第三部分试题详解城院线代11—12学年第一学期期末试卷详解 (18)城院线代10—11学年第二学期期末试卷详解 (24)城院线代10—11学年第一学期期末试卷详解 (31)城院线代09—10学年第二学期期末试卷详解 (37)城院线代09—10学年第一学期期末试卷详解 (43)第一部分 试卷真题城院线代11—12学年第一学期期末考试卷一、填空题（每空2分，共20分）1．3阶行列式132201171--中12a 的余子式为______，23a 的代数余子式为._______2．设B A ,均为3阶方阵，且3|| ,2||==B A ，则__,|2|=T AB __|)(|12=-A 。
3．已知向量111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且T A αα=，则A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ ，2012A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
4．已知向量组321,,ααα线性无关，4321,,,αααα线性相关，则_____4α（填能或不能）由321,,ααα线性表示。
沈阳农业大学理学院第一学期期末考试《高等代数》试卷（1）填空（共35分, 每题5分）1. 设 , 则 69_ ..2. 当 _2,-2 .时, 有重因式。
3.令 , 是两个多项式.且 被 整除.则 . 0.. . _.. .4.行列式.2.。
5.矩阵的积 。
6.7. 的一般解为134234523423x x x x x x⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩, 34,x x 任意取值。
二、（10分）令()f x ,()g x 是两个多项式。
求证((),())1f x g x =当且仅当(()(),()())1f x g x f x g x +=。
证: 必要性.设 。
（1%）令 为 的不可约公因式, （1%）则由 知()|()p x f x 或()|()p x g x 。
(1%)不妨设 , 再由 得 。
故 矛盾。
(2%).. 充分性.由 知存在多项式 使()(()())()()()1u x f x g x v x f x g x ++=,(2%)从而()()()(()()())1u x f x g x u x v x f x ++=,(2%) 故((),())1f x g x =。
(1%)三、(16分) 取何值时, 线性方程组12312312321(21)31(3)21ax bx x ax b x x ax bx b x b ++=⎧⎪+-+=⎨⎪+++=-⎩ 有唯一解、没有解、有无穷解？ 在有解情况下求其解。
解：21212131011032100122201011000122a b a b a b b a b b b b b a bb b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+-⎝⎭(5%)当 时, 有唯一解: (4%)当 时, 有无穷解: 任意取值； 当 时, 有无穷解: 任意取值；(3%) 当 或 时, 无解。
(4%)四、(10分)设 都是非零实数, 证明123121111...11111...111111 (11)...(1). (1)11...11nn i ina a a a a a a a =+++=++∑证: 对n 用数学归纳法。
浙江省”共美联盟“2020-2021学年高一数学下学期期末模拟试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数21i-（i 是虛数单位）＝（ ）． A ．1i + B ．1i - C ．22i +D ．12i -2．下列说法正确的是（ ）． A ．四棱柱的所有面均为平行四边形B ．如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等C ．用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似D ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 3．已知向量()2,6a =-，()1,b m =-，若//a b ，则m =（ ）． A ．5B ．3C ．3-D ．5-4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ）． A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥C ．若//αβ，m α⊥，//n β，则m n ⊥D ．若//m n ，n α⊂， 则//m α5．如图所示，在ABC △中，D 为AB 的中点，则CD =（ ）．A ．12BC BA -B ．12BC BA -+ C ．12BC BA --D ．12BC BA +6．一组数据的平均数为x ，方差为2s ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ）．A ．这组新数据的平均数为xB ．这组新数据的平均数为a x +C ．这组新数据的方差为2asD ．这组新数据的方差为22a s7．在ABC △中，已知30A ∠=︒，2AB =，1AC =，则ABC △的形状是（ ）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定8．在ABC △中，点M ，N 在线段AB 上，4AB MB =，当N 点在线段AB 上运动时，总有NB NC MB MC ⋅≥⋅，则一定有（ ）． A ．BC AB ⊥ B ．AC BC ⊥ C ．AB AC =D ．AC BC =二、选择题（本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．）9．已知事件A ，B ，且()0.6P A =，()0.3P B =，则下列说法正确的是（ ）． A ．如果B A ⊆，那么()0.6P A B ⋃=，()0.3P AB = B ．如果A 与B 互斥，那么()0.9P A B ⋃=，()0P AB = C ．如果A 与B 相互独立，那么()0.9P A B ⋃=，()0P AB = D ．如果A 与B 相互独立，那么()0.28P AB =，()0.12P AB =10．如图，正四棱台1111ABCD A BC D -的高为23，142AD =，11ADDC ⊥，则下列说法正确的是（ ）．A ．42AB =B ．1π3B CA ∠=C ．二面角1D AC D --的大小为π3D ．点D 到面1ABC 的距离为2311．已知向量a ，b ，c 满足2a =，3b =，3a b ⋅=，2280c b c -⋅+=，则下列说法正确的是（ ）． A ．1c b -=B ．若()c c b ⊥-，则22c = C ．t ∀∈R ，有32b ta +≥恒成立D ．若()1c a b λλ=+-，则71a c -=-12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列说法正确的是（ ）．A ．存在某个位置，使直线1PD ⊥平面11AC DB ．三棱锥11A DPC -的体积为定值16C ．1DP PC +的最小值是252+ D ．直线AP 与平面1DCB 所成角的最小角为θ，则1sin 2θ=非选择题部分三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 13．棱长为1的立方体的外接球表面积等于______．14．已知向量()2,3a =-，()0,4b =，则a 在b 上的投影向量坐标为______．15．昆明市市花为云南山茶花，又名滇山茶，原产云南，国家二级保护植物，为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株测量胸径（厘米）作为样本，得到样本频率分布直方图如图所示，则纵坐标m =______．16．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，12CA CB CC ===，M ，N 分别是11A B ，11AC 的中点，则BM 与AN 所成的角的余弦值为______．17．平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，3π4B ∠=，32AB =，213AD =，35AC =，则CD =______． 18．已知ABC △中，π2A ∠=，1AB =，2AC =，如图，点D 为斜边BC 上一个动点，将ABD △沿AD 翻折，使得平面AB D '⊥平面ACD ．当BD =______时，B C '取到最小值．四、解答题（本大题共5小题，每题12分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．已知1z ，2z 为复数，且满足15z =，24i z =（i 是虚数单位） ． （Ⅰ）若12z z 是纯虚数，求1z ； （Ⅱ）求1i z -的最大值．20．袋中装有4个形状、大小完全相同的球，其中白球2个、红球2个，甲先取出2个球（不放回），乙再取出剩余的2个球，规定取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，取出球的总积分多者获胜． （Ⅰ）求甲、乙成平局的概率；（Ⅱ）记甲获胜的概率是1p ，乙获胜的概率是2p ，比较1p 与2p 的大小．21．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，在①cos cos 2cos 0c B b C a C +-=； ②()()3b c a b c a bc +++-=；③()22234ABC S a b c =+-△这三个条件中任选一个．解答下列问题． （Ⅰ）求角C 大小；（Ⅱ）若点D 在AB 上，满足CD 为ACB ∠的平分线，1AC =，21sin 7A =，求CD 的长． 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABCD ，且1BC =，3AP AB ==，6PB =，60ADC ∠=︒，M ，N 分别为棱PC ，PB 的中点．（I ）求证：PB ⊥平面ADMN ；（Ⅱ）求直线CD 与平面ADMN 所成角的正弦值．23．如图，在ABC △中，60ACB ∠=︒，满足()01AD AB λλ=<<，()01CE CB μμ=<<，且ABE ACD S S =△△．（Ⅰ）求λ与μ的关系式；（Ⅱ）若存在唯一实数λ，使得AE CD ⊥，求CBCA的值．2020学年第二学期共美联盟高一期末模拟考试高一年级数学试题答案一、单选题1 2 3 4 5 6 7 8 A CBCBDCD二、多选题9 10 11 12 ABDACDABCBD三、填空题 13．3π14．()0,315．0.0841630 17．7 185四、简单题19．解：（1）()()12i 4i 44i z z a b b a =+=-+为纯虚数，则0b =． 设()1i ,,0z a b a b b =+∈≠R ， 则2215z a b =+=，所以15z =．（2）因为15z =，则1z 对应的点z 在以原点为圆心，5为半径的圆上，1i z -表示的点z 到点()0,1的距离，所以当复数z 对应的点为()0,5-，即5i z =-时，1i z -有最大值6． 20．解：（Ⅰ）记白球为1，2号，红球为3，4号，甲取出的球号记为(),x y ， 则甲的可能取球共有以下6种情况：()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4．甲乙平局时都得3分，所以甲取出的2个小球是一白一红，共6种情况， 故平局的概率46P =． （Ⅱ）甲获胜时，得分只能是4分，取出的是2红，共1种情况，故先取者（甲）获胜的概率116P =， 后取者（乙）获胜的概率241166P =--，∴21P P =，故先取后取获胜的概率一样． 21．解：（Ⅰ）若选①∵cos cos 2cos 0c B b C a C +-=，∴由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C +-=， ∴()sin 2sin cos 0B C A C +-=，∵πB C A +=-，∴()()sin sin πsin B C A A +=-=， ∴sin 2sin cos 0A A C -=， 又A 为三角形的内角，sin 0A ≠， ∴12cos 0C -=，∴1cos 2C =， 又A 为三角形内角，∴π3C =． 若选②∵()()3a b c a b c ab +++-=，∴()223a b c ab +-=，即222a b c ab +-=，∴由余弦定理可得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， ∵0πC <<，∴π3C =． 若选③ ∵1sin 2ABC S ab C =△，2222cos a b c ab C +-=，∴由已知得，1sin cos 22ab C ab C =，∴sin C C =，∴tan C =又C 为三角形的内角，∴π3C =． （Ⅱ）由（1）得角π3C ACB =∠=，又因为CD 为ACB ∠的平分线，点D 在AB 上，所以π6ACD BCD ∠=∠=，又因为sin A =，且π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos A =所以π1sin sin cos 62ADC A A A ⎛⎫∠=+=+= ⎪⎝⎭， 在ADC △中，由正弦定理得sin sin AC CDADC A=∠，=，解得5CD =．22．（1）∵90BDA ∠=︒，//AD BC ， ∴BC AB ⊥，∵面PAB ⊥面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，BC ⊂面ABCD ， ∴BC ⊥面PAB ．∵在PBC △中，M ，N 分别是PC ，PB 的中点， ∴PB MN ⊥．又∵在PAB △中，PA AB =，N 是PB 的中点， ∴PB AN ⊥．∵AN MN N ⋂=，AN ⊂面ADMN ，MN ⊂面ADMN ， ∴PB ⊥面ADMN ．（2）延长MN 至G 点，使得1NO BC ==， ∵//NG BC ，NG BC =．∴四边形BCGN 是平行四边形，∴//BN CG ， ∴CG ⊥面ADMN ， ∴CDG ∠为所求角．在Rt CDG △中，∵2CG BN ==，2CD =，∴sin 4CG CDG CD ∠==． 23．解：（1）作EH BA ⊥垂足为H ，CP BA ⊥，垂足为P ，∵ABE ACD S S =△△，则1122AB EH AD CP ⋅=⋅， ∵BEH △≌BCP △，∴1122AB BE AD BC ⋅=⋅，∵()01AD AB λλ=<<，()01CE CB μμ=<<， ∴()1111122μλ⋅⋅-=⋅⋅，即1λμ+=． （2）假设存在非零实数λ，使得AE CD ⊥， 设CBt CA=， ∴()()1CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB λλλλ=+=+=+-=-+， ∴()1AE CE CA CB CA CB CA μλ=-=-=--， ∴()()110CD AE CA CB CB CA λλλ⎡⎤⎡⎤⋅=-+⋅--=⎣⎦⎣⎦，∴()()2223220t t t t t λλ-+-+--+=，∵关于λ方程有唯一解，经检验20t t -≠得0∆=，()()()21410t t t --+=，∴2t =．。
2021大学专业课考试试题学院名称：数学与统计学院 学科、专业名称：应用数学,统计学 考试科目（代码）：（试题共 4 页） 一. 填空题(共5小题，每题 3 分,共 15 分)1.实数域R 上的不可约多项式的次数至多为 次。
2.设3阶方阵12331943A t -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，B为3阶非零矩阵且AB O =，则t = 。
3.设向量(2,0,1),(0,1,1),(1,0,)k αβγ===，且γ可由,αβ线性表示，则k = 。
4.设3阶方阵A 的三个特征值分别为1,-1,0，则23A I -= 。
5.若实对称方阵A 与100020004B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭合同，则二次型123(,,)T f x x x x Ax =的规范形为 。
二. 单项选择题(共5小题,每题 3 分,共 15 分)1．设A 为5阶方阵且=2A 秩，*A 为A 的伴随矩阵，则*=A 秩( )(A). 0 (B).1 (C).2 (D).3第1页2.设m n A ⨯的秩为2n -，123,,ξξξ是非齐次线性方程组Ax b =的3个线性无关的解向量，则Ax b =的通解为( )(A). 1122231()()k k ξξξξξ-+++，其中12,k k 为任意常数；(B). 1122122()()k k ξξξξξ-+++，其中12,k k 为任意常数；(C). 1122133()()k k ξξξξξ-+++，其中12,k k 为任意常数；(D). 1122231()()k k ξξξξξ-+-+，其中12,k k 为任意常数。
3.设n 阶方阵A ，B 均可逆且AB BA =，则下列结论( )错误。
(A). 11A B BA --= (B). 1111A B B A ----=(C). 11AB B A --= (D). 11BA AB --=4.设有n 维向量组1234,,,αααα，其中123,,ααα线性无关，124,,ααα线性相关，则( )(A). 1α可由234,,ααα线性表示 (B). 2α可由134,,ααα线性表示(C). 3α可由124,,ααα线性表示 (D). 4α可由123,,ααα线性表示5. 若A 为实对称矩阵，则下列结论不正确的是( )(A). A 有n 个不同的特征值 (B). A 有n 个线性无关的特征向量(C). A 一定可以对角化 (D). A 的属于不同特征值的特征向量正交第2页三. ( 14 分)求证，在[]F x 中，((),())1f x g x =当且仅当存在不可约多项式()p x ，使得()(()())p x f x g x +且()()()p x f x g x 。
2020-2021学年浙江省共美联盟高一上学期期末模拟考数学试题一、单选题1．已知集合{}20A xx =->∣，{}1,0,1,3,4B =-，则()=RA B （ ）A ．∅B ．{}1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2【答案】C 【分析】先算出A R，再求交集即可.【详解】由题意得{2},A xx =>∣所以 R{2},A x x =≤∣又{}1,0,1,3,4B =-，所以(){}=1,0,1UA B ⋂-.故选：C.2．命题“任意实数2,0x x ≥”的否定是（ ） A ．任意实数2,0x x < B ．存在实数2,0x x < C ．任意实数2,0x x ≤ D ．存在实数2,0x x ≤【答案】B【分析】根据含全称量词的命题的否定求解. 【详解】根据含量词命题的否定，命题“任意实数2,0x x ≥”的否定是存在实数2,0x x <，故选：B3．设x ∈R ，则“15x -<<”是“5x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的概念求解即可. 【详解】因为5x <， 所以55x -<<由1555x x -<<⇒-<<，55x -<<15x -<<，所以“15x -<<”是“5x <”成立的充分不必要条件． 故选：A 4．函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()3,+∞【答案】B【分析】由函数的解析式可得(2)(3)0f f ⋅<，再利用函数的零点的判定定理可得函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间． 【详解】函数()3ln f x x x =- 满足f （2）3ln 202=->，f （3）1ln30=-<，且函数()f x 是增函数 ∴(2)(3)0f f ⋅<根据函数的零点的判定定理可得函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间是(2,3)，故选：B5．角α的终边经过点()2,1-，则2sin 3cos αα+的值为（ ）A ．BCD ． 【答案】D【分析】根据三角函数定义求解即可. 【详解】因为角α的终边经过点()2,1-，所以sinα==cos α==所以2sin 3cos 555αα+=-=-. 故选：D6．当1a >时， 在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项. 【详解】由于1a >，所以1xxa y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合. 故选：D.【点睛】本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.7．已知0.20.5a =，0.6log 2b =，0.6log 0.2c =，则a ､b ､c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b a c << D ．b c a <<【答案】C【分析】根据对数函数以及指数函数单调性比较大小即可. 【详解】0.20.60.60.600.6log 0.2log 0.61,00.50.51,log 2log 10>=<<=<=则b a c << 故选：C8．已知函数()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线56x π=C ．()f x 的一个零点为6π D ．()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为1【答案】D【分析】根据余弦函数的图象与性质判断其周期、对称轴、零点、最值即可. 【详解】函数()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，周期为22T ππ==，故A 错误； 函数图像的对称轴为23x k ππ-=，Z 62k k x ππ∈⇒=+，Z k ∈， 56x π=不是对称轴，故B 错误； 函数的零点为232x k ππ-=π+，5122k k Z x ππ∈⇒=+，k Z ∈， 所以6π不是零点，故C 错误； ,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20,33x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以1cos 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，即1()2cos 223f x x π⎛⎫≤=-≤ ⎪⎝⎭，所以min ()1f x =，故D 正确.故选：D9．已知函数()(),af x x a R x=+∈，方程() 4f x =在[)0,+∞有两个解12,x x ，记()12g a x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域是[)0,+∞B ．若1a =-，()f x 的增区间为[)1,0-和[)1,+∞ C ．若4a =，则()0g a = D ．函数()g a 的最大值为4 【答案】B【分析】利用函数的单调性判断AB ；解方程44x x+=求出12,x x 从而判断C ；举反例判断D.【详解】对于A 项，当1a =时，1()f x x x=+，11()()f x x x f x x x -=--=+=，即()f x 为偶函数，当0x >时，1()f x x x=+，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <， ()()()()121212121212111x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=，若121201,01x x x x <<<<<，则()()12f x f x >，若1212,1x x x x <<>1，则()()12f x f x <， 即函数()f x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增， 结合偶函数的性质可知min 1()121f x =+=，故A 错误；对于B 项，11()()f x x x f x x x-=-+=-=，则()f x 为偶函数， 当(0,1)x ∈时，1()f x x x=-+，易知函数()f x 在区间(]0,1上单调递减， 当[)1,x ∈+∞时，1()f x x x=-，易知函数()f x 在区间1,上单调递增，根据偶函数的性质可知，函数()f x 的增区间为[)1,0-和[)1,+∞，故B 正确； 对于C 项，若44,()a f x x x==+，若()4f x =，则122,2x x =-=，此时()4g a =，故C 错误；对于D 项，若0a =时，()||f x x =，当()4f x =时，则4,()8x g a =±=， 此时与函数()g a 的最大值为4矛盾，故D 错误； 故选：B.【点睛】关键点睛：判断AB 选项的关键在于利用奇偶性以及单调性的定义证明其单调性，从而作出判断.二、多选题10．下列函数中，选出在定义域内单调递增的是（ ） A ．11y x -=- B ．3122xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．y =D ．lg 10xy =【答案】BD【分析】根据基本初等函数的单调性及复合函数的单调性直接求解即可.【详解】1111y xx -==--定义域为(,0)(0,)-∞+∞，函数在定义域内不单调，故A 错误；3122xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，由指数函数性质可知函数在定义域上单调递增，故B 正确； 因为yt =单调递增，0.5log (43)t x =-单调递减，所以()0.5log 43y x =-在定义域内单调递减，故C 错误；lg 10x y =的定义域为(0,)+∞，函数lg 10x y =化简得(0)y x x =>，在定义域内单调递增，故D 正确. 故选：BD11．对任意两个实数a ､b ，定义{},min ,?,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若()23f x x =-，()21g x x =-.下列关于函数()()(){}min ,F x f x g x =的说法正确的是（ ） A ．函数()F x 是偶函数； B ．方程()0F x =有两个解； C ．方程()F x m =可能有三个根； D ．函数()F x 有最大值1，无最小值.【答案】ACD【分析】由已知条件得到()F x 函数图象，结合图象即可判断选项正误. 【详解】由题意，可得如下()F x 函数图象，∴由函数图象知：()F x 是偶函数，与x 轴有四个交点，()F x m =根的个数可能有0,2,3,4个，()F x 有最大值为1，无最小值.，所以正确的是ACD故选：ACD12．下列关于基本不等式的说法正确的是（ ）A ．若103x <<，则() 13x x -的最大值为112B ．函数()23311x x y x x ++=>-+的最小值为2C ．已知1x y +=，0x >，0y >，则121x x y ++的最小值为54D ．若正数数x ，y 满足220x xy +-=，则3x y +的最小值是3【答案】AC【分析】根据均值不等式求最值，注意验证等号成立的条件. 【详解】因为103x <<，所以130x ->，()2113131133(13)33212x x x x x x +-⎛⎫-=-≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当313x x =-即16x =时，等号成立 ，故A 正确； 函数2233(1)21112131+11x x x x y x x x x +++++===+++≥+=++，当且仅当111x x +=+，即2x =-时，等号成立，故B 错误； 因为1x y +=，0x >，0y >，所以11215212244244x x y x x y x x y x x y x x y +++=+=++≥+=+++， 当且仅当242x y x x x y +=+，即21,33x y ==时，等号成立，故C 正确；由220xxy +-=可得2x y x +=，23224x y x x y x x +=++=+≥=，当且仅当22x x=，即1x =时等号成立，故D 错误. 故选：AC【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题13．幂函数()f x 的图象经过点()4,2，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭_____________.【答案】2【分析】先代入点的坐标求出幂函数，再计算即可. 【详解】幂函数()f x 的图象经过点()4,2，设()a f x x ，42a ∴=，解得1,2a =故()f x =所以122⎛⎫==⎪⎝⎭f .故答案为：2. 14．若1sin 33πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.【答案】13【分析】根据诱导公式结合题意得cos sin 63παπα⎛⎫+=⎛⎫- ⎪⎝⎪⎝⎭⎭，即可得解.【详解】由题意得cos cos 13i 3n 623s ππππααα⎛⎫⎛⎫--= ⎡⎤⎛⎫+=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：13. 15．一个扇形周长为8，则扇形面积最大时，圆心角的弧度数是__________. 【答案】2【分析】设扇形的半径为r ，则弧长为82l r =-，结合面积公式计算面积取得最大值时r 的取值，再用圆心角公式即可得弧度数． 【详解】设扇形的半径为r ，则弧长为82l r =-，221(82)4(2)42S r r r r r =-=-+=--+， 所以当2r 时S 取得最大值为4，此时8224l =-⨯=，圆心角为422l r θ===（弧度）．故答案为：216．已知函数()lg ,01,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩∣，若函数()y f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】（0，1]．【分析】先作出函数f （x ）图象，根据函数()y f x a =-有3个零点，得到函数f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点，结合图象即可得出结果． 【详解】由题意，作出函数()lg ,01,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩∣的图象如下：因为函数()y f x a =-有3个零点，所以关于x 的方程f （x ）﹣a ＝0有三个不等实根； 即函数f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点， 由图象可得：0＜a ≤1． 故答案为：（0，1]．【点睛】本题主要考查函数的零点，灵活运用数形结合的思想是求解的关键． 17．已知函数()()af x x a R x=+∈满足下列四个条件中的三个：①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 在区间(),5-∞-上单调递增；③()()22f f <-；④在y 轴右侧函数()f x 的图象位于直线y x =上方，写出一个符合要求的函数________________________. 【答案】1()f x x x=+【分析】满足①②④的一个函数为1()f x x x=+，根据奇偶性以及单调性，结合反比例函数的性质证明①②④. 【详解】1()f x x x=+满足①②④ 对于①，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞关于原点对称，且()()1f x x f x x-=--=-，即()f x 为奇函数； 对于②，任取()12,,5x x ∈-∞-，且12x x <()()121212121212111()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+--= 因为12120,25x x x x -<>，所以12())0(f x f x -<，12()()f x f x < 即函数()f x 在区间(),5-∞-上单调递增； 对于④，令()()1g x f x x x=-=，当0x >时，()0g x >，即在y 轴右侧函数()f x 的图象位于直线y x =上方 故答案为：1()f x x x=+【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用定义证明奇偶性以及单调性.18．当一个非空数集G 满足“如果,a b G ∈，则+a b ，-a b ，ab G ∈，且0b ≠时，aG b∈”时，我们称G 就是一个数域，以下关于数域的命题：①0和1都是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则2020G ∈；③任何一个有限数域的元素个数必为奇数；④有理数集是一个数域；⑤偶数集是一个数域，其中正确的命题有______________. 【答案】①②③④【分析】利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，题目给出了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证. 【详解】①当0a b =≠时，由数域的定义可知， 若,a b G ∈，则有a b G -∈，aG b∈即0G ∈，1G ∈，故①是真命题; ②因为1G ∈，若1G ∈，则112G +=∈，则213G +=∈，⋯， 则2019G ∈，所以120192020G +=∈，故②是真命题；③0G ∈，当b G ∈且0b ≠时，则b G -∈，因此只要这个数不为0就一定成对出现，所以有限数域的元素个数必为奇数，所以③是真命题； ④若,a b Q ∈，则,,a b a b ab Q +-∈，且0b ≠时,aQ b∈，故④是真命题； ⑤当2,4a b ==时，12a Gb =∉，所以偶数集不是一个数域，故⑤是假命题； 故答案为：①②③④【点睛】关键点点睛：理解数域就是对加减乘除封闭的集合，是解题的关键，一定要读懂题目再入手，没有一个条件是多余的，是难题.四、解答题19．设不等式402x x ->-的解集为集合A ，关于x 的不等式()()120x m x m +-+-<的解集为集合B .（1）若2m =-，求R A C B ⋂；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(2,3]（2）[2,1]--【分析】（1）求解A,B ，根据交集、补集运算即可；（2）由题意转化为B A ,建立不等式求解即可.【详解】（1）402x x ->-， (2)(4)0x x ∴--<，解得24x <<，所以(2,4)A =,当2m =-时，由()()120x m x m +-+-<可得(3)(4)0x x --<，解得34x <<，所以(3,4)B =，(,3][4,)R C B =-∞+∞，所以(2,3]R A C B ⋂=（2）由()()120x m x m +-+-<解得12m x m -<<-，即(1,2)B m m =--，因为命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，且p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以2124m m ≤-⎧⎨-≤⎩，且等号不同时成立，解得21m -≤≤-， 即实数m 的取值范围为[2,1]--【点睛】关键点点睛：根据充分条件、必要条件的意义，转化为集合间的包含、真包含关系，是解题的关键，属于中档题.20．已知函数()22cos2x f x x m =++在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6， （1）求常数m 的值；（2）若()145f α=，且433ππα<<，求 6f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）3m =；（2）12 65f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式可得()2sin 16f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质即可求解.（2）代入可得3sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，从而求出4cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式即可求解.【详解】（1）()22cos 2x f x x m =++cos 12sin 16x x m x m π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以()max 2163f x f m π⎛⎫==++=⎪⎝⎭， 解得3m =.（2）()145f α=，即142sin 465πα⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 解得3sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 433ππα<<，6223πππα<+<，所以4cos 65πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭， 2sin 42sin 66346f ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又4sin sin cos 32665ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以3412 2sin 424655f ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=⨯-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 21．已知函数()()2log 3a f x x ax =-+-，其中()0,1a a >≠. （1）当4a =时，求()f x 的值域和单调区间；（2）若()f x 存在单调递增区间，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）()+∞【分析】（1）利用换元法设2243(2)1t x x x =-+-=--+，求出t 的范围，再由对数函数的性质得出值域，再结合复合函数的单调性得出()f x 的单调区间；（2）分别讨论01a <<，1a >两种情况，结合复合函数的单调性以及二次函数的性质得出a 的取值范围.【详解】（1）当4a =时，()2244()log 43log (2)1f x x x x ⎡⎤=-+-=--+⎣⎦ 设2243(2)1t x x x =-+-=--+，由2430x x -+->，解得13x <<即函数()f x 的定义域为(1,3)，此时2(2)1(0,1]t x =--+∈ 则44log log 10y t ==，即()f x 的值域为(,0]-∞要求()f x 的单调增（减）区间，等价于求2(2)1t x =--+的增（减）区间2(2)1t x =--+在区间1,2上单调递增，在区间()2,3上单调递减f x 在区间1,2上单调递增，在区间()2,3上单调递减（2）当1a >时，()f x 存在单调递增区间，则函数23t x ax =-+-存在单调递增区间则判别式2120a ∆=->，解得a >a <-（舍）当01a <<时，()f x 存在单调递增区间，则函数23t x ax =-+-存在单调递减区间则判别式2120a ∆=->，解得a >a <-，此时a 不成立综上，a 的取值范围为()+∞【点睛】关键点睛：本题主要考查了对数型复合函数的单调性问题，解题的关键在于利用复合函数单调性的性质进行求解.22．在2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，丽水市某村施行“封村”行动.为了更好地服务于村民，村卫生室需建造一间地面面积为30平方米且墙高为3米的长方体供给监测站.供给监测站的背面靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：正面新建墙体的报价为每平方米600元，左右两面新建墙体报价为每平方米360元，屋顶和地面以及其他报价共计21600元，设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米()310x ≤≤. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低，最低报价为多少？（2）现有乙工程队也参与此监测站建造竞标，其给出的整体报价为()21602a x x +元()0a >，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围.【答案】（1）当左右两面墙的长度为5时，报价最低为43200元；（2）012.8a <<.【分析】（1）设甲工程队的总造价为y 元，推出30(323603600)21600(310)y x x x=⨯⨯⨯+⨯⨯+，利用基本不等式求解最值即可； （2）由题意2160(2)2160()2162500a x x x x +++>对任意的[3x ∈，10]恒成立．即2(5)2x a x +>+恒成立，利用换元法以及基本不等式求解最小值即可． 【详解】（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则30(323603600)216002160(2)21600(310)5y x x x x x =⨯⨯⨯+⨯⨯+=++，2160()2160021602522160043200x x ++⨯=． 当且仅当25x x=，即5x =时等号成立． 即当左右两侧墙的长度为5米时，甲工程队的报价最低为43200元． （2）由题意可得，2160(2)2160()2162500a x x x x +++>对任意的[3x ∈，10]恒成立． 即2(5)(2)x a x x x ++>，从而2(5)2x a x +>+恒成立， 令2x t +=，22(5)(3)962x t t x t t++==+++，[5t ∈，12] 又96y t t=++在[5t ∈，12]为单调增函数， 故当5t =时，12.8min y =．所以012.8a <<．【点睛】方法点睛：求函数的最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.23．已知函数()()f x x D ∈，若同时满足以下条件：①()f x 在D 上单调递减或单调递增；②存在区间[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域是[,]a b ，那么称()()f x x D ∈为闭函数．（1）求闭函数3()f x x =-符合条件②的区间[,]a b ； （2）判断函数()2lg f x x x =+是不是闭函数？若是请找出区间[,]a b ；若不是请说明理由；（3）若()f x k =+是闭函数，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1a =-，1b =；（2）见解析；（3）9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦ 【分析】（1）由3y x =-在R 上单减，列出方程组，即可求,a b 的值；（2）由函数y=2x+lgx 在（0，+∞）单调递增可知22a lga a b lgb b +=⎧⎨+=⎩ 即lga a lgb b =-⎧⎨=-⎩，结合对数函数的单调性可判断（3）易知y k =在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B 的区间为[a ，b]，则方程组k a k b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 有解，方程x k =+至少有两个不同的解，即方程x 2﹣（2k+1）x+k 2﹣2=0有两个都不小于k 的不根．结合二次方程的实根分布可求k 的范围【详解】解：（1）∵3y x =-在R 上单减，所以区间[a ，b]满足33a b a b b a <⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得a=﹣1，b=1（2）∵函数y=2x+lgx 在（0，+∞）单调递增假设存在满足条件的区间[a ，b]，a ＜b ，则22a lga a b lgb b +=⎧⎨+=⎩，即lga a lgb b =-⎧⎨=-⎩∴lgx=﹣x 在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx 与y=﹣x 只有一个交点故不存在满足条件的区间[a ，b]，函数y=2x+lgx 是不是闭函数（3）易知y k =+在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B 的区间为[a ，b]，则方程组k a k b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩有解，方程x k =少有两个不同的解即方程x 2﹣（2k+1）x+k 2﹣2=0有两个都不小于k 的不根．∴()()2202120212f k k k k k k k ⎧⎪∆>⎪=-++-≥⎨⎪+⎪>⎩得924k -<≤-，即所求． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的综合应用，函数与方程的综合应用问题，其中解答中根据函数与方程的交点相互转化关系，合理转化为二次函数的图象与性质的应用是解答的关键，着重考查了函数知识及数形结合思想的应用，以及转化思想的应用，试题有较强的综合性，属于难题.。
