浙江大学微积分一习题解答 第零,一,二章(秋冬)

浙江大学2013 — 2014学年 秋冬 学期《微积分I 》课程期末考试试卷课程号： 061B0170 ，开课院系： 理学院 数学系 考试形式：闭卷，允许带 笔 入场考试日期： 年 月 日，考试时间： 120 分钟.第1~9，14题，每题均为6分；第10~13题，每题均为10分。

解题时写出必要的解答过程。

1. 设()y y x =是由方程2tan()x y x y +=-所确定，且(0)0y =，求(0)(0).y y '''：和2. 设函数()y y x =是由参数方程20202d cos d t s txe sy s s-⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定，求：22d .d t y x3. 求极限：20cos 2lim .x xx→4. 求极限：101lim .xxx e x →⎛⎫-⎪⎝⎭5. 求极限：22011lim .sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭6. 求积分：21ln(1)d .x x x+∞+⎰7. 求积分：312221(2)(1)d .x x x -+-⎰8. 证明：当0x ≤<+∞时，arctan3ln(14)x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立。

9．求幂级数220(1)4(21)(22)n nn n x n n +∞+=-++∑的收敛半径、收敛域，并计算其和函数。

10．设常数0a >，31()3f x ax x =-，试求()f x 在1[0]a，的最大值和最小值。

11．求曲线22y x =+与直线y x =所围区域绕直线2x =旋转一周的体积。

12．证明如下“”型的洛必达（L ‘Hosptial ）法则： 设（1）0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（2）()()f x g x 、在去心邻域0()U x 內可导，且()0.g x '≠（3）0()lim ()x x f x A g x →'='（或∞）。

第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。

5、=-∞→x e x x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。

《微积分Ⅰ》期末试卷（2013-2014学年秋冬学期）第 1 页 共 2 页浙江大学2013 — 2014学年 秋冬 学期《微积分I 》课程期末考试试卷课程号： 061B0170 ，开课院系： 理学院 数学系 考试形式：闭卷，允许带 笔 入场考试日期： 年 月 日，考试时间： 120 分钟.第1~9，14题，每题均为6分；第10~13题，每题均为10分。

解题时写出必要的解答过程。

1. 设()y y x =是由方程2tan()x y x y +=-所确定，且(0)0y =，求(0)(0).y y '''：和2. 设函数()y y x =是由参数方程20202d cos d t s tx e sy s s-⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定，求：22d .d t y x3. 求极限：20cos 2lim .x xx→ 4. 求极限：101lim .xxx e x →⎛⎫-⎪⎝⎭5. 求极限：22011lim .sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭ 6. 求积分：21ln(1)d .x x x +∞+⎰ 7. 求积分：312221(2)(1)d .x x x -+-⎰8. 证明：当0x ≤<+∞时，arctan3ln(14)x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立。

9．求幂级数220(1)4(21)(22)n nn n x n n +∞+=-++∑的收敛半径、收敛域，并计算其和函数。

10．设常数0a >，31()3f x ax x =-，试求()f x 在1[0]a，的最大值和最小值。

《微积分Ⅰ》期末试卷（2013-2014学年秋冬学期）第 2 页 共 2 页11．求曲线22y x =+与直线y x =所围区域绕直线2x =旋转一周的体积。

12．证明如下“”型的洛必达（L ‘Hosptial ）法则： 设（1）0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（2）()()f x g x 、在去心邻域0()U x 內可导，且()0.g x '≠（3）0()lim ()x x f x A g x →'='（或∞）。

微积分（一）_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设【图片】均为非负数列，且【图片】,则必有( )参考答案:极限不存在2.设函数【图片】，则【图片】在【图片】处的参考答案:左导数存在，右导数不存在3.设常数【图片】,函数【图片】在【图片】内零点个数为( )参考答案:24.设【图片】为【图片】内不恒为零的可导奇函数，则【图片】参考答案:一定是内的偶函数5.设【图片】,则使【图片】存在的最高阶数【图片】为( )参考答案:26.【图片】在【图片】连续，求常数a.参考答案:-27.当【图片】时，函数【图片】的极限（）参考答案:不存在但也不为8.设【图片】是奇函数，除【图片】外处处连续，【图片】是其第一类间断点，则【图片】是( )参考答案:连续的偶函数9.设【图片】 , 则在点【图片】处参考答案:取得极大值10.设【图片】,则在点【图片】处函数【图片】( )参考答案:不连续11.函数【图片】的图形，在参考答案:是凹的12.设函数【图片】, 其中【图片】是有界函数，则【图片】在【图片】处参考答案:可导13.设函数【图片】，则在【图片】处参考答案:当且仅当时才可微14.设【图片】在【图片】处连续，则下列命题错误的是（）。

参考答案:若存在，则存在15.若【图片】, 则方程【图片】参考答案:有唯一的实根16.设【图片】，则在【图片】处，有（）成立。

参考答案:在处连续,但不可导17.函数【图片】不可导点的个数是( )参考答案:218.设【图片】在闭区间【图片】连续，则下列选项错误的是（）。

参考答案:存在，使19.要使函数【图片】在【图片】处的导函数连续，则【图片】可取值\参考答案:320.当【图片】时，曲线【图片】( )参考答案:有且仅有水平渐近线21.曲线【图片】渐近线的条数为参考答案:322.设函数【图片】连续,且【图片】 ,则存在【图片】, 使得参考答案:对任意的, 有23.若函数【图片】有【图片】，则当【图片】时，该函数在【图片】处的微分【图片】是( )参考答案:与同阶的无穷小24.函数【图片】不可导点的个数为参考答案:225.设【图片】, 则参考答案:，但在处不连续26.设【图片】, 则【图片】是（）参考答案:偶函数27.设【图片】，则在【图片】处，【图片】（）。

微积分1参考答案微积分1参考答案微积分1是大学数学中的一门重要课程，对于理工科学生来说尤为重要。

在学习微积分1的过程中，我们会遇到各种各样的问题，需要通过练习来巩固所学知识。

为了帮助大家更好地理解和掌握微积分1的知识，我将提供一些常见问题的参考答案，希望能对大家有所帮助。

1. 求函数f(x) = x^2在区间[1,3]上的定积分。

答案：首先，我们需要求出函数f(x)在区间[1,3]上的原函数F(x)。

由于f(x) = x^2，我们可以得到F(x) = (1/3)x^3。

然后，根据定积分的定义，我们可以得到定积分的值为F(3) - F(1) = (1/3) * 3^3 - (1/3) * 1^3 = 8 - 1/3 = 7 2/3。

2. 求函数f(x) = 2x在区间[0,4]上的定积分。

答案：同样地，我们需要求出函数f(x)在区间[0,4]上的原函数F(x)。

由于f(x) =2x，我们可以得到F(x) = x^2。

然后，根据定积分的定义，我们可以得到定积分的值为F(4) - F(0) = 4^2 - 0^2 = 16。

3. 求函数f(x) = sin(x)在区间[0,π]上的定积分。

答案：函数f(x) = sin(x)在区间[0,π]上的定积分可以表示为∫[0,π] sin(x) dx。

由于sin(x)的原函数为-cos(x)，我们可以得到定积分的值为-cos(π) - (-cos(0)) = 1- (-1) = 2。

4. 求函数f(x) = e^x在区间[0,1]上的定积分。

答案：函数f(x) = e^x在区间[0,1]上的定积分可以表示为∫[0,1] e^x dx。

由于e^x的原函数为e^x，我们可以得到定积分的值为e^1 - e^0 = e - 1。

5. 求函数f(x) = 1/x在区间[1,2]上的定积分。

答案：函数f(x) = 1/x在区间[1,2]上的定积分可以表示为∫[1,2] 1/x dx。

微积分习题一一、填空题（每题3分，总计15分）。

1、]1sin 2)1cos([lim )(lim 200320021x x x x x cx c x x x x ++=+-∞→+∞→，则=c . 2、设)(x f 在0x x =处连续，且) ()(lim 00为常数A A x x x f x x =-→，则=')(0x f .3、已知b ax x x f ++=23)(在1+x 处有极值-2，则)(x f 的极大值为 .4、已知==+=')(,0)0(,ln 1)(ln x f f x x x f 则且 .5、若向量x ρ垂直于向量{}1,3,2-=a ρ与向量{}3,2,1-=b ρ，且与向量{}1,1,2-=c ρ的数量积等于-6，则向量=x ρ .二、单向选择填空题（每题3分，总计15分）1、 1、 设函数0)0(0)(]10[)(=''>'''f x f x f 且上，在，下列关系正确的是（ ）. A.)0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->'C. )0()1()0()1(f f f f '>'>-D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2、 2、 下列广义积分收敛的是（ ）. A.⎰∞++121dx x x B. ⎰1021sin 1dx x xC. ⎰10ln xdxD. ⎰∞+>aa x dx的常数）0(323、 3、 已知0,1)(,)(=-='=x x dx dyx x f e f y 则= （ ）.A. 1B. eC. 2D. 04、曲线)40(2cos 0π≤≤=⎰x dt t y x的弧长为（ ）.A. 1B. 2C. 21D. 12-5、函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,cos 1,2)(x x a x xx f π 处处连续，则 =a ( ). A. 2 B.-2 C. 1 D. –1三、计算题（每题6分，总计48分）。

第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的 阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域就是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。

(Ａ))()(x g x f +;(Ｂ))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。

(Ａ)α就是比β高阶的无穷小; (Ｂ)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。

《微积分I》第1章答案《一元函数微积分》习题1—11．确定下列函数的定义域：（1）y1某29；2解：要使函数有意义，则：某90即某3或某3.所以函数定义域：(,3)(3,).（2）ylogaarcin某；解：要使函数有意义，则arcin某0，即0某1.所以函数定义域：(0,1].（3）y11某2；某12解：1某0且某10，即1某1且某1.所以函数定义域：(-1,1].（4）y31loga(2某3)；某233.所以函数定义域：(,2)(2,).22解：某20且2某30，即某2且某（5）yarcco解：1某1loga(4某2)；2某11且4某20，则1某3且2某2。

所以函数定义域：[1,2)21（6）y.in某解：in某0,则某k,kZ.(其中是Z整数集),函数定义域：(,)\\Z.1in,某022.求函数y的定义域和值域,并求f和f(0).某某00解:定义域:(,).当某0时,11(,)\\{0},故1in1.所以值域:[-1,1].某某2f()in1,f(0)0.23.下列各题中,函数f(某)和g(某)是否相同,为什么(1)f(某)某,g(某)解:不同因为g(某)某2;某2|某|,即g(某)的值域是全体非负实数,而f(某)的值域是全体实数.2(2)f(某)co某,g(某)12in解:相同某;22因为f(某)和g(某)的定义域均为实数R,值域为[-1,1],且g(某)12in某co某f(某)2某21,g(某)某1;(3)f(某)某1解:不同某21某1(某1).两函数的定义域不同.因为f(某)某1(4)f(某)解:相同因为f(某)值恒等于1.4.设f(某)in某,证明:f(某某)f(某)2in某,g(某)某0.某某1(某0),g(某)某01(某0)定义域均为非零实数,在定义域内函数某某某co(某).22某某co(某).22证明:由三角函数知:f(某某)f(某)in(某某)in 某2in25.设f(某)a某b某5且f(某1)f(某)8某3,试确定a,b的值.2解:因为f(某)a某b某5故f(某1)a(某1)b(某1)5a某(2ab)某(ab5)由题设f(某1)f(某)2a 某a58某3所以有:2a8且ab3得:a4,b1.6.下列函数哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数(1)y某(1某);22222解:定义域:(,)f(某)(某)2[1(某)2]某2(1某2)f(某)所以函数是偶函数.(2)y3某2某3;解:定义域:(,)f(某)3(某)2(某)33某2某3,f(某)f(某)且f(某)f(某).所以函数既非奇函数又非偶函数.1某2(3)y;21某解:定义域:(,)1(某)21某2f(某)f(某)221(某)1某所以函数是偶函数.(4)y某(某1)(某1)解:定义域:(,)f(某)某(某1)(某1)某3某,f(某)(某)3(某)某3某f(某).所以函数是奇函数.(5)yin某co某1;解:定义域:(,)f(某)in(某)co(某)1in某co某1,则f(某)f(某)且f(某)f(某)所以函数既非奇函数又非偶函数.a某a某(6)y.2解:定义域:(,)a某a某f(某)f(某)2所以函数是偶函数.37.设f(某)为定义在(,)上的任意函数,证明:(1)F1(某)f(某)f(某)为偶函数;(2)F2(某)f(某)f(某)为奇函数.证明:由题设f(某)为定义在(,)的函数,则F1(某),F2(某)的定义域也为(,)(1)F1(某)f(某)f(某)F1(某)f(某)f(某)F1(某),.故F1(某)是偶函数.(2)F2(某)f(某)f(某)F2(某)f(某)f(某)F2(某),.故F2(某)为奇函数.8.证明:定义在(,)上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和.证明:设f(某)是定义在(,)上的任意函数.由7题知F1(某)f(某)f(某)为偶函数,F2(某)f(某)f(某)为奇函数.且f(某)故命题成立.9.设f(某)为定义在(L,L)上的奇函数,若f(某)在(0,L)上单增,证明:f(某)在(L,0)上也单增.证明:由题设知对于任意某(L,L)有:f(某)f(某)不防设任意的某1,某2满足0某1某2L,则L某2某10.11F1(某)F2(某).22f(某)在(0,L)上单增,则f(某1)f(某2)即f(某1)f(某2)f(某1)f(某2)所以f(某)在(L,0)上也单增.10.下列各函数中哪些是周期函数对于周期函数,指出其周期:(1)yco(某2);解:co(某22)co(某2),函数是周期函数且周期T2.(2)yco4某;4解:co4(某2)co(4某2)co4某,函数是周期函数且周期T2.(3)y1in某;解:1in某1in(某2)1in(某2),函数是周期函数且周期T2.(4)y某co 某;解:非周期函数(5)yin2某;解:in某2111(1co2某)[1co(2某2)][1co2(某)],函数是周期函数222且周期T.(6)yin3某tan某解:in3某in(3某2)in3(某2),tan某tan(某),故原函数的周期为两函数32in3某,tan某的周期和最小公倍数.所以周期为T2.311.下列各组函数中哪些不构成复合函数把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定义域.3(1)y某,某int;3解:构成复合函数yint,定义域:(,).u(2)ya,u某;22解:构成复合函数ya某,定义域:(,).(3)ylogau,u3某2;解:构成复合函数yloga(2某22),定义域:(,).(4)yu,uin某2;解:不构成复合函数yu要求u0,但是uin某2的值域:(3,1).(5)yu,u 某;解:构成复合函数y232某3,定义域:[0,).(6)ylogau,u某2.5解:构成复合函数yloga(某22),定义域:(,2)(2,).12.下列函数是由哪些简单函数复合而成的2(1)y3(1某)1;解:y3u,u(1某)21.(2)y3(ln某1);2解:y3u,uv,vln某1.2(3)yin3(3某1);解:yu3,uinv,v3某1.(4)y3logaco某.解:y3u,ulogav,vw,wco某.13.求下列函数的反函数:(1)y2in某;解:原函数的定义域:(,),值域:[2,2].反解:某in得反函数:yin22y.2某.2反函数的定义域:[2,2],值域:(,).(2)y1loga(某2);解:原函数的定义域:(2,),值域:(,).反解:某a得反函数:ya某1y12. 2反函数的定义域(,):,值域:(2,).2某(3)y某.2112某2某111某01.2111解:y某由于,则2某1212某12某16原函数的定义域:(,),值域:.(0,1)反解:2某yy,某log2.1y1y得反函数:ylog2某1某反函数的定义域:(0,1),值域:(,).14.某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元;当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元;当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元;当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;设某是销售量,y是总价,试建立总价y和销售量某之间的函数关系式,并作出它的图形.解:由题知:当0某20时,y2.5某;当20某50时,y2.5202.3(某20)2.3某4;当50某100时,y2.5202.3(5020)2(某50)2某19;当某100时,y2191.8(某100)1.8某390某202.5某2.3某420某50y2某1950某100某1001.8某39图形(略)15.设某商品的市场供应函数QS(p)804p,其中Q为供应量,p为市场价格.商品的单位生产成本是1.5元,试建立总利润L与市场价格p的函数关系式.解:供应函数QS(p)804p则总利润L(p1.5)Q(p1.5)(804p)4p286p120.16.用p代表单价,某商品的需求函数为QD(p)700050p,当Q超过1000时成本函数为C2000025Q,试确定能达到损益平衡的价格(提示:当总收入=总成本时,便达到损益平衡).解:当Q1000时QD(p)700050p1000则价格p120.7达到损益平衡,则pQC即:p(700050p)2000025Q2000025(700050p)p2165p39000得p165107.822又因为价格p120,故p28.59答:当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.17.在半径为r的球内嵌入一个内接圆柱,试将圆柱的体积V表示为圆柱的高h的函数,并求此函数的定义域.h2h22解:设圆柱的半径为R,则满足Rr()r2422h21)hr2hh3.圆柱的体积:VRh(r4422定义域:(0,2r)18.已知华氏温度F与摄氏温度℃的线性关系,在101325帕(一个标准大气压)下,水的冰点温度不32F或0℃,水的沸点温度为212F或100℃.(1)写出华氏温度F与摄氏温度℃的函数关系;(2)画出该函数的图形;(3)摄氏20℃相当于华氏几度解:(1)由华氏温度F与摄氏温度℃的线性关系,设当摄氏温度为某℃时,华氏温度为yF,则有关系式ya某b其中a,b为常数.由题知: 32a0ba1.8212100abb32函数关系:y1.8某32(其中某的度量单位是℃,y的度量单位是F)(2)函数图形(略)(3)摄氏20℃时,y=1.820℃+32=68(F)习题1－22．（1）证明：0，要使11111，即nnn8只须取N=1,则当nN时，有11n因此lim(1n111)1。

浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》期末考试试卷解答一、求导数或微分 (1）sin 4sin 4122d 14cos 4ln sin 46(arctan 2)d 14x x y x x x x x x x x-=⋅+⋅++． (2) 由 20d t s xe s -=⎰，得2d d t xe t -=，由20sin()d t y t s s =-⎰，令t s u -=，得220sin d sin d t ty u u u u =-=⎰⎰，得2d sin d y t t =，所以222d d sin ,d d t t y ye t e x x π==，2222222222(sin )d 2sin 2cos d t t t t t t e t y te t te t x e e--'+== 22222(sin cos )t te t t =+, 22d d t y x π=．(3) 由 210x y e x xy +---=及0x =，得0y =，对方程 210x yex xy +---= 两边取微分有(d d )2d (d d )0x y e x y x x y y x ++--+=，将0x =，0y =代入，得 0d d x y x ==．二、求积分 （4）解66x x =⎰⎰6x =⎰ （令33sin x t -=）2227(1sin )cos cos d t t t t ππ-=+⎰22012754cos d 54222t t πππ==⋅⋅=⎰．（5）解 令xe t =，2arctan d x xe x e ⎰＝3arctan d t t t ⎰211arctan d 2t t =-⎰ 2221arctan 1[d ]2(1)t t t t t =--+⎰ 2221arctan 11[d d ]21t t t t t t =--++⎰⎰ 21arctan 1[arctan ]2t t C t t=-+++ 21arctan [arctan ]2x x xxe e e C e-=-+++． （6）解t =，1+∞⎰＝202d 1t t +∞+⎰02arcta n t π+∞==. 三、求极限 (7) 解 3012cos lim[()1]3xx x x →+- 2cos ln()3301lim [1]xx x e x +→=-注2cos ln()32cos [1ln(),(0)]3xx xex x ++-→ 2012cos limln()3x x x →+= 201cos 1lim ln(1)3x x x →-=+ 注[cos 1cos 1ln(1),(0)33x x x --+→] 201cos 11lim ()36x x x →-==． (8) 解 11lim[]()()()()x af a x a f x f a →-'--()()()()lim()()(()())x af x f a f a x a f a x a f x f a →'---='--＝()()lim()(()())()()()x af x f a f a f x f a f a f x x a →''-'''-+-2()()()lim ()(()())2(())()()x a f x f a f a x a f a f x f a f a f a f x x a→''-''-=='-'''+-．（9）解 由 112[1)1))]nn n u n n n =+++（（（1， 取11ln ln(1)n n i i u n n==+∑, 则11100011lim ln lim ln(1)ln(1)d ln(1)d 2ln 211n n n n i i x u x x x x x n n x →∞→∞==+=+=+-=-+∑⎰⎰,所以 2ln 214lim n n u ee-→∞==． 四、（10）解：因为2620000arcsin d lim lim (1)d x x x tt t e tαβ→→=-⎰⎰ 注：由洛必达法则 2222331arcsin 3lim 1x x x x x e -→⋅=- 注：221,(0)x e x x -→ 22320231arcsin 1lim33x x x x x →==⋅， 所以，αβ与是同阶但不等价无穷小，则选 A ．（11）解：（A ） 因为11111()nn n n n n n aa a a ∞∞∞++===+=+∑∑∑11212n n n n n n a a a a ∞∞∞====+=+∑∑∑，而1nn a∞=∑收敛，所以11()nn n aa ∞+=+∑必收敛，（B ）因为222222222221122311211()n n n n n n n aa a a a a a a a a a ∞++++=-=-+-++-+-=∑，所以2211()n n n aa ∞+=-∑必收敛．（C ）因为2212345221111()nn n n n n n aa a a a a a a a a ∞∞++==+=+++++++=-∑∑所以2211()nn n aa ∞+=+∑必收敛,（D ）221234522112()(1)n n n n n n n n aa a a a a a a a ∞∞++==-=-+-++-+=-∑∑未必收敛，例如 1(1)n n n ∞=-∑收敛， 但221(1)nn n n a n ∞∞==-=∑∑发散，则结论不正确的是D ，本题选Ｄ（12）解：由1,0,()()()d ,0,x x e x f x F x f t t x x -⎧≤==⎨>⎩⎰，则 11121,0,()11,02x t x x t e dt e e x F x e dt e x x ----⎧=-≤⎪=⎨⎪=-+>⎩⎰⎰，即 112,0,()11,02x e e x F x e x x --⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩， 因为 12101lim ()lim(1)12x x F x e x e ++--→→=-+=-， 11lim ()lim()1x x x F x e e e ----→→=-=- 所以 ()F x 在0x =处连续．因为 2012(0)lim 0x x F x++∆→∆'==∆， 01(0)lim 1xx e F x-∆-∆→-'==∆，(0)(0)F F +-''≠所以，()F x 在0x =不可导，所以选Ｃ． （13）如图，在点(,0)b 处，左边0y ''>，右边0y ''<，而点(,0)b 处0y ''=，所以点(,0)b 为曲线的拐点； 同理，在点(0,)d 处，左边0y ''<，右边0y ''>，而点(0,)d 处0y ''=，所以点(0,)d 为曲线的拐点； 在点(,0)c 处，左边0y '<，右边0y '>，而点(,0)c 处0y '=，所以点x c =为函数的极小值点； 在点(,0)a 处，左边0y '>，右边0y '<，而点(,0)a 处0y '=，所以点x a =为函数的极大值点， 所以，曲线有二个拐点，一个极小值点，一个极大值点. 选（B ）五、解：由22,1y ax y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩求得交点)1a A a +（如图）， 直线OA 的方程y x =． （Ｉ） 旋转体体积 ()Va 22240()d 1a x a x x aπ=-+⎰=25/2215(1)a a π⋅+， （II ）53222552(1)(1)d ()22d 15(1)a a a a V a a a π+-+=⋅+ 27/2(4)15(1)a a a π-=+．在0a >处有唯一驻点4a =，当04a <<时d ()0d V a a >， 当4a >时，d ()0d V a a<, 故4a =为唯一极大值点，为最大值点．六、（15）解：由21()arctan ln(1)2f x x x x =-+ 21()arctan ,(),1f x x f x x'''==+展开之， 20()(1),(1,1)n n n f x x x ∞=''=-∈-∑，两边积分，得212100(1)(1)()(0),(1,1)2121n n n n n n f x f x x x n n ∞∞++==--''=+=∈-++∑∑，再次两边积分，得220(1)()(0)(21)(22)nn n f x f x n n ∞+=-=+++∑220(1),(1,1)(21)(22)nn n x x n n ∞+=-=∈-++∑． 右边级数在1x =±处收敛，左边函数在1x =±处连续，所以成立范围可扩大到闭区间[1,1]-．七、（16）证法1：由2()(4)(2)2x xf x x e x e =---+2(0)0,()(1)(1),2xx x f f x e x e '==---(0)0f '=2221()()44x x x xx f x e xe xe e ''=-=-．而当0x >时2114x e >>，所以当0x >时()0f x ''<， 于是知，当0x >时，()0f x '<，从而知，当0x >时，()0f x <. 证法2：由证法一，有 2211()(0)(0)()()022f x f f x f x f x ξξ''''''=++=< 证法3：由2()(1)(1)2xx x f x e x e '=---()1()2x x xx e x ξ='⎡⎤=--⎣⎦()02xe ξξ=-<，所以()0f x <．注：设()(1)x g x x e =-，在[,]2xx 上的拉格郎日中值定理，有()2(1)(1)1(),222xx x x x x x e x e x e x x ξξ='⎡⎤---=--<<⎣⎦ ．。