完整word版,浙江大学2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2016~2017学年第2学期 考试科目：高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设两点(3,1,1)A ,(2,0,1)B ，则与AB 方向相同的单位向量=e .2．设函数2(,)(f x y y x =+-，则(1,1)y f = ．3．已知{}22(,)4D x y x y =+≤，则2d d Dx y =⎰⎰ ．4．幂级数1(1)2nnn x n +∞=-⋅∑的收敛区间为 ． 5．若2xy Ce=为微分方程()0yp x y '+=的通解，则()p x = ．二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．直线11211x y z -+==-与平面1x y z -+=的位置关系是（ ） A ．平行； B ．垂直；C ．夹角为4π； D ．夹角为4π-．2．设z =，则 z zxy x y∂∂+=∂∂ （ ） A ．0； B ．12； C； D． 3．设22{(,)|,0}D x y xy x y =+≤≥，则二重积分(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）A．100(,)dy f x y dx ⎰⎰； B．100(,)dy f x y dx ⎰⎰； C ．1100(,)dx f x y dy ⎰⎰； D．100(,)dx f x y dy ⎰⎰．4．下列级数收敛的是 （ ）A．n +∞=； B．1n +∞=； C．n +∞=； D．1n +∞=5．差分方程122t t ty y t +-=⋅的特解形式为 （ ）A ．2t t y A =⋅；B ．2t t y At =⋅；C ．()2t t y At B =+⋅；D ．()2t t y t At B =+⋅．三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）1. 求过点(2,1,0)且与直线520350x y z y z +--=⎧⎨--=⎩垂直的平面方程．2. 设函数yz x =（0,1x x >≠），求2zx y∂∂∂．3. 求函数arctanxz xy y=+在点(0,1)处的全微分．4．试将函数2()12xf x x x=+-展开成x 的幂级数，并指出其收敛区间．5．计算二重积分22Dx I dxdy y =⎰⎰，其中D 是由直线,2y x x ==及1xy =所围成的闭区域．6．求微分方程30xy y '''+=满足初始条件(1)1,(1)2y y '==-的特解．四、解答题（本大题共3小题，第1题 10分，第2、3题各6分，共 22 分） 1．设某工厂生产A 和B 两种产品，产量分别为x 和y (单位:千件), 利润函数为22(,)2336590L x y x xy y x y =---++（单位:万元），问如何安排生产才能使总利润最大？最大利润是多少？2．设0S 为初始存款，年利率为(01)r r <<，t 年末金额累积到t S （1,2,t =）．若以复利累积，试求t S 满足的差分方程，并解此差分方程．3．若0,1n a n ≥≥，级数21n n a +∞=∑收敛，试讨论级数1nn a n+∞=∑的敛散性。

⋯⋯⋯⋯⋯2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方7．设级数a a 0 (n )为交错级数，，则（）. nnn 1(A) 该级数收敛(B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛8. 下列四个命题中，正确的命题是（）.（A）若级数 a 发散，则级数n2a 也发散n名姓⋯⋯⋯⋯⋯题号一二三四总分得分（B）若级数（C）若级数nn112a发散，则级数n2a收敛，则级数nnn11a也发散na 也收敛nn 1 n 1⋯⋯．阅卷人得分一、单项选择题（8 个小题，每小题 2 分，共16 分）将每题的正确答案的（D）若级数|a n |收敛，则级数n 1n 12a 也收敛n号学⋯⋯⋯代号A B C D、、或填入下表中．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 阅卷人得分⋯线答案二、填空题(7 个小题，每小题 2分，共14 分) ．号序封密1．已知a与b都是非零向量，且满足a b a b，则必有（）.(A) a b0(B) a b0(C) a b0 (D) a b03x 4y 2z 61. 直线x 3y z a 0与z 轴相交，则常数 a为.号班学教12 2lim( xy )sinx 0y 0过2.极限( ).y2．设( , ) ln( ),f x y x x则f2 2D : x y 2x ，二重积分(x y)d= .(1,0)___________.y2 2x y超(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在3．函数 f (x, y) x y 在(3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.要3．下列函数中，df f 的是( ).（A）f ( x, y) xy （B）f (x, y) x y c0,c0为实数不4．设纸卷试题答2 2 x y（C）f (x, y) x y （D）f ( x, y) e4．函数 f (x, y) xy (3 x y) ，原点(0,0) 是f (x, y) 的( ).（A）驻点与极值点（B）驻点，非极值点5．设f x 是连续函数，D2 2{( x, y ,z) | 0 z 9 xy } ，2 2f (x y )dv在柱面坐标系下学大峡三⋯⋯．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（C）极值点，非驻点（D）非驻点，非极值点5 ．设平面区域x y2 2D : (x 1) (y1) 2 ，若I1d ，4Dx yI d ，24Dx yI3 d ，则有（）.34D（A）I I I （B）I1 I 2 I3 （C）I 2 I1 I3 （D）I 3I1 I 21 2 32 y2x2 26．设椭圆L ：1的周长为l ，则(3x 4y )ds （）.4 3L(A) l (B) 3l (C) 4l (D) 12l的三次积分为.6. 幂级数n 1n( 1)1nxn!的收敛域是.1 , xf ( x)7. 将函数 21 x , 0 x以2 为周期延拓后，其傅里叶级数在点x 处收敛于.2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第1页⋯阅卷人得分4．设是由曲面z xy, y x, x 1及z 0 所围成的空间闭区域，求2 3d d dI xy z x y z .名姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x1．设u xf (x, )y解：三、综合解答题一（ 5 个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤），其中 f 有连续的一阶偏导数，求ux，uy．解：．⋯号学⋯⋯⋯线封z z xy 在点(2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．2．求曲面 e 3解：号序密过5．求幂级数nx n 1 的和函数S(x) ，并求级数n 1 nn 的和．n1 2解：超号班学要教不纸卷试题答3. 交换积分次序，并计算二次积分解：sin ydxdyxy．学大峡三⋯⋯．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第2页阅卷人得分四、综合解答题二（ 5 个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字⋯⋯⋯⋯⋯⋯说明、证明过程或演算步骤）1. 从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解4．计算xdS，为平面x y z 1在第一卦限部分.解：名姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯．⋯号学⋯⋯⋯线2．计算积分L2 2( )dx y s，其中L 为圆周2 2x y ax ( a0)．号序封密解：蝌，5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分dxdy + dydz + dzdxS2 2 2其中为圆锥面z x y z 0 z 1介于平面及之间的部分的下侧.解：过超号班学要教不纸卷试题答3．利用格林公式，计算曲线积分I (x y )dx (x 2xy)dy ，其中L 是由抛物线y x2 和2 2Lx y2 所围成的区域D的正向边界曲线．学大峡三⋯⋯．⋯y2y x2 x y⋯D⋯⋯O x⋯⋯⋯⋯2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第 3 页2017 学年春季学期（B ）若级数2a 发散，则级数na 也发散；n《高等数学Ⅰ（二） 》期末考试试卷(A)答案及评分标准（C ）若级数n n 1 12 a 收敛，则级数 nn n 11a 也收敛；n（D ）若级数|a n |收敛，则级数2a 也收敛．nn 1n 1一、单项选择题（ 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8答案D A B B A D C D二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共 14 分) ．3x 4y 2z 6 0 x 3y z a 01. 直线与 z 轴相交，则常数 a 为 3 。

河海大学2016—2017学年第一学期 《高等数学》 期末试卷（A ）一、选择题（每小题3分，共15分） 1．设函数xxx f g x x f -+=-=-11))((,1)2(，则)3(g 等于（ A ）。

A ．3- B ．2- C ．0 D ．1 2．设x x x x y ++-=，则y 是x 的（ A ）阶无穷小。

A ．81B ．41C ．21D ．13．点0=x 是函数xe xf 111)(+=的（ C ）。

A ．振荡间断点 B ．可去间断点 C ．跳跃间断点 D ．无穷间断点 4．下列条件中,（ C ）是函数)(x f 在0x 处有导数的充分必要条件。

A ．hh x f h x f h 2)()(lim000--+→存在 B ．)(lim 0x f x x '→存在C ．)(x f 在0x 处可微D ．)(x f 在0x 处连续 5．设)(u f 可微,则)(sin x f y =的微分=dy （ B ）。

A ．dx x f )(sin 'B ．xdx x f cos )(sin 'C ．()x d x f sin )(sin 'D ．xdx x f sin )(sin '二、填空题（每小题3分，共15分）： 1. 函数[]x x y -=的最小正周期是1。

2．设)0(003cos )(>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+≤+=a x x a x a x x xx f ,当=a 49时, 0=x 是)(x f的连续点。

3．⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→1lim )(2nx nx x f n 的间断点是=x ,且是第二类间断点。

4．设12)(-=x e x f ，则()=)0(2008f 120082-e 。

5．设方程0arctan =+-y y x 确定的函数)(x y y =,求=dxdy221y y +。

三、（6分）叙述∞=→)(lim 0x f x 的定义,并用定义证明定义∞=+→xx x 12lim0。

《高等数学》（下）考试卷A适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题：(共6小题，每空2分，共14分)1.设z=22x xy y ++，则x z ∂∂= ; yz∂∂= . 2.改变积分顺序240(,)dy f x y dx ⎰⎰= .3.函数 z=2x 2+y 2在点P(1,1)处的梯度为__________4.级数∑∞=11n n的敛散性为 .5.设平面曲线L 为下半圆周y=-21x -,则曲线积分⎰+Lds y x )(22=__________6.曲线x=41t 4,y=31t 3,z=21t 2在相应点t=1处的切线方程为_______________二.单项选择. (共8小题，每小题3分，共24分)1.设D 为圆域:x 2+y 2≤1,Ddxdy ⎰⎰=A.则A =( ) .(A) π (B) 4π (C) 2π (D) 3π. 2.lim 0n n u →∞≠是级数1n n u ∞=∑发散的（ ）(A)．充分条件 (B). 必要条件 (C).充要条件 (D).无关条件 3.积分()(),,LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是( )(A) .P Q y x ∂∂=∂∂ (B). P Q y x∂∂=-∂∂ (C). P Q x y ∂∂=∂∂ (D). P Q y y ∂∂=∂∂ 4.设3z x y =，则dz =( ).(A)dx dy + (B)233x ydx x dy + (C) 3x dx ydy + (D) 23x ydx ydy +5.曲线积分⎰++-c yx xdyydx 22的值为( ),其中C 取圆周221x y +=的正向. （A ）、π (B)、-2π (C)、 2π (D)、－π 6.已知2)()(y x ydydx ay x +++为某一函数的全微分,则a=( ) (A) -1 (B) 0 (C) 2 (D) 17.设∑为锥面z=22y x +介于z=0与z=1之间的部分,1∑是∑在第一卦限的部分,则⎰⎰∑++ds xz yz xy )(=( )(A)0 (B)4⎰⎰∑1xyds (C) 4⎰⎰∑1zyds (D) 4⎰⎰∑1xzds8.f x (x 0,y 0) 与f y (x 0,y 0)均存在是函数f(x,y)在点(x 0,y 0)处连续的( )条件 (A) 充分 (B)必要 (C)充要 (D)无关三.(8分)设z=x 3y 2-3xy 3-xy+1，求22x z ∂∂ ,22yz∂∂。

复旦大学高等数学A 期末考试试卷2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。

2. 设向量(2,1,2)a =r ，(4,1,10)b =-r，c b a λ=-r r r ，且a c ⊥r r ，则λ= 。

3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。

4．设yz u x =，则du = 。

5．级数11(1)np n n∞=-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（ ）A ．2x y Ce =B ．22x y Ce =C ．22y y e Cx =D ．2y e Cxy = 2．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ）A ．14 B ．12- C ．14- D ．123．直线:327x y zL ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上C ．直线L 垂直于平面πD ．直线L 与平面π斜交4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，则Dσ= （ ）A ．33()2b a π- B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π-5．下列级数收敛的是 （ ）A ．11(1)(4)n n n ∞=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D．1n ∞=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。

2. 计算二重积分22Dx ydxdy x y++⎰⎰，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，在区间（0，+∞）上连续且可导的是（）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = e^xD. f(x) = x^32. 设f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则f'(x) = （）。

A. 6x - 2B. 6xC. 6x + 2D. 63. 下列各数中，不属于等差数列的是（）。

A. 1, 4, 7, 10, ...B. 2, 5, 8, 11, ...C. 3, 6, 9, 12, ...D. 1, 3, 6, 10, ...4. 设f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的极值点为（）。

A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = 25. 下列积分中，结果为π的是（）。

A. ∫0^π x^2 dxB. ∫0^π sin x dxC. ∫0^π cos x dxD. ∫0^π x dx二、填空题（每题5分，共25分）6. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1在x=1处的导数为2，则f'(1) =________。

7. 数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则数列的前10项和S10 = ________。

8. 设函数f(x) = x^2 + 3x + 2，则f(-2) = ________。

9. 设f(x) = e^x，则f'(x) = ________。

10. 设f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。

三、解答题（共55分）11. （10分）求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1的导数f'(x)。

12. （15分）已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 3n + 2，求证：数列{an}是等差数列。

13. （20分）设函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(x)在区间[0, 3]上的最大值和最小值。

高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案一、填空题（将正确答案填在横线上)(本大题共5小题，每小题4分，总计20分)1、设函数，则=2、曲面在点处的切平面方程为____3、= .4、曲面积分= ，其中，为与所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧.5、幂级数的收敛域为。

二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、函数在(1,1）点沿方向的方向导数为（ )。

（A） 0 （B） 1 （C) 最小 (D）最大2、函数在处( ）.(A）不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在（C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在3、计算=（ )，其中为（按逆时针方向绕行)．（A）0 (B）（C） (D)4、设连续,且,其中D由所围成，则（ )。

（A）（B) （C） (D)5、设级数收敛，其和为，则级数收敛于( )。

（A）(B）(C）（D）三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分,总计24分)1、设函数由方程所确定，计算，。

2、计算，其中,为曲线,．3、求幂级数的和函数．三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分）1、求内接于半径为的球面的长方体的最大体积．2、计算，其中平面区域．3、计算，其中为平面被柱面所截得的部分.五、解答下列各题(本大题共2小题,每小题6分，总计12分）1、计算其中为上从点到点．2、将函数展开成的幂级数.答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、 2、3、 4、 5、二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、C2、A3、B4、D5、B三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题8分，共24分)1、解：方程两端同时对分别求偏导数，有，………………6分解得：.…………………………………………8分2、解:作图（略）。

原式=………………………2分.………………………8分3、解：经计算，该级数的收敛域为。

XX 大学2016—2017学年度第二学期考试试卷A 卷高等数学1—2注意事项:1. 请考生在下列横线上填写姓名、学号和年级专业。

2 .请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。

3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。

4. 满分100分，考试时间120分钟专业 学号 姓名_________________一．填空题（共24分，每小题3分）1．设函数x y z =，则__________________________=dz .2．方程333z e xyz e -=确定()y x z z ,=，则__________________=∂∂x z. 3. 曲线t t x sin -=，t y cos 1-=，2sin 2tz =在π=t 处切线方程为_________________________________________. 4. 函数2u x y z =+在点(2,1,0)M 处最大的方向导数为__________________. 5. 交换二次积分222(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，得__________________=I .6.设平面曲线)10(:2≤≤=x x y L ，则曲线积分__________________=⎰ds x L.7. 幂级数∑∞=12n n n x n的收敛域是 ________________________.8. 微分方程022=+'-''y y y 的通解为___________________________.二、选择题（共12分，每小题3分）1. 设曲面2232y x z +=在点)5 , 1 , 1(M 处的切平面方程为064=+-+λz y x ，则λ=（ ）.(A) 15- (B) 0 (C) 5- (D) 52. 函数),(y x f 在点),(y x 处可微是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的（ ）. (A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件3. 设曲线L 是单位圆周122=+y x 按逆时针方向，则下列曲线积分不等于零的是（ ）.(A) ds y L⎰ (B) ds x L⎰ (C) dx y xdy L⎰+ (D) ⎰+-L y x ydxxdy 224. 下列级数中收敛的是（ ）.(A) ∑∞=122n n n (B) ∑∞=+12n n n(C) ∑∞=+1)2121(n n n (D) ∑∞=133n n n三、解答题：(共59分)1.（7分）求二元函数()3132,23---=y x xy y x f 的极值. 2. （7分）设函数2,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()v u f ,具有二阶连续偏导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂2 , .3．（7分）计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2，其中D 是由圆周422=+y x 与y 轴所围成的右半区域.4．（7分）将函数())1ln(x x f +=展成1-x 的幂级数，并写出可展区间5．（7分）计算曲面积分(2)I xy x y z dS ∑=+++⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限中的部分.6. （8分） 求微分方程x xe y y y 223=+'-''的通解.7． （8分）计算曲线积分()()y d y xy dx yx x I L⎰+-+-=2322其中L 为曲线22x x y -=从)0,2(A 到)0,0(O 的弧段. 8．（8分）利用高斯公式计算曲面积分()()d xdy x z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-+++=33332,其中∑为由上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.四．（5分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数, 且()()f x f x α'<, 其中01α<<. 任取实数0a , 定义1ln (),1,2,3n n a f a n -==.证明：级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.高等数学1--2 参考答案与评分标准一、填空题（共24分，每小题3分） 1. dy xy ydx y dz x x 1ln -+= 2. 3z z yz x e xy ∂=∂- 3.2022-=-=-z y x π4.5. 2(,)xI dx f x y dy =⎰⎰6.()11127. )21, 21[- 8. )sin cos (21x c x c e y x +=二、选择题（共12分，每小题3分） 1. C 2. B 3. D 4. D 三、解答题（共64分） 1. （7分）解： 令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=022022y x f x y f yx 得驻点⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==22y x 2 分 x f xx 2-=，2=xy f ，2-=yy f 4 分 在（0，0）处， 2 , 2 , 0-===C B A04 2<-=-B AC ， ∴（0，0）为非极值点. 5 分在（2，2）处 2 , 2 , 04-==<-=C B A04 2>=-B AC ∴ 1)2 , 2(=f 为函数),(y x f 的极大值. 7 分2.（7分） 解：2121f xy f yx z '+'=∂∂ 3分)21(212f xy f yy y x z '+'∂∂=∂∂∂ ])([ 22])([11222212221221112x f yx f xy f x x f y x f y f y ''+-''+'+''+-''+'-= 223122113212221f y x f y x f yx f x f y ''+''-''-'+'-= 7 分3. （7分） 解：⎰⎰⎰⎰--=224 0222y Dxdx dy y dxdy xy3分⎰--=2 2 22)4(21dy y y 5 分 1564)4(2 0 42=-=⎰dy y y 7 分4. （7分） 解：10(1)ln(1)1n n n x x n ∞+=-+=+∑ 11≤<-x 1 分)211ln(2ln )]1(2ln[)1ln(-++=⋅-+=+x x x 3分10)21(1)1(2ln +∞=∑-+-+=n n n x n∑∞=++-+-+=011)1(2)1()1(2ln n n n n x n 6分1211≤-<-x ⇒ 31≤<-x 7分5.（7分）解：:1z x y ∑=--dS ∴== 2分(2DI xy ∴=+⎰⎰4分1102xDdx xydy dxdy -=⎰5分()13202xx x dx =-+6分=7分6.（8分）解 （1）先求微分方程023=+'-''y y y 的通解Y特征方程 0232=+-r r 即 0)1)(2(=--r r ，21=r ，12=rx x e c e c Y 221+= 3 分（2）求原方程的一个特解*y 2 =λ 是特征方程的根，故设 x x e bx ax e b ax x y 222)()(+=+=*5分令bx ax x Q +=2)(，则b ax x Q +='2)(，a x Q 2)(=''将)(x Q '，)(x Q ''代入方程x x Q p x Q ='++'')()2()(λ 得 x b ax a =++22则 ⎩⎨⎧=+=1212b a a ， 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==021b a ， x xe y 221=*7 分 所求通解 x x x xe e c e c y 222121++= 8 分7.（8分） 解：⎰++-+-OAL dy y xy dx yx x )2()(322dxdy x y dxdy y Px Q DD)()(22⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂= 3 分 ⎰⎰⋅=θd ρd cos 2 0220 ρρθπ5 分⎰==20 443cos 4ππθθd 6 分dy y xy dx yx x I OA ⎰+-+--=)2()(43322π 7 分2434320-=-=⎰ππxdx 8 分8. （8分） 解：由高斯公式dV z y x I )333(222⎰⎰⎰Ω++= 3 分2244 03 sin d d r dr ππθφφ=⎰⎰⎰ 6 分192(152π=- 8 分9.（5分）解：对任意设2n ≥,由拉格朗日中值定理，有111212121'()ln ()ln (),()n n n n n n n n n n f a a f a f a a a a a f ξαξ----------=-=-<-2 分其中1n ξ-介于1n a -与2n a -之间. 于是有11101,2,.n n n a a a a n α---<-= 3分 又级数1101n n a a α∞-=-∑收敛, 由比较审敛法知级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.5分。

大学-高等数学（Ⅱ）试卷题（A ）一、选择题：(每小题2分，共10分)1. 函数 ),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数 ),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是函数z在点),(00y x 存在全微分的（ ）；A.充分条件；B.必要条件；C.充分必要条件；D.既非充分又非必要条件.2．下列级数发散的是（ ）；A ．;(1)n nn n ∞=+- B.2(1)ln(1);1n n n n ∞=-++∑ C ．222sin();n a π∞=+∑ D.1.1nn n ∞=+ 3.级数1sin (0) n nxx n ∞=≠∑！，则该级数（ ）；A.是发散级数；B.是绝对收敛级数；C.是条件收敛级数；D. 仅在)1,0)(0,1(-内级数收敛，其他x 值时数发散。

4. 双曲抛物面22x y z p p-=.（p >0，q >0）与xOy 平面的交线是（ ）；A.双曲线B.抛物线C.平行直线D.相交于原点的两条直线. 5.322(,)42,f x y x x xy y =-+-函数下列命题正确的是。

A.点(2,2)是f(x,y)的极小值点B. 点(0，0)是f(x,y)的极大值点C. 点(2,2)不是f(x,y)的驻 点D.f(0,0)不是 f(x,y)的极值.二、填空题：(每小题3分，共30分 )1．222ln()1z x y x y =-++-的定义域为 ；2．曲面2221ax by cz ++=在点()000,,x y z 的法线方程是 ;3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则 '(1,0)y f = ;4.已知D 是由直线x ＋y =1,x －y =1及x = 0所围，则Dyd σ⎰⎰= ;5． 3(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序得 ;7．1(2),n n n u u ∞→∞=+=∑n 若级数收敛则lim ；8.微分方程y / + P(x)y = Q(x)的积分因子为_____________(写出一个即可)； 9．设y z x dz ==，则；10.设P(x,y)、Q(x,y)在曲线L 围成的单联通区域内具有一阶连续偏导数。

下学期期末考试试卷答案课程名称：《高等数学A Ⅱ》 （试卷编号：E ）一、填空题（本大题共9小题10空，每空2 分，共 20分）1.2-2. 221,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭3.2154. (){}22,12x y xy ≤+< 5. 36. 23，137. xy xye xye +（或“()1xy xy e +”） 8.3 9. 收敛二、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，本大题共6小题，每小题3 分，共18 分）三、判断题（选择正确答案的字母填入括号，正确的打“√”，错误的打“×”。

本大题共5小题，每小题2分，共10分）四、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）1.解：因为22sin y zxe y x x∂=-∂，22cos y z x e y x y ∂=+∂， ――――――――2分所以(),02zx ππ∂=∂，()2,0z y ππ∂=∂， ――――――――2分 于是，所求全微分22dz dx dy ππ=+ ――――――――2分 2.解：dz z du z dv fdx u dx v dx x∂∂∂=++∂∂∂ ――――――――2分 11x v u e x=⋅+⋅+ ――――――――2分()111x x x e x=++++ ――――――――2分3.解：积分区域(){}2,1D x y xy x =≤≤≤≤所以210x Dxyd dx σ=⎰⎰⎰ ――――――――2分25122x x dx dx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰⎰ ――――――――2分1360161212x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ――――――――2分4.解：积分区域(){}2,,01,1,11x y z z xy x Ω=≤≤≤≤-≤≤所以21111xxzdxdydz dx dy xzdz -Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ――――――――2分2121112xxz dx dy -=⎰⎰ 21112x xdx dy -=⎰⎰ ――――――――2分 21112x xy dx -⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 21122x x dx -⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 1231=46x x -⎛⎫- ⎪⎝⎭ 13=- ――――――――2分5.解：由11limlim 1n n n na n a n ρ+→∞→∞+===，得级数的收敛半径 1R =， ――――――――3分在1x =-处，幂级数成为()()111231n nn n n ∞=-=-+-++-+∑L L ，由()lim 10nn n →∞-≠知该级数发散；在1x =处，幂级数成为1n n ∞=∑，由lim 0n n →∞=∞≠知该级数发散。

《高等数学》(下)考试试卷(A)适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一.填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设(,)z f u v =可微2(,)z f xy x =，则z x ∂=∂ ，z y∂=∂ . 2.微分方程220y y y '''-+=的通解为 . 3.改变积分顺序1210(,)x dx f x y dy ⎰⎰= .4.函数u=xyz 在点(1,1,1)处最大的方向导数是 .5.设以2π为周期函数()f x 傅里叶级数为01[cos sin ]2n n n a a nx b nx ∞=++∑ ，那么n a = ，n b = .二.单项选择. (共7小题，每小题2分，共14分)1.下列说法正确的是（ ）；(A)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定连续. (B)函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，则一定连续.(C)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定可微. (D) 函数),(y x f z =在点),(00y x 处无极限，，则偏导数一定不存在. 2.级数1(1)nn ∞=-∑ ( )； (A) 绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)无法确定收敛性. 3.积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是( )；(A)x Q y P ∂∂=∂∂ ， (B) xQ y P ∂∂-=∂∂， (C) y Q x P ∂∂=∂∂ ， (D) y Q y P ∂∂=∂∂. 4. 设),(y x f z =可微，则曲面)32,(y x xy f z +=的一个法向量是( )；(A)12{,,1}f f - ， (B) 1212{2,3,1}yf f xf f ++-， (C) {,2,1}yf f ''-， (D) 1212{2,3,1}yf f xf f ++5.设Ω是由锥面22y x z +=与平面2z =围成，则3dxdydz Ω⎰⎰⎰=( )；(A) 83π ， (B) 3π ， (C) 4π， (D)8π.6.若∑是上半球面z =面积的曲面积分∑⎰⎰=（ ）；(A) 0 ， (B) 2π ， (C) 4π， (D)8π. 7. 微分方程2dyxy dx=，(0)2y =的解为（ ）. (A) 2x ce ， (B) 2x e ， (C) 22x e ， (D) 22x ce . 三、计算下列各题.(共5小题，每小题8分，共40分)1.设01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩，求,u v x x ∂∂∂∂.2.求曲面22y x z +=夹在平面z=0,z=4之间的曲面面积.3.222()Lx y z ds ++⎰,其中L 是曲线cos ,sin ,x a t y a t z t ===上相应于t 从0到2π的一段弧.4.求I=⎰⎰∑++zdxdy ydxdz xdydz ，其中∑是上半球面z =.5.求(sin )(cos )x x LI e y ky dx e y k dy =-+-⎰，其中L 是由点)0,(a 到点（0，0）的上半圆周022=-+ax y x （y ≥0）.四.(8分)验证方程2223(36)(64)0x xy dx x y y dy +++=是全微分方程，求其通解.五.(11分)求幂级数210121n n x n ∞+=+∑的收敛半径，收敛区域与和函数()s x .并且求201(21)3nn n ∞=+∑的和.六.(12分)在第一卦限内作球面2221x y z ++=的切平面，使切平面与三坐标平面所围的四面体体积最小，并且求切点坐标.《高等数学》(下)考试试卷(A)答案适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一.填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设2(,)z f xy x =，则z x ∂=∂122yf xf + ，zy∂=∂1xf .2.微分方程220y y y '''-+=的通解为12(cos sin )x y e C x C x =+ .3.改变积分顺序1210(,)x dx f x y dy ⎰⎰=1/2211/011/21(,)(,)ydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰.4.函数u=xyz 在点(1,1,1)5.设以2π为周期函数()f x 傅里叶级数为01[cos sin ]2n n n a a nx b nx ∞=++∑ ， 那么n a =1()cos f x nxdx πππ+-⎰，n b =1()sin f x nxdx πππ+-⎰ .二.单项选择. (共7小题，每小题2分，共14分)1.下列说法正确的是（ B ）；(A)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定连续. (B)函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，则一定连续.(C)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定可微. (D) 函数),(y x f z =在点),(00y x 处无极限，，则偏导数一定不存在. 2.设曲线L 为正方形 1x y += 的边界，则Ldsx y+⎰=( D )； (A) 0(B)3.积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是(A ).(A)x Q y P ∂∂=∂∂ ， (B) xQ y P ∂∂-=∂∂， (C) y Q x P ∂∂=∂∂ ， (D) y Q y P ∂∂=∂∂. 4.曲面2224x y z ++=在点(1,1的一个法向量是( B ).(A){1,1,1}- ，(B) {1，(C){1,1,， (D) {1,1--5.函数22(,)44f x y x y x y =---的极大值为( C ).(A) (2,2)8f =- ， (B) (0,0)0f = ， (C) (2,2)8f -=，(D)不存在. 6. 若∑是上半球面z =面积的曲面积分∑⎰⎰=（A ）.(A)0 ， (B) 2π ， (C) 4π， (D)8π. 7. 微分方程2dyxy dx=，(0)2y =的解为（C ）. (A) 2x ce ， (B) 2x e ， (C) 22x e ， (D) 22x ce . 三、计算下列各题.(共5小题，每小题8分，共40分)1.设01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩，求,u v x x ∂∂∂∂.解22u xu yvx x y ∂+=-∂+，…….. 4分 ……22u yu xv x x y ∂-=∂+……. 8分 2.求曲面22y x z +=夹在平面z=0,z=4之间的曲面面积.解 ⎰⎰++=Ddxdy y x S 22441 ………… 4分=)11717(64120202-=+⎰⎰ππθrdr r d ……….. 8分3.222()Lx y z ds ++⎰,其中L 是曲线cos ,sin ,x a t y a t z t ===上相应于t 从0到2π的一段弧.解 222()L x y z ds ++⎰=dt a t t a t a 1)cos sin (2202222+++⎰π…… 4分222)a ππ+…………8分4.求I=dydz dxdz ∑，其中∑是上半球面z =.解 因为2221x y z ++=，则I xdydz ydxdz zdxdy ∑=++⎰⎰由高斯公式得I=⎰⎰∑+∑++1zdxdy ydzdx xdydz - ⎰⎰∑++1zdxdy ydxdz xdydz ……4分=dxdydz ⎰⎰⎰Ω3-0………… 6分=2π-0=2π………… 8分5.求(sin )(cos )x x LI e y ky dx e y k dy =-+-⎰，其中L 是由点)0,(a 到点(0,0)的上半圆周022=-+ax y x （y ≥0）.解k y Px Q =∂∂-∂∂，由格林公式 1(sin )(cos )x x L L I e y ky dx e y k dy +=-+-⎰1(sin )(cos )x x L e y ky dx e y k dy --+-⎰=⎰⎰-Dkdxdy 0=28a kπ……… 8分四.(8分)设函数()y f x =满足全微分方程2(())(())0xy yf x dx f x x dy -++=，求()f x . 解 因为是全微分方程，则()()2P Qx f x f x x y x∂∂'=-==+∂∂，………. 4分 于是()(),f x f x x '+=-或y y x '+=-则 1x y x Ce =++，即 ()1x f x x Ce =++………..8分五.(12分)求幂级数210(1)21n n n x n ∞+=-+∑的收敛半径，收敛区域与和函数()s x .并且求(1)(21)3nnn n ∞=-+∑的和. 解 R=1lim+∞→n nn a a =1 ……3 分. 因为1-=x ，1=x ，21(1)21n n n x n ∞+=-+∑发散，所以收敛区域为(1,1)-.…..5分 (21)0(1)arctan 21n n n x x n ∞+=-=+∑=()s x …………………8分令x =，(21)0(1)(2n n n n ∞+=-+∑=6π=…(1)(21)3n nn n ∞=-=+∑…..12分 六.(10分)求均匀半球体0z ≤≤.解 设 质心坐标为(,,)x y z ， 球体密度为ρ ，则x = 0y =… ..2分因为 32,,3zdvz dv a dvρρρπρΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2/22401cos sin 4azdv d d r r d a ππρρθϕθθθρπΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰………..8分 于是，38z a =则质心坐标为3(0,0,)8π………..10分。

浙江大学2016级高等数学期终考试试卷（C ）学院__________ 班级__________ 学号__________姓名__________ 考试教室__________一、填空题：（每题4分，共12分）只填答案1.举出符合各题要求的一例，并将其填入空格内。

（1）在0x =点不连续，但当0x →时极限存在的函数有____________；（2）属“00”或“∞∞”未定型，且其极限存在，但极限不能用洛必达法则求得的极限有____________；（3）原函数不存在，但其原函数不能用初等函数表示的函数有____________; （4）有界，但不可积的函数有____________；2.已知抛物线2y ax bx c =++过点(1,2)，且在该点的曲率圆方程是：22151()()222x y -+-=.则a =____________，b =____________，c =____________,曲线在（1，2）处的曲率k ＝____________.3. 设21()cos xf x t dt =⎰.（1）()d f x dx =____________；（2）1()lim 1x f x x →-=____________； （3）1()f x dx ⎰=____________；二、选择题：（每题3分，共12分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的字母填入括号中1.设()()f x f x =-，且在(0,)+∞内二阶可导，又'()0f x >，''()0f x <，则()f x 在(,0)-∞内的单调性和图形的凹向是（ ）.A.单调增，向下凹B.单调减，向下凹C.单调增，向上凹D.单调减，向上凹2.函数()y f x =在点0x 的以下结论正确的是（ ） A.若'()0f x =，则0()f x 必是一极值；B.若''()0f x =，则点00(,())x f x 必是曲线()y f x =的拐点；C.若极限001lim [()()]n n f x f x n→∞+-存在（n 为正整数），则()f x 在0x 点可导，且有0001lim [()()]'()n n f x f x f x n→∞+-=； D.若()f x 在0x 处可微，则()f x 在0x 的某领域内有界。

第 1 页 （共 3 页）下学期期末考试试卷课程名称：《高等数学A Ⅱ》 （试卷编号： A ）（本卷满分100分，考试时间120分钟）考试方式:考试考查闭卷开卷仅理论部分其他)学院： 专业：班级： 学号： 姓名： 任课教师：考试地点： 考试时间: 月 日 时 分一、填空题（本大题共10小题10空，每空2 分，共 20分）1.极限(,)limx y →= .2.经过两点(1,2,0)A -、(4,1,3)B -的直线方程为 .3.求两直线113:141x y z l -+==-和22:221x y zl +==--的夹角θ= . 4.球心在点(1,3,2)-且通过坐标原点的球面方程为 . 5.求直线234112x y z ---==与平面260x y z ++-=的交点坐标 . 6.设(,)f x y =，则(1,1)xy f = .7.设2sin 2z x y =，则全微分dz = . 8.计算二次积分2ln 1yx dy e dx =⎰⎰.9.若级数11p n n ∞=∑收敛，则P 的范围是 . 10.把函数2xe 展开成x 的幂级数，则2xe = .二、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，本大题共6小题，每小题3 分，共18 分）1.已知级数21sin n n n α∞=∑，则此级数（ ）. A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 不能确定2.过点(2,0,3)-且与直线27010x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程为（ ）.A. 2370x y z +++=B. 2350x y z +-+=C. 2350x y z -+-=D. 2370x y z --+= 3.设函数22324z x y y =-+-，则(0,2)是（ ）.A. 极大值点B. 极小值点C.不是极值点D. 无法确定 4.设22(,)xy z f x y e =+，则zx∂=∂（ ）. A. 122xy xf xe f ''+ B. 122xy xf ye f ''+ C. 122xy yf xe f ''+ D. 122xy yf ye f ''+5.求曲线221()44z x y y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩在点4,7)处的切线与x 轴正向之间的夹角（ ）. A. 30oB. 45oC. 90oD. 60o6.设25DI xy d σ=⎰⎰，其中区域{}(,)01,11D x y x y =≤≤-≤≤，则I =（ ）.A. 1-B. 0C. 1D. 2请考生注意：答题时不要超过“装订线”，否则后果自负。

课程名称:高等数学(二、二）（期末试卷）答案要求：1.答案一律写在答题纸上，写在其它位置无效 2.答题纸单独收，与试卷和草稿纸分开。

一、填空题（每空3分,共15分） 1．微分方程()460yxy y ''-+=的通解中含任意常数的个数为 4 个.2. 以函数2y x Cx =+为通解的一阶微分方程为2xy x y'=+.3. 若级数1n n u ∞=∑的部分和为21n ns n =+，则级数1n n u ∞=∑的和s = 2 .4. 为使级数()11np n n∞=-∑条件收敛，则常数p 的取值范围为01p <≤.5. 设幂级数1nn n a x ∞=∑的收敛区间为()3,3-，则幂级数()111n n n na x ∞-=-∑的收敛区间为()2,4-.二、单项选择题（每小题3分,共15分） 1．设,,xxx e e-是某二阶线性非齐次微分方程的三个特解，则该微分方程的通解为（ D ）.(A) 12xy C x C e =+； (B) 123x x y C x C e C e -=++；(C) ()12x x y C x C e e -=+-； (D) ()()12x x y C e x C e x x -=-+-+. 2．将微分方程()21yy y '''-=降为一阶微分方程时，做变量代换y p '=，则（ C ）.(A) y p '''=； (B) dp y ydy ''=； (C) dp y p dy ''=； (D) dp y x dx''=. 3．微分方程23y y x '''-=的特解形式为（ B ）.（其中,,a b c 为常数）(A)*2y ax bx c =++； (B) ()*2y x ax bx c =++；(C) ()*y x ax b =+； (D) ()*22y x ax bx c =++． 4．若级数1nn u∞=∑收敛，则必收敛的级数为（ A ）．(A) ()11n n n u u ∞+=+∑ （B ）()11nn n u n ∞=-∑ （C ）21n n u ∞=∑ （D ）()2121n n n u u ∞-=-∑5. 级数()1113n n n -∞=-∑的和s =（ A ）．(A)14 ； (B) 13 ； (C) 12； (D) 1 . 三、判断下列常数项级数是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛（每小题7分,共21分） 1.13n n n ∞=∑ ； 解：由正项级数的比值判别法11131lim lim 133n n n n n nu n u n ++→∞→∞+=⋅=<，所以该级数收敛，又因是正项级数，收敛的正项级数绝对收敛。

第 1 页 （共 3 页）下学期期末考试试卷课程名称：《高等数学A Ⅱ》 （试卷编号：E ）（本卷满分100分，考试时间120分钟）考试方式:考试考查闭卷开卷仅理论部分其他 )学院： 专业：班级： 学号： 姓名： 任课教师：考试地点： 考试时间: 月 日 时 分一、填空题（本大题共9小题10空，每空2 分，共 20分）1.已知()(),1,0,1a b ==r r2,1,-4，则a b ⋅=r r 。

2.与()2,2,1a =-r共线的单位向量e =r。

3.直线+162212x y z --==-与直线123043x y z -+-==的夹角余弦为。

4. ()22ln 2zx y=+--的定义域是 。

5.()(,)(0,3)sin limx y xy x→= 。

6.若()ln 1z xy =+，则()1,2zx ∂=∂ ，()1,2z y ∂=∂ 。

7.若xyz e =，则2zx y∂=∂∂ 。

8.若平面区域D 的面积为3，则二重积分Dd σ=⎰⎰ 。

9. 级数211n n ∞=∑的敛散性是 。

二、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，本大题共6小题，每小题3 分，共18 分）1. 已知,23a i j b i j k =-=+-r r r r r r r3，则a b ⨯=r r （ ）。

A. 5 B. 2 C. 95i j k -+r r r 3 D. 95i j k ++r r r32．向量()1,2,a m =-r与向量()4,1,2b =r 垂直，则m =（ ）。

A.1- B. 0 C. 1 D.23.设23(,,)2f x y z xy y z xyz =+-，则()2,1,1yz f -=（ ）。

A.0 B. 4 C. 8 D. 13- 4. 函数x y x y x y x f 933),(2233-+++= 在点()1,0处（ ）。

A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定 5.设()22DI xy dxdy =+⎰⎰， 其中D 是由曲线222x y a +=所围成的平面区域 ()0a >，则I =（ ）。