2015年7月浙江大学期末考试---高等数学基础

浙江大学2014 –2015 学年 春夏 学期《数字系统设计》课程期末考试试卷课程号： 111C0120 ，开课学院： 信息与电子工程学院 考试试卷：√A 卷、B 卷（请在选定项上打√）考试形式：√）闭、开卷（请在选定项上打√），允许带 计算器 入场 考试日期： 2015 年 7 月 8 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。

考生姓名： 学号： 所属院系（专业）： _1. 处理器可以分为两个部分：数据通路和控制电路。

2. 一般TTL 门电路的输出端可以直接相连，实现线与。

3. CMOS 与非门和TTL 与非门的逻辑功能不一样。

4. JK 触发器在时钟脉冲的作用下，如果要使n n Q Q =+1，则输入信号JK 应为nn Q K Q J ==,。

5. 具有记忆功能的各类触发器是构成时序逻辑电路的基本单元。

6. 石英晶体多谐振荡器的振荡频率与电路中的R 、C 乘积成正比。

7. 状态简化中，若S1、S2两状态的输出不同，则S1、S2两状态肯定不等价。

8. 由两个TTL 或非门构成的基本RS 触发器，当R=S=0时，触发器的状态为不定。

9. 格雷码具有任何相邻码只有一位码元不同的特性。

10. 组合逻辑电路中产生竞争冒险的主要原因是输入信号受到尖峰干扰。

11. 对于一个存储容量位32K ×16位的RAM 有512K 个地址单元。

12. 或非门多余的输入端均可以悬空。

13. 单稳态触发器的暂稳态时间与输入触发脉冲宽度成正比。

14. 由与、或、非门电路构成的逻辑电路一定是组合逻辑电路。

15. 冯诺依曼结构和哈佛结构的区别是：前者将程序存储和数据存储放在同一物理存储空间，后者将程序和数据存储分别放在不同的物理存储空间。

二、（15分）设计一位8421BCD码的判奇电路，当输入的4个码中含奇数个“1”时，输出为1，否则为0。

设输入为A，B，C，D，输出为Y。

要求使用两种方法实现：（1）用最少与非门实现，画出卡诺图，推导用与非门实现电路的最终表达式（电路图可以不画）。

浙江大联考2015届高三第七次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:高考全部内容.选择题部分(共40分)一、选择题.(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若集合A={x||2x+3|<7},B={x|y=log2(x2-4)},则A∩B等于A.{x|x<-5或x>-2}B.{x|-5<x<-2}C.{x|x≤-3或x≥-1}D.{x|x<-3或x>1}2.已知向量a=(-1,1),a+2b=(-2,k),且a与b垂直,则k的值为A.0B.2C.-1D.13.公比为2的等比数列{a n} 的各项都是正数,且 a4a10=16,则a6等于A.1B.2C.4D.84.已知函数f(x)=-则“f(1)=f(-1)”是“f(2)=4”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要和件5.一个边长为2的正方体截去两个角后所得几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为A.B.C.6D.6.如图所示,已知椭圆的方程为+=1(a>b>0),A为椭圆的左顶点,B,C在椭圆上,若四边形OABC为平行四边形,且∠OAB=45°,则椭圆的离心率等于A. B.C. D.7.设函数f(x)=x-,对任意x∈[1,+∞),f(2mx)+2mf(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是A.(-∞,-)B.(-,0)C.(-,)D.(0,)8.如图,已知DE是边长为a正△ABC的中位线,现将△AED沿DE折起而得到△A'ED,直到平面A'ED⊥平面ABC,则A.若点M是BA'的中点,则CM∥平面A'DEB.在BC上存在点N,使得平面A'DN⊥平面BCEDC.在翻折过程中,异面直线A'D与BE所成的角先增大后减小D.在翻折过程中,直线A'B与平面A'ED所成的角的正切值可以为非选择题部分(共110分)二、填空题.(本大题共7小题,9-12每小题6分,13-15每小题4分,共36分.把答案填在答题卷中的横线上.)9.已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0)的最小正周期π,则ω=▲,f()= ▲,要得到函数y=sin ωx的图象,则至少要将函数y=f(x)的图象向左平移▲个单位.10.已知过双曲线-=1的右焦点F且垂直实轴的直线与双曲线的两个交点分别为A、B,如果A、B与双曲线的左焦点构成等边三角形,则该双曲线的渐近线方程的斜率为▲;若b=2,则双曲线的焦距为▲.11.设集合A=[0,),B=[,1],函数f(x)=∈-∈则f[f(log162)]= ▲;若x0∈A,且f[f(x0)]∈A,则x0的取值范围是▲.12.设变量x,y满足约束条件---且约束条件表示的平面区域的面积为,则k=▲,目标函数z=3x-2y的取值范围为▲.13.已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n,且=,则使得为整数的正整数n的个数为▲.14.设0<m<,若+-≥k恒成立,则k的最大值为▲.15.已知△ABC的三边长分别为5,6,7,点O是△ABC三个内角的角平分线的交点.若BC=7,则点集{P|=x+y,0≤x≤1,0≤y≤1}所表示的区域的面积为▲.三、解答题.(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=sin 2x+2cos2x+3.(1)当x∈(0,)时,求函数f(x)的值域;(2)若f(x)=,且x∈(,),求sin(4x+)的值.17.(本小题满分15分)已知数列{a n}中,a1=1,前n项和为S n且S n+1=S n+1(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{}的前n项和为T n,求满足不等式T n<的n值.18.(本小题满分15分)如图所示,在四棱锥A—BCDE中,AE⊥面EBCD且四边形EBCD是菱形,∠BED=120°,AE=BE=2,F是BC上的动点.(1)当F是BC的中点时,求证:平面AEF⊥平面ABC;(2)当F在由B向C移动的过程中能否存在一个位置使得二面角F—AD—C的余弦值是.若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由.19.(本小题满分15分)已知抛物线C:y2=4x,定点D(m,0)(m>0).过D作直线l交抛物线C于A,B两点,E是D 点关于坐标原点O的对称点.(1)求证:∠AED=∠BED;(2)是否存在垂直于x轴的直线l'被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值.若存在,求出l'的方程;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分14分)已知函数f(x)=2|x-m|和函数g(x)=x|x-m|+2m-8.(1)若m=2,求函数g(x)的单调区间;(2)若方程f(x)=2|m|在x∈[-4,+∞)上恒有唯一解,求实数m的取值范围;(3)若对任意x1∈(-∞,4],均存在x2∈[4,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.2015届高三第七次联考·数学试卷参考答案1.D 因为A={x||2x+3|<7}={x|-5<x<2},B={x|y=log2(x2-4)}={x|x2-4>0}={x|x>2或x<-2},所以A∩B={x|-5<x<-2}.2.A 由a+2b=(-2,k),a=(-1,1),得2b=(-2,k)-(-1,1)=(-1,k-1),因为a与b垂直,所以a·2b=(-1,1)·(-1,k-1)=0,解得k=0.3.B 根据等比数列的性质知a4a10==16,所以a7=4,所以a6==2.4.C f(-1)=1-(-1)=2,f(1)=a,因f(1)=f(-1),得a=2,则f(2)=22=4;反之也成立.5.B 根据三视图可以还原直观图如右图正方体截去以A,C为顶点的三棱锥余下的多面体,其体积为23-2××(×2×2)×2=.6.C 令椭圆的右端点为M,连接CM,由题意四边形OABC为平行四边形,且∠OAB=45°,B,C在椭圆上,由椭圆的对称性知,B、C关于y轴对称,可得∠COM=∠CMO=∠OAB=45°,则有∠OCM=90°,由图形知|BC|=a,且BC∥OA,故C的横坐标为a,代入椭圆方程得+=1,y=±b,结合图形知C(,b),∵△COM为等腰Rt△,∴a=b,可得c2=a2,所以e2=,e=.7.A 对任意x∈[1,+∞),f(2mx)+2mf(x)<0恒成立,即2mx-+2m(x-)<0在x∈[1,+∞)上恒成立,即-<0在x∈[1,+∞)上恒成立,故m<0,因为8m2x2-(1+4m2)>0在x∈[1,+∞)上恒成立,所以x2>在x∈[1,+∞)上恒成立,所以1>,解得m<-或m> (舍去),故m<-,故选A.8.D 对于A,∵BC∥平面A'DE,若CM∥平面A'DE,则平面BCM∥平面A'DE,即有BM∥平面A'DE,矛盾,故A错;对于B,若A'DN⊥平面BCED,则过点A'作平面BCED的垂线,则垂足在DN上,显然不成立,故B错;对于C,取AE的中点F,连结DF,则DF∥BE,∴∠A'DF为异面直线所成的角,在△A'DF中,A'D=,DF=a,在翻折过程中,A'F逐渐增大且最大值为,所以∠A'DF逐渐增大且小于,故C错;对于D,在翻折过程中,直线A'B与平面A'ED所成的角逐渐增大,且角最大时其正切值为,故D正确.9.2 -ω==2,f()=sin(-)=-cos=-,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位可得到函数y=sin 2x的图象.10.±2依题意,当x=c时,y=±,由双曲线定义得-=2a⇒=±,∵b=2,∴a=,则2c=2=2.11.(,) f[f(log162)]=f[f()]=f()=;∵x0∈A,∴f(x0)=x0+∈[,1),则f[f(x0)]=2(1-x0-)=1-2x0,∵f[f(x0)]∈A,∴1-2x0∈[0,),解得<x0≤,又x0∈A,∴<x0<.12.4 (-4,3) 作出不等式对应的可行域如图,知点B(1,),C(-,)和D(1,0),则··(1--)=,解得k=4或k=-6(舍去),易知z的取值范围是(-4,3).13.5 由=,得=--==,要使为整数,则需=7+为整数,所以n=1,2,3,5,11,共有5个.14.0<m<,-=-,设-m=n,得+-=+,n>0,∵m+n=,可得2(m+n)=1,∴+=(+)×2(m+n)=2(++)≥2(+2·)=2(+2)=,当且仅当m=,n=时,+-的最小值为,∵不等式+-≥k恒成立,∴≥k恒成立,可得k的最大值为.15.易知点集{P|=x+y,0≤x≤1,0≤y≤1}所表示的区域为以OB、OC为邻边的平行四边形,其面积为2S△OBC.因为点O是△ABC三个内角的角平分线的交点,故点O到三边的距离相等,设为r,则△ABC的面积S△ABC=×(5+6+7)r=9r,设∠BAC=θ,则由余弦定理得cos θ=-=,所以sinθ=-=,则△ABC的面积S△ABC=×5×6sin θ=6,故r=,因此S△OBC=×7×=,从而所求区域的面积为.16.解:(1)由已知得f(x)=sin 2x+2cos2x+3=sin 2x+cos 2x+4=2sin(2x+)+4.当x∈(0,)时,2x+∈(,),sin(2x+)∈(-,1],故函数f(x)的值域是(3,6]. ............................................................................................................... 7分(2)由f(x)=,得2sin(2x+)+4=,∴sin(2x+)=.∵x∈(,π),∴2x+∈(,π),cos(2x+)<0,∴cos(2x+)=--=-.∴sin(4x+)=2sin(2x+)cos(2x+)=-. ......................................................................................... 15分17.解:(1)由S n+1=S n+1,得当n≥2时S n=S n-1+1,∴S n+1-S n=(S n-S n-1), 即a n+1=a n,∴=,又a1=1,得S2=a1+1=a1+a2,∴a2=,∴=,∴数列{a n}是首项为1,公比为的等比数列,∴a n=()n-1....................................................................... 7分(2)∵数列{a n}是首项为1,公比为的等比数列,∴数列{}是首项为1,公比为的等比数列,∴T n=--=3[1-()n],又∵S n=2·()n-2,∴不等式T n<,即得()n>,∴n=1或n=2. .......................................................... 15分18.解:(1)当F为中点,在△BEF中,BF=1,BE=2,∠EBF=60°,由余弦定理可得EF=,∴BF2+EF2=BE2,∴∠EFB=90°,∴EF⊥BC,又AE⊥BC且AE∩EF=E,∴BC⊥平面AEF,又BC⊂平面ABC,∴平面AEF⊥平面ABC. ....................... 6分(2)取BC的中点M,由(1)知EM⊥ED,建立如图空间直角坐标系,∵四边形EBCD是菱形,∠BED=120°,∴C(,1,0),D(0,2,0),A(0,0,2).设F(,b,0)(其中-1≤b≤1),∴=(,b-2,0),=(,-1,0),=(0,-2,2),设面ACD的法向量是n1=(x,y,z),则··⇒--令y=得x=1,z=,故n1=(1,,).设面DAF的法向量是n2=(x,y,z),∴··⇒--令y=得z=,x=2-b即n2=(2-b,,),设面DAF和面ADC所成二面角为θ,∴|cos θ|=|cos<n1·n2>|=·-=,即·-=解得b=或b=(舍去).即BF=时,使得二面角F—AD—C的余弦值是. .................................................................... 15分19.解:(1)依题意知E点坐标为(-m,0).①当直线l与x轴垂直时,根据抛物线的对称性,有∠AED=∠BED;②当l与x轴不垂直,设直线l的方程为y=k(x-m)(k≠0,m>0),A(x1,y1)B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程组-消去x并整理得:ky2-4y-4km=0,∴y1+y2=,y1y2=-4m.设直线AE和BE的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=+===-=0,∴tan∠AED+tan(180°-∠BED)=0,∴tan∠AED=tan∠BED.∵0<∠AED<,0<∠BED<,∴∠AED=∠BED,综合①②可知∠AED=∠BED. .................................................................................. 8分(2)假设存在满足条件的直线l',其方程为x=a,AD的中点为O',l'与AD为直径的圆相交于点F、G,FG 的中点为H,则O'H⊥FG,O'点的坐标为(,),∵|O'F|=|AD|=-=-,|O'H|=|a-|=|2a-x1-m|,∴|FH|2=|O'F|2-|O'H|2=[(x1-m)2+4x1]-(2a-x1-m)2=(a-m+1)x1+a(m-a),∴|FG|2=(2|FH|)2=4[(a-m+1)x1+a(m-a)].令a-m+1=0,得a=m-1,此时|FG|2=4(m-1).当m-1>0,即m>1时,|FG|=2-(定值),∴当m>1时,满足条件的直线l'存在,其方程为x=m-1;当0<m≤1时,满足条件的直线l'不存在. ........................................................................................ 15分20.解:(1)m=2时,g(x)=----函数g(x)的单调增区间为(-∞,1),(2,+∞),单调减区间为(1,2). ............................................................. 4分(2)由f(x)=2|m|在x∈[-4,+∞)恒有唯一解,得|x-m|=|m|在x∈[-4,+∞)恒有唯一解.当x-m=-m时,得x=0∈[-4,+∞);当x-m=m时,得x=2m,则2m=0或2m<-4,即m<-2或m=0.综上,m的取值范围是m<-2或m=0. ...................................................................................................................................................... 8分(3)f(x)=--则f(x)的值域应是g(x)的值域的子集.①当4≤m≤8时,f(x)在(-∞,4]上单调递减,故f(x)≥f(4)=2m-4,g(x)在[4,m]上单调递减,[m,+∞)上单调递增,故g(x)≥g(m)=2m-8,所以2m-4≥2m-8,解得4≤m≤5或m≥6.即4≤m≤5或6≤m≤8.②当m>8时,f(x)在(-∞,4]上单调递减,故f(x)≥f(4)=2m-4,g(x)在[4,]单调递增,[,m]上单调递减,[m,+∞)上单调递增,g(4)=6m-24>g(m)=2m-8,故g(x)≥g(m)=2m-8,所以2m-4≥2m-8,解得4≤m≤5或m≥6.即m>8.③0<m<4时,f(x)在(-∞,m]上单调递减,[m,4]上单调递增,故f(x)≥f(m)=1.g(x)在[4,+∞)上单调递增,故g(x)≥g(4)=8-2m,所以8-2m≤1,即≤m<4.④m≤0时,f(x)在(-∞,m]上单调递减,[m,4]上单调递增,故f(x)≥f(m)=1.g(x)在[4+∞)上单调递增,故g(x)≥g(4)=8-2m,所以8-2m≤1,即m≥(舍去).综上,m的取值范围是[,5]∪[6,+∞). ............................................................................................... 14分。

浙江省 2015年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

一、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.当x →0x 时，f(x)是g(x)的高阶无穷小，则当x →0x 时，f(x)-g(x)是g(x)的A ．等价无穷小B ．同阶无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小2.设f(x)在x=a 处可导，则()xx a f x a f x --+→)(lim 0等于 A. f ’(a) B.2 f ’(a) C.0 D. f ’(2a)3.设可导函数F(x)满足F ’(x)=f(x),且C 为任意常数，则A.⎰+=C x f dxx F )()(' B. ⎰+=C x F dx x f )()( C.⎰+=C x F dx x F )()( D. ⎰+=C x F dx x f )()(' 4.设直线L 1：2-31511+=-=-z y x 与L 2：⎩⎨⎧=+=32z y 1z -x ，则L 1与L 2的夹角是 A.6π B. 4π C.3π D.2π5在下列级数中，发散的是A.)1ln(1)1(11+-∑∞=-n n n B. ∑∞=-113n n n C.n n n 31)1(11∑∞=-- D . ∑∞=-113n n n非选择题部分注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、 填空题: 本大题共10小题，每小题 4分，共40分。

2015年浙江成人高考专升本高等数学一真题及答案高等数学（一）一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.1. 当，当时，是的（ ）0≠b 0→x bx sin 2x A. 高阶无穷小量 B. 等价无穷小量C. 同阶但不等价无穷小量 D. 低阶无穷小量2. 设函数可导，且，则（ ）)(x f 2)1()1(lim=-+→f x f xx =')1(f A. 2 B. 1C.D. 0213. 函数的单调减区间为（ ）112)(3+-=x x x f A. B. ),(+∞-∞)2,(--∞C. D. )2,2(-),2(+∞4. 设，则（ ）0)(0='x f 0x x =A. 为的驻点 B. 不为的驻点)(x f )(x f C. 为的极大值点D. 为的极小值点)(x f )(x f 5. 下列函数中为的原函数的是（ ）xe xf 2)(=A. B.xe x e 221C. D. xe2xe226. （ ）⎰=dx x x 2cos A. B. C x +-2sin 2C x +-2sin 21C. D.C x +2sin 2C x +2sin 217.（ ）⎰=02x t dt te dxdA. B. 2x xe 2x xe -C. D. 2x xe-2x xe--8. 设，则（ ）yx z ==∂∂xz A. B. 1-y yx x x yln C. D. 1-y xxxy ln 1-9. 设，则（ ）32y x z +==)1,1(dz A. B. dy dx 23+dy dx 32+C. D. dydx +2dydx 3+10. 级数（为非零常数）（ ）∑∞=-12)1(n nnkk A. 绝对收敛 B. 条件收敛C. 发散D. 收敛性与的取值有关k 二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分. 把答案填在题中横线上.11. _________.=+→220)1ln(lim xx x 12. 函数的间断点为_________.22)(-+=x x x f =x 13. 设，则_________.xe x y +=2=dy 14. 设，则_________.100)2(x y +=='y 15._________.⎰=-x dx316. _________.⎰-=+1121dx x x17._________.⎰=13dx e x 18. 设，则_________.x y z sin 2==∂∂xz19. 微分方程的通解为_________.x y 2='=y20. 级数的收敛半径_________.∑∞=1n nx=R 三、解答题：21～28小题，共70分. 解答应写出推理、演算步骤.21. （本题满分8分）计算.1)1sin(lim21--→x x x 22. （本题满分8分）设曲线方程为，求以及该曲线在点处的法线方程.x e y x+=0='x y )1,0(23. （本题满分8分）计算.⎰-dx xe x24. （本题满分8分）计算.⎰+edx x x 1ln 125. （本题满分8分）求曲线与直线所围图形（如图中阴影部分所示）3x y =x y =的面积.S 26. （本题满分10分）设二元函数，求的极值.522--+++=y x y xy x z z 27. （本题满分10分）求微分方程的通解.x y xy =+'128. （本题满分10分）计算，其中是由直线，及轴围成的有界区域.⎰⎰Dydxdy x 2D x y =1=x x2015年高等数学（一）试题答案一、选择题：每小题4分，共40分.1. D 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 7. B 8. A 9. B 10. A二、填空题：每小题4分，共40分.11. 112. 213. 14. dx e x x)2(+99)2(100x +15. 16. 0C x +--3ln 17. 18. )1(313-e x y cos 219. 20. 1Cx +2三、解答题：共70分.21. 解：xx x x x x 2)1cos(lim1)1sin(lim121-=--→→.21=22. 解：，.1+='xe y 20='=x y 曲线在点处的法线方程为，)1,0()0(211--=-x y 即.022=-+y x 23. 解：设，则，.t x =2t x =tdt dx 2=⎰⎰⋅=--tdtt e dx xe tx2⎰-=dte t 2Ce t +-=-2.C e x+-=-224. 解：⎰⎰⎰+=+ee e dxx x dx x dx x x 111ln 1ln 1eex x 121)(ln 21ln +=.23=25. 解：由对称性知⎰-=13)(2dxx x S 104241212⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x .21=26. 解：，.12++=∂∂y x xz12-+=∂∂y x y z 由解得⎩⎨⎧=-+=++，，012012y x y x ⎩⎨⎧=-=.11y x ，，，.222=∂∂xz12=∂∂∂y x z 222=∂∂y z ，，.2)1,1(22=∂∂=-xzA 1)1,1(2=∂∂∂=-y x zB 2)1,1(22=∂∂=-yzC ，，032<-=-AC B 0>A 因此点为的极小值点，极小值为.)1,1(-z 6-27. 解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx xe e y dx x dx x 11()⎰+=C dx x x21.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x x 331128. 解：⎰⎰⎰⎰=Dxydyx dx ydxdy x1022⎰=10421dx x 15101x =.101=。

浙江大学城市学院2015-2016学年第一学期期末考试试卷《高等数学》一、填空或单项选择题（本题共13小题，每格2分，共30分）1、函数y =[)2,2-。

2、0tan3lim 3x x x→=。

3、函数()()3ln 2f x x x =+在1x =处的导数()513f '=。

4、函数arctan y x x =的微分2arctan 1x dy x dx x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭。

5、函数12y x =+的n 阶导数为()()()11!2n n n x -+-+。

6、2323x C =+。

7、由定积分的几何意义可知，积分⎰的值为4π。

8、220sin xdx π=⎰4π。

9、121x x dx -=⎰12。

11、方程1111011x x x=的解为1x =及2x =-。

12、设1214A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，23B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =810⎛⎫ ⎪⎝⎭。

13、一个口袋中装有5个黑球，3个白球，从中无放回地任取2个球，则取得的2个球恰好颜色不同的概率为1153281528C C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭；取得的第二个球为白球的概率是38。

14、某企业有两个报警系统A 和B ，有效的概率分别为0.8和0.85，A 和B 同时有效的概率为0.7，则该企业报警系统有效的概率为 0.95 ；在A 失效的情况下B 也失效的概率为 0.25 。

二、计算下列各题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）15、计算（1）22lim 1x x x →+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭22lim 1xx x →+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭； 解()()()2424422422lim 1lim 122lim 1lim 1x x x x x x x x x x e x x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭→+∞→+∞⋅⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （直接写出4e -也给3分；能写出e 多少次方的给1分）（2）01lim sin 3xx e x→- 解：0011lim lim sin33cos33x x x x e e x x →→--==-（3分） （错一个符号的扣1分；是用洛必达法则解的，答案不是13或13-的可得1分） 16、讨论函数2xx y e =的单调性和极值。

高数（上）试题库一、判断题1、集合{}0为空集。

（ ）2、集合{}1,2A =，集合{}1,3,4B =，则{}1,2,3,4A B =。

（ ）3、函数y x =与函数y =是相同的函数。

（ ）4、函数()cos f x x x =是奇函数。

（ ）5、函数arcsin y x =的定义域是(),-∞+∞。

（ ）6、函数arcsin y u =和22u x =+可以复合成函数2arcsin(2)y x =+。

（ ）7、函数()sin f x x =是有界函数。

（ ）8、函数()cos f x x =，()g x = （ ） 9、如果数列n x 发散，则n x 必是无界数列。

（ ） 10、如果数列n x 无界，则n x 必是发散数列。

（ ） 11、如果)(0x f =6，但00(0)(0)5,f x f x -=+=则)(lim 0x f x x →不存在。

（ ）12、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0x f x x →存在的充分条件但非必要条件 。

（ ）13、0lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→=是)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件。

（ ）14、100000x是无穷大。

（ ）15、零是无穷小。

（ ） 16、在自变量的同一变化过程中，两个无穷小的和仍为无穷小。

（ ）17、1sin lim=∞→xxx 。

（ ）18、当0x →时，sin ~~tan x x x ，则330tan sin lim lim 0sin x x x x x xx x→∞→--==。

（ ） 19、)(x f 在0x 有定义，且0lim x x →)(x f 存在，则)(x f 在0x 连续。

（ ）20、)(x f 在0x x =无定义，则)(x f 在0x 处不连续。

（ ） 21、)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上有界。

浙江大学2015年专业课844真题
一、
1、判断所给系统的线性、时不变性、记忆性、因果性和稳定性。

2、一个LTI系统，已知输入x(t+1)时，输出y(t)。

给出了x(t+1)和y(t)的图像，求h(t)，
用图像表示h(t)
3、给出y[n],求其Z变换（用Z域微分性质）
二、拉氏变换1求H（s）、零极图2求h(t) 3求输入为sgn(-t)+3u(t)时的零状态响应和零输入响应4画出模拟框图
三、Z变换（和拉式变换类似的问题）
四、Z变换综合，给出X（z)的若干性质，求出X（z)(教材上很多这种类型的题）
五、时域抽样定理考察，x[n]与x(nt)的关系，把教材第五章第二节看懂，很容易
以上是信号部分，貌似比以前的还要简单
六、给出了一个较复杂的逻辑等式
1 证明等式2用卡诺图化简左边3用MUX实现等式右边4写出等式的对偶形式
七、用JK触发器设计1011序列检测电路
八、有限状态机，要求写出状态转换表和状态方程，该状态米利型还是穆尔性
九、555定时器、异步时序电路和ＥＰＲＯＭ的组合电路，求ＣＰ频率，求Q2Q1Q0状态转换，求EPROM中存放的数据。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则()R P Q =ð （ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ） A.38cm B. 312cm C.3323cm D. 3403cm3.已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等 比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>4.命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()nf n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∉，且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∉或()f n n > C. **00,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n > D. **00,()n N f n N ∃∈∉或00()f n n > 5.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++6.设,A B 是有限集，定义：(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+， A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 7.存在函数()f x 满足，对于任意x R ∈都有（ ） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+8.如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆翻折成A CD '∆，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. 'ACB α∠≥二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2015年高考浙江卷理数试题解析（精编版）（解析版）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =（ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]2. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ） A.38cm B. 312cm C.3323cm D. 3403cm【答案】C.3. 已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ） A.140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <>4. 命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >5. 如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++6. 设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（ ）A. 命题①和命题②都成立B. 命题①和命题②都不成立C. 命题①成立，命题②不成立D. 命题①不成立，命题②成立7. 存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+8. 如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9. 双曲线2212xy-=的焦距是，渐近线方程是．10. 已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ． 11. 函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．12. 若4log 3a =，则22a a-+= ．【答案】334. 【解析】13. 如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．13. 若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ．15. 已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b = ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.17.（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点. （1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值. （1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.已知椭圆2212xy+=上两个不同的点A，B关于直线12y mx=+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB∆面积的最大值（O为坐标原点）．20.（本题满分15分）已知数列{}n a满足1a=12且1na+=na-2na（n∈*N）（1）证明：112nnaa+≤≤（n∈*N）；（2）设数列{}2n a的前n项和为n S，证明112(2)2(1)nSn n n≤≤++（n∈*N）.。

高等数学基础试题类型高等数学基础试题类型分为单项选择题、填空题、计算题和应用题。

单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；计算题或应用题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。

四种题型分数的百分比为：单项选择题20%，填空题20%，计算题44%，应用题16%。

期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。

高等数学基础模拟题一、单项选择题 1.函数2ee x x y -=-的图形关于（A ）对称．(A) 坐标原点(B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 2.在下列指定的变化过程中，（C ）是无穷小量．(A) )(1sin∞→x xx (B) )0(1sin →x x(C) )0()1ln(→+x x (D) )(e 1∞→x x3.设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim000（C ）． (A) )(0x f ' (B) )(20x f ' (C) )(0x f '- (D) )(20x f '-4.若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=x x f xd )(ln 1（B ）．(A) )(ln x F (B) c x F +)(ln (C) c x F x +)(ln 1 (D) c xF +)1(5.下列积分计算正确的是（D ）． (A) 0d sin 11=⎰-x x x (B) 1d e 0=⎰∞--x x (C) πd 2sin 0=⎰∞-x x(D)0d cos 11=⎰-x x x6.设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（A ）对称． (A) x y =(B) x 轴 (C)y 轴(D) 坐标原点7.当0→x 时，变量（C ）是无穷小量． (A) x 1 (B) x x sin (C) 1e -x(D) 2xx8.设xx f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim0（B ）． (A) e 2 (B) e (C) e 41 (D) e 219.=⎰x x xf xd )(d d2（A ）．(A) )(2x xf (B) x x f d )(21 (C))(21x f (D) x x xf d )(2 10.下列无穷限积分收敛的是（B ）． (A)⎰+∞d e x x(B)⎰+∞-0d e x x(C)⎰+∞1d 1x x(D)⎰+∞1d 1x x二、填空题（每小题3分，共15分） 1.函数24)1ln(xx y -+=的定义域是)2,1(-．2.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=00)1()(21x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=ke．3.曲线1)(3+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 3 ．4.函数x y arctan =的单调增加区间是 ),(∞+-∞ ．5.若⎰+=c x x x f sin d )(，则=')(x f x sin - ．6.函数)1ln(92--=x x y 的定义域是 {}|13,2x x x <≤≠ ．7.函数⎩⎨⎧≤>-=0sin 01x x x x y 的间断点是 0x = ．8.曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 12．9.函数1)1(2++=x y 的单调减少区间是 (),1-∞- ．10.='⎰x x d )(sinsin x C +．三、计算题（每小题11分，共44分） 1.计算极限1)1sin(lim21-+-→x x x ． 解：21)1)(1()1sin(lim 1)1sin(lim 121-=-++=-+-→-→x x x x x x x2.设xx y 3e cos +=，求y d ．解：)3(d )e (cos d )3e (cos d d x x x x y +=+=x x x x ln3d 3)e (d e sin +-=x x x x x ln3d 3d e sin e +-= x xx x ln3)d 3e sin e (+-=3.计算不定积分⎰x x xd e21．解：由换元积分法得 c u x x x u u xx+-=-=-=⎰⎰⎰e d e )1(d e d e 121c x +-=1e 4.计算定积分⎰e1d ln x x ．解：由分部积分法得⎰⎰-=e 1e1e1)d(ln ln d ln x x x x x x 1d e e1⎰=-=x5.计算极限x x x 5sin 6sin lim 0→．解：00sin 6sin 661666lim lim sin 5sin 551555x x xx x x x x→→=⨯=⨯=．6.设xx y 2sin 2+=，求y '．解：()()()2sin 22sin sin 2ln 2x x y x x x ''''=+=+ 2sin cos 2ln 2x x x =+7.计算不定积分⎰x x x d 3cos ．解：sin 3sin 3sin 3cos3d d d 333x x x x x x x x x x x '⎛⎫'==⋅-⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ sin 31sin 3d 33x x x x =⋅-⎰ sin 31cos333x x x C =⋅++ 8.计算定积分⎰+e 1d ln 2x xx． 解：()e e112ln d 2ln d(2ln )x x x x x+=++⎰⎰ ()()()22212ln 2ln 2ln1|222e x e +++==-52=四、应用题（本题16分）1、某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为rV r rh r S 2π2π2π222+=+=22π4r V r S -='由0='S ，得唯一驻点3π2V r =，由实际问题可知，当3π2V r =时可使用料最省，此时3π4V h =，即当容器的底半径与高分别为3π2V 与3π4V 时，用料最省．2、 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：如图所示，圆柱体高h ，与底半径r 满足 222hr l +=圆柱体的体积公式为 2Vr h π=将222r l h =-代入得()22V l h h π=-求导得()()()2222223V h lh l h ππ'=-+-=-令0V '=得3h=，并由此解得3r =，即当底半径为3r =，高3h =时，圆柱体得体积最大。

浙江大学城市学院2016-2017学年第一学期期末考试试卷《高等数学》一、单项选择题（本题共10小题，每题2分，共20分）1、极限lim x x e →-∞（B ） A 、等于1 B 、等于0C 、等于∞D 、不存在 2、极限2lim 1x x x →-∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭（D ） ABC 、2eD 、2e -3、函数y x =在0x =处（C ）A 、连续且可导B 、可导但不连续C 、连续但不可导D 、既非连续又非可导4、已知()arctan f x dx x C =+⎰，则()f x =（A ）A 、211x + BC 、2sec xD 、arctan x 5、函数10⎰的值为（A ）A 、25B 、52C 、32D 、236、设123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()123B =-，则AB =（A ）A 、123246369-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭B 、()149-C 、()6D 、149⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 7、行列式000a a a b b b的值为（D ）A 、0B 、22ab ba +C 、22ab ba -D 、22ab ba --8、甲、乙二人独立地各投篮一次，设甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7，则甲、乙二人至少有一人投中的概率为（B ）A 、1.3B 、0.88C 、0.42D 、0.989、一次随机地掷两枚均匀骰子（每个骰子1~6点），则出现两枚骰子点数之乘积为12的概率为（D ）A 、23B 、13C 、16D 、1910、设10件产品中含有6件一等品、4件二等品。

现从中随机取出3件产品（不放回抽取），则所取3件中至少有2件是一等品的概率是（A ）A 、23 B 、13 C 、16 D 、19二、填空（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1、1ln lim 11x x x →=- 2、函数()cos f x x x =的微分dy =()cos sin x x x dx -⋅3、函数()2ln y x x =+的导数y '=221x x x ++ 4、=C + 5、220cos xdx π=⎰4π 6、设其次线性方程组1231231230020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有非零解，则k 的取值为1-或4 7、有一颗均匀骰子，随机地抛4次，则至少有二次出现的点数大于4的概率是3381。

2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A ．[0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．解答：解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P）∩Q=（1，2），故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card （A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A点评：本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．解答：解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．解答：解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解答：解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点评：本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．解答：解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过题意易得0＜a n≤（n∈N*），利用a n﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n﹣a n+1累加得S n=﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n≥（n≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n∈N*）．点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。

浙江省2015年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学参考答案选择题部分一、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。

题号12345答案BBBCD1.B 解析:根据题意，0)()(lim0=→x g x f x x ，0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x g x x ，所以)()()(lim0x g x g x f x x -→11)()(lim 0-=-=→x g x f x x ，故当0x x →时，)()(x g x f -是)(x g 的同阶无穷小，所以选项B 正确。

2.B 解析:根据题意，)(a f '存在，+-+=--+→→x a f x a f x x a f x a f x x )()(lim )()(lim00)(2)()(lim 0a f xx a f a f x '=--→，所以选项B 正确。

3.B 解析:由)()(x f x F ='可知，)(x F 是)(x f 的一个原函数，即：C x F dx x f +=⎰)()(，可见选项B 正确。

4.C 解析:直线1L 方程的方向向量为：)2,1,1(1-=→s ，直线2L 方程的方向向量为：→→→⨯=211n n s →→→→→→→→→+-=+---=-=k j i k j i kj i 2100120112110210101，所以1L 与2L 的夹角可由公式得到：21cos 2121=⋅⋅=→→→→s s s s θ，所以3πθ=，可见选项C 正确。

5.D 解析:A 选项：根据莱布尼茨判别法，可知级数是收敛的，但是通项加绝对值后得到正项级数∑∞=+1)1ln(1n n ，由于)1ln(11+<n n ，根据小散证大散，推得∑∞=+1)1ln(1n n 是发散的，因此级数)1ln(1)1(11+-∑∞=-n n n 为条件收敛。

B 选项：根据比值判别法，131331lim1<=+-∞→n n n n n ，可知级数是收敛的。

最新2015浙江省高等数学竞赛试题(答案) （优选.)rd2015浙江省高等数学竞赛试题答案一、计算题：（每小题14分，满分70分） 1．求极限201cos cos 2lim x x x x →-。

解：0sin cos 22cos sin 2lim 2x x x x x x →+= 20sin cos 24cos sin lim 2x x x x x x→+= 20sin (cos 24cos )lim 2x x x x x→+= 52=2．求不定积分221(4)x dx x x ++⎰解：22111()44x dx x x +=-+⎰ 222111)444(4)4(4)x dx x x x x =+--++⎰ 22ln 11)444(4)4(4)xx dx x x x =-+--++⎰ 2arctan ln 1ln(4)24488x x x C x +=---+3．设1()ln()xf x t x dt =+⎰，求(1)f '的值。

解：令u t x =+211()ln()ln()x xx f x t x dt u du +=+=⎰⎰ ()2ln 2ln(1)f x x x '=-+(1)2ln 2ln 2ln 2f '=-=4．已知()y y x =由方程31xy e y +=确定，求0x dydx =。

解：2()30xy e y xy y y ''++=23xyxy ye y xe y '=-+ 2033xy xyx ye e y y y ='=-=- 因为当0x =时0y =所以0x y ='=-∞5．求极限221lim n n k k n k →+∞=+∑。

解：222111lim lim 1()n n n n k k kk n k n k n n→+∞→+∞===++∑∑ 由定积分定义知，极限可以变为11220011ln(1)ln 2122x dx x x =+=+⎰ 二、（满分20分）设数列{}n a 为单调递增的正数列，试讨论极限1/lim n a n n a →∞解：当{}n a 有界时，lim n n a →∞一定存在，设lim n n a a →∞=,则11/lim n a a n n a a →∞= 当{}n a 无界时，lim n n a →∞=+∞， 1ln 1/0lim lim lim 1n n n n n n a a a a a a n n n n a e e e ''→∞→∞→∞====三、（满分20V ，求V 的最大值。

1 / 9测试卷数学(理科)某某______________ 某某号______________本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页,选择题部分1至3页,非选择题部分4至5页。

满分150分,考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共50分)注意事项：，考生务必将自己的某某、某某号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A ，B 相互独立，那么 P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()()1(0,1,2,)n kkkn n P k pp k n -=-=⋯C ，台体的体积公式()112213V h S S S S =++其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式 V ＝Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式V ＝13Sh其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 S ＝4πR 2球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合S ＝{x |3＜x ≤6}，T ＝{x |x 2－4x －5≤0}，则 ＝A ．(－∞，3]∪(6，＋∞)B ．(－∞，3]∪(5，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(5，＋∞)2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若公差d ＜0，且|a 7|＝|a 8|，则使S n ＞0的最大正整数n 是A ．12B ．13C ．14D ．15 3．已知整数x ，y 满足{220,210.x y x y ++≤-+≥设z ＝x －3y ，则A ．z 的最大值为1B ．z 的最小值为1C ．z 的最大值为2D ．z 的最小值为2 4．某几何体的立体图如图所示，该几何体的三视图不．可能是 (第4题图)R (S ∩T )ABCD5．现有90 kg货物需要装成5箱，要求每一箱所装货物的重量不超过其它任一箱所装货物重量的2倍．若某箱所装货物的重量为x kg，则x的取值X围是A．10≤x≤18 B．10≤x≤30 C．18≤x≤30 D．15≤x≤306．设点D，E分别在△ABC的边BC，AC上，线段AD，BE相交于点F，则“F为△ABC的重心”是“AFFD＝BFFE＝2”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数f(x)＝x＋x)，g(x)＝0,0.xx⎧>⎪⎨-≤⎪⎩则A．f(x)是奇函数，g(x)是奇函数B．f(x)是偶函数，g(x)是偶函数C．f(x)是奇函数，g(x)是偶函数D．f(x)是偶函数，g(x)是奇函数8．在△ABC中，已知∠BAC的平分线交BC于点M，且BM:MC＝2 : 3．若∠AMB＝60°，则AB ACBC+＝A．2 B C D．39．设A，B，C为全集R的子集，定义A－B＝A∩( B)．A．若A∩B⊆A∩C，则B⊆C B．若A∩B⊆A∩C，则A∩(B－C)＝∅C．若A－B⊆A－C，则B⊇C D．若A－B⊆A－C，则A∩(B－C)＝∅10．设动点A，B均在双曲线C：22221yxa b-=(a＞0，b＞0)的右支上，点O为坐标原点，双曲线C的离心率为e．A．若e OA OB⋅存在最大值B．若1＜e OA OB⋅存在最大值C．若e OA OB⋅存在最小值D．若1＜e OA OB⋅存在最小值非选择题部分(共100分)注意事项：，不能答在试题卷上。

考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，在区间（0，+∞）上连续且可导的是（）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = e^xD. f(x) = x^32. 设f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则f'(x) = （）。

A. 6x - 2B. 6xC. 6x + 2D. 63. 下列各数中，不属于等差数列的是（）。

A. 1, 4, 7, 10, ...B. 2, 5, 8, 11, ...C. 3, 6, 9, 12, ...D. 1, 3, 6, 10, ...4. 设f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的极值点为（）。

A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = 25. 下列积分中，结果为π的是（）。

A. ∫0^π x^2 dxB. ∫0^π sin x dxC. ∫0^π cos x dxD. ∫0^π x dx二、填空题（每题5分，共25分）6. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1在x=1处的导数为2，则f'(1) =________。

7. 数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则数列的前10项和S10 = ________。

8. 设函数f(x) = x^2 + 3x + 2，则f(-2) = ________。

9. 设f(x) = e^x，则f'(x) = ________。

10. 设f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。

三、解答题（共55分）11. （10分）求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1的导数f'(x)。

12. （15分）已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 3n + 2，求证：数列{an}是等差数列。

13. （20分）设函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(x)在区间[0, 3]上的最大值和最小值。

浙江省杭州地区七校2015届高三上学期期末联考数学理试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。

选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合},2|{2R x x x x A ∈-==，},1{m B =，若B A ⊆，则m 的值为( )A . 2B . 1-C . 1-或2D . 2或22．”“}3,{a x ∈是不等式03522≥--x x 成立的一个充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )3．已知函数⎩⎨⎧>+≤-=1log 1113)(2x x x x f x ，，,则函数)(x f 的零点为 （ ）021.A ， 02.，-B 21.C 0.D 4．已知1||||==b a 向量b a 与的夹角为120°，且)()(b t a b a +⊥+，则实数t 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．25. 已知cos 23θ=，则44sin cos θθ-的值为（ ）A3 B 3- C 1811D 29-6．设等差数列}{n a 和等比数列}{n b 首项都是1，公差和公比都是2，则=++432b b b a a a （ ）A . 24B . 25C . 26D .277．设1F ，2F 是双曲线12222=-by a x 0(>a ，)0>b 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使0)(22=⋅+P F OF OP （O 为坐标原点），且||3||21PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A .212+ B .12+ C .213+ D .13+ 8．已知)(x f 是定义在R 上的增函数，函数)1(-=x f y 的图象关于点（1,0）对称，若对任意的x ，y R ∈，不等式0)34()3(2=--+-x x f y f 恒成立，则xy的取值范围是（ ） A .]3322,3322[+-B .]3322,1[+C .]3,3322[- D .]3,1[ 非选择题部分（共110分）注意事项：1.用黑色的字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

《高等数学》(下)考试试卷(A)适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一.填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设(,)z f u v =可微2(,)z f xy x =，则z x ∂=∂ ，z y∂=∂ . 2.微分方程220y y y '''-+=的通解为 . 3.改变积分顺序1210(,)x dx f x y dy ⎰⎰= .4.函数u=xyz 在点(1,1,1)处最大的方向导数是 .5.设以2π为周期函数()f x 傅里叶级数为01[cos sin ]2n n n a a nx b nx ∞=++∑ ，那么n a = ，n b = .二.单项选择. (共7小题，每小题2分，共14分)1.下列说法正确的是（ ）；(A)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定连续. (B)函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，则一定连续.(C)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定可微. (D) 函数),(y x f z =在点),(00y x 处无极限，，则偏导数一定不存在. 2.级数1(1)nn ∞=-∑ ( )； (A) 绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)无法确定收敛性. 3.积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是( )；(A)x Q y P ∂∂=∂∂ ， (B) xQ y P ∂∂-=∂∂， (C) y Q x P ∂∂=∂∂ ， (D) y Q y P ∂∂=∂∂. 4. 设),(y x f z =可微，则曲面)32,(y x xy f z +=的一个法向量是( )；(A)12{,,1}f f - ， (B) 1212{2,3,1}yf f xf f ++-， (C) {,2,1}yf f ''-， (D) 1212{2,3,1}yf f xf f ++5.设Ω是由锥面22y x z +=与平面2z =围成，则3dxdydz Ω⎰⎰⎰=( )；(A) 83π ， (B) 3π ， (C) 4π， (D)8π.6.若∑是上半球面z =面积的曲面积分∑⎰⎰=（ ）；(A) 0 ， (B) 2π ， (C) 4π， (D)8π. 7. 微分方程2dyxy dx=，(0)2y =的解为（ ）. (A) 2x ce ， (B) 2x e ， (C) 22x e ， (D) 22x ce . 三、计算下列各题.(共5小题，每小题8分，共40分)1.设01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩，求,u v x x ∂∂∂∂.2.求曲面22y x z +=夹在平面z=0,z=4之间的曲面面积.3.222()Lx y z ds ++⎰,其中L 是曲线cos ,sin ,x a t y a t z t ===上相应于t 从0到2π的一段弧.4.求I=⎰⎰∑++zdxdy ydxdz xdydz ，其中∑是上半球面z =.5.求(sin )(cos )x x LI e y ky dx e y k dy =-+-⎰，其中L 是由点)0,(a 到点（0，0）的上半圆周022=-+ax y x （y ≥0）.四.(8分)验证方程2223(36)(64)0x xy dx x y y dy +++=是全微分方程，求其通解.五.(11分)求幂级数210121n n x n ∞+=+∑的收敛半径，收敛区域与和函数()s x .并且求201(21)3nn n ∞=+∑的和.六.(12分)在第一卦限内作球面2221x y z ++=的切平面，使切平面与三坐标平面所围的四面体体积最小，并且求切点坐标.《高等数学》(下)考试试卷(A)答案适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一.填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设2(,)z f xy x =，则z x ∂=∂122yf xf + ，zy∂=∂1xf .2.微分方程220y y y '''-+=的通解为12(cos sin )x y e C x C x =+ .3.改变积分顺序1210(,)x dx f x y dy ⎰⎰=1/2211/011/21(,)(,)ydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰.4.函数u=xyz 在点(1,1,1)5.设以2π为周期函数()f x 傅里叶级数为01[cos sin ]2n n n a a nx b nx ∞=++∑ ， 那么n a =1()cos f x nxdx πππ+-⎰，n b =1()sin f x nxdx πππ+-⎰ .二.单项选择. (共7小题，每小题2分，共14分)1.下列说法正确的是（ B ）；(A)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定连续. (B)函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，则一定连续.(C)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定可微. (D) 函数),(y x f z =在点),(00y x 处无极限，，则偏导数一定不存在. 2.设曲线L 为正方形 1x y += 的边界，则Ldsx y+⎰=( D )； (A) 0(B)3.积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是(A ).(A)x Q y P ∂∂=∂∂ ， (B) xQ y P ∂∂-=∂∂， (C) y Q x P ∂∂=∂∂ ， (D) y Q y P ∂∂=∂∂. 4.曲面2224x y z ++=在点(1,1的一个法向量是( B ).(A){1,1,1}- ，(B) {1，(C){1,1,， (D) {1,1--5.函数22(,)44f x y x y x y =---的极大值为( C ).(A) (2,2)8f =- ， (B) (0,0)0f = ， (C) (2,2)8f -=，(D)不存在. 6. 若∑是上半球面z =面积的曲面积分∑⎰⎰=（A ）.(A)0 ， (B) 2π ， (C) 4π， (D)8π. 7. 微分方程2dyxy dx=，(0)2y =的解为（C ）. (A) 2x ce ， (B) 2x e ， (C) 22x e ， (D) 22x ce . 三、计算下列各题.(共5小题，每小题8分，共40分)1.设01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩，求,u v x x ∂∂∂∂.解22u xu yvx x y ∂+=-∂+，…….. 4分 ……22u yu xv x x y ∂-=∂+……. 8分 2.求曲面22y x z +=夹在平面z=0,z=4之间的曲面面积.解 ⎰⎰++=Ddxdy y x S 22441 ………… 4分=)11717(64120202-=+⎰⎰ππθrdr r d ……….. 8分3.222()Lx y z ds ++⎰,其中L 是曲线cos ,sin ,x a t y a t z t ===上相应于t 从0到2π的一段弧.解 222()L x y z ds ++⎰=dt a t t a t a 1)cos sin (2202222+++⎰π…… 4分222)a ππ+…………8分4.求I=dydz dxdz ∑，其中∑是上半球面z =.解 因为2221x y z ++=，则I xdydz ydxdz zdxdy ∑=++⎰⎰由高斯公式得I=⎰⎰∑+∑++1zdxdy ydzdx xdydz - ⎰⎰∑++1zdxdy ydxdz xdydz ……4分=dxdydz ⎰⎰⎰Ω3-0………… 6分=2π-0=2π………… 8分5.求(sin )(cos )x x LI e y ky dx e y k dy =-+-⎰，其中L 是由点)0,(a 到点(0,0)的上半圆周022=-+ax y x （y ≥0）.解k y Px Q =∂∂-∂∂，由格林公式 1(sin )(cos )x x L L I e y ky dx e y k dy +=-+-⎰1(sin )(cos )x x L e y ky dx e y k dy --+-⎰=⎰⎰-Dkdxdy 0=28a kπ……… 8分四.(8分)设函数()y f x =满足全微分方程2(())(())0xy yf x dx f x x dy -++=，求()f x . 解 因为是全微分方程，则()()2P Qx f x f x x y x∂∂'=-==+∂∂，………. 4分 于是()(),f x f x x '+=-或y y x '+=-则 1x y x Ce =++，即 ()1x f x x Ce =++………..8分五.(12分)求幂级数210(1)21n n n x n ∞+=-+∑的收敛半径，收敛区域与和函数()s x .并且求(1)(21)3nnn n ∞=-+∑的和. 解 R=1lim+∞→n nn a a =1 ……3 分. 因为1-=x ，1=x ，21(1)21n n n x n ∞+=-+∑发散，所以收敛区域为(1,1)-.…..5分 (21)0(1)arctan 21n n n x x n ∞+=-=+∑=()s x …………………8分令x =，(21)0(1)(2n n n n ∞+=-+∑=6π=…(1)(21)3n nn n ∞=-=+∑…..12分 六.(10分)求均匀半球体0z ≤≤.解 设 质心坐标为(,,)x y z ， 球体密度为ρ ，则x = 0y =… ..2分因为 32,,3zdvz dv a dvρρρπρΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2/22401cos sin 4azdv d d r r d a ππρρθϕθθθρπΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰………..8分 于是，38z a =则质心坐标为3(0,0,)8π………..10分。