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第二章 信号与噪声分析-确知信号

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ch2-信号与噪声分析

ch2-信号与噪声分析

（2.3-2）
式中 P(xi )(i 1, 2,3, ) ，是随机变量X取值为xi 的概率。
31
2、概率密度函数
对于连续随机变量X ，其分布函数 F(x) 对于一个非负函数 f (x) 有下式成立:
x
F (x) f (u)du f (x) dF(x) dx
（2.3-3） （2.3-4）
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
由以上两式可见，互相关函数反映了一 个信号与另一个延迟τ秒后的信号间相关 的程度。需要注意的是，互相关函数和 两个信号的前后次序有关，即有
R21( ) R12 ( )
23
24
25
26
27
28
29
2.3 随机变量的统计特征
E(X ) xf (x)dx
（2.3-13）
式中， f (x)为随机变量X的概率密度。
38
2、方差
方差反映随机变量的取值偏离均值的程度。方差定义 为随机变量X与其数学期望E(X ) 之差的平方的数学期 望。即
D[X ] E X E(X )2
（2.3-18）
39
2.4随机过程的一般表述
37
1、数学期望 数学期望（简称均值）是用来描述随机变量X的统计平
均值，它反映随机变量取值的集中位置。
对于离散随机变量X，设 P(xi )(i 1, 2, , k) 是其取值 xi的概率，则其数学期望定义为
k
E( X ) xi P(xi ) i 1
（2.3-12）
对于连续随机变量X，其数学期望定义为
2.4.1 随机过程的概念

第2章 确知信号分析

第2章 确知信号分析

{
x1 ( t ) → y1 ( t ) x2 ( t ) → y 2 ( t )
⇒ [ x1 (t ) + x2 (t )] → [ y1 (t ) + y2 (t )]
（一个激励的存在并不影响另一个激励的响应） 一个激励的存在并不影响另一个激励的响应） 非线性系统： 非线性系统：凡是不满足叠加定理的系统
F (ω ) = T0 V n
F (ω )
：谱密度，即单位频率占有的振幅值，是相对值。 谱密度，即单位频率占有的振幅值，是相对值。
3）矩形脉冲的频谱函数；门函数的频谱函数 ）矩形脉冲的频谱函数；
τ τ A − <t< 2 2 f (t ) = τ τ 0 t < − , t > 2 2
2）时不变和时变系统 ） 时不变系统（恒参系统）：系统内的参数不随时间变化 时不变系统（恒参系统）：系统内的参数不随时间变化 ）：
{
y ( t ) = f [ x ( t )] y ( t −t 0 ) = f [ x ( t −t 0 )]; −∞ <t ,t 0 < ∞
时变系统（变参/随参系统）： 随参系统）： 时变系统（变参 随参系统 3）物理可实现和物理不可实现系统 ） 物理可实现系统： 物理可实现系统：系统的响应不可能在加上激励以前出现 物理不可实现系统： 物理不可实现系统：
F (ω) = F [ f (t )]
付氏正变换 付氏反变换
f (t ) = F −1 [ F (ω)]
或者记为： 或者记为： F (ω) ↔ f (t ) ， f (t ) ↔ F (ω)
2） (ω ) 与 Vn 、 Cn ） F
的关系
1 Vn = T0

第2章确知信号

第2章确知信号

当 = 0时，R(0)等于信号的能量：
R(0) s 2 (t)dt E
R()是 的偶函数
(2.3-2)
R( ) R( )
(2.3-3)
自相关函数R()和其能量谱密度|S(f)|2是一对傅里叶变换：
S( f ) 2 R( )e j2f d
R( ) S ( f ) 2 e j2f df
第2章 确知信号
2.1 确知信号的类型
按照周期性区分：
周期信号： s(t) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
非周期信号
按照能量区分：
能量信号：能量有限，
0 E s2 (t)dt
功率信号：功率有限
归一化功率： P V 2 / R I 2 R V 2 I 2
1e j 0t
2
e 1 j 0t
2
[( 0) ( 0)]
S( f )
1 [ ( f
2
f0) ( f
f0 )]
t
(a) 波形
－f0
0
f0
(b) 频谱密度
第2章 确知信号 量纲分析：
2.2.3 能量信号的能量谱密度
S(ω) → V/Hz
定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理
S(ω) 2 → V/Hz2
P 1
T0
T0 / 2 s 2 (t)dt
T0 / 2
Cn
n
2
式中 |Cn|2 －第n次谐波的功率
利用函数可将上式表示为
P
Cn
2(f
nf0 )df
(2.2-45) (2.2-46) (2.2-47)
上式中的被积因子就是周期信号的功率谱密度P(f)，即

第2章随机信号与噪声

第2章随机信号与噪声

●随机过程：尽管随机信号和随机噪声是不可预测的、随机 的，但它们具有一定的统计规律。从统计学的观点看，均可 表示为随机过程。
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时
间函数描述。
统计学中的有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分
析中来。
2021/5/12
通信原理
3
பைடு நூலகம்
第2章 随机信号与噪声分析
2021/5/12
通信原理
5
第2章 随机信号与噪声分析
x1 (t)
角度1：对应不同随机试验结
果的时间过程的集合。
x2 (t)
角度2：随机过程是随机变量
概念的延伸。
xn (t)
讨论：
t1
t2
t
图 2- 1 n图 图 图 图 图 图 图 图 图
●在任一给定时刻t1上，每一个样本函数xi (t)都有一个确定的
●全部随机函数的集合－－随 机过程：
X(t) ={x1(t), x2(t), …, xn(t)} ●每一条曲线xi(t)都是随机过 程的一个实现/样本－－为确 定的时间函数。
角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。 角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
●在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值x(t1) ，发现 他们的值是不同的－－ 是一个随机量（随机变量）。
过程。
意义： ●具有各态历经性平稳随机过程－－十分有趣，非常有用。 ●通信系统中所遇到的信号与噪声，大多数可视为平稳、具 有各态历经性的随机过程。
2021/5/12
通信原理
21
第2章 随机信号与噪声分析
2.3.2 平稳随机过程的各态历经性
●问题的提出 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的 所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量 的样本。 问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平 稳过程的数字特征呢?

信号与噪声

信号与噪声
f (t ) f (t nT ), n 0, 1, 2. 3,, t （2. 1）
式中，为的周期，是满足式（2.1）条件 的最小时段。非周期信号是不具有重复 性的信号。
《通信原理课件》
2.1.3
功率信号与能量信号
如果一个信号在整个时间域 （ , ）内都存在，因此它 具有无限大的能量，但其平均功 率是有限的，我们称这种信号为 功率信号。
R12 ( ) f1 (t ) f 2 (t )dt

（2.28）
两个功率信号 函数定义为
《通信原理课件》
f1 (t )和
f 2 (t ) 的互相关
1 T R12 ( ) lim 2T f1 (t ) f 2 (t )dt T T 2
E
f (t )


f (t )dt
2
也可以从频域的角度来研究信号的 能量由于 1
2


F ( )e jt d
《通信原理课件》
所以信号的能量可写成
（2.30） F ( )e jt d dt 1 f (t )e jt dt d 1 F ( )F ( )d 1 F ( ) 2 d F ( ) 2 2 2 E
2
FT 1 T/ 2 2 1 P lim f (t)dt Tlim T dω T T T/ 2 2π
（2.33）
《通信原理课件》
F 式中，T ( ) 是 f (t )的截短函数 fT (t ) 的 频谱函数。 类似能量谱密度的定义，单位频带 内信号的平均功率定义为功率谱密度 （简称功率谱），单位：瓦/赫，用 Pf 来表示。

第二章1信号与噪声课件

第二章1信号与噪声课件
复信号如果信号的取值为复数，则称此类信号为 复值信号，简称复信号。
9
2.信号的分类
▪ 时间连续信号与时间离散信号
根据数学上连续与离散的概念区分连续信号与离散 信号。 为时间的连续函数时，称为“连续信号” 。 在时间上离散时，称为“离散信号”。
▪ 模拟信号与数字信号
取值是连续的或取无穷多个值，称为模拟信号。 在时间上和取值上都离散，称为数字信号。
15
2.信号的分类
▪ 普通信号与奇异信号 若信号本身有不连续点，其导数或高阶导数出现奇 异值，而且不能以普通函数的概念来定义，则称此 类信号为奇异信号，反之，则称为普通信号。
16
3.普通信号
▪ 正弦信号
正弦信号和余弦信号二者仅在相位上相差 ，经常统 称为正弦信号，其表达式一般写作 f (t) K sin(t )
▪ 单位斜变信号是理想信号，是不可实现的。现实中常见的充电 过程可以理想化地表示为截顶的单位斜变信号
s s
22
4.奇异信号
▪ 单位阶跃信号
单位阶跃信号u(t)的函数表达式为 ▪ 其波形为：
单位阶跃信号
延时的单位阶跃信号
▪ 单位阶跃函数的物理背景是，在t=0时刻对某一路电 路接入单位电源，并且无限持续下去。(开关开合过 程)
E f 2 (t) dt
▪ 能量信号 信号能量为有限值，全部时间的平均功率为0的
信号。
▪ 功率信号 具有无限的能量，但它的平均功率为有限值的周期
信号。
周期信号的归一化平均功率（简称功率）－周期信号在单位电
阻上所消耗功率的平均值。其瞬时功率等于| f ( t )|2，在周期T
内的平均功率为
P
t
特点：
(1) Sa函数是偶函数 (2) 过零区间宽度 (3) Sa函数过零位置

信号与噪声分析

信号与噪声分析确知信号分析1、周期信号的傅里叶级数任何一个周期为T 的周期信号)(t f ，只要满足狄里赫利条件，则可展开为傅里叶级数0()jn tnn f t F eω∞=-∞=∑ （2-1）式中，⎰--=2/2/0)(1T T t jn n dt e t f T F ω (0,1, 2.3,,n =±±±)；000a c F ==; 2nj n n c F e ϕ-=(称为复振幅)；*2nj n n n c F e F ϕ-==（是n F 的共轭）。

一般地，n F 是一个复数，由n F 确定周期信号)(t f 的第n 次谐波分量的幅度，它与频率之间的关系图形称为信号的幅度频谱。

由于它不连续，仅存在于0ω的整数倍处，故这种频谱是离散谱。

许多情况下，利用信号的频谱进行分析比较直观方便。

2、非周期信号的傅里叶变换ωωπωd e F t f t j ⎰∞∞-=)(21)( （2-2）⎰∞∞--=dt et f F tj ωω)()( （2-3）式（2-2）和式（2-3）分别称为傅里叶正变换和傅里叶反变换，两式称为)(t f 傅里叶变换对，表示为)()(ωF t f ⇔ 信号的傅里叶变换具有一些重要的特性，灵活运用这些特性可较快地求出许多复杂信号的频谱密度函数，或从谱密度函数中求出原信号，因此掌握这些特性是非常有益的。

其中较为重要且经常用到的一些性质和傅里叶变换对见附录二。

3、卷积与相关函数 （1）、卷积设有函数)(1t f 和)(2t f ，称积分⎰∞∞--τττd t f f )()(21为)(1t f 和)(2t f 的卷积，常用)()(21t f t f *表示，即121221()()()()()()f t f t f f t d f f t d ττττττ∞-∞∞-∞*=-=-⎰⎰（2-4）时域卷积定理：令)()(11ωF t f ⇔，)()(22ωF t f ⇔，则有)()()()(2121ωωF F t f t f ⇔* （2-5） 频域卷积定理：令)()(11ωF t f ⇔，)()(22ωF t f ⇔，则有[])()(21)()(2121ωωπF F t f t f *⇔（2-6） （2）、相关函数信号之间的相关程度，通常采用相关函数来表征，它是衡量信号之间关联或相似程度的一个函数。

第2章-信号与噪声


coscE[cos2 (ct )]sincE[cos ( ct )sin(ct
coscE[1
cos2(ct
2
)] sincE[sin2(2ct
)]
1 2
cosc
1 2
cosc
2
0
cos2(ct
)
1
2
d
1 2
sinc
2
0
sin2(ct
)
1
2
d
（4）平稳随机过程的遍历性
设X( t )是一个平稳随机过程，如果它的统计平均可用时间平均来代 替，它的统计方差可用时间方差来代替，它的统计自相关函数也可 用时间自相关函数来代替，则称该平稳随机过程具有遍历性（各态 历经）。
信号分类（续）
能量信号和功率信号
功率：电压u(t)或电流i(t)在电阻R上的瞬时功率。
其归一化功率为：p（t）=f2（t），其中f（t）为电压或电流信号。
能量：功率对时间的积分。
P=0 E=∞
能量信号：指的是一个有界的、持续时间有限的信号， 信号能量为有限值，全部时间的平均功率为零。
时间平均：随机过程X( t )的某一特定实现，对时间求平均。设x( t )是随 机过程X( t )的一个典型的样本函数。
1）平均值（直流分量）m x A [x ( t) ]T l i T 1 m T T // 2 2 x ( t) d
2）均方值（总平均功率）
A [x 2 (t) ]lim 1T /2x 2 (t)dt
f(t)f1(t)f2(t)
（2）相关 设两个信号f1(
t
)和f2(
t
)
，
R 12() f1 (t)f2(t)dt
R 21() f2 (t)f1(t)dt

信号与噪声

2
T/2
−∞
1 T/2 2 f ( t )dt T ∫−T / 2
1 T/2 2 1 P = lim { ∫ f ( t )dt } = − T / 2 2π T T →∞
功率谱密度 W ( ω ) = lim
T →∞
∫ lim
−∞ T →∞ 2
∞
FT ( ω ) dω T
2
FT ( ω ) T
瓦特/赫兹
k = −∞
∫
T0 / 2
−T0 / 2
f ( t )e jkω0t * k
=
k = −∞ ∞
∑C
∞
2 k
由采样性质∫ f ( t )δ ( t − t0 ) = f ( t0 )
−∞
∴∫
−∞
k =−∞ ∞
∑ Ck δ ( ω − kω 0 )dω =
2 ∞ 2 −∞ k = −∞
k =−∞
∑C
2 k
e j 2 kπτ / T0
§2.2 确定信号通过线性系统
一.卷积定理
1.时域：
δ (t)
f(t)
∞ −∞
线性系统
h (t) y(t)
Y(ω)=H(ω)F(ω)
y( t ) = ∫ f ( τ )h( t − τ )dτ = ∫ h( τ ) f ( t − τ )dτ
−∞ ∞
双边功率谱密度 单边功率谱密度
定义在（-∞，+∞） 定义在（0，+∞）
例：试求功率信号为周期性信号时的功率谱密度 解：取截短周期 T=NT0
∞
用f ( t ) =
P = lim
k = −∞
∑C e
k
jkω0t
代入

第2-1章：确知信号分析：信号


二、信号的描述和典型示例
由泰勒级数展开 3 5 7 2 4 6 cos 1 sin 2 4 6 3 5 7 j 同样若 e 展开，可得到 2 3 4 j j j j e j 1 1! 2! 3! 4! 2 4 6 3 5 7 1 j 2 4 6 3 5 7
sin t t sin 8t t
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
sint t sin8t t
sin t sin 8t
sint sin8t
t
t
三、信号的运算
2、平移：
f (t ) f (t t0 )
前（左）移或后（右）移，f(t)变成f(t+t0)， t0 >0时，左移； t0 <0时，右移。
n
二、信号的描述和典型示例
设 复 数 A Ke A
j
则A为复常数；
设f ( t ) Ae jt A e j (t )
复常数乘以ejwt,则成为复指数函数，可以 描述一个点在复平面上的圆周运动。 取该函数的实部，得cos函数，取虚部得sin函数；通过复指 数函数进行电路分析，可以简便计算。 而且计算结果也比较直观， |A|代表相应实函数的振幅，θ代表相应实函数的初相角。 对共轭的两个复指数函数加减运算，可得cos和sin函数。
sin t t d t π

二、信号的描述和典型示例
7、复指数信号 表达式：
f (t ) Kest
其中：
s j
借助欧拉公式，可以展开如下：
Ke st Ke ( j ) Ket cost jKet sin t
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确知信号
n n n n
随机信号
n n n
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本章内容安排
Ø
~3 1 . 确知信号（1 节）
Ø
时域：表达式和波形（函数及其相关、卷积 运算）
一、付氏（F ）级数
②正弦信号的付氏级数
1 jω 0 t f ( t ) = cos ω 0 t = (e + e − jω0 t ) 2
1 C 1 = C −1 = 2
Cn
1/2
− ω0 0
1/2
ω0
nω 0
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第二节 信号的频谱分析
n
一、付氏（F ）级数 二、F 变换 三、卷积与相关 四、能量谱、功率谱及帕什瓦尔定理
n
n
n
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一、信号分类
Ø
常用信号举例
Ø
脉冲信号Arect( t/τ) 冲激信号 δ (t ) 取样信号Sa(x) 复指数信号 e 正弦信号
jω0t
Arect ( )
t
τ
A t -τ/2
Ø
Ø
τ/2
Ø
Ø
sin ω0t、c o s ω0t
Sa ( x )
2π 0 π
x
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一、付氏（F ）级数
Ø
1 、 F 级数定义 2 、 F 系数的物理意义 3 、 F 级数举例
Ø
Ø
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一、付氏（F ）级数
u
基带信号：信号能量或功率主要集中在低频段 频带信号：信号能量或功率主要集中在高频f0附近，且f0远远大 于信号带宽
u
Ø
5 . 模拟信号与数字信号
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二、F 变换
Ø
2、 F 变换主要性质
f (t )
F (ω )
时移性: 互易性: 频移性:
f (t − t0 ) ⇔ F (ω )e− jωt0
F (t ) ⇔ 2π f ( −ω )
f (t )e jω0t ⇔ F (ω − ω0 )
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3、F 变换举例
④非周期信号f(t)周期化信号fT(t)的付氏级数
f (t )
fT ( t )
F (ω )
ωτ
2
)
τ
ω
0
2π/τ
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−∞
+∞
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性质
若 则
f1 (t ) f1 (t ) ∗ f 2 (t ) f1 (t ) ⋅ f 2 (t )
1、 F 变换定义和物理 含义
1 非周期信号f(t)可以表示为 f ( t ) = 2π
∫
+∞
−∞
F (ω )e jωt dω
其中，
F (ω ) = ∫
+∞
−∞
f ( t )e − jωt dt
付氏变换 包括振幅谱和相位谱
F (ω ) = F (ω ) e jϕ (ω )
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三、卷积与相关
n
1 、卷积
信号f1(t) 与f2(t)的卷积
f (t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ
F ( nω 0 ) Cn = T
如：f ( t ) = Arect ( t ) τ
f T ( t ) = A ∑ rect (
n = −∞ +∞
F (ω ) = AτSa (
)
ωτ
2
)
t − nT
τ
1 ωτ FT (ω ) = AτSa ( ) T 2 ω = nω 0
Aτ nω 0τ = Sa( ) T 2
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3、F 变换举例
③周期信号f( t ) 的付氏变换
f (t ) f (t )
Cn
F (ω ) =
n = −∞
F1 (ω )
f 2 (t )
F2 (ω )
F1 (ω ) F2 (ω )
1 [ F1 (ω ) ∗ F2 (ω )] 2π
信号f(t)通过系统h(t)的输出y(t)为：
y( t ) = f ( t ) ∗ h( t )
Y (ω ) = F (ω ) H (ω )
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一、付氏（F ）级数
Ø
2 、 F 系数的物理意义
① f (t ) =
jnω 0 t C e 的含义, Cn ~ f (t ) ； ∑ n +∞
n = −∞
② Cn = C ( nω0 ) 是周期信号的频谱；
jϕ n C = C e ③ n 包括振幅谱和相位谱； n
④ n = 0,±1,±2, L 频谱的离散性和谐波性。

二、F 变换
Ø
3、 F 变换举例
①矩形脉冲信号的付氏变换
f (t ) = Arect ( ) t
τ
F (ω ) = AτSa (
F (ω )
ωτ
2
)
f(t) A t -τ/2
τ/2
ω
0
2π
τ
②低通滤波器的冲激响应
F (ω ) = Arect (
ω
W
)
AW Wt f (t ) = Sa( ) 2π 2
n = −∞
+∞
t − nT
τ
)
…
τ
•
…
0 T t
Aτ nω 0τ Cn = Sa ( ) T 2
Cn
2π
0 ω0
τ ·
nω 0
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本章内容安排
Ø
2 . 随机信号（4 ~8 节）
随机信号（5 节） 统 计 特 性 概率分布 概率密度 均值/ 方差 相关函数 功率谱 随机信号通过系统（6 节） 统 计 特 性 均值/ 方差 相关函数 功率谱
随机变量（4 节） 统 计 特 性 概率分布 概率密度 均值/ 方差 相关函数
典型随机信号（7 、8 节） 统 计 特 性
∑ 2πC δ (ω − nω )
n 0
+∞
如：
f (t ) = e jω0t f (t ) = cos ω0t f (t ) = sin ω0t
F (ω ) = 2πδ （ω − ω0） F (ω ) = πδ（ω − ω0） + πδ（ω + ω0）
F (ω ) =
π
j
[δ（ω − ω0） − δ（ω + ω0） ]
二、F 变换
Ø
1、 F 变换定义和物理含义 2、 F 变换主要性质 3、 F 变换举例
Ø
Ø
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二、F 变换
Ø
二、系统分类
Ø
1 . 线性时不变系统 2 . 线性时变系统 3 . 非线性时不变系统 4 . 非线性时变系统
Ø
Ø
Ø
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通信系统中常见的 噪声或信道特征
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第一节 信号与系统表示法
Ø
一、信号分类 二、系统分类
Ø
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