第2章确知信号

一般持续时间无限的信号都属于功率信号。
以上分析表明，信号分成两类：

1.能量信号：能量等于一个有限正值，但平 均功率为0。

2.功率信号：平均功率是一个有限值，但能 量为无限大。

注意：能量信号和功率信号的分类对于确知 信号和非确知信号都适用。
at 例：信号 x(t ) e , t 0 ，其中a > 0；说明此信号为能量

即能量信号可以分解为无数个频率为f ，复振幅为 S ( f )df 的 指数信号 e j 2 ft 的线性组合。
S(f)和Cn的主要区别：
S(f)是连续谱，Cn是离散谱； S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简
称为频谱。 实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称 ，即复数共轭，因
0
n ；傅里叶系数 Cn 反 f0 1 T0 n为整数， 式中， 映了信号中各次谐波的幅度值和相位值，因此称 Cn 为信 号的频谱。
【例1】试求图所示周期性方波的频谱。
V , s(t ) 0, s(t ) s(t T ), / 2 t / 2 / 2 t (T / 2) t

因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。
【例3】试求图中周期波形的频谱。
s(t ) sin( t ) s(t ) f (t 1)
1
0 t 1 t
s(t)
t
由式(2.1-1)：
Cn 1 T

T /2
T / 2
s (t )e j 2 nf0t dt sin( t )e j 2 nt dt

解析：计算x(t)的总能量 E 计算x(t)的平均功率
x(t ) dt t 2 dt
2 0

t 3
3

0
1 T /2 2 1 (T / 2)3 T2 P lim t dt lim lim 0 T T T T T 24 3
s(t )
n
Ce
n

j 2 nf 0t
V n j 2 nf0t sin c e T n T

Cn
欧拉公式e j cos j sin
【例2】试求图所示周期性方波的频谱。
V , s(t ) 0, s(t ) s(t T ), 0 t t T t
-T
s(t)
V 0
T
t
由式(2.1-1) ：

1 1 V j 2 nf 0t j 2 nf 0t Cn Ve dt e 0 T T j 2 nf 0 0 V 1 e j 2 nf0 V 1 e j 2 n /T T j 2 nf 0 j 2 n
能量信号和功率信号
用s(t)代表时间t时刻的电流或电压，则s2(t)代表瞬时功 率，信号能量为：
如果信号能量的值有限，则信号s(t)为能量信号。
其特征：信号的振幅和持续时间均有限，非周期性。例如，单个矩形脉冲。
在所分析的区间，能量为有限值的信号称为能量信号，满足 条件：



s (t )dt
它的傅里叶变换为
Ga ( f )
/2
e j 2 ft dt
1 (e j f e j f ) j 2 f
sin( f ) sin c( f ) f
1
0
t (b) Ga(f)
图2-5 单位门函数
矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这里它等于(1/) Hz。
指数形式：
f (t )
n n
Ce
n
j n t
2 / T 是角频率
j 2 n t 1 T /2 T cn f (t )e T / 2 T an bn , n0 2 a0 cn , n0 2 an jbn , n0 2
由以上得知x(t)的能量和平均功率皆为，因此此信号既非
能量信号也非功率信号。
注意：此例题表明某些信号既不是能量信 号，也不是功率信号。
周期信号是功率信号？
对任意周期为T0的周期信号，其能量为：
E lim
T n
T /2
T / 2
| x(t ) | dt lim
2 n
a sin(2t ) b sin(5t )
2
a 2 sin 2 (2t ) b 2 sin 2 (5t ) 2ab sin(2t ) sin(5t ) a2 b2 1 cos(4t ) 1 cos(10t ) ab cos(3t ) cos(7t ) 2 2
0 ,
else
信号或功率信号。
解析：计算x(t)的总能量
E

x(t ) dt
2

0
1 2 at e 2 at dt e 2a


0
1 2a
因为x(t)的能量有限，此信号为能量信号。
t, 例：信号 x(t )
0 ,
t 0 ；说明此信号类型。 else
0
1
2 (4n 2 1)
s (t )
2

n
4n
1
2
1
e j 2 nt
由于此波形为偶函数，故其频谱为实函数。
非周期信号的傅立叶变换
F ( )

f (t )e j t dt

1 f (t ) 2

F ( )e j t d
幅度频谱：F ( )
1.周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号
简单周期信号 复杂周期信号
2. 非周期信号：再不会重复出现的信号
准周期信号:由多个周期信号合成，但各信号频率 不成公倍数
瞬态信号:持续时间有限的信号
试判断下列信号是周期信号还是非周期信号
a sin(t ) b sin(3t ) a sin(4t ) b cos(7t ) a sin(4t ) b cos(πt )
通 信 原 理 概 论
第二章 确知信号
主讲教师：李士林
中北大学朔州电力学院
本章要点
1.1 1.2 确知信号与非确知信号 确知信号的频域性质
1.3
1.4
确知信号的时域性质
考研真题讲解
1.确知信号与非确知信号
可以用明确数学关系式描述的信号称为确知信号。不能用数
学关系式描述的信号称为非确知信号。
信号 确定性信号 周期信号 简单周期信号 复杂周期信号 非周期信号 非确定性信号 平稳随机信号 非平稳随机信号 准周期信号 瞬态信号
函数的性质1： 函数可以用抽样函数的极限表示：
(t ) limkk ຫໍສະໝຸດ sin c( kt )
因为，可以证明 sin c(kt )dt 1

k
式中k越大、振幅越大、波形零点的间隔越小、波形 振荡的衰减越快，但积分等于1。
（见左图）
t
和下式比较：



(t )dt 1
将时域周期型号转换为频域的频谱信号
2.1 功率信号的频谱
设 s(t ) 是一个周期为T0 的周期功率信号。则可展开 成指数型傅里叶级数：
s (t )
n


Cn e j 2 nt /T0
0
即功率信号可以分解为谐波频率为 nf ，复振幅为 Cn 的指数信号 e j 2 nf t 的线性组合。其中，傅里叶级数的系数为： 1 T0 /2 Cn C (nf 0 ) s(t )e j 2 nf0t dt (2.1-1) T0 T0 /2
确知信号在频域中的性质，即频率特性，由其各个频率 分量的分布表示。
它是信号最重要的性质之一，和信号的占用频带宽度和
信号的抗噪声能力有密切的关系。 信号的频率特性有4种：
1.功率信号的频谱
2.能量信号的频谱密度 3.能量信号的能量谱密度 4.功率信号的功率谱密度
周期函数的傅立叶级数
三角函数形式：
a0 n f (t ) ( an cos nt bn sin nt ) 2 n 1 2 T /2 2 n an f (t ) cos( t ) dt , n 0,1, 2,... T T / 2 T 2 T /2 2 n bn f (t ) sin( t ) dt , n 1, 2, 3,... T T / 2 T
3. 非确知信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变 化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。
噪声信号(平稳)
噪声信号(非平稳)
能量信号和功率信号 在通信理论中，把功率定义为在单位 电阻上(1Ω)消耗的功率（归一化功率）。
P = V 2 / R = I 2 R = V 2 = I 2 ( w)
这样，电流的平方和电压的平方都等于功率。

nT0 / 2
nT0 / 2
| x(t ) |2 dt
n lim n nT 0
T0 / 2 1 2 | x ( t ) | dt lim | x ( t ) | dt T0 / 2 T / 2 n 0 T0
周期信号功率等于该信号一个周期内的平均功率
2、确知信号的频域特性
a sin(2t ) b sin(5t )
2
如果包含有n个不同频率余弦分量的角频 率w1:w2:…:wn=m1:m2::…:mn,其中mi是正整数，则 该复合信号是一个周期为 T mi 2π
wi
如果复合信号中某分量频率为无理数，则该信号是非 周期信号 例如 sin(t ) sin( 2t) 的信号，就是个非周期信号