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第二章确知信号分析

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第2章确知信号

第2章确知信号

令T 等于信号的周期T0 ，于是平均功率为
T

T / 2
T / 2
s ( t ) dt
2
1
T0


T0 / 2
T0 / 2
s ( t ) dt
2
(2.2-45)
由周期函数的巴塞伐尔(Parseval)定理:
P 1 T0

T0 / 2
T0 / 2
s ( t ) dt
2

n
T0 / 2 T0 / 2
s (t )e
dt
1 T

T0 / 2
T0 / 2
s ( t )[cos( 2 nf 0 t ) j sin( 2 nf 0 t )] dt 1 T
T

T0 / 2
s ( t ) cos( 2 nf 0 t ) dt j

T0 / 2
T0 / 2
T0 / 2
j n
s ( t ) dt
Cn Cn e
－双边谱，复振幅 |Cn| －振幅， n－相位
(2.2 － 4)
第2章 确知信号

周期性功率信号频谱的性质

对于物理可实现的实信号，由式(2.2－1)有
C n
1 T0

T0 / 2
T0 / 2
s (t )e
j 2 nf 0 t
2



S ( f ) df
2
(2.2-37)
将|S(f)|2定义为能量谱密度。 式(2.2-37)可以改写为
E



G ( f ) df
(2.2-38)

第2章 确知信号分析

第2章 确知信号分析

{
x1 ( t ) → y1 ( t ) x2 ( t ) → y 2 ( t )
⇒ [ x1 (t ) + x2 (t )] → [ y1 (t ) + y2 (t )]
（一个激励的存在并不影响另一个激励的响应） 一个激励的存在并不影响另一个激励的响应） 非线性系统： 非线性系统：凡是不满足叠加定理的系统
F (ω ) = T0 V n
F (ω )
：谱密度，即单位频率占有的振幅值，是相对值。 谱密度，即单位频率占有的振幅值，是相对值。
3）矩形脉冲的频谱函数；门函数的频谱函数 ）矩形脉冲的频谱函数；
τ τ A − <t< 2 2 f (t ) = τ τ 0 t < − , t > 2 2
2）时不变和时变系统 ） 时不变系统（恒参系统）：系统内的参数不随时间变化 时不变系统（恒参系统）：系统内的参数不随时间变化 ）：
{
y ( t ) = f [ x ( t )] y ( t −t 0 ) = f [ x ( t −t 0 )]; −∞ <t ,t 0 < ∞
时变系统（变参/随参系统）： 随参系统）： 时变系统（变参 随参系统 3）物理可实现和物理不可实现系统 ） 物理可实现系统： 物理可实现系统：系统的响应不可能在加上激励以前出现 物理不可实现系统： 物理不可实现系统：
F (ω) = F [ f (t )]
付氏正变换 付氏反变换
f (t ) = F −1 [ F (ω)]
或者记为： 或者记为： F (ω) ↔ f (t ) ， f (t ) ↔ F (ω)
2） (ω ) 与 Vn 、 Cn ） F
的关系
1 Vn = T0

第2章确知信号

第2章确知信号
一般持续时间无限的信号都属于功率信号。
以上分析表明，信号分成两类：

1.能量信号：能量等于一个有限正值，但平 均功率为0。

2.功率信号：平均功率是一个有限值，但能 量为无限大。

注意：能量信号和功率信号的分类对于确知 信号和非确知信号都适用。
at 例：信号 x(t ) e , t 0 ，其中a > 0；说明此信号为能量

即能量信号可以分解为无数个频率为f ，复振幅为 S ( f )df 的 指数信号 e j 2 ft 的线性组合。
S(f)和Cn的主要区别：
S(f)是连续谱，Cn是离散谱； S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简
称为频谱。 实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称 ，即复数共轭，因
0
n ；傅里叶系数 Cn 反 f0 1 T0 n为整数， 式中， 映了信号中各次谐波的幅度值和相位值，因此称 Cn 为信 号的频谱。
【例1】试求图所示周期性方波的频谱。
V , s(t ) 0, s(t ) s(t T ), / 2 t / 2 / 2 t (T / 2) t

因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。
【例3】试求图中周期波形的频谱。
s(t ) sin( t ) s(t ) f (t 1)
1
0 t 1 t
s(t)
t
由式(2.1-1)：
Cn 1 T

T /2
T / 2
s (t )e j 2 nf0t dt sin( t )e j 2 nt dt

通信原理第2章确知信号

通信原理第2章确知信号

30
小结(对比表格)
第二章 确知信号
能量(或功率)
能量信号
E s(f)2df
谱密度
| S( f ) |2
功率信号
P Cn 2 n
C(f)2(f n0f)
整理ppt
31
第二章 确知信号
2.3确知信号的时域性质
时域的主要性质有： 自相关性和互相关性
相关性：信号之间的相关程度。
整理ppt
32
偶函数，所以频谱是实函数。
整理ppt
19
第二章 确知信号
2.2.2能量信号的谱密度
设一个能量信号为 s (t ) ，则将它的傅
里叶变换 S( f )定义为它的频谱密度：
S(f) s(t)ej2ftdt
s(t) S(f)ej2ftdt
整理ppt
20
第二章 确知信号
频谱和频谱密度的区别：
功率信号的频谱：傅里叶级数复数形式的系数
例2-9 试求周期性信号 s(t)Acot s()
的自相关函数。
解：先求功率谱密度，再求自相关函数。
信号基频为：
f0
1
2
1
Cn
T0
T0 2 T02
s(t)ej2n0ftdt 1 2
Acots()ejndt t
A[ej sin1(n)ej sin1(n)] ｎ０ ,１ ,２ ,.
2 (1n)
1
T0
TT00//22s2(t)dtN Cn2
即信号功率P
S( f )，则
整理ppt
巴塞伐尔(Parseval)定理 28
第二章 确知信号
（1）能量谱密度
s2(t)d t S(f)2df
即信号能量E

第2章确知信号

第2章确知信号

当 = 0时，R(0)等于信号的能量：
R(0) s 2 (t)dt E
R()是 的偶函数
(2.3-2)
R( ) R( )
(2.3-3)
自相关函数R()和其能量谱密度|S(f)|2是一对傅里叶变换：
S( f ) 2 R( )e j2f d
R( ) S ( f ) 2 e j2f df
第2章 确知信号
2.1 确知信号的类型
按照周期性区分：
周期信号： s(t) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
非周期信号
按照能量区分：
能量信号：能量有限，
0 E s2 (t)dt
功率信号：功率有限
归一化功率： P V 2 / R I 2 R V 2 I 2
1e j 0t
2
e 1 j 0t
2
[( 0) ( 0)]
S( f )
1 [ ( f
2
f0) ( f
f0 )]
t
(a) 波形
－f0
0
f0
(b) 频谱密度
第2章 确知信号 量纲分析：
2.2.3 能量信号的能量谱密度
S(ω) → V/Hz
定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理
S(ω) 2 → V/Hz2
P 1
T0
T0 / 2 s 2 (t)dt
T0 / 2
Cn
n
2
式中 |Cn|2 －第n次谐波的功率
利用函数可将上式表示为
P
Cn
2(f
nf0 )df
(2.2-45) (2.2-46) (2.2-47)
上式中的被积因子就是周期信号的功率谱密度P(f)，即

第2章 确知信号(简)

第2章 确知信号(简)

S ( f ) = ∫ s (t )e − j 2πft dt
−∞
∞
【例2.4】试求一个矩形脉冲（能量信号）的频谱密度。
——单位门函数
其时域波形如图（a）所示。 它的傅里叶变换即为其频谱密度：
S ( f ) = Ga ( f ) = ∫
τ /2
−τ / 2
e
− j 2π ft
1 dt = (e jπ f τ − e − jπ f τ ) j 2π f
s (t )
−∞< t < +∞
t
T
第2章 确知信号
2、按照能量是否有限区分： （1）能量信号 归一化功率——电流在单位电阻（1Ω）上消耗的功率：
P = V 2 / R = I 2R = V 2 = I 2
能量信号 功率信号
若s(t)表示电压或电流的时间波形，则瞬时功率为：s2(t) 信号能量为：
第2章 确知信号
1 由式(2.2-1)： Cn = C (nf 0 ) = T0
可求得： C = 1 n T
∫
T0 / 2
−T0 / 2
s (t )e − j 2π nf0t dt
τ /2
∫τ
τ /2
− /2
Ve
− j 2 π nf 0 t
1 dt = T
⎡ V − j 2 π nf 0 t ⎤ e ⎢− ⎥ j 2π nf 0 ⎣ ⎦ −τ / 2
度为无穷小、面积为1的脉冲。
δ函数的频谱密度为：
∆( f ) = ∫ δ (t )e
−∞
∞
− j 2πft
dt = 1 ⋅ ∫ δ (t )dt = 1
−∞
∞
第2章 确知信号

通信原理02第二章确知信号


•第二节 确知信号的频域分析
例2.3 试求下图中周期波形的频谱。
•s(t) •1
•t
解：
例2.2 试求下图所示周期性方波的频谱。
•s(t)
•-T
解：
•V
•t
•0 •
•T
根据式（2.2－1）可以求出其频谱为：
•通信原理【 第二章 确知 信号】
电路与通信教研室 高渤
•第二节 确知信号的频域分析
因为信号不是偶函数，因此其频谱Cn是复函数。
•通信原理【 第二章 确知 信号】
电路与通信教研室 高渤
•5
•通信原理【 第二章 确知 信号】
电路与通信教研室 高渤
第二节 确知信号的频域分析
一、功率信号的频谱 通过傅立叶级数和傅立叶变换来进行分析。
1、周期性功率信号频谱（函数）的定义 周期功率信号的指数型傅立叶级数（Fourier series） ：
其中，傅立叶级数的系数（频谱函数的定义）为 ：
）。
3、实信号s（t）各次谐波的相位等于
。
4、数学上频谱函数的各次谐波的振幅等于
，
Cn又称为双边谱，|Cn|的值是单边谱的振幅的一半。
•通信原理【 第二章 确知 信号】
电路与通信教研室 高渤
•第二节 确知信号的频域分析
若s（t）是实偶信号，则 Cn为实函数。 因为
而
所以Cn为实函数，即： 傅立叶级数展开式中只含有直流项和余弦项。
•通信原理【 第二章 确知 信号】
电路与通信教研室 高渤
学习内容
•第二章 确知信号
•1 •信号的分类和特性 •2 •确知信号的频域分析 •3 •确知信号的时域分析
•5
•通信原理【 第二章 确知 信号】

通信原理第2章 确知信号

n 1

它的意义在于： （1）把一个时域信号转换为频域表达，从而引出频谱的概 念； （2）揭示了周期信号的实质，即一个周期信号是由不同频 率的谐波分量构成。当信号被分解为各次谐波之后，就可 以从频域来分析问题。因此，傅里叶分析实质上是一种频 域分析方法。信号的频域特性即信号的内在本质，而信号 的时域波形只是信号的外在形式。

j 2nt / T0
j 2nt / T0 Cn e n 1

C 0 C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) n 1 n 1 C 0 [(C n C n ) cos 2ntf 0 j(C n C n ) sin2ntf 0 ] n 1

T0 / 2
T0 / 2
S ( t )e
j 2nf 0 t
* dt C n

即频谱函数的负频率和正频率部分存在“复数共轭”关系
双边谱
11
根据频谱函数的负频率和正频率之间的“复数共轭”关系
S (t )
n
C

n
e
j 2nt / T0
C0 C ne
3
（2）周期信号和非周期信号
周期信号：定义在（- ∞, +∞）区间上，且每隔一定的时间间
隔按相同规律重复变化的信号。
s(t ) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
满足上述条件的最小T0称为信号的基波周期， f0 =1/T0称为信 号的基频。 非周期信号是不具有重复性的信号，如：符号函数、单位冲 激信号、单位阶跃信号等。

第2-1章：确知信号分析：信号


二、信号的描述和典型示例
由泰勒级数展开 3 5 7 2 4 6 cos 1 sin 2 4 6 3 5 7 j 同样若 e 展开，可得到 2 3 4 j j j j e j 1 1! 2! 3! 4! 2 4 6 3 5 7 1 j 2 4 6 3 5 7
sin t t sin 8t t
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
sint t sin8t t
sin t sin 8t
sint sin8t
t
t
三、信号的运算
2、平移：
f (t ) f (t t0 )
前（左）移或后（右）移，f(t)变成f(t+t0)， t0 >0时，左移； t0 <0时，右移。
n
二、信号的描述和典型示例
设 复 数 A Ke A
j
则A为复常数；
设f ( t ) Ae jt A e j (t )
复常数乘以ejwt,则成为复指数函数，可以 描述一个点在复平面上的圆周运动。 取该函数的实部，得cos函数，取虚部得sin函数；通过复指 数函数进行电路分析，可以简便计算。 而且计算结果也比较直观， |A|代表相应实函数的振幅，θ代表相应实函数的初相角。 对共轭的两个复指数函数加减运算，可得cos和sin函数。
sin t t d t π

二、信号的描述和典型示例
7、复指数信号 表达式：
f (t ) Kest
其中：
s j
借助欧拉公式，可以展开如下：
Ke st Ke ( j ) Ket cost jKet sin t

第2章 确知信号





s( t )e
j 2ft
dt பைடு நூலகம்( t )e

j 2ft
dt ,

S ( f ) S ( f )

14
2.2.2 能量信号的频谱密度

【例2.5】试求单位冲激函数(函数)的频谱密度。 函数的定义： (t )dt 1
k
即抽样函数的极限就是函数。
t
16
2.2.2 能量信号的频谱密度

函数的性质2：单位冲激函数(t)的频谱密度
( f ) (t )e


j 2ft
dt 1 (t )dt 1


(t)
1
(f)
0
t
0
f
17
2.2.2 能量信号的频谱密度

函数的性质3：
df
P( f ) R( )e j 2f d

T /2
T / 2
s 2 (t )dt
式中：s(t)为连续电压或电流信号
5
2.1 确知信号的类型

若0<E<∞和P→0，则称s(t)为能量有 限信号，简称能量信号，其特征是：信 号的振幅和持续时间均有限，非周期。 若E→∞，和0<p<∞，则称s(t)为功率 有限信号，简称功率信号，其特征是： 信号的持续时间无限。


(t ) 0

t0
函数的频谱密度：
( f ) (t )e
j 2ft
dt 1 (t )dt 1



函数的物理意义： 一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为 1的脉冲。
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F ( )e jt0
f (t )e j0t
F ( 0 )
1 F ( a) a
f (at )
F (t )
脉冲信号速度越高，脉宽越窄， 传输时需要频带越宽
2 f ( )
F * ( )
f * (t )
付氏变换的性质总结(续)
性质 时域 微 分 频域 时域 频域 时间函数
n d f (t ) n dt

2.3 确知信号的时域特性

一、信号的互相关函数 二、信号的自相关函数
一、信号的互相关函数

信号的互相关函数定义（实函数）

f1(t)和f2(t)为能量信号，其互相关函数为
R12 ( )



f1 (t ) f 2 (t )dt
f1(t)和f2(t)为功率信号，其互相关函数为



时域中的卷积就对应于频域中的乘积
2.2 信号的分类

数字信号与模拟信号 周期信号与非周期信号 确定信号与随机信号 能量信号与功率信号
信号的分类（续）

信号的功率（能量）：电压（电流） f(t) 加在单位电阻上消耗的功率（或能量）。 信号的瞬时功率为 f 2 (t ) 总能量E为 f 2 (t )dt
第二章 确知信号分析




确知信号的频域分析 确知信号的类型 确知信号的时域特性 确知信号的频域特性 确知信号的带宽 信号通过线性系统 信号传输
2.1 确知信号的频域分析

一、周期信号 二、付立叶变换 三、常用信号的付氏变换 四、付氏变换的性质
一、周期信号
f t f t T

单位冲激函数(函数)

定义




(t )dt 1 (t ) 0
t0


频谱密度：
( f ) (t )e
j 2ft
dt 1 (t )dt 1


物理意义：
一个高度为无穷大、宽度为无穷小、 面积为1的脉冲。
单位冲激函数(续)

卷积

图解卷积

卷积性质


交换律：f*g=g*f 结合律：f*(g*h)=(f*g)*h 分配律：f*(g+h)=(f*g)+(f*h) 数乘结合律：a(f*g)=(af)*g=f*(ag) a为实数或复数
微分定理 D(f*g)=Df*g=f*Dg Df表示f的微分 卷积定理 F(f*g)=F(f)ˑF(g) F(f)表示f的傅里叶变换
k越大， 振幅越大、 波形零点的间隔越小、 波形振荡的衰减越快， 但积分等于1
常用信号的付氏变换
信号
1.冲激函数
f (t )
F ( )
1
(t )
1
n
常数
周期性冲激串 2.三角函数
2 ( )
0 ( n0 ) 0
n
(t nT )
周期信号（续）

Fn ~ω 幅度谱 n ~ω 相位谱 周期信号为功率信号
P
n
F

2
n
周期矩形脉冲信号
τ f t E u t u t 2

τ 2
Eτ nω0 τ Fn Sa T 2
频谱函数
物理含义 例如：谐振电路实现微分鉴频
j F ( )
n
n d F ( ) n d
( jt ) f (t )
n
积 分

t

f ( )d
F ( ) F (0) ( ) j
例如：RC积分解调电路
f (t ) nf (0) (t ) jt



F ( x)dx


从下面看： 小红点是距离频率轴最近 的波峰,而这个波峰所处的 位置离频率轴有多远呢? 我们将红色的点投影到下 平面, 用粉色点来表示。 当然,这些粉色的点只标注 了波峰距离频率轴的距离, 即时间差。 相位差是时间差在一个周 期中所占的比例。将时间 差除周期再乘2Pi,就得到 了相位差。
Acos(ωt+θ) 相位
A |t| A |t| T (t ) { |t| 0
u (t )
) 2 1 ( ) j
A Sa 2 (

e
a t
2a a2 2
注：抽样函数 Sa( x)
sin x x
四、付氏变换的性质





对称性 线性 比例性 频移特性 时移特性 微分特性 积分特性 时域卷积 频域卷积 奇偶虚实性

周期信号频谱离散 周期信号包含无穷多谱线，即可以分解成无穷多 频率分量 谱线强度正比于脉冲幅度E，脉宽 反比于周期T，谱线幅度按抽样函数包络变化
二、付立叶变换
f (t ) F ()
变换式为：
1 f (t ) 2



F ( )e jtd
F ( )


f (t )e jtdt F ( ) e j ( )


最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和 后面依不同颜色排列的正弦波就是组合为矩形波的各个分量 这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来,而每一个波 的振幅都是不同的 两个正弦波之间的直线,是振幅为0的正弦波
时域与频域
频率分量 sin(x)+1/3sin(3x)+… sin(x)+1/3sin(3x)+… sin(x)+1/3sin(3x) +1/7sin(7x) 5个 +1/19sin (19x) 10个
a. 一个正弦波sin(x) b. 两个正弦波 sin(x)+1/3sin(3x) c. 4个正弦波叠加 d. 10个正弦波叠加 无穷多个正弦波叠加… 任何波形都可以如此方法 用正弦波叠加起来
时域与频域
频率分量 sin(x)+1/3sin(3x)+… sin(x)+1/3sin(3x)+… sin(x)+1/3sin(3x) +1/7sin(7x) 5个 +1/19sin (19x) 10个

股票走势、人的身高、汽车轨迹都随时间改变 永远不会静止下来 听众眼中的音乐——随着时间 乐手眼中的音乐——在有限的 变化的震动，永无休止 音符中跳动
时域
频域
换一个角度，世界可以是永恒的
时域与频域

任何周期函数,都可以看作是不同振幅,不同频率正弦 波的叠加。

例如：用正弦曲线波叠加出一个矩形波
频谱——合集
频域分析有啥用



很多在时域看似不可能做到的数学操作,在频域相 反很容易 滤波：从某条曲线中去除一些特定的频率成分,这 是信号处理最重要的概念之一,只有在频域才能轻 松的做到。 频道划分：频分复用
傅里叶级数 与 傅里叶变换

周期信号只包含离散的频率成分，频谱=Ʃ频率分量振幅
非周期信号包含所有频率成分，频谱密度=ʃ频率分量强度
2
T
e
j0t
2 ( 0 )
余弦函数
正弦函数
1 cos 0t [e j0t e j0t ] [ ( 0 ) ( 0 )] 2 1 sin 0t [e j0t e j0t ] [ ( 0 ) ( 0 )] 2j j

平均功率P为

1 T /2 2 lim f (t )dt T T T / 2

能量信号：时间有限的信号，信号能量有 限，在全部时间内的平均功率为0。 功率信号：时间无限的信号，具有无限的 能量，但平均功率有限。
信号的分类（续）

系统的分类

线性系统和非线性系统 如果叠加原理适用于一个系统，则该系统为线 性系统 时不变和时变系统 当系统内的参数不随时间变化时，该系统为时 不变系统


时域的基本单元是“1秒”,频域的基本单元是角频率为1的正弦 波，即sin(t) 。 频域的“0”是sin(0t)，就是一个周期无限长的正弦波,也就是一 条直线!

0频率也被称为直流分量,在傅里叶级数的叠加中,它仅仅影响全部波形相 对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。
时域与频域
时域f(t)：方波

f1(t)和f2(t)为能量信号，其互相关函数为
R12 ( )



f1 (t ) f 2* (t )dt

f1(t)和f2(t)为功率信号，其互相关函数为 1 T2 R12 ( ) lim T f1 (t ) f 2* (t )dt 2 T T f1(t)和f2(t)为周期为T的周期信号，其互相关函数为
ga(t) 1 Ga(f)
0
t
-2/
-1/
0
1/
2/
Cn
f
负时间？

-T
(a) ga(t) s(t)
负频率？
(b) Ga(f)
数学 之美
V 0
T
t
三、常用信号的付氏变换

几种重要信号及其频谱
单位冲激函数 直流信号 周期性冲激函数 正弦信号、余弦信号 门函数 周期矩形脉冲
1 T2 R12 ( ) lim T f1 (t ) f 2 (t )dt 2 T T

f1(t)和f2(t)为周期为T的周期信号，其互相关函数为
1 T2 R12 ( ) T f1 (t ) f 2 (t )dt T 2