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第2章-确知信号与随机信号分析基础

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第2章 确知信号与随机信号分析基础

第2章 确知信号与随机信号分析基础

P ( ) 与离散频谱
2
F n 的关系为
2
n


F n ( n 0 ) 期信号 ( 与离散谱 F n 相联系 ) 功率谱 F n 之间的关系 , 下进一步给出非 的关系 : P ( ) 与非周期信号频谱之间
2
上式实际上是给出了周 密度 P ( ) 与周期信号频谱 周期信号功率谱密度 P ( ) lim
习。这些基本内容是学习《信息论》与《通信原理》的 必备的数学知识，要求大家掌握。
2
第一部分：信号分析内容复习与总结
§1 周期信号和非周期信号的频谱
一、周期信号的付氏级数展开式
1、三角形式
n
f (t ) A0 其中 0

A n cos( n 0 t n ) , T 0 为信号的周期 ,
16
此定理的物理意义是
§3 信号的分类与特点
一、确定性信号与随机信号
确定性信号：可用确定的数学函数表示的信号， 且信号的取值是确定的。 随机信号：给定一个时间值时，信号的取值不确 定，只知其取某一数值的概率。 二、周期信号与非周期信号
满足x(t)=x(t+T0)，则称为周期信号，T0为周期， 不满足上述关系的信号称为非周期信号。
17
三、能量信号与功率信号 设信号为f(t)，它为电压或电流，则作用在1Ω电 阻上的功率为p(t)=f 2(t)。
1、能量信号
T 2
若 E lim
T

T 2
f ( t ) dt
2


f ( t ) dt
2
则称 f ( t )为能量信号
18
2、功率信号

第2章 确知信号分析

第2章 确知信号分析

{
x1 ( t ) → y1 ( t ) x2 ( t ) → y 2 ( t )
⇒ [ x1 (t ) + x2 (t )] → [ y1 (t ) + y2 (t )]
（一个激励的存在并不影响另一个激励的响应） 一个激励的存在并不影响另一个激励的响应） 非线性系统： 非线性系统：凡是不满足叠加定理的系统
F (ω ) = T0 V n
F (ω )
：谱密度，即单位频率占有的振幅值，是相对值。 谱密度，即单位频率占有的振幅值，是相对值。
3）矩形脉冲的频谱函数；门函数的频谱函数 ）矩形脉冲的频谱函数；
τ τ A − <t< 2 2 f (t ) = τ τ 0 t < − , t > 2 2
2）时不变和时变系统 ） 时不变系统（恒参系统）：系统内的参数不随时间变化 时不变系统（恒参系统）：系统内的参数不随时间变化 ）：
{
y ( t ) = f [ x ( t )] y ( t −t 0 ) = f [ x ( t −t 0 )]; −∞ <t ,t 0 < ∞
时变系统（变参/随参系统）： 随参系统）： 时变系统（变参 随参系统 3）物理可实现和物理不可实现系统 ） 物理可实现系统： 物理可实现系统：系统的响应不可能在加上激励以前出现 物理不可实现系统： 物理不可实现系统：
F (ω) = F [ f (t )]
付氏正变换 付氏反变换
f (t ) = F −1 [ F (ω)]
或者记为： 或者记为： F (ω) ↔ f (t ) ， f (t ) ↔ F (ω)
2） (ω ) 与 Vn 、 Cn ） F
的关系
1 Vn = T0

第二章 随机信号分析

第二章 随机信号分析

SCUT DT&P Labs
5
2.2 随机过程的一般表述

自相关函数 R (t1, t2), 衡量同一个过程的相关程度。 R(t1 , t 2 ) E[x (t1 ) x (t 2 )]






x1 x2 f 2 (x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
自协方差B (t1, t2), 衡量同一个过程的相关程度。

Ps () ＝
∞
-∞
R ( ) e -j d
∞

R ( ) ＝ (1/2) -∞ Ps () e j d (逆变换)
2001 Copyright
SCUT DT&P Labs
17
课堂练习

例2.4.1 x (t) sin(0 t + )，求x (t)的功率谱密度函数。 思路：首先证明x (t) 是平稳随机过程，然后对自相关函 数R ( ) 进行傅立叶变换，求得功率谱密度函数Ps () 。 其步骤为： 1，求数学期望 E[x (t)] ＝0，自相关函数R (t1, t2) ＝ 0.5 cos0 ，因此数学期望与时间无关，相关函数仅与时间 间隔有关，因此x (t) 是平稳随机过程。 2，对R ( ) 进行傅立叶变换，求得Ps ()
P ( ) E[ Ps ( )] lim x E FT ( ) T
2 T
2001 Copyright
SCUT DT&P Labs
16

可以证明：平稳随机过程的功率谱密度 等于该过程的自相关函数的富里叶变换。
P ( ) R( ) 表示富里叶变换 x

复习：富里叶变换。
2001 Copyright

《随机信号分析基础》第2章 课件_随机信号时域分析

《随机信号分析基础》第2章 课件_随机信号时域分析

随机过程的一维统计特性具有普通随机变量的各种性质，区别在它们同时还是时间t 的函 数。“一维”只描述出随机过程在各个孤立时刻（任一时刻）的统计特性，没有反映各时刻之 间的内在联系 Þ 用“n 维”更为全面。 （2）二维分布
二维概率分布函数： X(t1)与 X(t2 ) ， FX (x1, x2;t1,t2 ) = FX (x1, x2 ) = P[X(t1) £ x1, X(t2 ) £ x2 ]
= E {X 2(t) - mX2 (t) - 2X(t)mX (t)} = E {X 2(t)} - mX2 (t)
【含义】 ① t2(t) ----随机信号在t 时刻取值相对于中心（均值）的偏离程度。 t(t)称为标准差。
② 若 X(t)为归一化阻抗下的电压或电流，则 E {X 2(t)}表示时刻t 上的瞬时总功率的统计平
若 n 阶偏导数存在，可有 n 维概率密度函数
fX (x1, x2,× × ×xn；t1,t2,× × ×tn )
=
¶FX (x1, x2,× × ×xn；t1,t2,× × ×tn ) ¶x1¶x2 × × × ¶xn
显然，n ­Þ 反映“内在联系”愈充分，也就越为完整地描述随机过程的全部统计特性。
2、定义 令随机试验的概率空间为 {W, F, P} ，若对于样本空间 W 中的任何一个样本点
xi Î W ，总有一个确知函数 xi = X(t, xi )，t Î T 与之对应，这样对于所有的 x Î W ，就可得 到一族关于t 的函数 X(t, x) ，称为随机信号。
族中的每一个函数称为该随机过程的样本函数。随机信号 X(t, x)常简记为 X(t)，对应的 样本函数简记为 x (t ) 。
2.1.3 随机过程的数字特征

第2章 确知信号

第2章 确知信号

j 2nf 0 t
( 2.2 2)
( 2.2 3)

n
T0 / 2
T0 / 2
s( t )dt
复振幅：Cn Cn e j ，|Cn|—振幅，n—相位 Cn—双边频谱：负频率仅在数学上有意义，物理上并不存在。
2018/10/8
第16页
2.2 确知信号的频域性质
一、功率信号的频谱
周期性功率信号频谱的性质：物理上实信号的频谱和数学上的频谱函
T0 / 2
T0 / 2
s( t ) cos(2nf 0 t )dt j
1 T

T0 / 2
T0 / 2
s( t ) sin( 2nf 0 t )dt Re (C n ) j Im(C n )
而

T0 / 2
T0 / 2
s(t ) sin( 2nf0 t )dt 0 ，所以 Cn为实函数。
随机信号定义：是指其取值不确定、且不能事先确切预知
的信号。这种信号在任何时间的取值自然也是不可能用一个数学公
式准确计算出来的。然而，在一个长时间内观察，这种信号有一定的 统计规律，可以找到它的统计特性。通常，把这种信号看作是一个随 机过程。
2018/10/8
第2页
2.1 确知信号的类型
二、周期信号和非周期信号
Cn 1 T0 1 j 2nf 0 t s ( t ) e dt T0 / 2 T0
T0 / 2
j 2nf 0 t * s ( t ) e dt Cn T0 / 2
T0 / 2

( 2.2 5)
正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即： Cn的相位奇对称
2 2 bn (2) 实信号 s(t) 的各次谐波的振幅等于 an

确知信号分析基础精编版

确知信号分析基础精编版

jn1
2
2A
n1T
sin n1
2
A
T
sin n1
2
n1
A
T
Sa n1
2
2
清华大学出版社第2章 信号分析础式中 Sa(x) sin x / x 称为抽样函数。由此得周期矩形 信号f (t) 的傅里叶级数指数形式为
f
(t)
A
T
n
Sa
n1
2
e jn1t
据此画出 Fn 的双边频谱，如图2.9(b)所示。显然， 频谱的包络分布服从抽样函数分布规律，幅度呈
清华大学出版社
第2章 信号分析基础
幅度
图2.1 波形的二维描述
时间
清华大学出版社
第2章 信号分析基础
图2.2 波形的三维描述 清华大学出版社
第2章 信号分析基础
2．时限信号和非时限信号 信号一般都是独立时间变量的函数，按信号 的持续时间划分，可将其分为时限信号和非时限 信号。时限信号只在一定的时间范围内存在，而 非时限信号则不受时间限制，可在整个时间轴上 一直存在，分别如图2.3和图2.4所示。
4．周期信号和非周期信号 按信号是否具有重复性，将信号划分为周期 信号和非周期信号。一个连续信号 f (t) ，若对所有 t 均有
清华大学出版社
第2章 信号分析基础
f t f t nT ,n 0,1,2,...
则称 f (t)为连续周期信号，如图2.7所示。满足上式 的最小T值称为f (t)的周期。周期信号也可以表示 为
清华大学出版社
第2章 信号分析基础
5．能量信号和功率信号 按信号的能量特性划分，将信号分为能量信 号和功率信号。若将信号f (t)设为电压或电流，则 加载在单位电阻上产生的瞬时功率为 f (t) ，2 在一定 的时间区间内会消耗一定的能量。把该能量对时 间区间取平均，即得信号在此区间内的平均功率。 对时间区间取极限，则信号 f (t)的能量E和功率P 定义为

第2章 确知信号分析


例


求周期余弦信号 的自相关函数和功率谱 f t E cosω0t 求复指数信号 jω t f t E e 的自相关函数和功率谱
0
2.4 确知信号的频域特性
一、能量信号的能量和能量谱密度 二、无限非周期信号的平均功率和功率谱密度 三、周期信号的平均功率和功率谱密度
2 T
e
j0t
2 ( 0 )
1 cos 0t [e j0t e j0t ] [ ( 0 ) ( 0 )] 2 1 sin 0t [e j0t e j0t ] [ ( 0 ) ( 0 )] 2j j
f (t ) nf (0) (t ) jt



F ( x)dx
卷积性质：
f1 (t ) f 2 (t )
F1 () F2 ()
1 F1 ( ) F2 ( ) 2
f (t ) (t ) f (t )
f (t ) (t T ) f (t T )

平均功率P为

1 T /2 2 lim f (t )dt T T T / 2

能量信号：时间有限的信号，信号能量有 限，在全部时间内的平均功率为0。 功率信号：时间无限的信号，具有无限的 能量，但平均功率有限。
2.2 确知信号的频域分析


一、周期信号 二、付立叶变换 三、付氏变换的性质 四、常用信号的付氏变换
一、能量信号

能量信号的频谱密度 ——该信号的傅利叶变换
1 f (t ) 2Fra bibliotek

F ( )e jtd
F ( ) f (t )e jtdt F ( ) e j ( )

精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第2章


一维概率分布函数为
FX(x; t)=P［X(t)≤x］ 一维概率密度函数为
（2-3）
fX
( x; t )
FX (x;t) x
（2-4）
第二章 随机信号的基本概念
与随机变量不同的是， 随机信号的一维概率分布或概率 密度函数不仅是状态x的函数， 也是时间t的函数。 图2-9给 出了一维概率密度函数示意图。
计算二元变换的雅可比行列式
g1 J = a
g2 a
g1 1
g2
=
cos 0t1+ cos 0t2 +
a a
cos cos
0t1 0t2
+ +
1
=
a
sin
1
0
t1
t2
第二章 随机信号的基本概念
1
a2
fX x1,x2;t1,t2
fA (a, )
J
2π
2
sin
0
t1
t2
exp
2
2
第二章 随机信号的基本概念
图2-5 脉冲信号发生器的典型波形
第二章 随机信号的基本概念
（3） 连续型随机信号(时间连续、 状态连续)。 例如随机正弦信号X(t)=acos(ωt+θ)， 式中a, ω, θ 部分或全部是随机变量。 图2-6示出了它在某个变量是随机 变量、 其他两个为常数时的典型波形。
y
mY
2
2 Y
2
第二章 随机信号的基本概念
在t=t1时刻， X(t1)是一个随机变量， 令 X1=X(t1)=Ycosω0t1， 根据一维随机变量函数的变换， 需求 出反函数及其导数：
Y X1 ,
cos 0t1

第二章 (4)教材配套课件


3． 时移特性
若 f (t) F单(j击) ，此则处编辑f (t母 t版0 ) 文本F(样j)式e jt0
(2-11)
第物二理级意义： 时域中的时移，在频域中反映为在原频谱函
数F(jω第)三基级础上附加一个相移函数 e jt0 。
4． 频第移四特级性
若 f (t) F(j) ，则 第五级 f (t) e j0t F[j( 0 )]
由欧拉公式，第得五e级jct e jct 2 cosct ，因此
f
(tt [e jct ejct ]
2 A0
Sa 0t cos ct
第1章 西绪安电子科论技大学出版社
XIDIAN UNIVERSITY PRESS
5． 调制定理
第1章 西绪安电子科论技大学出版社
XIDIAN UNIVERSITY PRESS
第2章 确知信号与随机信号分析
单击此处编辑母版文本样式 第二级2.1 确知信号分析
第三2.级2 随机信号分析 2第.3四级 确定性信号与随机信号通过线性系统 2.4 第五窄级带随机过程概述
2.5 余弦波加窄带高斯随机过程
随机信第号四：级当给定一个时间值时，取值不确定，只知其取某
一数值的概率的信号。
第五级
2． 周期信号与非周期信号
若满足x(t)=x(t+T0)，则称为周期信号，T0为周期；若不满足
上述关系，则称为非周期信号。
第1章 西绪安电子科论技大学出版社
XIDIAN UNIVERSITY PRESS
3． 能量信号与功率信号
第五E 级

f
2 (t) d
t



S
lim
1

第二章-信号分析与信息论基础

设ξ(t)表示一个随机过程，则在任意一个时刻t1 上，ξ(t1)是一个随机变量。显然，这个随机变量的统 计特性，可以用概率分布函数或概率密度函数去描述。
4、随机过程的数字特征 随机过程的数字特性，比如，随机过程的数学期望、
方差及相关函数等。 1）数学期望
随机过程ξ(t)的数学期望被定义为
可把t1直接写成t。随机过程的 数学期望被认为是时间t的函数。
2.1 确知信号分析
信号是通过电的某一物理量（如电压或电流）表 示出的与时间t之间的函数关系。 确知信号：能用函数表达式准确表示出来的信号。它 与时间的关系是确知的。 随机信号：与上述相反。
通信中传输的信号及噪声都是随机信号。
2.1.1 周期信号与非周期信号 周期信号：满足条件 s(t)=s(t+T0) -∞＜t＜∞，T0＞0 非周期信号：不满足上述条件。 功率信号：信号在（0，T）内的平均功率S(式2-2)值为 一定值。 能量信号：当T→ ∞时，式(2-3)是绝对可积的。
解： Γ[COS ω0 t]= π[δ(ω- ω0)+ δ(ω+ω0)] 冲激 强度为π，根据卷积定理：
Γ[f(t)COS ω0 t] =（1/2 π)F(ω)* {π[δ(ω- ω0)+ δ(ω+ω0)] }
=(1/2) [F(ω- ω0)+ F(ω+ω0)]
2.1.3 信号通过线性系统
线性系统：输出信号与输入信号满足线性关系（允许
说，如果对于任意的n和τ，随机过程ξ(t)的n维概率
密度函数满足：
则称ξ(t)是平稳随机过程。
6、广义平稳过程 广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差 与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随
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G() F ( j) 2
还可证明, 功率谱密度 P( )与离散频谱 Fn 2的关系为

P() 2 Fn 2 ( n0 ) n
上式实际上是给出了周 期信号(与离散谱Fn相联系)功率谱
密度P()与周期信号频谱 Fn 之间的关系,下进一步给出非 周期信号功率谱密度 P()与非周期信号频谱之间 的关系 :

2 若对于所有的 ,都有R(0) R( ).
3 R( )是偶函数,满足 : R( ) R( ).
28
§7 自相关函数与功率谱和能量谱之间的关系
1 对于能量信号 :
R( ) G() 即能量信号的自相关函 数R( )与能量谱G()是一对付氏变换
2 对于功率信号 :
sin 0t

1 2j
e j0t e j0t
j[ ( 0 ) ( 0 )]
F ( j)
cos(0t)
( )
( )
0 0 0
sin(0t)
F ( j)
( )
( )
0 0 0
11
§2 付氏变换的性质 一、线性叠加性质
1、若为周期功率信号，设周期为T0，则
T0
R12( )

1 T0
2
f1(t) f2 (t
T0
)dt
2
25
2、若为非周期功率信号，则
T
R1 2 (
)

lim
T
1 T
2 T
f1 (t )
f2 (t

)dt
2
3、若为能量信号，则

R12( ) f1(t) f2 (t )dt


结论 : 矩形脉冲信号的带宽 f与信号的宽度 成反比 8
f (t) A
/ 2 0 / 2 t
9
数字信号频带宽度 f 估算
010110
f 1 T
T
数字信号带宽与码元宽度成反比
10
4. 正弦信号的付里叶变换
cos0t

1 2
e j0t
e j0t
[ ( 0 ) ( 0 )]
2A
0 0 0
A
13
0 0 0
三、时移特性
若 f (t) F ( j) 则 f (t t0 ) F ( j)e jt0
其物理意义是 ,时间域中的时移 , 在频域中反映在
原频谱函数F ( j)的基础上附加一个相移 函数e jt0
四、频移特性
若 f (t) F ( j) 则 f (t)e j0t F[ j( 0 )]
欢迎各位同学光临
《通信原理》课程
主讲教师：禹思敏
1
第2章 确知信号与随机信号分析基础
本章包括信号分析、概率论与随机过程三个方面的 内容。这些内容已在《信号与系统》、《高等数学》中 学过，本章对其中的部分内容作一个复习和总结，只给 出结论，并尽量通俗地理解其中的物理意义及背景，不 作证明。此外，还有一些内容将在具体的章节中进行复 习。这些基本内容是学习《信息论》与《通信原理》的 必备的数学知识，要求大家掌握。
T

2
则称f (t)为能量信号
18
2、功率信号

若E f 2 (t)dt

T
但S lim 1
2
f 2 (t)dt
T T T
2
则称f (t)为功率信号.
19
3、能量信号与功率的有关结论： （1）周期信号必定是功率信号，不可能是能量信号，
因为其能量必为无穷大，为什么？ （2）对于非周期信号，可能为功率信号，也可能为能
其物理意义是 ,时间域中的相移 , 对应频谱函数在频域中 的频移
14
五、调制定理
若f (t) F( j)
则f
(t) cos0t

1 2
F[
j(
0 )]
1 2
F[
j(
0 )]
f
(t) sin 0t

j 2
F[
j(
0 )]
j 2
F[
j(
0 )]
F ()

0
P() lim FT () 2
T T
上式中的FT ()为fT (t)的频谱,如后一页的图所示 .
23
f (t)
t
fT (t)
fT (t) FT ()
t
T /2
T /2
24
§6 互相关函数与自相关函数 一、互相关函数的定义：
设有两个信号f1(t)和f2 (t),则互相关函数R12( )定义为
满足x(t)=x(t+T0)，则称为周期信号，T0为周期， 不满足上述关系的信号称为非周期信号。
17
三、能量信号与功率信号
设信号为f(t)，它为电压或电流，则作用在1Ω电 阻上的功率为p(t)=f 2(t)。
1、能量信号
T
2

若E lim f 2 (t)dt f 2 (t)dt T
若 f1(t) F1( j) f2 (t) F2 ( j) 则 f1(t) f2 (t) F1( j) F2 ( j) 二、对称性
若 f (t) F( j) 则 F( jt) 2f () 或 F( jt) 2f ()
12
例题： 试利用对称性 求低通滤波器 的付氏变换。
f (t) A
/ 2 0 / 2 t
F (t) ASa t
2

2

0
F (t) 2A0Sa0t
比例特性, 两边
同时除以2
F (t)

A0
Sa0t
F () ASa
2
f () 2A
/ 2 0 / 2 f ()
量信号。如果其能量为有限值，则为能量信号， 如果其能量为无穷大，功率为有限值，则为功率 信号。一个信号或为能量信号，或为功率信号。
20
§4 Parseval定理（即能量守恒定理） 物理意义：能量守恒，时域能量等于频域能量， 即能量守恒不会变换后会发生改变。
一、对于能量信号f(t)，其频谱为F(jω)，则有
A sin( / 2) ASa
/ 2
2
F(
j)的零点满足如下关系

:

k , k

1,2,
2
从而得 : 2k , k 1,2,
注意到信号的大部分能 量集中在第一个主瓣内 ,
因此,得此信号的带宽为 2k f 1
R( ) P() 即功率信号的自相关函 数R( )与功率谱P()是一对付氏变换
29
第二部分 概率论与随机过程内容复习与总结
§1 随机事件与概率 一、事件与概率
1、随机事件：把某次试验中可能发生和不可能发生 的事件称为随机事件 A。如正弦波振荡器每次开机起 振的初相，二进制数字信号序列的某一位取值等等， 都属于随机事件。该事件出现的概率用P(A)表示，并
且有0 P(A) 1。若P(A)=1为必然事件，若P(A)=0
为不可能事件，等等。
30
§2 条件概率与统计独立 在事件A发生的条件下,事件B发生的概率用 P(B / A),
称为条件概率.按定义有 : P(B / A) P(AB) P( A)
在一般情况下, P(B / A) P(B),只有当A, B为统计独立时, P(B / A) P(B)才能成立.并且有P(AB) P(A)P(B).
则称f1(t)和f2 (t)完全相关.
3 互相关函数 R12( )满足 : R12( ) R21( ).
27
（二）自相关函数的性质
1 R(0)的性质(可直接从定义获得 ) :
对于功率信号, R(0)
lim
1
T /2
f
2 (t)dt S
T T T / 2

对于能量信号, R(0) f 2 (t)dt E
31
§3 概率的基本定理
1 事件之和的概率 : P( A B) P( A) P(B) P(AB)
当A与B互不相容时, P( AB) P() 0,有
P( A B) P( A) P(B) 2 事件之积的概率 :
P( AB) P( A)P(B / A) P(B)P( A / B) 当A与B相互独立时,有P(B / A) P(B), P( A / B) P( A)
1. 单位冲激函数 (t) E (t) E 或 (t) 1
物理意义 : 变化快的信号如很窄的 脉冲等,可近似用
数学模型 (t)来表示,上式说明这类随时间变 化很快
的信号的频谱很宽 .
(t)
F ( j)
(1)
1
0t
0
6
2 直流信号f (t) A
1 2 () A 2A ()
2
第一部分：信号分析内容复习与总结
§1 周期信号和非周期信号的频谱 一、周期信号的付氏级数展开式
1、三角形式
n
f (t) A0 An cos(n0t n )
n 1
其中0

2
T0
为基波频率 , T0为信号的周期 ,
而n0为n次谐波频率
3
2、指数形式
利用高等数学中的欧拉公式，可将三角形式的
(1)

f

F
(t)
( j)
1
2



F ( j)e jt


f (t)e jt dt
d