通信原理 第二章
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通信原理第2章-随机信号分析
1 1 2
f ( x)dx f ( x)dx
a
2
在点 a 处取极大值: 1
2
■ a f x 左右平移
f x宽窄
a
x
37
二、正态分布函数
积分无法用闭合形式计算，要设法把这个积分式和可以在数学 手册上查出积分值的特殊函数联系起来，常引入误差函数和互 补误差函数表示正态分布函数。
38
三、误差函数和互补误差函数
39
40
四、为了方便以后分析，给出误差函数和互补误差 函数的主要性质：
41
42
2.5.4 高斯白噪声
43
这种噪声称为白噪声，是一种理想的宽带随机过程。 式子是一个常数，单位是瓦/赫兹。白噪声的自相关 函数：
说明，白噪声只有在 ＝0 时才相关，而在任意
两个时刻上的随机变量都是不相关的。白噪声的功 率谱和自相关函数如图。
F1 x1 ,
x1
t1
f1 x1 ,
t1
则称 f1 x1 , t1 为 (t的) 一维概率密度函数。
显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数 仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，没 有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，因 此需要在足够多的时间上考虑随机过程的多维分布函 数
60
用示波器观 察一个实现 的波形，如 图所示，是 一个频率近 似为fc，包 络和相位随 机缓变的正 弦波。
Df －fc
s(t)
S( f )
O (a) 缓慢变化的包络[a(t)]
O
频率近似为 fc (b)
窄带过程的频谱和波形示意
61
Df
fc
f
t
因此，窄带随机过程ξ(t)可表示成:
《通信原理》第二章 通信系统概述
1第一部分基本概念消息：有待于传输的语音、图象、符号、数字、图片等－－概率论意义上的“事件”。
消息带有需要送给收信者的信息。
消息以信号的形式在系统中进行传输。
信息：消息中包含的有意义内容。
信号：是消息的载荷者，与消息一一对应的东西。
模拟信号：代表消息的信号参量取值连续。
数字信号：代表消息的信号参量取值为离散的或有限个。
通信：利用电子等技术手段，借助电信号（含光信号）实现从一地向另一地进行消息的有效传递称为通信。
第二部分通信模型模模模模模模模模数字通信系统的一般模型模模模模模模模模模模模模模模模模模模模模模模模·优点：·抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗·抗抗抗抗抗抗·抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗·抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗·抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗·抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗·抗抗抗·抗抗抗抗抗抗抗抗抗·抗抗抗抗抗抗第三部分通信系统分类及通信方式按信道中所传信号特征分：模拟通信系统与数字通信系统。
按调制方式分：基带传输和频带传输。
按多地址方式分为：按多地址方式可分为频分多址通信（FDMA)、时分多址通信(TDMA)、码分多址(CDMA)、空分多址（SDMA ）通信等。
通信方式可分为单工通信、半双工通信及全双工通信三种。
第四部分 信息及其度量平均信息量定义：每个符号所含信息的平均值。
多进制时，设各符号出现的概率为：1,2,12,(),(),,()n n x x x P x P x P x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦L L 1()1nii P x ==∑且则平均信息量（信息源的熵）为：121222221()()[log ()]()[log ()]()[log ()]()g ()(/M M Mi i i H x P x P x P x P x P x P x P x lo P x ==-+-++-=-∑L 比特符号）当信源中每个符号独立等概出现时，可以证明，此时信息源的熵为最大值。
通信原理第二章
t
当 k 时，振幅 ， 波形的零点间隔 0， 故有 k
( t ) lim
k
t
Sa ( kt )
t
10
函数的性质
对f(t)的抽样：
f (t 0 )
f ( t ) ( t t 0 ) dt
函数是偶函数：
(t) ( t)
函数是单位阶跃函数的导数：
T 2
22
2.2 确知信号的性质
uncorrelated
互相关函数的性质 若对所有的 τ，R12(τ) = 0，表示 s1(t) 与 s2(t) 互不 相关； 与自相关函数不同，一般情况下，R12(τ) R21(τ)； 不难证明： R12(τ) = R21(–τ)； R12(0) = R21(0)； R12(0) 或 R21(0) 表示 s1(t) 与 s2(t) 在无时差时的 相关性，它的大小反映 s1(t) 与 s2(t) 的相似程度。
T 2
T 2
s(t ) s(t )dt
19
2.2 确知信号的性质
origin
自相关函数的性质 自相关函数为偶函数，即 R(τ) = R(–τ) 自相关函数在原点τ = 0 处取得最大值，即 R(0) ≥ | R(τ)| 对于能量信号，R(0) 表示信号的能量，即
【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度
解：设一个余弦波的表示式为f (t) = cos0t，则其频谱密度 F()按式(2.2-10)计算，可以写为
F ( ) lim
/2
/2
cos 0 te
通信原理第2章 随机过程
如果平稳随机过程依概率1使下式成立：
aa
则称该平稳随机过程具有各态历经性。 R() R()
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现（样本函数） 都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中 也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从 任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的 问题大为简化。
注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的 随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。
第2章 随 机 过 程
三、平稳随机过程自相关函数
对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要的一 个函数。（其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程 的谱特性有着内在的联系）。因此，我们有必要了解平稳随机 过程自相关函数的性质。
E[(t1)] x1f1(x1,t1)d1x
第2章 随 机 过 程
注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时 上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是
a(t)E[(t)] x1(fx,t)dx
a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的（n个样本函数曲线的） 摆动中心。
第2章 随 机 过 程
3. 相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联 程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。
（1）（自） 协方差函数：定义为 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝
= [x1a(t1)]x2[a(t2)f]2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2
aa
则称该平稳随机过程具有各态历经性。 R() R()
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现（样本函数） 都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中 也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从 任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的 问题大为简化。
注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的 随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。
第2章 随 机 过 程
三、平稳随机过程自相关函数
对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要的一 个函数。（其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程 的谱特性有着内在的联系）。因此，我们有必要了解平稳随机 过程自相关函数的性质。
E[(t1)] x1f1(x1,t1)d1x
第2章 随 机 过 程
注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时 上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是
a(t)E[(t)] x1(fx,t)dx
a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的（n个样本函数曲线的） 摆动中心。
第2章 随 机 过 程
3. 相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联 程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。
（1）（自） 协方差函数：定义为 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝
= [x1a(t1)]x2[a(t2)f]2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2
通信原理第2章 确知信号
n 1
它的意义在于： （1）把一个时域信号转换为频域表达，从而引出频谱的概 念； （2）揭示了周期信号的实质，即一个周期信号是由不同频 率的谐波分量构成。当信号被分解为各次谐波之后，就可 以从频域来分析问题。因此，傅里叶分析实质上是一种频 域分析方法。信号的频域特性即信号的内在本质，而信号 的时域波形只是信号的外在形式。
j 2nt / T0
j 2nt / T0 Cn e n 1
C 0 C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) n 1 n 1 C 0 [(C n C n ) cos 2ntf 0 j(C n C n ) sin2ntf 0 ] n 1
T0 / 2
T0 / 2
S ( t )e
j 2nf 0 t
* dt C n
即频谱函数的负频率和正频率部分存在“复数共轭”关系
双边谱
11
根据频谱函数的负频率和正频率之间的“复数共轭”关系
S (t )
n
C
n
e
j 2nt / T0
C0 C ne
3
（2）周期信号和非周期信号
周期信号：定义在（- ∞, +∞）区间上，且每隔一定的时间间
隔按相同规律重复变化的信号。
s(t ) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
满足上述条件的最小T0称为信号的基波周期， f0 =1/T0称为信 号的基频。 非周期信号是不具有重复性的信号，如：符号函数、单位冲 激信号、单位阶跃信号等。
它的意义在于： （1）把一个时域信号转换为频域表达，从而引出频谱的概 念； （2）揭示了周期信号的实质，即一个周期信号是由不同频 率的谐波分量构成。当信号被分解为各次谐波之后，就可 以从频域来分析问题。因此，傅里叶分析实质上是一种频 域分析方法。信号的频域特性即信号的内在本质，而信号 的时域波形只是信号的外在形式。
j 2nt / T0
j 2nt / T0 Cn e n 1
C 0 C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) n 1 n 1 C 0 [(C n C n ) cos 2ntf 0 j(C n C n ) sin2ntf 0 ] n 1
T0 / 2
T0 / 2
S ( t )e
j 2nf 0 t
* dt C n
即频谱函数的负频率和正频率部分存在“复数共轭”关系
双边谱
11
根据频谱函数的负频率和正频率之间的“复数共轭”关系
S (t )
n
C
n
e
j 2nt / T0
C0 C ne
3
（2）周期信号和非周期信号
周期信号：定义在（- ∞, +∞）区间上，且每隔一定的时间间
隔按相同规律重复变化的信号。
s(t ) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
满足上述条件的最小T0称为信号的基波周期， f0 =1/T0称为信 号的基频。 非周期信号是不具有重复性的信号，如：符号函数、单位冲 激信号、单位阶跃信号等。
通信原理-第2章 信道与噪声
一、狭义信道和广义信道
1、狭义信道 、 (1) 狭义信道被定义为发送设备和接收设备之间用 以传输信号的传输媒质。 以传输信号的传输媒质。 (2) 狭义信道分为有线信道和无线信道两类。 两类。 狭义信道分为有线信道和无线信道两类 有线信道 2、广义信道 、 (1) 将信道的范围扩大为：除了传输媒质，还包 将信道的范围扩大为：除了传输媒质， 括有关的部件和电路。 括有关的部件和电路。这种范围扩大了的信道为广 义信道。 义信道。
Y
x1
y1
x2
y2
y3
y4
xL
多进制无记忆编码信道模型
yM
（4）当信道转移概率矩阵中的行和各列分别具有相 ）当信道转移概率矩阵中的行和各列分别具有相 对称信道。 同集合的元素时 这类信道称为对称信道 同集合的元素时，这类信道称为对称信道。
p 1 − p P ( yi / xi ) = p 1 − p
11/66
（5）依据乘性噪声对信号的影响是否随时间变化而 依据乘性噪声对信号的影响是否随时间变化而 乘性噪声对信号的影响是否随时间变化 将信道分为恒参信道和随参信道。 将信道分为恒参信道和随参信道。
v i (t)
H(ω , t )
⊕
n(t)
v 0 (t)
v i (t)
H(ω )
⊕
n(t)
v 0 (t)
2.2
信道模型
信道可用一个时变线性网络来等效
V0(t) = f [V(t)]+n(t) i V(t)输 的 调 号 V0(t)信 总 出 形 i 入 已 信 ， 道 输 波 n(t)加 噪 ； 性 声 f [V(t)]表 已 信 经 信 所 生 时 线 变 i 示 调 号 过 道 发 的 变 性 换
通信原理-第2章
思考问题
(2.1) 为什么能量信号的平均功率为零,举例说明哪 些信号是能量信号，哪些信号是功率信号？
(2.2.1) 周期信号的频谱特性？ (2.2.2) 为什么能量信号用频谱密度来表示它的频
域特性？
2.1 确知信号的类型
❖ 按照周期性区分： ➢ 周期信号：每隔一定时间T，周而复始且无始无终的信 号。
g a (t )
它的傅里叶变换为
1 0
t /2 t /2
Ga ( f )
/2 e j2 ft dt
/2
1 (e j f e j f ) sin( f ) Sa( f )
j2 f
f
ga(t) 1
0
t
Ga(f)
R( ) lim 1
T /2
s(t)s(t )dt
T T T / 2
性质：
当 = 0时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率：
R(0) lim 1 T / 2 s 2 (t)dt P
T T
T / 2
功率信号的自相关函数也是偶函数。
2.3.2 功率信号的自相关函数
【例2.1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。
V ,
/2 t /2
s(t)
s(t) 0,
/ 2 t (T / 2)
s(t) s(t T ),
由式(2.2-1)：
t
V
-T
0
t
T
/2
Cn
1 T
/2 Ve j 2 nf0t dt
矩形脉冲的带宽等于其脉
冲持续时间的倒数，在这里
通信原理教程2
E s2 (t)dt
若此信号的频谱密度，为S(f)，则由巴塞伐尔定理得知：
E s 2 (t)dt S ( f ) 2df
上式中|S(f)|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的 信号能量。上式可以改写为：
E G( f )df
式中，G(f)＝ |S(f)|2 （J / Hz） 为能量谱密度。 ➢ G(f)的性质：因s(t)是实函数，故|S(f)|2 是偶函数，∴
例：接收机噪声 随机过程的数字特征：
➢ 统计平均值：
S( ) s(t)e jt dt
S()的逆变换为原信号：
s(t) S ( )e jt dt
【例2.3】试求一个矩形脉冲的频谱密度。
解：设此矩形脉冲的表示式为
g (t )
1
0
t /2 t /2
则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：
G() / 2 e jtdt 1 (e j / 2 e j / 2 ) sin( / 2)
第二章 信号
2.1 信号的类型
2.1.1 确知信号和随机信号
➢ 什么是确知信号 ➢ 什么是随机信号
2.1.2 能量信号和功率信号
➢ 信号的功率: 设 R = 1, 则 P = V2/R = I2R = V2 = I2 ➢ 信号的能量：设S代表V或I，若S随时间变化，则写为s(t),
于是，信号的能量 E = s2(t)dt
13
互相关函数 ➢ 能量信号的互相关函数定义：
R12 ( ) s1(t)s2 (t )dt,
➢ 功率信号的互相关函数定义：
R12
(
)
lim
T
1 T
T /2
T / 2 s1(t)s2 (t )dt,
➢ 性质：
若此信号的频谱密度，为S(f)，则由巴塞伐尔定理得知：
E s 2 (t)dt S ( f ) 2df
上式中|S(f)|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的 信号能量。上式可以改写为：
E G( f )df
式中，G(f)＝ |S(f)|2 （J / Hz） 为能量谱密度。 ➢ G(f)的性质：因s(t)是实函数，故|S(f)|2 是偶函数，∴
例：接收机噪声 随机过程的数字特征：
➢ 统计平均值：
S( ) s(t)e jt dt
S()的逆变换为原信号：
s(t) S ( )e jt dt
【例2.3】试求一个矩形脉冲的频谱密度。
解：设此矩形脉冲的表示式为
g (t )
1
0
t /2 t /2
则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：
G() / 2 e jtdt 1 (e j / 2 e j / 2 ) sin( / 2)
第二章 信号
2.1 信号的类型
2.1.1 确知信号和随机信号
➢ 什么是确知信号 ➢ 什么是随机信号
2.1.2 能量信号和功率信号
➢ 信号的功率: 设 R = 1, 则 P = V2/R = I2R = V2 = I2 ➢ 信号的能量：设S代表V或I，若S随时间变化，则写为s(t),
于是，信号的能量 E = s2(t)dt
13
互相关函数 ➢ 能量信号的互相关函数定义：
R12 ( ) s1(t)s2 (t )dt,
➢ 功率信号的互相关函数定义：
R12
(
)
lim
T
1 T
T /2
T / 2 s1(t)s2 (t )dt,
➢ 性质：
通信原理02
幅-频特性：｜H(ω)｜=k (-∞＜ω＜∞)
图2.11.1 理想系统的幅-频特性
相-频特性：φ(ω)=-ωτ (-∞＜ω＜∞)
图2.11.2 理想系统的相-频特性
图2.11.3 实际系统的幅-频特性
图2.11.4 实际系统的相-频特性
“群时延” 群时延”
d ϕ (ω ) τ G (ω ) = − dω
返回目录
2.2 确定信号的分类 周期信号与非周期信号 注意 同周期信号的和、差、积 是周期信号，且具有同一周期。 能量信号与功率信号 模拟信号和数字信号 基带信号和频带信号
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也
2.3 周期信号的傅立叶级数分析 1.三角形式的傅利叶级数分析
令f（t）为周期信号，周期为T，且满足狄里 赫利条件，则f（t）可展开为以下级数
sgn(ω ) = Iim e
a 0 →
[
− aω
u (ω ) − e u (−ω )
aω
]
其傅立叶变换形式
j ⇔ sgn(ω ) πt
由此得到
1 ⇔ − j sgn(ω ) πt
H (ω ) = − j sgn(ω ) =
{
−j j
ω >0 ω <0
希尔伯特变换的性质
ˆ （1） H −1[ f (t )] = f (t )
ˆ(t) = H[ f (t)] = 1 f (τ)dτ f ∫ t −τ π −∞
∞
希尔伯特反变换
g (τ ) H [ g (t )] = ∫ t −τ dτ π −∞
−1
−1
∞
卷积形式
ˆ (t ) = f (t ) ∗ 1 f πt
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频域变化
图2.12.1 希尔伯特变换等效系统
通信原理 第2章(基础知识)
31/59
2.4.3 平稳随机信号通过系统
平稳信号X(t)输入系统，
Y (t) X (t) h(t) X (t u)h(u)du
X(t)与Y(t)是联合平稳的。
1. 输出的概率特性 如果X(t)是高斯过程，则Y(t)也是高斯过程。 2. 输出的功率谱
PY ( f ) PX ( f ) H ( f ) 2
P f
Beq
1 P( f0 )
P(
0f)dfBeqP f0
f
当 P f 为低通信号时， f0 0
0
f0
便于计算信号功率， P 2BeqP f0
2019/11/25
17/59
等效噪声带宽（相对于系统）
equivalent noise bandwidth
Hf 2
(自学)
2019/11/25
2/59
2.1 确知信号
2019/11/25
3/59
2.1.1 信号及其基本参数
信号——某个随时间变化的电子或电气物理量，如v(t) 或i(t)，也常常称为波形。
实际物理波形的特点： 1）实的、连续的、峰值有限的 2）存在于有限的时间段内 3）频谱主要集中在某个频带中
2.2 随机信号
（随机过程）
（Random Signal）
2019/11/25
24/59
2.2.6 功率谱密度
1. 功率谱密度与维纳—辛钦定理
功率型信号
P lim 1 T x2 t dt T 2T T
功率型信号一般持续时间无限，不满足绝对可积的条件。
功率谱密度（PSD）：
通信原理
第2章 基础知识
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《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
除了原点矩外，还定义相对于均值a的n阶矩为n阶中心 矩，即
E[( X a)n ] (x a)n f (x)dx
（2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3-28）
显然，随机变量的二阶中心矩就是它的方差，即
《通信原理课件》
我们定义随时间变化的无数个随机变量的集合为随机 过程。随机过程的基本特征是：它是时间t的函数，但在 任一确定时刻上的取值是不确定的，是一个随机变量；或 者，可将它看成是一个事件的全部可能实现构成的总体， 其中每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现 在出现哪一个实现是不确定的。通信过程中的随机信号和 噪声均可归纳为依赖于时间t的随机过程。
《通信原理课件》
《通信原理课件》
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图2-8 白噪声的双边带功率谱密度和自相关函数
《通信原理课件》
如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪 声。由式（2.6-22）可以看出，高斯白噪声在任意两个不 同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计 独立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在 实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的 频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它 视为白噪声。
《通信原理课件》
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2.7.2 随机过程通过乘法器
在通信系统中，经常进行乘法运算，所以乘法器在通 信系统中应用非常广泛，下面我们计算平稳随机过程通过 乘法器后，输出过程的功率谱密度。
Pf
() lim T
FT () 2
T
（2.5-10）
式中，FT () 是f(t)的截短函数 fT (t) 的频谱函数。f(t) 和 fT (t) 的波形如图2-6所示。
《通信原理课件》
图2-6 功率信号及其截短函数
《通信原理课件》
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1、数学期望（统计平均值） 随机过程 (t) 的数学期望定义为
E[ (t)] xf1(x,t)dx
（2.4-5）
并记为 E[ (t)] a(t) 。随机过程的数学期望是时间的函 数。
《通信原理课件》
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D[ X ] E{( X a)2} 2
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2.4随机过程的一般表述
2.4.1 随机过程的概念
前面所讨论的随机变量是与试验结果有关的某一个随 机取值的量。例如，在给定的某一瞬间测量接收机输出端 上的噪声，所测得的输出噪声的瞬时值就是一个随机变量。 显然，如果连续不断地进行试验，那么在任一瞬间都有一 个与之相应的随机变量，于是这时的试验结果就不仅是一 个随机变量，而是一个在时间上不断变化的随机变量的集 合。
5、R(0) R() 2 [方差， (t)的交流功率]（2.5-9）
由上述性质可知，用自相关函数几乎可以表述的主要 特征，因而上述性质有明显的实用价值。
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二、平稳随机过程的功率谱密度
随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。 由式（2.2-31）可知，对于任意的确定功率信号f(t) 其功率谱密度为
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Pf
lim
T
F
T
2
（2.2-31）
则整个频率范围内信号的总功率与功率谱之间的关系 可表示为
P 1
2
Pf
d
（2.2-32）
可以证明：功率信号 f (t)的自相关函数和功率谱密度是
一对傅里叶变换，即 Rf ( ) Pf
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2、 R( ) R( ) [R( )是偶函数] 3、 R( ) R(0) [R( )的上界]
（2.5-6） （2.5-7）
4、 R() E2[（t)] [ (t)的直流功率] （2.5-8）
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图2-5 随机过程波形
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二、随机过程的数字特征
分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机 过程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或不需求出 分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描 述随机过程的统计特性，更简单直观。
)
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2.8窄带高斯噪声
2.8.1 窄带高斯噪声的统计特征
一、窄带高斯噪声的概念 设系统的带宽为，中心频率为，当时称该系统为窄带 系统。当高斯白噪声通过窄带系统时，其输出噪声只能 集中在中心频率附近的带宽之内，称这种噪声为窄带高 斯噪声。窄带高斯噪声的原理框图及相关波形如图2-11 所示。
第二章：信号与噪声
2.1 信号的分类 2.2 确知信号的分析 2.3 随机变量的统计特征 2.4 随机过程的一般表述 2.5 平稳随机过程 2.6 高斯随机过程 2.7 随机过程通过系统的分析 2.8 窄带高斯噪声 2.9 周期平稳随机过程
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2.1信号的分类
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2.1.1确知信号与随机信号
随机变量的统计规律用概率分布函数或概率密度函数 来描述。
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F ( x)
F ( x)
x
P(X x)
F(x) P(X x)
（2.3-1）
F(x) P(X x) P(xi ) xi x P(xi )(i 1, 2,3, )
i 1, 2,3,
（2.3-2）
xi
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可见，概率密度函数是分布函数的导数。从图 形上看，概率密度就是分布函数曲线的斜率。
概率密度函数有如下性质：
（1） f (x) 0
（2.3-5）
（2）
f (x)dx 1
（3）
b
f (x)dx P(a X b)
a
（2.3-6） （2.3-7）
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对于离散随机变量，其概率密度函数为
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2.1.2周期信号与非周期信号
周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号。 周期信号满足下列条件
f (t) f (t nT),n 0, 1, 2. 3, , t
（2.1-1）
式中，为的周期，是满足式（2.1-1）条件的最小时 段。非周期信号是不具有重复性的信号。
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平稳随机过程通过乘法器的数学模型如图2-10所示
图2-10平稳随机过程通过乘法器
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（4）X(t)的平均功率为
SX
RX (t,t ) | 0
1 (a2 2
2
本节我们介绍基于概率论的随机变量及其统计特征， 它是随机过程和随机信号分析的基础。
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2.3.1 随机变量
在概率论中，将每次实验的结果用一个变量来表示， 如果变量的取值是随机的，则称变量为随机变量。例如， 在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。
当随机变量的取值个数是有限个时，则称它为离散随 机变量。否则就称为连续随机变量。
确知信号是指能够以确定的时间函数表示的信号，它 在定义域内任意时刻都有确定的函数值。例如电路中的正 弦信号和各种形状的周期信号等。
在事件发生之前无法预知信号的取值，即写不出明确 的数学表达式，通常只知道它取某一数值的概率，这种具 有随机性的信号称为随机信号。例如，半导体载流子随机 运动所产生的噪声和从目标反射回来的雷达信号（其出现 的时间与强度是随机的）等都是随机信号。所有的实际信 号在一定程度上都是随机信号。
,
F0 c0 a0
Fn
cn 2
e jn
(称为复振幅)；
Fn
cn 2
e jn
Fn*
（是 Fn
的共轭）。
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（a）非周期信号
（b）构造的周期信号
图2-1 非周期信号
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图2-4 瑞利分布 后面我们将介绍的窄带高斯噪声的包络就是服从瑞利 分布。
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2.3.4随机变量的数字特征
前面讨论的分布函数和概率密度函数，能够较全面地 描述随机变量的统计特性。然而，在许多实际问题中，我 们往往并不关心随机变量的概率分布，而只想了解随机变 量的某些特征，例如随机变量的统计平均值，以及随机变 量的取值相对于这个平均值的偏离程度等。这些描述随机 变量某些特征的数值就称为随机变量的数字特征。
下面结合自相关函数的性质，归纳功率谱的性质如下：
1、 P () 0 （非负性）
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除了原点矩外，还定义相对于均值a的n阶矩为n阶中心 矩，即
E[( X a)n ] (x a)n f (x)dx
（2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3-28）
显然，随机变量的二阶中心矩就是它的方差，即
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我们定义随时间变化的无数个随机变量的集合为随机 过程。随机过程的基本特征是：它是时间t的函数，但在 任一确定时刻上的取值是不确定的，是一个随机变量；或 者，可将它看成是一个事件的全部可能实现构成的总体， 其中每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现 在出现哪一个实现是不确定的。通信过程中的随机信号和 噪声均可归纳为依赖于时间t的随机过程。
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图2-8 白噪声的双边带功率谱密度和自相关函数
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如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪 声。由式（2.6-22）可以看出，高斯白噪声在任意两个不 同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计 独立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在 实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的 频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它 视为白噪声。
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2.7.2 随机过程通过乘法器
在通信系统中，经常进行乘法运算，所以乘法器在通 信系统中应用非常广泛，下面我们计算平稳随机过程通过 乘法器后，输出过程的功率谱密度。
Pf
() lim T
FT () 2
T
（2.5-10）
式中，FT () 是f(t)的截短函数 fT (t) 的频谱函数。f(t) 和 fT (t) 的波形如图2-6所示。
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图2-6 功率信号及其截短函数
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1、数学期望（统计平均值） 随机过程 (t) 的数学期望定义为
E[ (t)] xf1(x,t)dx
（2.4-5）
并记为 E[ (t)] a(t) 。随机过程的数学期望是时间的函 数。
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D[ X ] E{( X a)2} 2
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2.4随机过程的一般表述
2.4.1 随机过程的概念
前面所讨论的随机变量是与试验结果有关的某一个随 机取值的量。例如，在给定的某一瞬间测量接收机输出端 上的噪声，所测得的输出噪声的瞬时值就是一个随机变量。 显然，如果连续不断地进行试验，那么在任一瞬间都有一 个与之相应的随机变量，于是这时的试验结果就不仅是一 个随机变量，而是一个在时间上不断变化的随机变量的集 合。
5、R(0) R() 2 [方差， (t)的交流功率]（2.5-9）
由上述性质可知，用自相关函数几乎可以表述的主要 特征，因而上述性质有明显的实用价值。
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二、平稳随机过程的功率谱密度
随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。 由式（2.2-31）可知，对于任意的确定功率信号f(t) 其功率谱密度为
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Pf
lim
T
F
T
2
（2.2-31）
则整个频率范围内信号的总功率与功率谱之间的关系 可表示为
P 1
2
Pf
d
（2.2-32）
可以证明：功率信号 f (t)的自相关函数和功率谱密度是
一对傅里叶变换，即 Rf ( ) Pf
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2、 R( ) R( ) [R( )是偶函数] 3、 R( ) R(0) [R( )的上界]
（2.5-6） （2.5-7）
4、 R() E2[（t)] [ (t)的直流功率] （2.5-8）
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图2-5 随机过程波形
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二、随机过程的数字特征
分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机 过程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或不需求出 分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描 述随机过程的统计特性，更简单直观。
)
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2.8窄带高斯噪声
2.8.1 窄带高斯噪声的统计特征
一、窄带高斯噪声的概念 设系统的带宽为，中心频率为，当时称该系统为窄带 系统。当高斯白噪声通过窄带系统时，其输出噪声只能 集中在中心频率附近的带宽之内，称这种噪声为窄带高 斯噪声。窄带高斯噪声的原理框图及相关波形如图2-11 所示。
第二章：信号与噪声
2.1 信号的分类 2.2 确知信号的分析 2.3 随机变量的统计特征 2.4 随机过程的一般表述 2.5 平稳随机过程 2.6 高斯随机过程 2.7 随机过程通过系统的分析 2.8 窄带高斯噪声 2.9 周期平稳随机过程
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2.1信号的分类
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2.1.1确知信号与随机信号
随机变量的统计规律用概率分布函数或概率密度函数 来描述。
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F ( x)
F ( x)
x
P(X x)
F(x) P(X x)
（2.3-1）
F(x) P(X x) P(xi ) xi x P(xi )(i 1, 2,3, )
i 1, 2,3,
（2.3-2）
xi
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可见，概率密度函数是分布函数的导数。从图 形上看，概率密度就是分布函数曲线的斜率。
概率密度函数有如下性质：
（1） f (x) 0
（2.3-5）
（2）
f (x)dx 1
（3）
b
f (x)dx P(a X b)
a
（2.3-6） （2.3-7）
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对于离散随机变量，其概率密度函数为
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2.1.2周期信号与非周期信号
周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号。 周期信号满足下列条件
f (t) f (t nT),n 0, 1, 2. 3, , t
（2.1-1）
式中，为的周期，是满足式（2.1-1）条件的最小时 段。非周期信号是不具有重复性的信号。
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平稳随机过程通过乘法器的数学模型如图2-10所示
图2-10平稳随机过程通过乘法器
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（4）X(t)的平均功率为
SX
RX (t,t ) | 0
1 (a2 2
2
本节我们介绍基于概率论的随机变量及其统计特征， 它是随机过程和随机信号分析的基础。
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2.3.1 随机变量
在概率论中，将每次实验的结果用一个变量来表示， 如果变量的取值是随机的，则称变量为随机变量。例如， 在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。
当随机变量的取值个数是有限个时，则称它为离散随 机变量。否则就称为连续随机变量。
确知信号是指能够以确定的时间函数表示的信号，它 在定义域内任意时刻都有确定的函数值。例如电路中的正 弦信号和各种形状的周期信号等。
在事件发生之前无法预知信号的取值，即写不出明确 的数学表达式，通常只知道它取某一数值的概率，这种具 有随机性的信号称为随机信号。例如，半导体载流子随机 运动所产生的噪声和从目标反射回来的雷达信号（其出现 的时间与强度是随机的）等都是随机信号。所有的实际信 号在一定程度上都是随机信号。
,
F0 c0 a0
Fn
cn 2
e jn
(称为复振幅)；
Fn
cn 2
e jn
Fn*
（是 Fn
的共轭）。
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（a）非周期信号
（b）构造的周期信号
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图2-4 瑞利分布 后面我们将介绍的窄带高斯噪声的包络就是服从瑞利 分布。
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2.3.4随机变量的数字特征
前面讨论的分布函数和概率密度函数，能够较全面地 描述随机变量的统计特性。然而，在许多实际问题中，我 们往往并不关心随机变量的概率分布，而只想了解随机变 量的某些特征，例如随机变量的统计平均值，以及随机变 量的取值相对于这个平均值的偏离程度等。这些描述随机 变量某些特征的数值就称为随机变量的数字特征。
下面结合自相关函数的性质，归纳功率谱的性质如下：
1、 P () 0 （非负性）