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第二章 确知信号自学总结

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第2章 确知信号与随机信号分析基础

第2章 确知信号与随机信号分析基础

P ( ) 与离散频谱
2
F n 的关系为
2
n


F n ( n 0 ) 期信号 ( 与离散谱 F n 相联系 ) 功率谱 F n 之间的关系 , 下进一步给出非 的关系 : P ( ) 与非周期信号频谱之间
2
上式实际上是给出了周 密度 P ( ) 与周期信号频谱 周期信号功率谱密度 P ( ) lim
习。这些基本内容是学习《信息论》与《通信原理》的 必备的数学知识，要求大家掌握。
2
第一部分：信号分析内容复习与总结
§1 周期信号和非周期信号的频谱
一、周期信号的付氏级数展开式
1、三角形式
n
f (t ) A0 其中 0

A n cos( n 0 t n ) , T 0 为信号的周期 ,
16
此定理的物理意义是
§3 信号的分类与特点
一、确定性信号与随机信号
确定性信号：可用确定的数学函数表示的信号， 且信号的取值是确定的。 随机信号：给定一个时间值时，信号的取值不确 定，只知其取某一数值的概率。 二、周期信号与非周期信号
满足x(t)=x(t+T0)，则称为周期信号，T0为周期， 不满足上述关系的信号称为非周期信号。
17
三、能量信号与功率信号 设信号为f(t)，它为电压或电流，则作用在1Ω电 阻上的功率为p(t)=f 2(t)。
1、能量信号
T 2
若 E lim
T

T 2
f ( t ) dt
2


f ( t ) dt
2
则称 f ( t )为能量信号
18
2、功率信号

第2章确知信号

第2章确知信号

令T 等于信号的周期T0 ，于是平均功率为
T

T / 2
T / 2
s ( t ) dt
2
1
T0


T0 / 2
T0 / 2
s ( t ) dt
2
(2.2-45)
由周期函数的巴塞伐尔(Parseval)定理:
P 1 T0

T0 / 2
T0 / 2
s ( t ) dt
2

n
T0 / 2 T0 / 2
s (t )e
dt
1 T

T0 / 2
T0 / 2
s ( t )[cos( 2 nf 0 t ) j sin( 2 nf 0 t )] dt 1 T
T

T0 / 2
s ( t ) cos( 2 nf 0 t ) dt j

T0 / 2
T0 / 2
T0 / 2
j n
s ( t ) dt
Cn Cn e
－双边谱，复振幅 |Cn| －振幅， n－相位
(2.2 － 4)
第2章 确知信号

周期性功率信号频谱的性质

对于物理可实现的实信号，由式(2.2－1)有
C n
1 T0

T0 / 2
T0 / 2
s (t )e
j 2 nf 0 t
2



S ( f ) df
2
(2.2-37)
将|S(f)|2定义为能量谱密度。 式(2.2-37)可以改写为
E



G ( f ) df
(2.2-38)

通信原理-Ch2-确知信号(李2014年版)

通信原理-Ch2-确知信号(李2014年版)
Q 任何周期信号都可分解成付立叶级数f (t )
式中，系数为
1 T /2 Cn f (t )e jnt dt T T /2

n
Ce
n

jnt
;
n 0, 1, 2,...
F [ f (t )] F [ Cn e jnt ]
n

n
jnt C F [ e ] n
三、相关函数

为什么要学习相关函数?
相关函数与功率谱密度有密切的联系
数字调制解调利用彼此相关函数较小的波形来
携带不同信息，可以大大提高调制解调质量 第9章的“数字信号最佳接收”也要用到

相关函数的分类
互相关函数 自相关函数（与功率谱是一对付立叶变换）
严谨 严格 求实 求是
第二章 确知信号
大，也就是它们之间越相似。

R12 (0) 通常称为相关系数。
严谨 严格 求实 求是
第二章 确知信号
2、自相关函数[其实就是令f1(t)=f2(t)]
(1)对于能量信号 f (t )，其自相关函数定义为
R( ) f (t ) f (t )dt


(2)对于周期功率信号f (t )，且它们的周期均为? T0 ， 其自相关函数定义为 请大家把教材
5、功率谱密度
若f (t )为周期信号 (肯定也是功率信号 ), 且f (t )
F ( )，则
定义f (t )的功率谱密度为 PS ( ) 2
n
| C

n
| ( n0 )
2
单位：W/Hz
这样定义的目的主要是使E和S的表达式形式上的统一
由上面的Ps ()定义式, 功率信号的功率 S可写成

第2章 确知信号分析

第2章 确知信号分析

{
x1 ( t ) → y1 ( t ) x2 ( t ) → y 2 ( t )
⇒ [ x1 (t ) + x2 (t )] → [ y1 (t ) + y2 (t )]
（一个激励的存在并不影响另一个激励的响应） 一个激励的存在并不影响另一个激励的响应） 非线性系统： 非线性系统：凡是不满足叠加定理的系统
F (ω ) = T0 V n
F (ω )
：谱密度，即单位频率占有的振幅值，是相对值。 谱密度，即单位频率占有的振幅值，是相对值。
3）矩形脉冲的频谱函数；门函数的频谱函数 ）矩形脉冲的频谱函数；
τ τ A − <t< 2 2 f (t ) = τ τ 0 t < − , t > 2 2
2）时不变和时变系统 ） 时不变系统（恒参系统）：系统内的参数不随时间变化 时不变系统（恒参系统）：系统内的参数不随时间变化 ）：
{
y ( t ) = f [ x ( t )] y ( t −t 0 ) = f [ x ( t −t 0 )]; −∞ <t ,t 0 < ∞
时变系统（变参/随参系统）： 随参系统）： 时变系统（变参 随参系统 3）物理可实现和物理不可实现系统 ） 物理可实现系统： 物理可实现系统：系统的响应不可能在加上激励以前出现 物理不可实现系统： 物理不可实现系统：
F (ω) = F [ f (t )]
付氏正变换 付氏反变换
f (t ) = F −1 [ F (ω)]
或者记为： 或者记为： F (ω) ↔ f (t ) ， f (t ) ↔ F (ω)
2） (ω ) 与 Vn 、 Cn ） F
的关系
1 Vn = T0

第二章 确知信号自学总结

第二章 确知信号自学总结

1、如何描述确知信号的时域特性？ 主要由自相关函数、互相关函数来进行描述。
2、自相关函数

衡量波形之间的关联或相似程度
R( ) s(t ) s(t )dt，
1 T /2 R( ) lim s(t ) s(t )dt， T / 2 T T


能量信号频谱密度S（f）和功率信号频谱Cn的主要区别： 1）S（f）是连续谱；Cn是离散谱； 2）S（f）的单位是V/Hz；而Cn的单位是V。
注意：针对能量信号讨论问题时，常把频谱密度简称为频谱。
西南大学电子信息工程学院 电路与通信教研室 高渤
知识回顾2：确知信号的频域分析
通信原理【 第二章 确知信号】
学习目标
通信原理【 第二章 确知信号】
Southwestern University
学习要点
1、信号的分类及其特征； 2、信号的频域分析法和频谱的概念； 3、傅里叶级数的物理意义； 4、傅里叶变换及其基本性质； 5、函数及其常用性质； 6、信号的能量谱和功率谱； 7、相关函数的定义和性质；
8、相关函数与谱密度的关系。
由周期函数的巴塞伐尔（Parseval）定理可得:
1 P T0

T0 / 2
T0 / 2
s (t )dt
2
n
C

2 n
信号的离散功率谱
利用 函数可将上式离散谱，用连续的功率谱密度表示，
P C ( f ) ( f nf 0 )df
2
Cn 式中 C ( f ) 0
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知识回顾1：能量信号和功率信号
通信原理【 第二章 确知信号】

通信原理第2章确知信号

通信原理第2章确知信号

30
小结(对比表格)
第二章 确知信号
能量(或功率)
能量信号
E s(f)2df
谱密度
| S( f ) |2
功率信号
P Cn 2 n
C(f)2(f n0f)
整理ppt
31
第二章 确知信号
2.3确知信号的时域性质
时域的主要性质有： 自相关性和互相关性
相关性：信号之间的相关程度。
整理ppt
32
偶函数，所以频谱是实函数。
整理ppt
19
第二章 确知信号
2.2.2能量信号的谱密度
设一个能量信号为 s (t ) ，则将它的傅
里叶变换 S( f )定义为它的频谱密度：
S(f) s(t)ej2ftdt
s(t) S(f)ej2ftdt
整理ppt
20
第二章 确知信号
频谱和频谱密度的区别：
功率信号的频谱：傅里叶级数复数形式的系数
例2-9 试求周期性信号 s(t)Acot s()
的自相关函数。
解：先求功率谱密度，再求自相关函数。
信号基频为：
f0
1
2
1
Cn
T0
T0 2 T02
s(t)ej2n0ftdt 1 2
Acots()ejndt t
A[ej sin1(n)ej sin1(n)] ｎ０ ,１ ,２ ,.
2 (1n)
1
T0
TT00//22s2(t)dtN Cn2
即信号功率P
S( f )，则
整理ppt
巴塞伐尔(Parseval)定理 28
第二章 确知信号
（1）能量谱密度
s2(t)d t S(f)2df
即信号能量E

第2章确知信号


当 = 0时，R(0)等于信号的能量：
R(0) s 2 (t)dt E
R()是 的偶函数
(2.3-2)
R( ) R( )
(2.3-3)
自相关函数R()和其能量谱密度|S(f)|2是一对傅里叶变换：
S( f ) 2 R( )e j2f d
R( ) S ( f ) 2 e j2f df
第2章 确知信号
2.1 确知信号的类型
按照周期性区分：
周期信号： s(t) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
非周期信号
按照能量区分：
能量信号：能量有限，
0 E s2 (t)dt
功率信号：功率有限
归一化功率： P V 2 / R I 2 R V 2 I 2
1e j 0t
2
e 1 j 0t
2
[( 0) ( 0)]
S( f )
1 [ ( f
2
f0) ( f
f0 )]
t
(a) 波形
－f0
0
f0
(b) 频谱密度
第2章 确知信号 量纲分析：
2.2.3 能量信号的能量谱密度
S(ω) → V/Hz
定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理
S(ω) 2 → V/Hz2
P 1
T0
T0 / 2 s 2 (t)dt
T0 / 2
Cn
n
2
式中 |Cn|2 －第n次谐波的功率
利用函数可将上式表示为
P
Cn
2(f
nf0 )df
(2.2-45) (2.2-46) (2.2-47)
上式中的被积因子就是周期信号的功率谱密度P(f)，即

通信原理 第2章 确知信号


0
所以Cn为实函数。
11
第2章 确知信号 章
【例】 试求图所示周期性方波的频谱。 −τ / 2 ≤ t ≤ τ / 2 V , s(t) s(t ) = τ / 2 < t < (T − τ / 2) 0,
s(t ) = s(t − T ), −∞ <t < ∞
τ
-T
τ /2
V 0
T
由式(2.2-2)： (2.2-2)
1 T0 / 2 1 T0 / 2 = ∫ s(t ) cos(2πnf0t )dt − j ∫ s(t ) sin(2πnf0t )dt = Re(Cn ) − j Im(Cn ) T −T0 / 2 T −T0 / 2 而 T0 / 2 s (t ) sin(2πnf t )dt = 0
∫
−T0 / 2
∫
∞
−∞
s(t)e
− j 2πft
dt = ∫ s(t)e −∞
∞
+ j 2πft
dt ,
∗
S( f ) = [S(− f )]
∗
13
第2章 确知信号 章
【例】试求单位冲激函数(δ函数)的频谱密度。 ∞ δ函数的定义： δ ( t ) dt = 1
∫
−∞
δ (t ) = 0
t ≠ 0
[a
2 n
+ bn2 cos (2π nt / T0 + θ n )
]
( 2 .2 − 8 )
式中 θn = − tan−1 (bn / an )
Cn =
1 2 2 a n + bn 2
9
第2章 确知信号 章
上式表明： 1. 实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n = 1时)和各次谐 波(n = 1, 2, 3, …)。

通信原理(第二版)(章 (2)


)
升余弦频谱函数及其时间波形如图2.3.4所示。
第2章 确知信号分析 图2.3.4 升余弦频谱及其时间波形
第2章 确知信号分析
2.3.3 周期信号的频谱函数
一个周期信号的频谱可以用傅氏级数展开式进行分析，我们
知道一个周期信号f (T)可表示为
x(t)
V e j2πnf0t n
n
根据傅氏变换，也可求得周期信号x (t)的频谱函数为
第2章 确知信号分析
任何周期为T0周期信号x(t)，只要满足狄里赫利条件， 都可以展开为指数形式的傅氏级数，即
其中，
x(t)
V e j2 nf0t n
n
（2-2-1）
Vn
1 T0
T0 /2 x(t)e j2 nf0tdt
T0 / 2
（2-2-2）
称为傅氏级数的系数，f0=1/T0称为周期信号的基波频率，nf0 称为n次谐波频率。
第2章 确知信号分析
例2.3.2 求x (T)=Acos2πf0T信号的频谱函数。 解 Acos2πf0T可变换为
因为
x(t)
Acos 2πf0t
A [e j2πf0t 2
e j2πf0t ]
F[e j2πf0t ] ( f f0 )
F[e j2πf0t ] ( f f0 )
所以余弦信号x (T)=Acos2πf 0T的频谱为
析是通过傅氏变换进行的。傅氏变换公式为
F ( f ) f (t)e j2πft dt 称为傅氏变换
(2-3-1)
f (t) F ( f )e j2πft df
称为傅氏反(逆)变换 (2-3-2)
第2章 确知信号分析 通常把F(f)叫做f(t)的频谱密度函数，简称频谱。它的物理意

确知信号知识点总结

确知信号知识点总结一、确知信号的定义确知信号是指在一定的条件下产生的、具有确定性、可靠性的信号。

它是一种能够提供明确、准确信息的信号，能够为我们提供有效的指导和支持。

确知信号是一种对事物状态或变化有着明确的判断和预测能力的信号，它不会产生混淆或误导，具有较高的可靠性和准确性。

因此，确知信号在我们的工作和生活中有着重要的作用，能够帮助我们做出明智的决策和行动。

二、确知信号的特点1. 可靠性高：确知信号具有较高的可靠性，能够提供明确、准确的信息。

2. 确定性强：确知信号对事物状态或变化有着明确的判断和预测能力，不会产生混淆或误导。

3. 信息量大：确知信号能够提供丰富的信息量，能够为我们提供有效的指导和支持。

4. 应用范围广：确知信号在工业、农业、交通、通信、环境监测等领域都具有重要的应用价值。

5. 传输方式多样：确知信号的传输方式有线传输和无线传输两种，能够适应不同的应用场景需求。

三、确知信号的应用1. 工业控制：在工业生产过程中，通过确知信号可以控制设备的启停、运行状态，实现自动化生产，提高生产效率和产品质量。

2. 交通管理：在道路交通管理中，通过确知信号可以控制交通信号灯、路口的开闭，保障道路通行的安全和顺畅。

3. 通信传输：在通信传输系统中，通过确知信号可以实现电话、网络、电视等信息的传输，为人们的日常生活和工作提供便利。

4. 环境监测：在环境监测系统中，通过确知信号可以监测大气、水质、土壤等环境参数的变化，实时掌握环境质量信息。

5. 农业种植：在农业生产中，通过确知信号可以控制灌溉、施肥、播种等生产活动，提高农产品产量和质量。

四、确知信号的分类1. 数字信号：指信号的取值为离散的数值。

例如，计算机中的二进制信号、数字电视中的数字视频信号等。

2. 模拟信号：指信号的取值为连续的数值。

例如，声音信号、图像信号等。

3. 时钟信号：指用来同步系统各个部件工作的信号。

例如，计算机中的时钟信号用来同步CPU和其他部件的工作。

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2

2）R（ ）和功率谱密度P（ f ）之间是一对傅里叶变换
R( ) P( f )e


j 2f
df
P( f ) R( )e j 2f d


西南大学电子信息工程学院
电路与通信教研室
高渤
知识回顾3：确知信号的时域分析
通信原理【 第二章 确知信号】
Southwestern University
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4、互相关函数
R12 ( ) s1 (t ) s2 (t )dt，


1 T /2 R12 ( ) lim s1 (t ) s2 (t )dt， T T T / 2
1 R12 ( ) T0
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3、能量信号的频谱密度——傅里叶变换 频谱密度（frequency density）的定义： 能量信号S（t）的傅里叶变换： S ( f ) s(t )e j 2ft dt S（f）的逆傅里叶变换就是原信号： s(t ) S ( f )e j 2ft df
s (t )e j 2nf0t dt
式中，f0称为基频， nf0称为n次谐波频率。
1 若n＝0（直流分量）， C0 T0
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T0 / 2
T0 / 2
s (t ) dt
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知识回顾2：确知信号的频域分析
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知识回顾2：确知信号的频域分析
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4、能量谱和功率谱 1）能量谱密度（energy spectrum density）定义： G（ f ）= |S（f）|2
单 位：J / HZ
2）信号能量—— 巴塞伐尔（Parseval）能量守恒定理
E s (t )dt S ( f ) df 2 S ( f ) df
2 2 2 0



时 域
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频 域
对实函数，偶对称
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知识回顾2：确知信号的频域分析
通信原理【 第二章 确知信号】
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2 T

周期信号的功率
1 P lim T T
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1 T / 2 s (t )dt T0
T /2 2

T0 / 2
T0 / 2
s 2 (t )dt
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能量信号频谱密度S（f）和功率信号频谱Cn的主要区别： 1）S（f）是连续谱；Cn是离散谱； 2）S（f）的单位是V/Hz；而Cn的单位是V。
注意：针对能量信号讨论问题时，常把频谱密度简称为频谱。
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1）傅里叶变换存在的条件 类似傅里叶级数的Dirichlet条件；傅里叶变换充分条件是：



s(t ) dt
故引入冲激函数之后 ，许多不满足绝对可积条件的信号， 如周期信号、阶跃信号、符号函数等也存在傅立叶变换了。
意 义：从而把各种信号的分析方法统一起来，使得傅里叶
T
S ( f ) s(t )e j 2ft dt


3）典型信号的频谱（密度）：常用傅里叶变换对（22个）。 4）傅里叶变换的基本性质（）： 线性、对称、折叠、尺度变换、时移、频移、时域微分、 频域微分、时域积分、时域卷积、频域卷积、帕塞瓦尔定理。
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知识回顾2：确知信号的频域分析
通信原理【 第二章 确知信号】
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s (t )
n
j 2nt / T0 C e n

其中，傅立叶级数的系数（频谱函数的定义）为：
1 Cn C (nf 0 ) T0

T0 / 2
T0 / 2
3）功率谱密度（ power spectrum density ）定义：
1 2 P( f ) lim ST ( f ) T T
单 位：W / HZ
4）信号功率—— 巴塞伐尔（Parseval）能量守恒定理
P lim
T T / 2

T /2
s (t )dt P( f )df
7、相关函数与谱密度的关系
3）R12（）和互能量谱密度S12（ f ）是一对傅里叶变换
R12 ( ) S12 ( f )e


j 2f
df
S12 ( f ) R12 ( )e j 2f d


4）R12（）和其互功率谱C12之间也是一对傅里叶变换：
R12 ( )
2）相关性判断结论：
R( ) R(0)
3）R（0）表示信号的能量：
R(0) s 2 (t )dt E


1 R(0) lim T T
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T 2
T 2
s 2 (t )dt P
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3、实信号s（t）各次谐波的相位等于 tan 1 bn / an 。
4、数学上频谱函数的各次谐波的振幅等于 C n
1 2 2 ， an bn 2
Cn又称为双边谱，|Cn|的值是单边谱的振幅的一半。
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1、如何描述信号的频率特性？ 频谱、频谱密度、能量谱密度、功率谱密度; 傅里叶级数、傅里叶变换。 适用于周期信号和非周期信号 适用于周期信号 2、周期功率信号的频谱——傅立叶级数（Fourier series）：
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1、如何描述确知信号的时域特性？ 主要由自相关函数、互相关函数来进行描述。
2、自相关函数

衡量波形之间的关联或相似程度
R( ) s(t ) s(t )dt，
1 T /2 R( ) lim s(t ) s(t )dt， T / 2 T T
变换在信号与系统分析中获得更广泛的应用。
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2）求取频谱密度的几种方法：
① 根据定义，即 ② 根据周期信号的频谱Cn ，即 S ( f ) limT0Cn ③ 借助典型信号的频谱和傅里叶变换的性质。
6、互相关系数
1）两个能量信S1（t）和S2（t）号的归一化互相关系数

12
R (0) 12 E1 E2


S1 (t ) S 2 (t )dt E1 E2
Hale Waihona Puke 2）两个功率信S1（t）和S2（t）号的归一化互相关系数
12
R12 (0) P 1P 2
3）归一化互相关系数的特性（）：
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1 R( ) T0
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T0 / 2
T0 / 2
s (t ) s (t )dt，
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通信原理【 第二章 确知信号】
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3、自相关函数的性质（3条）： 1）R（）是 的偶函数： R( ) R( )
由周期函数的巴塞伐尔（Parseval）定理可得:
1 P T0

T0 / 2
T0 / 2
s (t )dt
2
n
C

2 n
信号的离散功率谱
利用 函数可将上式离散谱，用连续的功率谱密度表示，
P C ( f ) ( f nf 0 )df
2
Cn 式中 C ( f ) 0
学习内容
通信原理【 第二章 确知信号】
第二章
确知信号自学总结 Southwestern University
1 2
3
信号的分类和特性 确知信号的频域分析 确知信号的时域分析
5
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学习目标
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2）R12（）和两个信号相乘的前后次序有关：
R12 ( ) R21 ( )
3）当 = 0 时，R12（0）= R12（0）。 互相关系数
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f nf 0 其他处