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第四章 线 性 方 程 组4.1 消元法教学目的：1、掌握线性方程组的和等变换，矩阵的初等变换等概念。
理解线性方程组的和等变换是同解变换，以及线性方程组的初等变换可用增广矩阵的相应的行初等变换代替。
2、熟练地掌握用消元发解线性方程组，以及判断线性方程组有没有解和解的个数。
设方程组:a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1; a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2; (1) ……………………………… a m1x 1+a m2x 2+…+a mn x n =b m . 1 线性方程组的初等变换: 例1解线性方程组:21 x 1 +31x 2 + x 3=1 (2) x 1+ 35x 2 +3 x 3=32x 1+34x 2+5 x 3=2从第一和第三方程分别减去第二个方程的21倍和2倍,来消去前两个方程中的未知量x 1(即把x 1的系数化为零).我们得到:-21 x 1 -21 x 3= -21 x 1+ 35x 2+3 x 3=3-2 x 2- x 3=-4为了计算的方便,我们把第一个方程乘以-2后,与第二个方程交换,得:x1+35x 2+3x 3= 3 x 2+ x 3= 1 -2x 2- x 3=-4把第二个方程的2倍加到第三个方程,来消去后一方程中的未知量x 2,我们得到:x 1+35x 2+3x 3= 3 x 2+ x 3= 1x 3=-2现在很容易求出方程组的解.从第一个方程减去第三个方程的3倍,再从第二个方程减去第三个方程(相当于把x 3的值-2代入第一和第二个方程),得x 1+35x 2=9 x 2=3 x 3=-2再从第一个方程减去第二个方程的35倍(相当于把x 2的值3代入第一个方程),得 x 1=4x 2=3 x 3=-2这样我们就求出了方程组(2)的解.分析一下以上的例子,我们看到,我们对方程组施行了三种变换: 1) 交换两个方程的位置;2) 用一个不等于零的数乘某一个方程; 3) 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程. 我们把这三种变换叫做线性方程组的初等变换. 由初等代数知道,以下定理成立.定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组边为一个与它同解的线性方程组. 2 矩阵： 利用线性方程组(1)的系数可以排成如下的一个表:(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n n............ (2)12222111211, 而利用(1)的系数和常数项又可以排成下表:(4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b aaa b a a b a a a b a a a m mnm m nn ............... (2)133231222221111211.定义1 由st 个数c ij 排成一个s 行t 列的表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c c c cc c c c c st s s t t212222111211叫作一个s 行t 列（或s ⨯t ）矩阵。
《高等代数》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《高等代数》是数学专业本科学生的三门主要基础课程之一。
它不仅是代数学的基础，也是其它数学课程必要的前提。
该课程是为大学一年级的学生开设的，总课时144学时，开设时间为一年。
通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。
本课程的任务是使学生系统地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。
（二）教学目的和要求通过本课程的学习，使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论与基本方法，熟悉代数的语言、工具、方法，具有一定理解问题、分析问题、解决问题的能力。
为今后的学习打下扎实的基础。
１．熟练掌握：集合、映射、单射、满射、双射的概念，第一、第二数学归纳法，带余除法，不可约多项式，线性方程组的消元法，矩阵的行（列）初等变换，矩阵的秩，初等矩阵的性质，可逆矩阵，向量空间的基、维数，线性相关与线性无关，齐次线性方程组的基础解系，线性变换，矩阵特征值、特征向量的概念与求法，内积的定义，正交变换与正交矩阵，二次型的概念及与其矩阵的对应关系。
２．掌握：整数的整除性、素数的性质，集合的表示与运算，辗转相除法，综合除法，多项式的互素，根与系数的关系，重因式及其判定，行列式的性质，行列式的展开，矩阵的乘法，矩阵的行列式，子空间的交与和，坐标，过渡矩阵，线性方程组的特解与通解，线性变换的运算及其形成的向量空间，线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构，矩阵的相似，几类向量空间的内积，Cauchy不等式，正交基与正交化，三维空间中的几种正交变换，正交变换与正交矩阵的关系，二次型的矩阵的合同及其求法，对称矩阵合同于对角矩阵，复数域上的二次型的规范形、实数域上二次型的惯性定理、规范形、分类，正定二次型的判定。
高等代数教案 The pony was revised in January 2021
高等代数
教案
秦文钊
一、章（节、目）授课计划第页
二、课时教学内容第页
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a的代数余子式.称为元素
ij
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二、课时教学内容第页。
《高等代数》课程教学大纲课程类型：专业基础课适用对象：数学教育专业专科生总学时：216学时先修课程：数学分析、空间解析几何等参考书目：1．张禾瑞，郝炳新编，高等代数（M），北京：高等教育出版社，2007年5月。
2．丘维声编，高等代数（M），北京：高等教育出版社，1996年12月。
3. 陈志杰主编，高等代数与解析几何（M）（上下），北京：高等教育出版社、Springer出版社，2000年6月。
4．孟道骥著，高等代数与解析几何（M）（上下），北京: 科学出版社, 1998年。
一、课程的教学目的与任务本课程的教学目的是让学生在掌握一元多项式和线性代数的基础知识、基本理论和基本技能的基础上，初步熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系，提高抽象思维、逻辑推理、分析问题和解决问题的能力。
通过本课程的学习使学生了解和掌握现代数学研究的基本特征和思想方法，培养和提高其抽象思维，推理论证及独立创造的能力。
二、课程的基本要求1．掌握一元多项式理论，并能够深刻把握因式分解与求解的关系；2．熟练掌握矩阵的运算，并能够认识到它的等价分类；3. 充分理解借助线性空间刻画的线性变换的意义，并能够借助不变子空间的直和分解，掌握矩阵的相似分类；4. 熟练掌握欧氏空间的刻划与相应的变换的刻画；5. 通过对二次型的掌握，了解双线性函数的刻画。
三、各章节授课内容、教学方法第一章：基本概念[教学目的与要求]1.理解集合的概念，了解元素与集合之间的关系、集合与集合之间关系以及几何运算，并掌握相应的算律的证明。
2.了解映射、单射、满射、双射等概念，并会判断其类型。
3.掌握最小数原理和数学归纳法，会用数学归纳法证明相关命题。
4.了解整数整除的一些性质并会用其证明响应的命题。
5.了解数环、数域的概念，会判断数环和数域。
[教学重点与难点] 数学归纳法、判断数环和数域[授课方法] 以课堂讲授为主，课堂讨论、习题课及自学为辅[授课内容]第一节集合第二节映射第三节数学归纳法第四节整数的一些整除性质第五节数环和数域第二章：多项式[教学目的与要求]1. 理解数域F上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元多项式环等概念。
