第九章 二 次 型9.1双线性函数和二次型教学目的:1 掌握二次型,二次型的矩阵表示,二次型的矩阵,矩阵合同,二次型的秩. 教学内容:1 双线性函数:定义1 设V 是数域F 上的一个n 维向量空间.V 上一个双线性函数指的是一个映射f:V*V →F ,即对于V 中每一对向量(ξ,η),有F 中一个 确定的数f(ξ,η)与它对应,并且满足下列条件:1. f(ξ+η, ζ)=f (ξ, ζ)+f (η, ζ);2. f(ξ,η+ζ)= f(ξ,η)+ f(ξ, ζ);3. f(a ξ,ζ)= f(ξ,a ζ)=a f(ξ, ζ),这里ξ,η,ζ是V 中任意数.由条件1和3,固定第二个变量ζ,f 是V 到F 的一个线性映射;由条件2和3,固定地一个变量ξ,f 也是V 到F 的一个线性映射.由于这个原因,所以称f 是V 上的一个双线性函数.例1 设F 是一个数域.对于二元列空间F 2的每一对向量ξ= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x 211 η= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y y 21 定义f ()ηξ,=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+y x y x y x y x 22122111. 容易验证,f 是F 2 上的一个双线性函数.例2 由8.1的定义1,欧氏空间的内积是一个双线性函数.我们以下主要用到的是所谓对称双线性函数.V 上一个双线性函数f 说是对称的,如果对于V 中的任意两个向量ξ,η,有:4. f(ξ,η)= f(η,ξ) .例如, 欧氏空间的内积就是一个对称双线性函数.设f 是向量空间V 上的一个双线性函数.由定义1的条件1,2,3推出: (1)fξim i ia ∑=1,ηjn j jb ∑=1=∑=m i 1b a jnnm j i ∑=1f(ξi ,ηj),这里().1;1,;,n j m i V F iiiib a ≤≤≤≤∈∈ηξ设V 是F 上一个n 维向量,{}αααn,,,21是V 的一个基.对于V 上任意一个双线性函数f ,令().,1,,n j i fjiija≤≤=αα这n 2个数组成F 上一个n ×n 矩阵.212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a aa aa a a a a nn n n n nA矩阵A 叫做双线性函数f 关于基{}αααn,,,21的矩阵.很明显,一个对称双线性函数关于V 的任意基的矩阵是对称矩阵. 如果ααχηξini iini iy ∑∑====11,是V 的任意两个向量,f 是V 上一个双性函数,那么由(1),我们有f(ξ,η)= fx in i ∑=1α ,αjnj jy ∑=1=∑=n i 1yx jnj i∑=1f(αα,ji),=yx jinj ijn i ∑∑==11α.反过来,给了F 上任意一个n*u 矩阵A=(αij),那么公式(2)定义了V 上一个双线性函数f,并且当A 是对称矩阵时,f 是对称双线性函数.利用矩阵的乘法,(20式可以写成以下形式(3) f(ξ,η)={}x x x n,,,21 ，A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛y y y n 21 双线性函数f 的矩阵自然依赖于基的选取,让我们看一下,基改变时,f 的矩阵怎样改变.设{}βββn,,,21是V 的另一个基.而B=(b ij )是f 关于这个基的矩阵.又P=(pij)是由基{}αααn,,,21到基{}βββn,,,21的过渡矩阵.即.1,1n k ini ikkp ≤≤=∑=αβ那么⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑==n i n j j jl i ik l k kl p p b f f 11,),(ααββ.),(1111ppppjlijn i nj ikj i jln i nj ikf ααα∑∑∑∑======最后等式右端正是矩阵P ’AP 的第k 行第l 列位置的元素.这样,我们有(4)B=P’AP,这里P ’是矩阵P 的转置. 2.矩阵的合同定义2 设A ，B 是数域F 上两个n 阶矩阵。
