(完整word版)高等代数教案北大版第六章.doc

第六章线性空间.设M N ,证明：M N M , M N N。

1证任取M , 由 M N ,得N , 所以M N , 即证 M N M 。

又因M N M , 故M NM 。

再证第二式，任取M或N , 但 M N , 因此无论哪一种情形，都有N , 此即。

但N M N , 所以 M N N 。

2.证明 M ( NL ) (M N ) (M L) ， M (N L) ( M N ) (M L ) 。

证x M (N L), 则x M 且 x NL. 在后一情形，于是x M N或 x M L.所以 x (M N )(M L) ，由此得 M ( N L) (M N ) (M L ) 。

反之，若x (M N ) ( M L) ，则 x M N或x M L. 在前一情形， x M , x N , 因此x N L. 故得 x M ( N L ), 在后一情形，因而x M , x L, x N L ，得x M ( N L ), 故 ( M N ) ( M L) M ( N L), 于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。

若x M （NL），则xM ，x N L 。

在前一情形 X x M N，且 X ML，因而 x（ MN）（ M L）。

在后一情形， xN ,x 因而x M N ,且X M，即 X （ M N）（M L）所以L, L（M N）（M L） M （N L）故M （NL） =（）（M L）M N即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n（ n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设 A 是一个 n× n 实数矩阵， A 的实系数多项式 f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：（ a1，b1）（ a b （ a1a2，b1b2a1 a2）（kk 1） 2k。

§7.2 线性变换的运算教学目的本节要求掌握线性变换的四种运算即加法运算、数乘运算、乘法运算、可逆线性变换教学难点乘法运算、可逆线性变换教学重点乘法运算、可逆线性变换教学过程备注教学内容一、线性变换的加法运算及数乘运算1．线性变换的加法运算定义1 设σ, τ∈L (V). σ与τ的和σ＋τ定义为(σ＋τ) (α)＝σ (α)＋τ (α), ∀α∈V.易知σ＋τ也是V的线性变换. 事实上，对任意α, β∈V, k∈F，有(σ＋τ) (α＋β)＝σ (α＋β)＋τ (α＋β)＝σ (α)＋σ (β)＋τ(α)＋τ (β)＝(σ＋τ) (α)＋(σ＋τ)(β).(σ＋τ) (kα)＝σ (kα)＋τ (kα)＝kσ (α)＋kτ (α)＝k ((σ＋τ) (α)).2．线性变换的数乘运算定义2 设σ∈L(V)，k是F中的一个数. k与σ的积kσ定义为(kσ) (α)＝k(σ (α))，∀α∈V.容易验证，kσ也是V的一个线性变换.3．线性变换的加法运算和数乘运算的性质定理7.2.1L(V)对于线性变换的加法，数与线性变换的乘法运算构成数域F上的一个向量空间.证L(V)对于线性变换的加法、数与线性变换的乘法运算是封闭的，并且这两种运算显然满足向量空间定义中的1), 2), 5), 6), 7), 8). 即对任意σ,τ , ρ∈L (V)，k, l∈F，有1) σ＋τ＝τ＋σ；2) (σ＋τ)＋ρ＝τ＋(σ＋ρ)；5) k(σ＋τ)＝kσ＋kτ；6) (k＋l)σ＝kσ＋lσ；7) (kl)σ＝k (lσ) ；8) 1σ＝σ.下面只需说明向量空间定义中3), 4)也成立.对任意的线性变换σ∈L (V), 有(σ＋θ ) (α)＝σ (α)＋θ (α)＝σ (α)＋0＝σ (α) (∀α∈V).因此，有3) σ＋θ＝σ.对任意σ∈L(V)，σ的负变换－σ规定为(－σ) (α)＝－σ (α)，∀α∈V.于是有[σ＋(－σ)] (α)＝σ (α)＋(－σ) (α)＝σ (α)－σ (α)＝0＝θ (α)，(∀α∈V).因此，有4)σ＋(－σ)＝θ.二、线性变换的乘法运算1．线性变换乘法运算的定义定义3设σ, τ∈L(V). σ与τ的乘积στ定义为(στ) (α)＝σ [τ (α)], ∀α∈V.στ当然是V的一个变换. 下面说明στ是V的线性变换.任意α , β∈ V, k∈F，有(στ) (α＋β)＝σ (τ (α＋β))＝σ (τ(α)＋τ(β))＝σ (τ (α))＋σ(τ (β))＝(στ)(α)＋(στ)(β).στ (kα)＝σ(τ(kα))＝σ(kτ (α))＝k (σ(τ(α))＝k (στ)(α).因此στ是线性变换.2．线性变换的加法、乘法及数与线性变换的乘法运算还适合以下算律：9) ρ (σ＋τ)＝ρσ＋ρτ；10) (σ＋τ)ρ＝σρ＋τρ；11) (kσ) τ＝σ (kτ)＝k (στ)；12) ρ (στ)＝(ρσ)τ.这里，ρ,σ,τ∈L(V)，k是F中的任意数.我们只验证9)，其余的等式可类似地验证. 对任意α∈V, 有(ρ (σ＋τ)) (α)＝ρ ((σ＋τ) (α))＝ρ (σ (α)＋τ (α))＝ρ (σ (α))＋ρ (τ(α))＝(ρσ) (α)＋(ρτ)(α)＝(ρσ＋ρτ) (α).所以9)成立.3．线性变换的方幂定义一个线性变换σ的方幂为σn =nσσσ. 这里n是正整数.又规定σ0＝ι .三、可逆线性变换例1在M n(R)中取定一个可逆矩阵A，定义M n(R)的线性变换σ, τ为σ：X→AX，∀X ∈M n(R).τ：X→A-1X，∀X∈M n(R).于是(στ) (X)＝σ (τ (X))＝σ (A-1X)＝A (A-1X)＝X，(τσ) (X)＝τ (σ (X))＝τ (AX)＝A-1 (AX)＝X.即(στ) (X)＝(τσ) (X)＝ι (X).即στ＝τσ＝ι.1．可逆线性变换的概念定义4设σ∈L(V)，若存在V的变换τ，使得στ＝τσ＝ι，则称线性变换σ是可逆的, τ称为σ的逆变换.2．可逆线性变换的逆变换是唯一的，σ的逆变换记作σ－1.因为若τ1, τ2都是σ的逆变换时，τ1＝τ1ι＝τ1(στ2)＝(τ1σ)τ2＝ιτ2＝τ2. 3．如果σ是线性变换，则σ的逆变换也是线性变换.设σ是可逆线性变换,则有σσ－1＝σ－1σ＝ι. 因此,对任意α , β∈ V, k∈F，有σ[σ－1(α＋β)]＝σσ－1(α＋β)＝ι(α＋β)＝ι(α)＋ι(β)＝σσ－1(α)＋σσ－1(β)＝σ[σ－1(α)＋σ－1 (β)]；σ[σ－1(kα)]＝σσ－1(kα)＝ι(kα)＝kι(α)＝kσσ－1(α)＝σ[kσ－1(α)]求上两式左、右两端在σ－1之下的象，得σ－1(α＋β)＝σ－1(α)＋σ－1(β)；σ－1(kα)＝kσ－1(α).因此σ的逆变换也是线性变换.定理7.2.2设σ∈L(V)，{α1, α2, …, αn}是V的一个基. 则σ可逆的充要条件是σ (α1), σ(α2), …, σ (αn)线性无关.证必要性. 设k1σ (α1)＋k2σ(α2)＋…＋k nσ (αn)=0,其中k1 ，k2 , …, k n∈F.因为σ可逆，上式两边用σ-1作用：σ－1 (k1 σ (α1)＋k2 σ (α2)＋…＋k nσ (αn))＝σ－1(0)即k1(σ－1σ) (α1)＋k2 (σ－1σ)(α2)＋…＋k n(σ－1σ)(αn)＝σ－1(0).亦即k 1α1＋k2α2＋…＋k nαn＝0.因为{α1, α2, …, αn}是V的一个基，所以k1=k2 =…=k n=0. 因此σ(α1)，σ(α2),…, σ (αn)线性无关.充分性. 设σ (α1)，σ (α2), …,σ (αn)线性无关，那么{σ (α1)，σ(α2), …,σ(αn)}是V的一个基. 由定理7.1.2，存在V的一个线性变换τ，使得τ (σ (αi))＝αi , i＝1,2, … , n.于是，有τσ(αi)＝ι (αi). i＝1,2,…, n.由推论7.1.3，得τσ＝ι.另外，有σ(τσ) (αi)＝σ (αi)，i＝1, 2, … , n.即(στ)[σ (αi)]＝σ (αi)，＝ι[σ (αi)], i＝1,2, …, n.再由推论7.1.3，得στ＝ι.由定义，σ可逆.例2 定义F3的变换σ为σ(α)＝(x1＋x2＋x3, x2＋x3, x3), ∀α＝(x1, x2, x3)∈V3.证明σ是可逆的线性变换.任取F3的向量β1＝(a1,a2,a3), β2＝(b1,b2,b3)，有σ(β1＋β2)＝σ (a1＋b1,a2＋b2, a3＋b3)＝(a1＋b1＋a2＋b2＋a3＋b3, a2＋b2＋a3＋b3, a3＋b3)＝((a1＋a2＋a3)＋(b1＋b2＋b3),(a2＋a3)＋(b2＋b3), a3＋b3)＝(a1＋a2＋a3, a2＋a3, a3)＋(b1＋b2＋b3, b2＋b3, b3)＝σ (β1)＋σ (β2).对任意的数k F∈，β1＝(a1,a2,a3)∈F3，有σ (kβ1)＝σ (ka1, ka2, ka3)＝(ka1＋ka2＋ka3, ka2＋ka3, ka3)＝k (a1＋a2＋a3, a2＋a3, a3)＝k σ (β1)，所以σ是一个线性变换.再证σ是可逆的. 取V3的基ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1).则σ (ε1)＝(1, 0, 0), σ(ε2)＝(1, 1, 0), σ(ε3)＝(1, 1, 1).因为σ (ε1), σ(ε2), σ (ε3)线性无关，所以，由定理7.2.2知，σ是一个可逆线性变换.最后，介绍线性变换的多项式的概念. 设σ是F上向量空间V的一个线性变换，f (x)是一个数域F上的多项式教学小结本节内容分为下面四个问题讲：1. 加法运算2. 数乘运算3. 乘法运算(1). 乘法运算(2). 线性变换σ的方幂4. 可逆线性变换及线性变换可逆的充要条件本课作业本课教育评注。

第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明：,M N M M N N ==I U 。

证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。

又因,M N M ⊂I 故M N M =I 。

再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形，都有,N ∈α此即。

但,N M N Y ⊂所以M N N =U 。

2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。

证 ),(L N M x Y I ∈∀则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。

反之，若)()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ⊂于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。

若x M N L M N L ∈∈∈UI I （），则x ，x 。

在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ）。

,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈⊂U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。

高等代数第六章1第四章向量 4.1 基本内容 4.1.1 n 维向量n 维列向量=n a a a 21α与n 维行向量[]n Tb b b 21=β即为n n ??11及矩阵，因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。

注为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。

4.1.2 向量的内积设[]T n a a a 21=α，[]Tn b b b 21=β(1) 定义称∑==+++=ni ii n n b a b a b a b a 12211, βα为向量βα,的内积。

(2) 性质αββααββαT T ===,,γβγαγβα,,,+=+βαβα,,k k =0,≥αα 等号当且仅当0=α时成立(3) 有关概念向量的范数：αααααT ==,单位向量：若1=α，则称α为单位向量。

向量的标准化（规范化）；0≠α称αα1为α的标准化向量。

两向量的正交：若0,=βα，则称βα与正交。

4.1.3 线性组合，线性相关，线性无关的定义设m ααα,,,21 是一组n 维向量(1) 线性组合：设β是一个n 维向量，若存在一组数m t t t ,,,21 ，使m m t t t αααβ+++= 2211则称β为向量组m ααα,,,21 的一个线性组合，或称β可由向量组m ααα,,,21 线性表出。

注设两组向量（I ）m ααα,,,21 ，（II ）m βββ,,,21 ，若每一个()m i i ,,2,1 =α都可由m βββ,,,21 线性表出，则称向量组（I ）可由向量组（II ）线性表出；当向量组（I ）与（II ）可互相表出时，称向量组（I ）与（II ）等价。

(2) 线性相关：若存在一组不全为零的数m t t t ,,,21 ，02211=+++m m t t t ααα ，则称向量组m ααα,,,21 线性相关。

(3) 线性无关：若当且仅当021====m t t t 时，02211=+++m m t t t ααα 才成立，则称m ααα,,,21 线性无关。

高等代数
教案
秦文钊
一、章（节、目）授课计划第页
一、章（节、目）授课计划第页
二、课时教学内容第页
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110,ij ij in ij a a a a -+=====称为元素ij a 的代数余子式.
就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余中，如果令第i 行的元素等于另外一行，譬如说，
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n n b x +=,,,2d b b n s 当且仅当)(,s A 的线性组合
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二、课时教学内容第页。

第六章 线性空间§1 集合映射一 授课内容:§1 集合映射二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义.三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程:1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ⋂；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ⋃；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \.定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为).(,:a f a B A f →如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即{}A a a f A f ∈=|)()(.若,'A a a ∈≠∀都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈∀都存在A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应.2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ,我们使用如下记号:∑==+++n i i n a a a a 121 , ∏==ni i n a a a a 121 .当然也可以写成∑≤≤=+++ni in aa a a 121 , ∏≤≤=ni in aa a a 121 .(2)求和号的性质 容易证明,∑∑===n i n i i i a a 11λλ,∑∑∑===+=+n i n i n i i i i i b a b a 111)(,∑∑∑∑=====n i m j ni ij m j ij a a 1111.事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:nmn n m m a a a a a a a a a212222111211分别先按行和列求和,再求总和即可.§2 线性空间的定义与简单性质一 授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质二 教学目的：通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质. 三 教学重点：线性空间的定义与简单性质. 四 教学难点：线性空间的定义与简单性质. 五 教学过程：1.线性空间的定义(1)定义4.1(线性空间) 设V 是一个非空集合,且V 上有一个二元运算“+”()V V V ⨯→,又设K 为数域,V 中的元素与K 中的元素有运算数量乘法“∙”()K V V ⨯→,且“+”与“∙”满足如下性质: 1、 加法交换律 ,V αβ∀∈,有αββα+=+；2、 加法结合律 ,,V αβγ∀∈,有()()αβγαβγ++=++；3、 存在“零元”,即存在0V ∈,使得,0V ααα∀∈+=；4、 存在负元,即V α∀∈,存在V β∈,使得0αβ+=；5、 “1律” 1αα∙=；6、 数乘结合律 ,,k l K V α∀∈∈,都有()()()kl k l l k ααα==；7、 分配律 ,,k l K V α∀∈∈,都有()k l k l ααα+=+；8、 分配律 ,,k K V αβ∀∈∈,都有()k k k αβαβ+=+,则称V 为K 上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“∙”的定义,不光与集合V 有关.(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质命题4.1 零元素唯一,任意元素的负元素唯一.证明:设0与0'均是零元素,则由零元素的性质,有00'00'=+=；V α∀∈,设,'ββ都是α的负向量,则0(')'()0βββαββαβββ=+=++=++=+=,于是命题得证.由于负向量唯一,我们用α-代表α的负向量.定义4.2(减法) 我们定义二元运算减法“-”如下:αβ-定义为()αβ+-.命题4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:1、 加法满足消去律 αγβγαβ+=+⇒=；2、 可移项 αβγαγβ+=⇒=-；3、 可以消因子 k αβ=且0k ≠,则1kαβ=； 4、 00,α∙= 00,k ∙= (1)αα-=-. (3)线性空间的例子例4.1令V 表示在(,)a b 上可微的函数所构成的集合,令K =,V 中加法的定义就是函数的加法,关于K 的数乘就是实数遇函数的乘法,V 构成K 上的线性空间.4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价；极大线性无关组.定义4.3(线性组合) 给定V 内一个向量组12,,,s ααα,又给定数域K内s 个数12,,,s k k k ,称1122s s k k k ααα+++为向量组12,,,s ααα的一个线性组合.定义4.4(线性表出) 给定V 内一个向量组12,,,s ααα,设β是V 内的一个向量,如果存在K 内s 个数12,,,s k k k ,使得1122s s k k k βααα=+++,则称向量β可以被向量组12,,,s ααα线性表出.定义 4.5(向量组的线性相关与线性无关) 给定V 内一个向量组12,,,s ααα,如果对V 内某一个向量β,存在数域K 内不全为零的数12,,,s k k k ,使得11220s s k k k ααα+++=,则称向量组12,,,s ααα线性相关；若由方程11220s s k k k ααα+++=必定推出120s k k k ====,则称向量组12,,,s ααα线性无关.命题4.3 设12,,s V ααα∈,则下述两条等价:1)12,,s ααα线性相关；2)某个i α可被其余向量线性表示. 证明同向量空间.定义4.6(线性等价) 给定V 内两个向量组12,,,r ααα (Ⅰ), 12,,,s βββ (Ⅱ),如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)线性表示,反过来,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)线性表示,则称两向量组线性等价.定义4.7(极大线性无关部分组) 给定V 内一个向量组12,,,s ααα,如果它有一个部分组12,,,r i i i ααα满足如下条件:(i)、12,,,r i i i ααα线性无关；(ii)、原向量组中任一向量都能被12,,,r i i i ααα线性表示,则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到n K 的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成立.定义 4.8(向量组的秩) 一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.例4.2 求证:向量组{}12,x x e e λλ的秩等于2(其中12λλ≠).证明:方法一:设12,k k ∈R,满足12120x x k e k e λλ+=,则1212x x k e k e λλ=-,假若12,k k 不全为零,不妨设10k ≠,则有12()21x k e k λλ-=-,而由于12λλ≠,等号左边为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是120k k ==.所以12,x x e e λλ线性无关,向量组的秩等于2.证毕. 方法二:若在(,)a b 上12120x x k e k e λλ+=, 两端求导数,得1211220x x k e k e λλλλ+=,以(,)x c a b =∈代入,有12121211220,0.c cc ck e k e k e k e λλλλλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 而121222()2112()0ccc c ce e e e eλλλλλλλλλλ+=-≠, 于是120k k ==.证毕.§3 维数、基与坐标一 授课内容:§3 维数、基与坐标二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间的基与维数,向量的坐标的有关定义及性质.三 教学重点:基与维数、向量坐标的有关定义. 四 教学难点:基与维数、向量坐标的有关定义. 五 教学过程:1.线性空间的基与维数,向量的坐标 设V 是数域K 上的线性空间,则有:定义4.9(基和维数) 如果在V 中存在n 个向量12,,,n ααα,满足:1)12,,,n ααα线性无关；2)V 中任一向量在K 上可表成12,,,n ααα的线性组合,则称12,,,n ααα为V 的一组基.基即是V 的一个极大线性无关部分组.基的个数定义为线性空间的维数.命题4.4 设V 是数域K 上的n 维线性空间,而12,,,n V ααα∈.若V中任一向量皆可被12,,,n ααα线性表出,则12,,,n ααα是V 的一组基.证明:由12,,,n ααα与V 的一组基线性等价可以推出它们的秩相等.命题4.5 设V 为K 上的n 维线性空间,12,,,n V ααα∈,则下述两条等价:1)12,,,n ααα线性无关；2)V 中任一向量可被12,,,n ααα线性表出.定义4.10(向量的坐标) 设V 为K 上的n 维线性空间,12,,,n εεε是它的一组基.任给V α∈,由命题4.4,α可唯一表示为12,,,n εεε的线性组合,即!,(1,2,,)i a K i n ∃∈=,使得1122n n a a a αεεε=+++,于是我们称()12,,,n a a a 为α在基12,,,n εεε下的坐标.易见,在某组基下的坐标与V/K 中的向量是一一对应的关系.§4 基变换与坐标变换一 授课内容:§4 基变换与坐标变换二 教学目的:通过本节的学习,掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算,坐标变换公式.三 教学重点:基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式. 四 教学难点:坐标变换公式的应用. 五 教学过程:1.线性空间的基变换,基的过渡矩阵 设V/K 是n 维线性空间,设12,,,n εεε和12,,,n ηηη是两组基,且11112121212122221122,,.n n n nn n n nn n t t t t t t t t t ηεεεηεεεηεεε=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 将其写成矩阵形式1112121222121212(,,,)(,,,)n n n n n n nn t t t t t t tt t ηηηεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 定义4.11 我们称矩阵111212122212n n n n nn t t t t t t T tt t ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为从12,,,n εεε到12,,,n ηηη的过渡矩阵.命题4.6 设在n 维线性空间V/K 中给定一组基12,,,n εεε.T 是K 上一个n 阶方阵.命1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=则有12,,,n ηηη是V/K 的一组基,当且仅当T 可逆.证明:若12,,,n ηηη是线性空间V/K 的一组基,则12,,,n ηηη线性无关.考察同构映射下的坐标在n n K V εεεαασ,,,,:21 →,构造方程1122()()()0n n k k k σησηση+++=, 其中,(1,2,,)i k K i n ∈=,1122()0n n k k k σηηη⇒+++=11220n n k k k ηηη⇒+++=,120n k k k ⇒====⇒12(),(),,()n σησηση线性无关.12(),(),,()n σησηση构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆；反过来,若过渡矩阵可逆,则构造方程11220n n k k k ηηη+++=,其中,(1,2,,)i k K i n ∈=,两边用σ作用,得到1122()()()0n n k k k σησηση+++=,120n k k k ⇒====.证毕.2.向量的坐标变换公式；n K 中的两组基的过渡矩阵 (1)向量的坐标变换公式 设V/K 有两组基为12,,,n εεε和12,,,n ηηη,又设α在12,,,n εεε下的坐标为()12,,,n a a a ,即1212(,,,)n n a aa αεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,在12,,,n ηηη下的坐标为12(,,,)n b b b ,即1212(,,,)n n b b b αηηη⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=记12n a a X a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,12n b b Y b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 于是12121212(,,,)(,,,)[(,,,)](,,,)()n n n n X Y T Y TY εεεηηηεεεεεε===.于是,由坐标的唯一性,可以知道X TY =,这就是坐标变换公式.(2)n K 中两组基的过渡矩阵的求法 我们设n K 中两组基分别为11112122122212(,,,),(,,,),(,,,).n n n n n nn a a a a a a a a a εεε=== 和11112122122212(,,,),(,,,),(,,,).n n n n n nn b b b b b b b b b ηηη===而 1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=按定义,T 的第i 个列向量分别是i η在基12,,,n εεε下的坐标.将12,,,n εεε和12,,,n ηηη看作列向量分别排成矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；111212122212n n n n nn b b b b b b B b b b ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 则有B AT =,将A 和B 拼成2n n ⨯分块矩阵()|A B ,利用初等行变换将左边矩阵A 化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:)|()|(T E B A −−−→−行初等变换.§5 线性子空间一 授课内容:§5 线性子空间二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性子空间的定义、判别定理. 三 教学重点:线性子空间的定义、判别定理. 四 教学难点:线性子空间的判别定理. 五 教学过程:1.线性空间的子空间的定义定义4.12(子空间) 设V 是数域K 上的一个线性空间,M 时V 的一个非空子集.如果M 关于V 内的加法与数乘运算也组成数域K 上的一个线性空间,则称为V 的一个子空间.命题4.7 设V 是K 上的线性空间,又设一个非空集合W V ⊆,则W 是子空间当且仅当下述两条成立:i)W 对减法封闭； ii)W 对于K 中元素作数乘封闭. 证明:必要性由定义直接得出；充分性:各运算律在V 中已有,所以W 满足运算律的条件. 只需要证明0W ∈且对于任意W α∈,W α-∈,且对加法封闭即可. 事实上,由于W 关于数乘封闭,则00W α∙=∈；(1)W αα-∙=-∈,于是对于,W αβ∀∈,()W αβαβ+=--∈,W 关于加法封闭.于是W 是V 的一个子空间. 证毕.事实上,W 关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.命题4.8 设W 是V 的一个有限维子空间,则W 的任一组基可以扩充为V 的一组基.证明:设dim V n =,dim W r =,()r n ≤,若r n =,则命题为真； 若r n <,对n r -作归纳:设12,,,r εεε为W 的一组基,取1\r V W ε+∈,则121,,,,r r εεεε+线性无关.于是令1'{|,}r W k W k K αεα+=+∈∈,易见,W ’是V 的一个子空间,且dim '1W r =+,此时dim '1n W n r -=--,对其用归纳假设即可.§6 子空间的交与和一 授课内容:§6子空间的交与和二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的交与和的定义、性质及维数公式.三 教学重点:子空间的交与和的定义及维数公式. 四 教学难点:子空间的交与和的性质及维数公式.. 五 教学过程:1.子空间的交与和,生成元集 定义4.13 设12,,,t V ααα∈,则{}1122|,1,2,,t t i k k k k K i t ααα+++∈=是V 的一个子空间,称为由12,,,t ααα生成的子空间,记为12(,,,)t L ααα.易见,生成的子空间的维数等于12,,,t ααα的秩.定义4.14(子空间的交与和) 设12,V V 为线性空间V/K 的子空间,定义1212{}V V v V v V =∈∈且,称为子空间的交； 12121122{|,}V V v v v V v V +=+∈∈,称为子空间的和.命题4.9 12V V 和12V V +都是V 的子空间.证明:由命题 4.7,只需要证明12V V 和12V V +关于加法与数乘封闭即可.事实上,12,V V αβ∀∈,则1,V αβ∈,2,V αβ∈.由于12,V V 均是V 的子空间,则12,V V αβαβ+∈+∈,于是12V V αβ+∈,12V V 关于加法封闭；12V V α∀∈,k K ∈,12,kv V kv V ∈∈,于是12kv V V ∈,12V V 关于数乘封闭.12,V V αβ∀∈+,则由12V V +的定义,111222,,,V V αβαβ∃∈∈,使得1212,αααβββ=+=+,而111222,V V αβαβ+∈+∈,则1212112212()()()()V V αβααββαβαβ+=+++=+++∈+,12V V +关于加法封闭；12,V V k K α∀∈+∈,1122,V V αα∃∈∈,使得12ααα=+,由于1122,k V kV αα∈∈,则121212()k k k k V V ααααα=+=+∈+,12V V +关于数乘封闭.证毕.命题 4.10 设12,,,m V V V 是V 的子空间,则12m V V V 和12m V V V +++均为V 的子空间.2.维数公式.定理4.1 设V 为有限维线性空间,12,V V 为子空间,则121212dim()dim dim dim()V V V V V V +=+-.这个定理中的公式被称为维数公式.证明:设1dim V s =,2dim V t =,12dim()V V n +=,12dim()V V r =,取12V V 的一组基12,,,r εεε(若12V V =0,则0r =,基为空集),将此基分别扩充为12,V V 的基1212,,,,,,,r s r εεεααα-, 1212,,,,,,,r t r εεεβββ-,只需要证明121212,,,,,,,,,,,r s r t r εεεαααβββ--是12V V +的一组基即可.首先,易见12V V +中的任一向量都可以被121212,,,,,,,,,,,r s r t r εεεαααβββ--线性表出.事实上,12V V γ∀∈+,则12γγγ=+,其中1122,V V γγ∈∈,而111221122,r r r r s s r k k k k k k γεεεααα++-=+++++++ 211221122.r r r r t t r l l l l l l γεεεααα++-=+++++++,i j k l K ∈于是12γγγ=+可被121212,,,,,,,,,,,r l r t r εεεαααβββ--线性表出.只要再证明向量组121212,,,,,,,,,,,r l r t r εεεαααβββ--线性无关即可.设1122112211220r r s r s r t r t r k k k a a a b b b εεεαααβββ----+++++++++++=,其中,,i j h k a b K ∈.则112211221122r r s r s r t r t r k k k a a a b b b εεεαααβββ----+++++++=----(*)于是112211221r r s r s r k k k a a a V εεεααα--+++++++∈,11222t r t r b b b V βββ------∈,于是1122112212r r s r s r k k k a a a V V εεεααα--+++++++∈,记为α.则α可被12,,,r εεε线性表示,设1122r r h h h αεεε=+++,代入(*),有112211220r r t r t r h h h b b b εεεβββ--+++++++=,由于1212,,,,,,,r t r εεεβββ-是2V 的一组基,所以线性无关,则 12120r t r h h h b b b -========,代回(*),又有12120r s r k k k a a a -========,于是向量组121212,,,,,,,,,,,r s r t r εεεαααβββ--线性无关.证毕.推论2.1 设12,,,t V V V 都是有限为线性空间V 的子空间,则: 1212dim()dim dim dim t t V V V V V V +++≤+++.证明:对t 作归纳.§7 子空间的直和一 授课内容:§7 子空间的直和二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的直和与补空间的定义及性质.三 教学重点:子空间的直和的四个等价定义. 四 教学难点:子空间的直和的四个等价定义. 五 教学过程:1.子空间的直和与直和的四个等价定义 定义 设V 是数域K 上的线性空间,12,,,m V V V 是V 的有限为子空间.若对于1mi i V =∑中任一向量,表达式12,,1,2,,m i i V i m ααααα=+++∈=.是唯一的,则称1mi i V =∑为直和,记为21m V V V ⊕⊕⊕或1mi i V =⊕.定理 设12,,,m V V V 为数域K 上的线性空间V 上的有限为子空间,则下述四条等价:1)21m V V V +++是直和；2)零向量表示法唯一； 3)1ˆ(){0},1,2,,iim V V V V i m ++++=∀=；4)1212dim()dim dim dim m m V V V V V V +++=+++.证明: 1)2)⇒显然.2)1)⇒设1212,m m ααααβββ=+++=+++则1122()()()0m m αβαβαβ-+-++-=.由2)知,零向量的表示法唯一,于是,1,2,,i i i m αβ==,即α的表示法唯一.由直和的定义可知,21m V V V +++是直和.2)3)⇒假若存在某个,1i i m ≤≤,使得1ˆ(){0}iim V V V V ++++≠,则存在向量0α≠且1ˆ()i im V V V V α∈++++,于是存在j j V α∈,使得1ˆi m αααα=++++.由线性空间的定义,1ˆ()iim V V V V α-∈++++,则1()()0m ααααα++-++=+-=,与零向量的表示法唯一矛盾,于是1ˆ(){0},1,2,,i im V V V V i m ++++=∀=.3)2)⇒若2)不真,则有10i m ααα=++++,其中(1,2,,)j j V j m α∈=且0i α∃≠.于是11ˆˆ()i i m i im V V V V αααα-=++++∈++++,与3)矛盾,于是2)成立.3)4)⇒对m 作归纳.①m =2时,由维数公式得到12121212dim()dim dim dim()dim dim V V V V V V V V +=+-=+.②设1(3)m m -≥已证,则对于m ,12121121121dim()dim dim()dim(())dim dim(),m m m m m m m V V V V V V V V V V V V V V V ---+++=++++-+++=++++而,11i i m ∀≤≤-,都有111垐()(){0}i i m i i m V V V V V V V V -++++⊆++++=；由归纳假设,可以得到1212dim()dim dim dim m m V V V V V V +++=+++.4)3)⇒,1i i m ∀≤≤,都有1112垐dim(())dim()dim()dim()0i i m i i m m V V V V V V V V V V V ++++=+++++-+++≤, 于是1ˆ(){0},1,2,,iim V V V V i m ++++=∀=.证毕.推论 设12,V V 为V 的有限维子空间,则下述四条等价: i)12V V +是直和； ii)零向量的表示法唯一； iii)12{0}V V =；iv)1212dim()dim dim V V V V +=+. 2.直和因子的基与直和的基 命题 设21m V V V V =⊕⊕⊕,则21,,,m V V V 的基的并集为V 的一组基.证明: 设12,,,r ii i i εεε是i V 的一组基,则V 中任一向量可被121{,,,}r im i i i i εεε=线性表出.又121dim dim mi m i V V r r r ===+++∑,由命题4.5,它们线性无关,于是它们是V 的一组基. 证毕.3.补空间的定义及存在性定义 设1V 为V 的子空间,若子空间2V 满足12V V V =⊕,则称为1V 的补空间.命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.证明: 设1V 为K 上的n 为线性空间V 的非平凡子空间,取1V 的一组基12,,,r εεε,将其扩为V 的一组基1212,,,,,,,r r r n εεεεεε++取212(,,,)r r n V L εεε++=,则有12V V V =+,且1212dim dim dim()V V n V V +==+,于是12V V V =⊕,即2V 是1V 的补空间.证毕.§8 线性空间的同构一 授课内容:§1线性空间的同构二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间同构的有关定义及线性空间同构的判定.三 教学重点:线性空间同构的判定. 四 教学难点:线性空间同构的判定. 五 教学过程:1.线性映射的定义定义 设,U V 为数域K 上的线性空间,:U V ϕ→为映射,且满足以下两个条件:i)()()(),(,)U ϕαβϕαϕβαβ+=+∀∈； ii)()(),(,)k k U k K ϕαϕαα=∀∈∈, 则称ϕ为(由U 到V 的)线性映射.由数域K 上的线性空间U 到V 的线性映射的全体记为Hom ),(V U K ,或简记为Hom ),(V U .定义中的i)和ii)二条件可用下述一条代替:()()(),(,,,)k l k k U k l K ϕαβϕαϕβαβ+=+∀∈∈.例 ()m n M K ⨯是K 上的线性空间,()s n M K ⨯也是K 上线性空间,取定一个K 上的s m ⨯矩阵A ,定义映射:()(),.m n s n M K M K xAX ϕ⨯⨯→则ϕ是由()m n M K ⨯到()s n M K ⨯的线性映射.例 考虑区间(,)a b 上连续函数的全体,它是R 上的线性空间,令(1,sin ,sin 2,,sin ),U L x x nx = (1,cos ,cos 2,,cos ).V L x x nx =再令:,().U V f x AX ϕ→则ϕ是由U 到V 的一个线性映射.定义 设:U V ϕ→是线性映射i)如果ϕ是单射,则称ϕ是单线性映射(monomorphism)； ii)如果ϕ是满射,则称ϕ是满线性映射(endmorphism)；iii)如果ϕ既单且满,则称ϕ为同构映射(简称为同构,isomorphism),并说U 与V 是同构的,同构映射也称为线性空间的同态(homomorphism),同构映射的逆映射也是同构映射；iv)ϕ的核(kernel)定义为ker {|()0}U ϕαϕα=∈=；v)ϕ的像(image)定义为im ={|,.()}V U s t ϕβαϕαβ∈∃∈=,也记为()U ϕ；命题 ker ϕ和im ϕ是V 的子空间. 证明:容易证明它们关于加法和数乘封闭. vi)ϕ的余核定义为co ker /im V ϕϕ=.命题 线性映射f 是单的当且仅当ker }0{=f ,f 是满的当且仅当coker }0{=f .定理(同态基本定理) 设V U f →:是数域K 上的线性空间的满线性映射,则映射:/ker ,ker ().U f V f f σαα→+是同构映射.证明:首先证明σ是映射,即若'/ker U f αα=∈,则()(')σασα=.由于'αα=,存在ker f γ∈,使得'ααγ=+.于是()(')(')()(')f f f f f ααγαγα=+=+=,即()(')σασα=.再证明σ是线性映射.,/ker U αβϕ∀∈,,k l K ∈,有()()()()()()k l f k l kf lf k l σαβαβαβσασβ+=+=+=+.易见σ是满射,且有im V f =.只要再证明σ是单射即可,即证明ker {0}σ=.设ker ασ∈,则()()0f σαα==,于是ker f α∈,即有0α=.证毕.命题 设:U V ϕ→是线性映射,dim U n =,则下述三条等价: i)ϕ单；ii)ϕ将U 中任意线性无关组映为V 中的线性无关组； iii)dim ()U n ϕ=.证明:i)⇒ii)若12,,,t V ααα∈线性无关,则令1122()()()0t t k k k ϕαϕαϕα+++=,由线性映射的定义,1122()0t t k k k ϕααα+++=.ϕ单,于是11220t t k k k ααα+++=,则120t k k k ====,ii)成立；ii)⇒iii)若取U 的一组基12,,,n εεε,则由已知,12(),(),,()n ϕεϕεϕε线性无关,而im ϕ中任意向量可以被12(),(),,()n ϕεϕεϕε线性表出,于是12(),(),,()n ϕεϕεϕε构成im ϕ的一组基,iii)成立；iii)⇒i)由同态基本定理知/ker im U ϕϕ≅,于是d i m d i m ke r U ϕϕ-=⇒d i m k e r ϕ=,即有ker {0}ϕ=.证毕.。

《高等代数》课程教学大纲课程编号：090085、090022总学时：162学分：8适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学课程类型：专业必修课开课单位：一、课程的性质、目的与任务通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认识, 提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力；使学生初步地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；使学生能应用代数思想和方法去理解与处理有关的问题, 培养与提高代数的理论分析问题与解决问题的能力；使学生学习数学学科后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、偏微分方程、泛函分析等）提供一些所需要的基础理论和知识；使学生在智能开发、创新能力培养等方面获得重要的平台。

《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之一,是数学各专业报考研究生的必考课程之一，也是理论性、应用性很强的一门数学基础课。

讲授本课程的目的主要在于培养学生的代数基础理论和思想素质，基本掌握代数中的论证方法, 获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧, 提高分析问题、解决问题的能力,为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。

本课程的主要任务是通过教学的主要环节（课堂讲授与讨论、习题课、作业、辅导答疑等），使学生学习和掌握多项式理论、线性代数的代数理论（行列式、线性方程组、矩阵、λ矩阵）及线性代数的几何理论（线性空间、线性变换、欧氏空间）。

二次型、-二、课程教学内容和基础要求（1）理解多项式的定义，掌握最大公因式，互素，不可约多项式, 因式分解等有关的一系列性质。

（2）理解行列式的定义, 掌握行列式的基本运算性质和行列式的行(列)展开性质；理解向量组的线性相关性，掌握线性方程组的通解求法；理解矩阵的概念和运算，掌握矩阵的可逆、矩阵的分块、矩阵的等价关系的性质及应用；理解二次型的定义，掌握二次型的标准形的求法及正定二次型的一系列性质。

（3）理解线性空间的定义，掌握交空间、和空间及直和的判定及性质；理解线性变换的定义及简单性质,掌握线性变换在不同基下的矩阵的性质、线性变换的值域与核的应用问题；会求矩阵的若当标准形；理解欧氏空间及对称变换的定义,掌握对称变换与实对称矩阵之间的关系的有关性质。