授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点
教学方法与
手段
教
学
过
程
第六章线性空间第一讲集合映射
2授课类型讲授通过本节的学习, 掌握集合映射的有关定义、运算, 求和号与乘积号的定义
集合映射的有关定义
集合映射的有关定义
讲授法启发式
1.集合的运算 , 集合的映射 ( 像与原像、单射、满射、双射 ) 的概念
定义 : ( 集合的交、并、差 ) 设S是集合 , A与B的公共元素所组成的集合
成为 A 与 B 的交集,记作A B ；把 A 和B中的元素合并在一起组成的集合成
为 A 与 B 的并集,记做 A B ；从集合 A中去掉属于 B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为 A 与B的差集,记做A B .
定义 : ( 集合的映射 ) 设
A B
为集合 . 如果存在法则
f
, 使得
A
中任意元素
、
a 在法则f下对应B中唯一确定的元素( 记做f (a) ), 则称f是A到B的一个映射 , 记为
f : A B, a f (a).
如果 f (a) b B , 则 b 称为a在 f 下的像,a称为 b 在 f 下的原像. A 的所有元素在 f 下的像构成的 B 的子集称为 A 在 f 下的像,记做 f ( A) ,即f ( A) f ( a) | a A .
若 a a' A, 都有 f (a) f (a'), 则称 f 为单射.若 b B, 都存在a A , 使得f (a) b ,则称 f 为满射 . 如果f既是单射又是满射, 则称f为双射 , 或称一一对应 .
2.求和号与求积号
(1)求和号与乘积号的定义
为了把加法和乘法表达得更简练
, 我们引进求和号和乘积号 .
设给定某个数域
K 上 n 个数 a 1, a 2 , , a n , 我们使用如下记号 :
n
n
a 1 a 2
a n
a i , a 1a 2 a n
a i .
i
1
i 1
当然也可以写成
a 1 a 2
a n a i , a 1 a 2 a n
a i .
1 i n
1 i n
(2) 求和号的性质
容易证明 ,
n
n
n
n
n
n
m
m n
a i
a i ,
(a i b i )
a i
b i ,
a
ij
a ij .
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1 j 1
j 1 i 1
事实上 , 最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状 :
a 11
a 12
a 1 m
a
21 a 22 a
2 m
a
n1 a
n2
a
nm
分别先按行和列求和 , 再求总和即可 .
讨论、练习与
作业
课后反思
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第二讲线性空间的定义与简单性质
2授课类型讲授通过本节的学习, 掌握线性空间的定义与简单性质
线性空间的定义与简单性质
线性空间的定义与简单性质
讲授法启发式
一 . 线性空间的定义
(1) 定义 1( 线性空间 )设V是一个非空集合, 且 V 上有一个二元运算“+”(V V V ) ,又设K为数域,V中的元素与K 中的元素有运算数量乘法“? ”(K V V ) ,且“+”与“?”满足如下性质:
1、加法交换律,V ,有；
2、加法结合律, ,V ,有 ()() ；
3、存在“零元” , 即存在0V ,使得V ,0；
4、存在负元 , 即V ,存在V ,使得0 ；
5、“ 1 律”1?；
6、数乘结合律k, l K ,V ,都有 ( kl )k(l ) l (k) ；
7、分配律k,l K ,V ,都有(k l )k l；
8、分配律k K , ,V ,都有k() k k,
则称 V为 K上的一个线性空间 , 我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“ +”和“?”的定义 , 不光与集合V 有关 .
(2)零向量和负向量的唯一性 , 向量减法的定义 , 线性空间的加法和数乘运算与
通常数的加、乘法类似的性质
命题 1 零元素唯一 , 任意元素的负元素唯一 .
证明 : 设 0 与 0' 均是零元素 , 则由零元素的性质 , 有 0 0' 0 0' ；
V , 设
, '都是 的负向量 , 则
( '
)
' (
) 0
,
于是命题得证 . 由于负向量唯一 , 我们用
代表
的负向量 .
定义 2( 减法 ) 我们定义二元运算减法“
- ”如下 :
定义为
( ) .
命题 2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质
:
1、 加法满足消去律
；
2、 可移项
；
3、 可以消因子k
且 k
1 ；
0, 则
k
4、 0 ? 0,
k ?0 0, ( 1)
.
(3) 线性空间的例子
例 1 令 V 表示在
(a,b) 上可微的函数所构成的集合
, 令 K
?
,V 中加法的定
义就是函数的加法
, 关于
K 的数乘就是实数遇函数的乘法
,V
构成
K 上的线性空
间.
二 线性空间中线性组合和线性表出的定义
, 向量组的线性相关与线性无关
的定义以及等价表述 , 向量组的秩 , 向量组的线性等价；极大线性无关组.
定义 3( 线性组合 ) 给定 V 内一个向量组 1 , 2 ,L , s , 又给定数域 K 内 s 个
数 k 1, k 2 ,L , k s , 称 k 1 1
k 2 2 L
k s
s 为向量组
1
, 2 ,L ,
s 的一个 线性组
合 .
定义 4( 线性表出 ) 给定 V 内一个向量组
1 ,
2 ,L , s , 设
是 V 内的一个向
量, 如果存在 K 内 s 个数 k 1, k 2 ,L ,k s , 使得 k
1 1
k
2 2
L
k s s , 则称向
量 可以被向量组
1
,
2 ,L , s 线性表出 .
定义 5( 向量组的线性相关与线性无关 ) 给定 V 内一个向量组
1
,
2 ,L , s ,
