第五章 二次型
§1 二次型的矩阵表示
一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示
二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性
替换和矩阵的合同.
三 教学重点：矩阵表示二次型
四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程：
定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式
n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,(
n n x x a x a 2222222 (2)
n nn x a (3)
称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型.
例如：2
3
322231212
13423x x x x x x x x x 就是有理数域上的一个3元二次型.
定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式
n nn n n n n
n n
n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4)
称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0 ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的.
二次型的矩阵表示：
令 ji ij a a ，j i 由于 i j j i x x x x ,那么二次型(3)就可以写为
n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,(
n n x x a x a x x a 2222221221 …+2
2211n nn n n n n x a x x a x x a
n i n
j j i ij x x a 11
(5)
把(5)的系数排成一个n n 矩阵
nn n n n n a a a a a a a a a A
21
22221
112
11
它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a ，n j i ,,2,1, ，所以
A A .
我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的.
令
n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，
n x x x AX X
2
1
nn n n n n a a a a a a a a a
21
22221
11211
n x x x 21
n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x
221
122221
21121211121
n
i n
j j i ij x x a 11.
故 AX X x x x f n ),,,(21 .
显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型
BX X AX X x x x f n ),,,(21
且 B B A A ,，则，B A 线性替换的矩阵表示
令
nn n n n n c c c c c c c c c C
21
22221
112
11,
n y y y Y 21,那么，线性替换(4)可以写成， n x x x 21 nn n n n n c c c c c c c c c
21
22221112
11
n y y y 21
或者CY X .
显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.
设 AX X x x x f n ),,,(21 ，A A ， (7) 是一个二次型，作非退化的线性替换
CY X (8) 得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y .
现在来看矩阵B 与矩阵A 的关系 把(8)代入(7)有
AX X x x x f n ),,,(21 ACY C Y CY A CY )()(BY Y Y AC C Y )(.
容易看出，矩阵AC C 也是对称的，事实上，
AC C C A C AC C )(.
由此，即得
AC C B .
定义2 数域P 上n n 矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的
n n 矩阵C ，使
AC C B .
合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有
(1)反身性 AE E A .
(2)对称性 由 AC C B ，即得)()(11 C B C A .
(3)传递性 由111AC C A ，2122C A C A
，即得)()(21212C C A C C A . 因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.
§2 标准形
一 授课内容：§2 标准形
二 教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法. 三 教学重点：化普通的二次型为标准形.
四 教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示. 五 教学过程：
I 导入
可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型
2222211n n x d x d x d (1)
II 讲授新课
定理1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1)的形式. 不难看出，二次型(1)的.
2
222211n n x d x d x d = n x x x 21
n d d d
00000021
n x x x 21. 反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.
定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定义 二次型),,,(21n x x x f 经过非退化的线性替换所变成的平方和称为),,,(21n x x x f 的一个标准形.
