幂零矩阵和幂零变换性质及应用技术

JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文（设计）题目幂等矩阵的性质及应用英文题目Properties and Applicationof Idempotent Matrix院系理学院专业数学与应用数学姓名邱望华年级A0411指导教师王侃民二零零八年五月幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。

本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。

首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。

[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices.[Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence,linear combination符号表R 实数域n R 实数域n 维列向量空间 n n R ⨯ 实数域上的n ×n 阶矩阵C 复数域n C 复数域n 维列向量空间 n n C ⨯ 复数域上的n ×n 阶矩阵A ' 矩阵A 的转置*A 矩阵A 的伴随1A - 矩阵A 的逆det()A 矩阵A 的行列式 rank()A 矩阵A 的秩()N A 矩阵A 的核空间，即}{()0,n N A x P Ax P =∈=是一个数域()R A 矩阵A 的值域，即}{(),n R A Ax x P P =∈是一个数域dim V 线性空间V 的维数 1T - 线性变换T 的逆变换TV T 的值域,即TV ={}T V ξξ∈1(0)T - T 的核,即{}1(0)0,T T V ξξξ-==∈目录第一章预备知识 (1)1.1幂等矩阵的概念及刻划 (1)1.2幂等矩阵的一些简单性质 (3)第二章相关的重要结论 (7)2.1幂等矩阵的等价条件 (7)2.2幂等变换 (14)2.3幂等矩阵线性组合的幂等性 (17)2.4幂等矩阵线性组合的可逆性 (23)2.5幂等矩阵的秩方面的有关性质 (26)结束语 (29)参考文献 (30)第一章 预备知识1.1 幂等矩阵的概念及刻划定义1[1].对n 阶方阵A ,若2A A =,则称A 为幂等矩阵.为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.命题1.若A 是幂等矩阵,则与A 相似的任意矩阵是幂等矩阵. 证明：若A 相似于B (记作~A B ),则有同阶可逆矩阵P ,使B =1p -A P [1],从而2B =1p -A P ·1p -A P =1p -2A P =1p -A P =B . ▌命题2.若A 是对角分块矩阵，设A =12r A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则A 是幂等矩阵⇔i A (1,2,,)i r =均是幂等矩阵.由于每个n 级复数域矩阵A 都与一个若尔当矩阵相似[1]，据命题1和命题2知， 我们只需要讨论若尔当块的幂等性.若A 是一个2阶复数域矩阵,则A 的若尔当标准型有两种可能的形式:第一种: 10λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭,但它不是幂等矩阵.否则有210λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭=10λ⎛⎫⎪λ⎝⎭,有,212λ=λλ=.矛盾.第二种: 0012λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭,由200001122λλ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪λλ⎝⎭⎝⎭ ,有221122,λ=λλ=λ,从而有01λ=或1,20λ=或 1.于是该情况有四种可能的形式:0000⎛⎫ ⎪⎝⎭,1000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,0001⎛⎫⎪⎝⎭(1)据命题1,于是得到:定理1[19]. A 是二阶幂等矩阵,则A 是零矩阵或单位矩阵或形如1ab c a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭.证明: 由以上讨论知A 相似于(1)式中的四个矩阵之一1若A ～0000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =0000⎛⎫⎪⎝⎭02若A ～1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =1001⎛⎫⎪⎝⎭3若A ～1000⎛⎫⎪⎝⎭ ,则有可逆矩阵P =1234λλλλ⎛⎫⎪⎝⎭，1423(,P )λλλλ≠因为可逆 使A =14121423142313423142314231000a b P P c d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪--⎝⎭则有 1d a =- .即 A 1ab c a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ .对剩余的一种与此有同样的结果. ▌设112,1n n J λλλλ⎛⎫⎪⎪⎪≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，由2n n J J = ，有2,21,λλλ==这是不可能的.于是有:命题3.当2n ≥时,n 阶若尔当块n J 不具有幂等性.即2n n J J ≠. 因此,若A 是幂等矩阵，则A 的若尔当标准型如下：12000000n r J λλλ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭据命题1即有2n n J J =⇒2,1,2,,i i i r λλ== .于是0i λ= 或1.于是我们得到如下定理:定理2. A 是n 阶幂等矩阵，当且仅当存在n 阶可逆矩阵P ，使 得1A PJP -=.其中J 是主对角线上元素为0或1的对角矩阵. ▌1.2 幂等矩阵的一些简单性质性质1.方阵零矩阵和单位矩阵E 是幂等矩阵. 性质2.方阵A 是幂等矩阵，且A 可逆，则A E =. 因为2A A =,则121A A A A A E --===. ▌据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即1A -(如果存在的话)是幂等 矩阵.因为1A E A E -=⇒=.性质3.若A 是实幂等矩阵，则*,,A E A A '-都是幂等矩阵. 证明: 对A ',22()()A A A '''==. 对E A -,有22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-.对*A ,先证明对任意两个幂等矩阵,A B ,有关系式***[2]()AB B A=.由Cauchy binet -公式有:*(,)()A i j AB B i j =矩阵的第行第列代数余子式=(1)det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})i j AB j j n i i n +--+-+=1(1){det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})ni jk A j j n k k n +=--+-+∑det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})}B k k n i i n ⋅-+-+=**({},{})11.nnjk ki ki jk i j k k A B B A B A ====∑∑于是，*2*****2()()()A A AA A A A ====. ▌性质4.若A 是复数域上的幂等矩阵,则,A E A '-也是幂等矩阵. 证明:222()()()()A A AA A A '''''====.22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-. ▌ 性质5.若A 是幂等矩阵,则A 的特征值只能是1或0. 即知幂等矩阵是半正定矩阵.证明:由2A A = 知2λλ= (A λ是的特征值)01λ⇒=或. ▌ 由此易知:幂等矩阵是半正定矩阵.性质6.若A 是幂等矩阵,设()ϕλ是A 的最小多项式,则()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）从而A 可对角化,且其若尔当标准型为000rE ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中r E 是r 阶单位矩阵, r 是A 的秩.证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式, 据性质5知()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）.又最小多项式是互素的一次因式的乘积,故可对角化. ▌性质7[17].若A 是幂等矩阵，则()()N A R E A =-，其中}{()0n N A x C Ax =∈=}{()(),n nR E A x C x E A y y C -=∈=-∈.证明：由2A A = 有()0A E A -=，立即知E A -的n 阶列向量都是0AX =的解故有()()R E A N A -⊂又对()a N A ∀∈,有0()()Aa a Aa E A a E A a =⇒=+-=-()a R E A ⇒∈-由a 的任意性知 ()()N A R E A ⊂-. 于是有 ()()N A R E A =- . ▌ 同样地,有结论 ()()N E A R A -=.性质8.若A 是幂等矩阵,对任意实数(0,1)a a ≠,则A aE +是可逆矩阵. 证明:由2A A =有2(1)(1)A A a a E a a E --+=-+()[(1)](1)A aE A a E a a E +-+=-+.又由0,1a ≠ 有1(){[(1)]}(1)A aE A a E E a a +-+=-+故A aE +可逆,且11()[(1)](1)A aE A a E a a -+=-+-+. ▌性质9.任一秩为r 的n n ⨯幂等矩阵A 可分解成A CB =,其中C 是秩为r 的n r ⨯矩阵,且r BC E = .(其中r E 是r 阶单位矩阵)证明:由性质6知, 存在n 阶可逆矩阵P 使1000rEP AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭.则()100000rr r E E A P P P E P -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 记(),00r r E C P B E ⎛⎫== ⎪⎝⎭.显然,B C 满足要求. ▌性质10.任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积.证明:因为1100()0000rr E E A P P P P --⎛⎫⎛⎫''=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故结论成立 ▌ 性质11.若,A B 均为n n ⨯阶幂等矩阵,且AB BA =,则AB 与A B ''均为幂等矩阵.证明:据题意有：222()AB ABAB AABB A B AB ====.2222()[()]()()()()()A B BA BA BA BABA B A BA A B ''''''''''======. ▌第二章 相关的重要结论本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件、幂等变换、线性组合的幂等性、线性组合的可逆性、秩方面的有关性质等有关问题.2.1 幂等矩阵的等价条件经过参考多篇文献，并进行归纳和推理可以得出以下定理.定理1:设A 是n n ⨯的实矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵) 6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -=.10){}()()0N A N E A -=.11)()()n R R A R E A =⊕-.12)()()n R N A N E A =⊕-以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件,经过研究和分析知:对复幂等矩阵也有平行的结论.定理2:设A 是n n ⨯的复矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵) 6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -=.10){}()()0N A N E A -=.11)()()n C R A R E A =⊕-.12)()()n C N A N E A =⊕-证明:1)⇔2) 由2A A =知22()()A A A '''==.反过来,222[()][()]()A A A A A ''''''====.1)⇔3)必要性: 在1.2节性质3中已经给出了证明.充分性:2()()E A E A -=- ⇒222E A A E A A A -+=-⇒=.1)⇔4)由2A A = 知1211121()P AP P AP P AP P A P P AP -----=⋅==.反过来,12111121()P AP P AP P AP P AP P A P P AP ------=⇒⋅==⇒ 2A A =.1)⇔5)由2A A =,有2B =2(2)A E -=244A A E E -+=.反过来,22244B E A A E E A A =⇒-+=⇒=.1)⇔6)必要性: 在1.2节性质7中已经给出了详细证明.充分性: 对,n a R ∀∈有()()()E A a R E A N A -∈-=，故()()E A a N A -∈于是有2[()]0()0A E A a A A a -=⇒-=.由a 的任意性得2A A =.1)⇔7)必要性: 由2A A =知()Aa R A ∀∈,有()0()E A Aa Aa N E A -=⇒∈-()()R A N E A ⇒⊂-.又()a N E A ∀∈-,有()0E A a -=.于是()a Aa E A a =+-()()()Aa R A N E A R A =∈⇒-⊂故有()()R A N E A =-.充分性: 对n a R ∀∈,有()()()Aa R A N E A Aa N E A ∈=-⇒∈-于是有2()()0()0E A Aa A A a -=⇒-=.由a 的任意性得 2A A =.1)⇔8)必要性: 由2A A =知 ()()N A R E A =-.于是有 dim ()dim ()N A R E A =-即有 rank rank()n A E A -=-亦即 rank rank()A E A n +-=.充分性: 由rank rank()A E A n +-= 易知:dim ()dim ()N A R E A =- (*) 又对()a N A ∀∈,有0Aa =则有()E A a a Aa a -=-=.由()()E A a R E A -∈-知()a R E A ∈-即有 ()()N A R E A ⊂-.据(*)式知()()N A R E A =-.再由6)得2A A =.8)⇔9)必要性: 由rank rank()A E A n +-=.即知:dim ()dim ()R A R E A n +-=.又对n a R ∀∈,有()a Aa E A a =+-,而(),Aa R A ∈()()E A a R E A -∈-.故 ()()n C R A R E A =+-.又dim dim ()dim ()dim[()()]n C R A R E A R A R E A =+---n =.故有dim[()()]0R A R E A -=. 于是, {}()()0R A R E A -=.充分性: 由{}()()0R A R E A -= 有dim ()dim ()R A R E A n +-=.即有rank rank()A E A n +-=.9)⇔10)必要性: 由上面的证明知由9)有6)和7),再把6)和7)代入到9),立即得到10).充分性：同理可证.9)⇔11) 这是显然的[1].10)⇔12) 这是显然的[1]. ▌定理3.设A 是秩为r 的n n ⨯矩阵.则A 是幂等矩阵⇔存在n 阶可逆矩阵P ,使1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 证明: 必要性: 在1.2节性质6中已给出了证明.充分性: 由1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭,有 1000r E A P P -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 则2111000000000rr r E E E A P P P P P P A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ▌ 以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论.下面来对高次幂等矩阵进行有关的讨论.定理4.设,A B 是三次幂等矩阵,即33,A A B B ==,且满足AB BA =,A B ≠, 记C A B =+.则3()0C C AB A B =⇔+=.证明:由矩阵,A B 是幂等可交换的，于是可同时对角化[6]. 即存在可逆矩阵 P ,使得1112,P AP P BP --Λ=Λ=均为对角矩阵,而且它们对角元素分别是,A B 的特征值.从而有1112,.A P P B P P --=Λ=Λ进而112()C P P -=Λ+Λ.于是3C C =可以等价为322333,1,2,,i i i i i i i i i n λλμλμμλμ+++=+=.其中,i i λμ分别是12,ΛΛ的对角元.又由30,1,1x x x =⇒=-知,A B 的特征值只有0,-1,1.即333,,(1,2,,)i i i i i r λλμμ===于是3C C =等价为220,(1,2,,)i i i i i r λμλμ+==.即221212O ΛΛ+ΛΛ=. 因此3C C =等价为()0AB A B +=. ▌注:当2A A =,立即有32A A A ==,同样地,对k ∀,(2k ≥为正整数) k A A = 即任意的二次幂等矩阵均为k 次幂等矩阵.因此可得以下推论.推论: 设,A B 是二次幂等矩阵,且满足AB BA =,A B ≠,记C A B =+.则 2()0C C AB A B =⇒+=. ▌引理1[1].对任意两个同阶矩阵,A B ,有rank()rank()rank()A B A B +≤+. 引理2[1].设,A B 为n n ⨯矩阵,满足AB O =,则有rank rank A B n +≤. 定理5.设矩阵A 满足3,A A =且A 可逆.则2A E =且rank rank()rank()2A A E A E n +++-=.证明: 由3,A A =A 可逆,有-13-12A A A A A E ⋅=⋅⇒=()()A E A E O ⇒+-=.于是据引理2有rank()rank()A E A E n ++-≤ (1)又2()()E E A E A =++-据引理1有rank(2)rank[()()]n E E A E A ==++-rank()rank()E A E A ≤++-rank()rank()A E A E =++-. (2)有(1)式和(2)式有rank()rank()A E A E n ++-=.由于A 可逆知rank A n =.因此有rank rank()rank()2A A E A E n +++-=. ▌定理6.设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则*,,A A A ''都是k 此幂等矩阵.证明:对A ',()()k k A A A '''==.对*,A*****()()k k k A A A A A =⋅⋅==个. 对,A '()()()k k k A A A A ''''===. ▌定理7. 设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则A 的特征值为0和22cossin ,(0,1,,2)11m m m i m k k k ππε=+=---.证明: 由k A A =,有 k λλ=,其中λ是矩阵A 的特征值.解方程k λλ=可得220cossin ,(0,1,,2)11m m i m k k k ππλ=+=---以及. ▌2.2 幂等变换数域F 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()L V 对于线性变换的加法与数量乘法构成F 上的一个线性空间，与数域F 上n 阶方阵构成的线性空间n n F ⨯同构.特别地，与幂等矩阵对应的是幂等变换.因此为了讨论和探索幂等矩阵的性质时很有必要去探索幂等变换的相关性质.定义1.设T 是线性空间V 的一个线性变换,若2T T =,则称T 是幂等变换. 由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此前面所提到的性质和结论可以平 移到幂等变换上来.限于篇幅,下面只举几个例子.性质1.可逆的幂等变换是恒等变换.证明:恒等变换与单位矩阵相对应.因此该性质与“可逆的幂等矩阵为单位矩 阵”一致. ▌性质2.若T 是幂等变换,则T τ-也是幂等变换.(其中τ是恒等变换) 性质3.T 是幂等变换⇔2T τ-为对合变换. 其中线性变换T 满足2T τ=,则称T 是对合变换. 性质4.T 是线性空间V 上的幂等变换,则1(0)V TV T -=⊕.▌ 我们知道:对于一般的线性变换来说,虽然1dim dim (0)dim TV T V -+=,但未必 有1(0)V TV T -=⊕.这样的例子很多. 例如:在线性空间[]n P x 中令 (())()f x f x ϕ'=.则微分变换是一线性变换[1],其 值域为1[]n P x -,其核是子空间P .它们的维数分别是1,1n -.但显然1[]n P x -+P ≠[]n P x .性质5.设T 和U 是n 维线性空间V 上的线性变换,且22,T T U U ==. 如果2()T U T U +=+,则0TU UT ==. 证明:由2()T U T U +=+,可得0TU UT +=……………………………………①对①式左乘T 得0TU TUT +=…………………………………②对①式右乘T 得0TUT UT +=……………………………………③比较②和③得 TU UT =.代入到①式得到 20TU =.于是就有 0TU UT ==. ▌ 性质6.设T ,U 是n 维线性空间上的线性变换,且22,T T U U ==. 则 1) ,TV UV TU U UT T =⇔==.2) 11(0)(0),T U TU T UT U --=⇔==.证明:1)""⇒ 对,a V ∀∈有Ua UV TV ∈=.故,V β∃∈使Ua T β=. 从而2TUa T T Ua ββ===.因此有TU U =.同样可证得UT T =.""⇐ 据,TU U UT T ==可知, 对Ta TV V ∀∈⊂,有()Ta UTa U Ta UV ==∈,故TV UV ⊂.同样可证得UV TV ⊂.于是TV UV =. 2)""⇒ 对a V ∀∈,作向量a Ta -.据11(0)(0)T U --=,有()T a Ta -20Ta T a Ta Ta =-=-=.故11(0)(0)a Ta T U ---∈=.从而有()0U a Ta -=⇒Ua UTa =⇒UT U = 同理有TU T =.""⇐ 对1(0)a T -∀∈,有0Ta =. 据,TU T UT U ==,有10(0)Ua UTa a U -==⇒∈.即有11(0)(0)T U --⊂.同理可得11(0)(0)U T --⊂. 故有11(0)(0)T U --=. ▌2.3 幂等矩阵线性组合的幂等性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵线性组合12P c A c B =+仍是幂等矩阵的一 些充分条件.引理1[15].设2,,0,0n n l A B C A A B B ⨯∈=≠=≠,l 为2≥的整数,且AB BA =. 则存在{}12,0c c C ∈-,使12P c A c B =+为幂等矩阵的充要条件是:22111211(2),c c A E B B B c c c λλ--=-+=. 证明:221212()P P c A c B c A c B =⇔+=+22222111212()c B c B c c A c c AB c c BA ⇔-=-++(令121c c λ-=) 221112(2)c B B A AB A E B c c λλ⇔-+=-=-.▌ 据引理1,下面将给出12P c A c B =+是幂等矩阵的十组充分条件.为了简化过程,先令{}00,s = {}111,l s x x x C -==∈,{}21,,s x x y z y z s ==+∈, 012s s s s =.定理1[8].设2,,0,0(2,)n n l A B C A A B B l l Z ⨯∈=≠=≠≥∈，AB BA =，{}12,0,c c C ∈-13121,,,,,ic u v s u v e a s c πλε-=∈≠=∈若12(,)c c 及,A B 满足下列任意一个条件，则12P c A c B =+必为幂等矩阵.(Ⅰ) ,0s λλ∈=.①.121(,)(1,)c c u =且0,()0AB B uE B =-=.证明:由0,()0AB B uE B =-=易知12()AB B uE B u-=--,又由121(,)(1,)c c u=和0λ=知(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.②.121(,)(1,)c c u=-且()0,()0E A B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0E A B B uE B -=-=易知2122,0AB B B B u-=-=-.将它们相加得212AB B B u-=--.又由121(,)(1,)c c u=-,0λ=可得22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.③.121(,)(1,)c c u=且()()0,()0E A B uE B AB uE B --=--=.证明: 由条件易知()(),()0B uE B AB uE B AB uE B -=--+=.将它们相加后,再乘以1u-可得212AB B B u-=-+. 又由121(,)(1,),0c c uλ==知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅱ) ,1s λλ∈=.④.121(,)(,(1)),0,1c c a a a u =-≠且()0,()0E A B A uE B -=-=.证明: 由条件易知,B AB AB uA ==.从而有22,()()B uA B uA u uA uB ====.即2B uB =.故有1121(1)1(1)a u a u B B B uB B a a a a-----+=-+=-. 结合上式有(2)22A uE B uA AB AB AB AB B -=-=-=-=- 121(1)(2)a u A uE B B B a a--⇒-=-+.从而可得(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑤.121(,)(1,)u c c v v =-,且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知uA AB =,从而(2)2A uE B uA AB -=-2uA uA uA =-=-.即(2)A uE B uA -=-.又由()()0E A B vE B --=可得2()()B vE B AB vE B vAB AB -=-=-.又因为22,()AB uA AB AB B uAB u A ====.代入上式可得:2()B vE B uvA u A -=-.即有2()B vE B A uv u-=-. 结合(2)A uE B uA -=-有()(2)B vE B A uE B u v--=-.即有12111(2)11v A uE B B B uv uv----=-+--. 又由121(,)(1,)u c c v v=-知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+, 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ⑥. 121(,)(,)v c c u v u v=---且()0,()()0E A B A uE B vE B -=--=. 证明: 由()0E A B -=知AB B =,从而(2)22A uE B uA AB uA B -=-=-又由()()0A uE B vE B --=展开得2()0AB u v AB uvA -++=. 又22,()AB B AB AB B B ===,结合上式可得2()0B u v B uvA -++=.故2()u v B B A uv+-=.代入到(2)2A uE B uA B -=-得(2)A uE B -=2()2u v B B B v+--. 即21(2)u v A uE B B B v v --=-. 又由121(,)(,)v c c u v u v =--- 可得2211(2)A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑦. 121(,)(,),1u c c u v v v=-+=且()0,()()0A vE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A vE B -=知()AB u v A =+.从而(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=-+.又先把()()0E A B vE B --=展开可得2()0B vE B vAB AB --+=.又将()AB u v A =+及22()()()AB AB B u v AB u v A ==+=+.代入到上式可得2()()()0B vE B v u v A u v A --+++=.即有()()B vE B A u v u-=-+.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =-+,可得21(()2)v A u v E B B B u u+-=-. 从而由121(,)(,),u c c u v v vλ=-+=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑧.12(,)(,)c c u εε=-,且2()()0,()()0.A uE B uE B E A B uE B εε--=--=证明: 由()()0A uE B uE B ε--=知 22(())0A u E u u B B εε-++=. 由2()()0E A B uE B ε--=知 222()()A uB B B uE B εε-=-. 将上面两式相加并乘以1u可得 22((1))()A uE B B uE B εεεε+--=-.又3ieπε=满足22112,εεεε--=-=-,结合上式可得(2)A uE B ε-211B B uε=--.从而由12(,)(,)c c uεε=-,u λε=知2211(2)A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅲ) 2,2s λλ∈=.⑨.1,21()(1,)c c u =-,且()0,()0A uE B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0A uE B B uE B -=-=知1(22)0()A uE B B uE B u-==-, 即21(22)()A uE B B B u -=---从而由1,21()(1,)c c u=-,2u λ=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅳ) 2,0,1,2.s λλ∈≠⑩.1,21()(,)u c c v v =-且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知AB uA = 从而22AB uAB u A ==,(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=--.又由()()0E A B vE B --=展开得()()B vE B AB vE B -=-. 据22AB uAB u A ==知22()()AB vE B vAB AB uv u A -=-=-.结合上式可得2()()uv u A B vE B -=-()()B vE B A u v u-⇒=--.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =--可得2()1(()2)B vE B v A u v E B B B u u u-+-==-. 又由1,21()(,)u c c v v=-,u v λ=+知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ▌2.4 幂等矩阵线性组合的可逆性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵的线性组合矩阵12c A c B +可逆的一些条件,并给出一些相关的结论.引理1[3].设矩阵A 是n n ⨯阶方阵,则A 可逆{}()0N A ⇔=. ▌定理1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵，即22,A A B B ==.若存在两个非零复数1,2k k , 且120k k +≠使得12k A k B +可逆,则对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,则线性组合12c A c B +都是可逆的.证明:设1212,,0,0c c C c c ∈≠≠且120c c +≠. 对12()x N c A c B ∀∈+,有12()0c A c B x += 即有 12c Ax c Bx =- ……………① 将上式两边依次左乘,A B ,可得:12c Ax c ABx =-,12c BAx c Bx =-. ……②比较上面三个式子可得:,Bx ABx Ax BAx ==. …………………………③又由于22212112122()k A k B k A k k AB k k BA k B +=+++,故22212112122()k A k B x k Ax k k ABx k k BAx k Bx +=+++.将,Bx ABx Ax BAx ==代入上式可得212()k A k B x +22112122k Ax k k ABx k k BAx k Bx =+++112212()()k k k Ax k k k Bx =+++ 1212()()k k k A k B x =++.由于12k A k B +可逆,,将上式两边左乘112()k A k B -+得121212()()k k x k A k B k Ax k Bx +=+=+, …………………④再左乘A 得:1212k Ax k Bx k Ax k ABx +=+即有Ax ABx =.代入12c Ax c ABx =-可得12()00c c Ax Ax ABx +=⇒==.注意到③式有0Bx =,因此由④式可得12()0k k x +=但120k k +≠,所以0x =因此{}12()0N c A c B +=.由引理1知12c A c B +是可逆的. ▌在定理1中令121c c ==,立即有:推论1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵，即22,A A B B ==.若A B +可逆,则 对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,线性组合12c A c B +都是可逆的. ▌ 定理2[18].设矩阵,A B 均是幂等矩阵,对任意的复数1,2c c ,下列命题等价: ⑴ A B -可逆.⑵ 12c A c B +及E AB -可逆. 证明:⑴⇒⑵对12()x N c A c B ∀∈+,由定理1的证明过程知,Bx ABx Ax BAx ==. 故22222()()0A B x A AB BA B x A x ABx BAx B x -=--+=--+=.又由A B -可逆,故0x =.因此 {}12()0N c A c B +=.由引理1知 12c A c B +可逆. 同样地,对()()0x N E AB E AB x x ABx ∀∈-⇒-=⇒=.两边左乘A ,得Ax ABx x BAx Bx ==⇒=.所以 2()0A B x Ax ABx BAx Bx -=--+=. 又由A B -可逆知0x =. 所以{}()0N E AB -=. 由引理1知E AB -可逆. ⑴⇐⑵对()x N A B ∀∈-,有()0A B x -=Ax Bx ⇒= 则 ,Ax ABx BAx Bx ==. 所以121212()()()c A c B E AB x c A c B c AB c BAB x +-=+-+220c Bx c BAx =-=.0x ⇒=.由12c A c B +及E AB -可逆,知{}()0N A B -=. 由引理1知A B -可逆. ▌ 在定理2中令121c c ==,立即有:推论2.设矩阵,A B 均是幂等矩阵,下列命题等价: ⑴ A B -可逆.⑵ A B +及E AB -可逆.定理3[18]. 设矩阵,A B 均是幂等矩阵，1212,,0,0c c C c c ∈≠≠,满足120c c +≠. 则12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. 证明:由2212121212()()c A c B E A B c A c B c A c BA c AB c B +--=+----12()c AB c BA =-+.可见12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. ▌2.5 幂等矩阵的秩方面的有关性质定理1[5]. 设,A B 是n n ⨯的复幂等矩阵,则1 rank()rank rank rank rank 00A B B A A B B A B A ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2 rank()rank()rank A B A AB BA BAB B +=--++.3 rank()rank()rank A B B AB BA ABA A +=--++. ▌定理2.设n n A C ⨯∈为Hermite 矩阵,即A A '=.且对某个,k N ∈有2k A A =, 则 rank()()A tr A =.证明:设rank A r =,,x λ分别是矩阵A 的特征值和相应的特征向量. 则λ是实数[1].且2212k k k Ax x A x A x x λλλ-====. 从而有21(1)0k x λλ--=.又0x ≠.于是21(1)0k λλ--=.由λ是实数, 所以111,0r r n λλλλ+======,故结论成立. ▌推论1. 设n n A C ⨯∈,且2A A =,则rank()()A tr A =. 其实,该结论在1.2节中已经很明朗了. 定理2[10]. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.证明:由定理1可知rank()()i i A tr A =,11rank mmiii i AtrA===∑∑于是有1111rank()rank()mm mmiiiii i i i AtrA tr A A =======∑∑∑∑. ▌推论2. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论3. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥为幂等矩阵,且1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论4. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又1mi i A E ==∑.则 11rank rank()mmi i i i A A n ====∑∑.推论5. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且1mi i A E ==∑.则 11rankrank()mmii i i AA n ====∑∑.定理3[10].设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥及1mi i A =∑的特征值均为实数,且存在,i k N ∈使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.定理4[20]. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥及1mi i A =∑的特征值均为非负实数,且存在,(2)i i k N k ∈≥使ik i i A A =,又对某个正整数 t 有11t mmii i i AA ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑. ▌结束语本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。

JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文（设计）题目幂等矩阵的性质及应用英文题目Properties and Applicationof Idempotent Matrix院系理学院专业数学与应用数学姓名邱望华年级 A0411指导教师王侃民二零零八年五月摘要幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。

本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。

首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。

[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合AbstractThe idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusionof idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、 the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices.[Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence,linear combination符号表实数域实数域n维列向量空间实数域上的n×n阶矩阵复数域复数域n维列向量空间复数域上的n×n阶矩阵矩阵A的转置矩阵A的伴随矩阵A的逆矩阵A的行列式矩阵A的秩矩阵A的核空间，即矩阵A的值域，即线性空间V的维数线性变换的逆变换的值域,即=的核,即目录第一章预备知识 11.1 幂等矩阵的概念及刻划 11.2 幂等矩阵的一些简单性质 3第二章相关的重要结论 72.1 幂等矩阵的等价条件 72.2 幂等变换 142.3 幂等矩阵线性组合的幂等性 172.4 幂等矩阵线性组合的可逆性 232.5 幂等矩阵的秩方面的有关性质 26结束语 29参考文献 30第一章预备知识1.1 幂等矩阵的概念及刻划定义1.对n阶方阵,若,则称为幂等矩阵.为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.命题1.若是幂等矩阵,则与相似的任意矩阵是幂等矩阵.证明：若相似于(记作),则有同阶可逆矩阵,使,从而=·===. ▌命题2.若是对角分块矩阵，设=则是幂等矩阵均是幂等矩阵.由于每个n级复数域矩阵都与一个若尔当矩阵相似，据命题1和命题2知，我们只需要讨论若尔当块的幂等性.若是一个2阶复数域矩阵,则的若尔当标准型有两种可能的形式:第一种:,但它不是幂等矩阵.否则有=,有.矛盾.第二种:,由,有,从而有或1,或1.于是该情况有四种可能的形式:,,,据命题1,于是得到:定理1.是二阶幂等矩阵,则是零矩阵或单位矩阵或形如.证明: 由以上讨论知相似于(1)式中的四个矩阵之一若～,显然有=若～,显然有=若～,则有可逆矩阵=，使=则有.即.对剩余的一种与此有同样的结果. ▌设，由，有这是不可能的.于是有:命题3.当时,阶若尔当块不具有幂等性.即.因此,若是幂等矩阵，则的若尔当标准型如下：据命题1即有.于是或1.于是我们得到如下定理:定理2.是阶幂等矩阵，当且仅当存在阶可逆矩阵，使得.其中是主对角线上元素为0或1的对角矩阵. ▌1.2 幂等矩阵的一些简单性质性质1.方阵零矩阵和单位矩阵是幂等矩阵.性质2.方阵是幂等矩阵，且可逆，则.因为,则. ▌据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即(如果存在的话)是幂等矩阵.因为.性质3.若是实幂等矩阵，则都是幂等矩阵.证明: 对,.对,有.对,先证明对任意两个幂等矩阵,有关系式.由公式有:===于是，. ▌性质4.若是复数域上的幂等矩阵,则也是幂等矩阵.证明:.. ▌性质5.若是幂等矩阵,则的特征值只能是1或0.即知幂等矩阵是半正定矩阵.证明:由知(). ▌由此易知:幂等矩阵是半正定矩阵.性质6.若是幂等矩阵,设是的最小多项式,则=从而可对角化,且其若尔当标准型为.其中是阶单位矩阵,是的秩.证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式, 据性质5知=.又最小多项式是互素的一次因式的乘积,故可对角化. ▌性质7.若是幂等矩阵，则，其中.证明：由有，立即知的阶列向量都是的解故有又对,有由的任意性知.于是有. ▌同样地,有结论.性质8.若是幂等矩阵,对任意实数是可逆矩阵.证明:由有.又由有故可逆,且. ▌性质9.任一秩为的幂等矩阵可分解成,其中是秩为矩阵,且.(其中是阶单位矩阵)证明:由性质6知,存在阶可逆矩阵使.则.记.显然满足要求. ▌性质10.任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积.证明:因为.故结论成立▌性质11.若均为阶幂等矩阵,且,则与均为幂等矩阵.证明:据题意有：.. ▌第二章相关的重要结论本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件、幂等变换、线性组合的幂等性、线性组合的可逆性、秩方面的有关性质等有关问题.2.1 幂等矩阵的等价条件经过参考多篇文献，并进行归纳和推理可以得出以下定理.定理1:设是的实矩阵,则下列命题是互相等价的:1)是幂等矩阵.2)是幂等矩阵.3)是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵,是幂等矩阵.5)是对合矩阵.(满足的矩阵称为对合矩阵)6).7).8).9).10).11).12)以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件,经过研究和分析知:对复幂等矩阵也有平行的结论.定理2:设是的复矩阵,则下列命题是互相等价的:1)是幂等矩阵.2)是幂等矩阵.3)是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵,是幂等矩阵.5)是对合矩阵.(满足的矩阵称为对合矩阵)6).7).8).9).10).11).12)证明:1)2) 由知.反过来,.1)3)必要性: 在1.2节性质3中已经给出了证明.充分性:.1)4)由知.反过来,.1)5)由,有==.反过来,.1)6)必要性: 在1.2节性质7中已经给出了详细证明.充分性: 对有，故于是有.由的任意性得.1)7)必要性: 由知,有.又,有.于是故有.充分性: 对,有于是有.由的任意性得.1)8)必要性: 由知.于是有即有亦即.充分性: 由易知:(*)又对,有则有由知即有.据(*)式知.再由6)得.8)9)必要性: 由.即知:.又对,有,而.故.又.故有.于是,.充分性: 由有.即有.9)10)必要性: 由上面的证明知由9)有6)和7),再把6)和7)代入到9),立即得到10).充分性：同理可证.9)11) 这是显然的.10)12) 这是显然的. ▌定理3.设是秩为的矩阵.则是幂等矩阵存在阶可逆矩阵,使.证明:必要性: 在1.2节性质6中已给出了证明.充分性: 由,有.则. ▌以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论.下面来对高次幂等矩阵进行有关的讨论.定理4.设是三次幂等矩阵,即,且满足,,记.则.证明:由矩阵是幂等可交换的，于是可同时对角化. 即存在可逆矩阵,使得均为对角矩阵,而且它们对角元素分别是的特征值.从而有进而.于是可以等价为.其中分别是的对角元.又由知的特征值只有0,-1,1.即于是等价为.即.因此等价为. ▌注:当,立即有,同样地,对,(为正整数)即任意的二次幂等矩阵均为次幂等矩阵.因此可得以下推论.推论: 设是二次幂等矩阵,且满足,,记.则. ▌引理1.对任意两个同阶矩阵,有.引理2.设为矩阵,满足,则有.定理5.设矩阵满足且可逆.则且.证明: 由可逆,有.于是据引理2有(1)又据引理1有. (2)有(1)式和(2)式有.由于可逆知.因此有. ▌定理6.设矩阵满足.则都是此幂等矩阵.证明:对,.对.对. ▌定理7. 设矩阵满足.则的特征值为0和.证明: 由,有,其中是矩阵的特征值.解方程可得. ▌2.2 幂等变换数域上维线性空间的全部线性变换组成的集合对于线性变换的加法与数量乘法构成上的一个线性空间，与数域上阶方阵构成的线性空间同构.特别地，与幂等矩阵对应的是幂等变换.因此为了讨论和探索幂等矩阵的性质时很有必要去探索幂等变换的相关性质.定义1.设是线性空间的一个线性变换,若,则称是幂等变换.由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此前面所提到的性质和结论可以平移到幂等变换上来.限于篇幅,下面只举几个例子.性质1.可逆的幂等变换是恒等变换.证明:恒等变换与单位矩阵相对应.因此该性质与“可逆的幂等矩阵为单位矩阵”一致. ▌性质2.若是幂等变换,则也是幂等变换.(其中是恒等变换)性质3.是幂等变换为对合变换.其中线性变换满足,则称是对合变换.性质4.是线性空间上的幂等变换,则.▌我们知道:对于一般的线性变换来说,虽然,但未必有.这样的例子很多.例如:在线性空间中令.则微分变换是一线性变换,其值域为,其核是子空间.它们的维数分别是.但显然+.性质5.设和是维线性空间上的线性变换,且.如果,则.证明:由,可得……………………………………①对①式左乘得…………………………………②对①式右乘得……………………………………③比较②和③得.代入到①式得到.于是就有. ▌性质6.设,是维线性空间上的线性变换,且.则 1).2).证明:1)对有.故使.从而.因此有.同样可证得.据可知,对,有,故.同样可证得.于是.2)对,作向量.据,有.故.从而有同理有.对,有.据,有.即有.同理可得.故有. ▌2.3 幂等矩阵线性组合的幂等性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵线性组合仍是幂等矩阵的一些充分条件.引理1.设,的整数,且.则存在,使为幂等矩阵的充要条件是:.证明:(令).▌据引理1,下面将给出是幂等矩阵的十组充分条件.为了简化过程,先令,,.定理1.设，，若及满足下列任意一个条件，则必为幂等矩阵.(Ⅰ).①.且.证明:由易知,又由和知.满足引理1.故此时为幂等矩阵.②.且.证明: 由易知.将它们相加得.又由,可得.满足引理1.故此时为幂等矩阵.③.且.证明: 由条件易知.将它们相加后,再乘以可得。

本科毕业论文论文题目：幂零矩阵的性质及应用学生姓名：学号：76专业：数学与应用数学指导教师：学院：数学科学学院2014 年4月22 日毕业论文（设计）内容介绍目录Liu Yan ......................................................................................................................................... - 1 -Abstract: A special matrix, nilpotent matrix is a kind of not only has a very important role in the field of matrix, and in the field of mathematics and other fields are widely used, thus to explore the nilpotent matrix has very important significance. This article is mainly to some properties of nilpotent matrix and conclusions are summarized , from different angles of matrix related to the properties of nilpotent matrix is discussed. In the general matrix, matrix inverse more troublesome, in this paper, using the nilpotent matrix particularity discussed three kinds of special matrix inverse method. Nilpotent matrix has good properties and has good effect in solving problems related matrix, so the study of nilpotent matrix is very meaningful. ............................................ - 1 -一、相关的大体概念.................................................................................................................. - 2 -二、相关的一些引理.................................................................................................................. - 2 -三、性质...................................................................................................................................... - 4 -四、关于幂零矩阵的简单应用................................................................................................ - 12 -（一）、利用幂零矩阵求下列矩阵的逆.......................................................................... - 12 -（二）、有关幂零矩阵的其他应用举例.......................................................................... - 15 -参考文献：................................................................................................................................ - 20 -幂零矩阵是一类比较特殊的矩阵，不仅在矩阵领域有超级重要的作用，而且在数学领域和其他领域应用都超级普遍，因此对幂零矩阵进行探讨具有超级重要的意义.本文主如果对幂零矩阵的一些性质和结论进行归纳总结，从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质.在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法.幂零矩阵具有良好的性质，在解相关矩阵问题有专门好作用，因此对幂零矩阵的研究很成心义. .............................................................................................................................................. - 31 -幂零矩阵的性质及应用刘妍摘要：幂零矩阵是一类比较特殊的矩阵，不仅在矩阵领域有超级重要的作用，而且在数学领域和其他领域应用都超级普遍，因此对幂零矩阵进行探讨具有超级重要的意义.本文主如果对幂零矩阵的一些性质和结论进行归纳总结，从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质.在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法.幂零矩阵具有良好的性质，在解相关矩阵问题有专门好作用，因此对幂零矩阵的研究很成心义.关键词：幂零矩阵, 若尔当块, 特征值, 幂零指数, 幂零矩阵的秩The properties of nilpotent matrix and its applicationLiu YanAbstract: A special matrix, nilpotent matrix is a kind of not only has a very important role in the field of matrix, and in the field of mathematics and other fields are widely used, thus to explore the nilpotent matrix has very important significance. This article is mainly to some properties of nilpotent matrix and conclusions are summarized , from different angles of matrix related to the properties of nilpotent matrix is discussed. In the general matrix, matrix inverse more troublesome, in this paper, using the nilpotent matrix particularity discussed three kinds of special matrix inverse method. Nilpotent matrix has good properties and has good effect in solving problems related matrix, so the study of nilpotent matrix is very meaningful.Key words:Nilpotent matrix, Jordan, characteristic number, Nilpotent index,Nilpotent matrix rank引言在高等数学的学习研究进程中，幂零矩阵是超级特殊且实用的工具，许多问题都会借助幂零矩阵的相关性质来进行研究，比如说求矩阵的逆和许多证明题目中都会用到，求矩阵的逆一般比较麻烦，对于一些特殊矩阵能够用幂零矩阵的性质来简单化解计算.一、相关的大体概念一、 设A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，则A 称为幂零矩阵. 二、 若A 为幂零矩阵，则知足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数.3、 设1111n n nn a a A a a ⎛⎫ ⎪=⎪⎪⎝⎭，则称111'1n n nn a a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A 的转置， 称111*1n nnn A A A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭为A 的伴随矩阵. 其中(),1,2,,ij A i j n =为A 中元素ij a 的代数余子式.4、设A 是复数域上全部m n ⨯矩阵，在A 中任意取定k 行k 列,}{min m n k ≤，.位于这些行和列的交点上的2k 个元素依照原来的顺序组成一个k 级行列式M 称为A 的一个k 级子式.五、设A 是复数域上m ⨯n 矩阵，A 中非零子式的最高阶数称为A 的秩， 记为()r A .六、 主对角线上元素为0的上三角矩阵称为严格的上三角矩阵.7、形为()0010,00J t λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若尔当块，其中λ为复数，由若干个 若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵. 八、 设A 为一个n 阶方阵，()f E A λλ=-称为矩阵A 的特征多项式.知足()0f E A λλ=-=的λ的值称为矩阵A 的特征值.九、 次数最低的首项系数为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式.二、相关的一些引理引理1：设,A B 为n 阶方阵，则()()***,tt t AB B A AB B A ==. [1]引理2：()(),A f E A m λλλ=-，别离为矩阵A 的特征多项式和最小多项式，则有()0,0A f A m ==.引理3：每一个n 阶的复矩阵A 都与一若尔当形矩阵相似，那个若尔当形矩阵除去若尔当块的排序外被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若尔当标准形.引理4：若尔当形矩阵的主对角线上的元素为它的特征值.引理5：n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 和最小多项式无重根. 引理6：相似矩阵具有相同的特征值. 引理7：设12,,,n λλλ为n 阶矩阵A 的特征值，则有12n trA λλλ=+++，12n A λλλ=，且对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为()()()12,,,n f f f λλλ. 引理8：k 阶若当块11k a J a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的最小多项式为()k x a -且有 ()0kk J aE -=.引理9：矩阵的最小多项式就是矩阵A 的最后一个不变因子.引理10：,A B 为n 阶复数域上的矩阵，若AB BA =，则存在可逆矩阵T ，使得121*N T AT λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 121*N T BT μμμ-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 引理11：任意n 阶,A B 方阵，有()()tr AB tr BA =.引理12：设A 是n 阶方阵，若20A =，则()n2r A ≤.引理13：设A 是n 阶方阵，若30A =，则（1）()23nr A ≤；（2）()()()222r r n r A ≤A ≤-A .引理14：设A 是n 阶方阵，则()()()r kr k-1n k A A ≥- ()k 1≥. 引理15：设A 是n 阶方阵，则()()()()()2k 21r r r 0k k A k ++A ≤A +≥，. 引理16: 设A 是n 阶方阵，则()()()()B -+≥AB r BC r AB r C r .三、性质性质1：A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0. 证明：⇒因为 A 为幂零矩阵,所以k =0k Z A +∃∈使,使0k A =. 令0λ为A 任意一个特征值，则00A ααλα∃≠=使.由引理7知，0λ为k A 的特征值. 因为0β∃≠使0k βλβA = ,即有00λ=. 又有0k A =，知00kk A A A ==⇒=. 因为()()0*1100kkE A A A -=-=-=-⋅=, 所以 00λ=为A 的特征值. 由0λ的任意性知,A 的特征值为0. ⇐（方式一）因为A 的特征值全为0,所以A 的特征多项式为()n f E A λλλ=-=. 由引理2知，()0n f A A ==. 所以A 为幂零矩阵,得证.（方式二）因为存在可逆矩阵T,使得10*0T T B -⎛⎫ ⎪⎪A == ⎪ ⎪⎝⎭ (B 为上三角矩阵） [2] 由上三角矩阵的性质知， 0n B =，从而0n A =（n 为A 的阶数）. （方式三）因为A 的所有特征根全为0,所以A 的Jordan 标准型J 的若尔当块只能是110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 取正整数m ≥i J 的所有阶数，则m i J =0 所以有m J =0， 故11()0m m m A PJP PJ P --===所以A 为幂零矩阵. 性质2：A 为幂零矩阵的充分必要条件为0=∈∀+k trA Z k . 证明：⇒ 因为A 为幂零矩阵，由性质1，知:A 的特征值全为0 即12n λλλ===.又由引理7，知k A 的特征值为120n λλλ====,从而有120k k k k n trA λλλ=+++=.⇐由已知，12k k k k n k Z trA λλλ+∀∈=+++=令12,,,t λλλ为A 的不为0的特征值,且t λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =由（）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩（）由于方程组（）的系数行列式为122221212121212121111()t t t tttttttt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又因为()t i i ,,2,1 =λ互不相同且不为0，0≠B , 从而知，方程（）只有0解，即()t i n i ,,2,10 ==即A 没有非零的特征值所以A 的特征值全为0,由性质1,得A 为幂零矩阵得证.性质3：若A 为幂零矩阵，则A的若尔当标准形J 的若当块为幂零若尔当块，且J 的主对角线上的元素为0.证明：因为A 为幂零矩阵，再由性质1，知A 的特征值全为0. 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中11ii i J λλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为()s i n i,,2,1 =.由引理4，知()s i i ,,2,1 =λ为J 的特征值.又因为A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值. 所以()s i i ,,2,10 ==λ 即J 的主对角线上的元素全为0.由引理8，知()()()s i J E J i i n i n i ,,2,100 ===⋅-, 故S J J J ,,,21 为幂零矩阵,得证.性质4：若A 为幂零矩阵，则A 必然不可逆但有A E +及A E -可逆， 且1,1A E E A +=-=其中E 为单位矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵，所以k Z +∃∈使0k A =.故00kk A A A ==⇒=,A 必然不可逆.由性质1，得A 的特征值为120n λλλ====由引理7， 得A E +,A E -的特征值别离为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=所以,A E +及A E -可逆， 且有1211n n A E λλλ'''+===,1211n n E A λλλ''''''-===.即1,1A E E A +=-=,得证. 性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化. 证明：令12,,,n λλλ为A 的特征值,若A 退化，则有0A =.由引理7，得120n A λλλ==.所以至少存在00i λ=为A 的特征值，又由引理7，得0110i λ+=≠为A E +的一特征值，这与A E +为幂零矩阵矛盾,故A 为非退化，得证.性质6：若A 为幂零矩阵,B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵,所以k Z +∃∈,使0k A =.又因为AB BA =,()00k k k k AB A B B ==⋅=.所以1211231111()(1)(0)k k k mE A E A A A m m m m m---+=-+++-≠故AB 也为幂零矩阵，得证.性质7：若A 为幂零矩阵且0k A =，则有121()k E A E A A A ---=++++.证明：因为0k A =，所以k k k E E A E A =-=- 21()()k E A E A A A -=-++++.即121()k E A E A A A ---=++++.对任意0m ≠，有[()]k k k k k AmE mE A mE A m E m=+=+=+211121111()((1))k k k A m E E A A A m m m m---=+-+++-211121111()((1))k k k mE A E A A A m m m---=+-+++- 即有2111211111()((1))k k k mE A E A A A E m m m m---+⋅-+++-= 所以12111211111()((1))k k k mE A E A A A m m m m ----+=-+++-21123111(1)k k k E A A A m m m m--=-+++-性质8：若A 为幂零矩阵且0A ≠，则A 不可对角化.但对任意的n 阶方阵B ，存在幂零矩阵N ，使得B N +可对角化. 证明：因为A 为幂零矩阵，所以k Z +∃∈使0k A =且A 的特征值全为零. ()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0n f A A ==, 令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ. 从而有00()(1)k A m k n λλ=≤≤.由于0,A ≠所以01k >，又现在00()2k A m k λλ=≥，即A 的最小多项式有重根，由引理5，知A 不可对角化因为B 为n 阶方阵，由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T BT J -⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭,其中11i ii J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)i n i s =. 令iii i D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =,则有0110i i i J J D ⎛⎫ ⎪⎪'=-= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =.由引理8，知(0)()0i i i n n i n i J E J ''-⋅==,即i J '(1,2,,)i s =为幂零矩阵.现令12s J J J J ⎛⎫' ⎪⎪''= ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭,12s D D D D ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1112122s s s J D J J J D T BT J D J J D -⎛⎫'+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'+⎪'===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭'+⎝⎭， 即111()(1)B T J D T TJ T TDT ---''=+=+ 又D 为对角阵，由（1）式知11B TJ T TDT --'-=可对角化.令1N TJ T -'=- 且取12max(,,,)s k n n n =,则有120kkkk s J J J J ⎛⎫' ⎪ ⎪''==⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭,111112()()()()()00kkk k k k k k k s J J N TJ T T J T T T T T J ----⎛⎫' ⎪⎪'''=-=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵,得证.性质9：n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n 且幂零指数等于其若尔当形矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.证明:令A 为n 阶幂零矩阵,由性质3知，存在可逆矩阵T , 使得121s J J T AT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ .其中0110iJ ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,阶数为(1,2,,)in i s =，且()0i n i J =,1(1,2,,)i n n i s ≤≤=.取12max(,,,)s k n n n =，则k n ≤且有 1121112()00(1.5)k kk k k s s J J J J A T T T T T T J J ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪==== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即0k A =若令0k 为A 的幂零指数，则0k k n ≤≤,00k A =.若0k k <，则0i ∃使00i n k >且000k i J ≠. 由（）式，得0000112112()0k k k k k s s J J J J A T T T T J J --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪==≠ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这与00k A =矛盾. 故0k k n =≤,得证.性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零矩阵，且幂零指数相同并相似于严格上三角形 .证明：令A 为幂零矩阵，则A 的特征值全为0.若B 与A 相似,由引理6，得A 与B 有相同的特征值. 所以B 的特征值也全为0，由性质1，知B 也为幂零矩阵. A 为幂零矩阵由性质3知,存在可逆矩阵T,使得121s J J T AT J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 其中0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,阶数为(1,2,,)in i s =,且()0i n i J =, 1(1,2,,)i n n i s ≤≤=.由性质9，知{}12max ,,,A s k n n n =为A 的幂零指数又A 与B 相似，A 与J 相似 ,从而有B 也与J 相似所以∃可逆矩阵P ,使得121s J J P BP J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 又由性质9，知12max{,,,}B s k n n n =为B 的幂零指数,从而有A B k k =.又0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1,2,,)i s =为严格上三角,所以12s J J J J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭也为严格上三角形, 即A ,B 都相似于严格上三角形J . 得证 .性质11：若A 为幂零矩阵，则,,,A A A mA *'-()m Z +∈都为幂零矩阵，特别有2()0A *=.证明：因为A 为幂零矩阵,所以k Z +∃∈,使0k A =.由引理1，知()()00k k A A '''===,()()00k k A A ***===, ()(1)(1)00k k k k A A -=-=-⋅=. 所以,,A A A *'-都为幂零矩阵.因为()()()00k k k k mA m A m ==⋅=， 所以()mA m Z +∈也为幂零矩阵. 又因为A 为幂零矩阵，所以0A =，即()1r A n ≤-. 若()1r A n <-，则有A 的所有1n -阶代数余子式都为0. 则有0A *=,从而有2()0A A **==.若()1r A n =-，则由性质3知,存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 其中0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =且()1i i r J n =-.又显然A 与J ，所以有111()()()(1)1sssi i i i i i r A r J r J n n s n s n ======-=-=-=-∑∑∑所以1s =,即有10110T AT J B -⎛⎫ ⎪⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭. 又10(1)0n B +*⎛⎫-⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 所以2()0B *=. 由（）式及引理1，知11()()A TBT T B T *-*-***==, 21212()[()]()()0A T B T T B T *-***-***===, 得证. 性质12：设A 是为n 阶矩阵，且0k A =，则 （1）()1r k nA k -≤；（2）()()()11(1)k k k r A r A n r A ---≤≤-. 证明：因为0k =A ，由引理16知()()()()()21120k k k k k r A r AA A r A r A r A ----==≥+- （1） ()()()()()322130k k k k k r A r AA A r A r A r A ----==≥+- （2）()()()()()k k-2210k r A r AAA r A r A r A -==≥+- （3） 把上式相加取得：()()()110k k r A r A ---≤. （4） 由定理知：()()()()110k k k r A r AA r A r A n --==≥+-, 则()()1k r A r A n -+≤. 故()1k kr A n -≤,即()1k n r A k-≤. 所以()()1k r A n r A -≤-，所以()()()11k k r A r A --≤ 所以()()()()111k k k r A r A n r A ---≤≤-,得证. 性质13：设A 是为n 阶矩阵，且0k A =，则（1）k 为偶数且4≥k ，则()()12212k k r A r A -≤；（2)k 为奇数且3≥k ，则()()11212k k r A r A --≤.证明：由引理16知：()()()()21202k k k k r A r AA A r A r A ---==≥-, 即()()212k k r A r A --≥. 再由引理16知：()()()()2422402k k k k r A r A A A r A r A ---==≥- 即()()422k k r A r A --≥，由此类推， （1）k 为偶数且4≥k ，则()()()()12422111242k k k kr A r A r A r A ---≤≤≤≤.（2)k 为奇数且3≥k ， 则()()()()12412111242k k k k r A r A r A r A ----≤≤≤≤,得证.四、关于幂零矩阵的简单应用（一）、利用幂零矩阵求下列矩阵的逆1、求可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆.若矩阵A 可表示为幂零矩阵和单位矩阵的和，则可借用二项式展开定理将求矩阵A 的逆转化为单位矩阵和幂零矩阵的乘幂.例 1 4615135124A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求1A -. 解：46153615100135125010124125001A B E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中3615125125B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭3615125125B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭且有2361536151251250125125B BB --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.1110036152615()010125115001125126A B E E B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪∴=+=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例2 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 4121031200210001求1-A .解：E +B =A ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B 3121021200110000 且03=B . ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=B +B -E =B +E =A ∴--62530841200121200024241211. 2、求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆.对于主对角线元素完全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵和幂零矩阵的和.例1 ()0000000000110≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A λλλλλ 求.1A -解：B +E =A m ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B 0000000000001100且02=B . ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B -E =B +E =A ∴--λλλλλλλλλ10000100001011011122211. 例2 已知0000000000000n nx y x y A x y x ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求1A -. 解：0000000000000x y x y A x y x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10000010000001000001x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭01000001000000100000y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪+ ⎪⎪⎪⎝⎭n xE yJ =+， 其中01000001000000100000n J ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭且有0nn J =.211123()(1)n n n nn n n J J J E A xE yJ x x x x---=+=-+++- 1122211(1)10(1)00100n n n n n n y y x x x y x x x -----⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪- ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3、求可表为若尔当块的幂的矩阵和的矩阵的逆。

幂零矩阵的定义在线性代数中，幂零矩阵是一种特殊类型的方阵。

它具有一些独特的性质和特征，对于理解线性代数中的各种概念和定理具有重要意义。

幂零矩阵的定义幂零矩阵是一个方阵，其所有元素的幂次均为零。

换句话说，对于一个n×n的幂零矩阵A，对于任意i和j（1 ≤ i, j ≤ n），A的第i行第j列元素aij满足aijk=0，其中k是一个大于等于1的整数。

可以用符号表示一个幂零矩阵：A = [aij] = ⎡⎡⎡⎡⎡⎡ a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … aNN ⎡⎡⎡⎡⎡⎡其中每个元素满足aijk=0。

幂零矩阵的性质幂零矩阵具有以下重要性质：1. 幂零性质幂零矩阵的定义表明，对于幂零矩阵A中的任意元素aij，存在一个正整数k，使得aijk=0。

这意味着幂零矩阵的每个元素都有一个幂次，使得它等于零。

2. 幂零指数最小对于一个给定的幂零矩阵A，存在一个最小的正整数k，使得所有元素aijk=0。

这个最小的正整数k被称为该幂零矩阵的指数。

指数越小，说明矩阵中元素变为0所需的次数越少。

3. 幂零矩阵的乘积如果A和B是两个幂零矩阵，并且它们可以相乘（即A的列数等于B的行数），那么它们的乘积AB也是一个幂零矩阵。

具体而言，对于AB中的任意元素cij，存在一个正整数k，使得cijk=0。

4. 幂零矩阵的幂对于一个幂零矩阵A和一个正整数m，A的m次幂Am也是一个幂零矩阵。

具体而言，对于Am中的任意元素dij，存在一个正整数l，使得dijl=0。

幂零矩阵的应用幂零矩阵在线性代数中有广泛应用，特别是在理解和证明一些重要定理时起到关键作用。

以下是一些幂零矩阵的应用示例：1. 特征值和特征向量对于一个幂零矩阵A，0是它唯一的特征值。

此外，所有非零列向量都是A的特征向量，并且它们对应于特征值0。

2. 线性变换幂零矩阵可以表示一些特殊类型的线性变换。

例如，在空间中进行投影或旋转等操作时，可以使用幂零矩阵来表示这些变换。

幂零变换性质与构造方法研究幂零变换是矩阵论中的一个重要概念。

它是指存在一个正整数k，使得线性变换A的k 次幂恒为零矩阵。

幂零变换具有一些重要的性质和构造方法，本文将对其进行探讨。

一、幂零变换的性质1. 幂零变换的特征多项式为x^k。

由于幂零变换A的k次幂恒为零矩阵，因此它的特征多项式应该有x^k这一因子。

具体来说，如果A的谱是{\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m}，则它的特征多项式应该是p(x) = (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)...(x-\lambda_m)x^k。

2. 幂零变换的秩小于等于n-k。

我们可以利用幂零变换的特征多项式来证明这一点。

由于特征多项式有x^k这一因子，因此矩阵A的零空间至少包含k维。

另一方面，根据秩-零度定理，A的秩和零度之和等于n，因此其秩小于等于n-k。

根据特征多项式的定义，矩阵A的特征值为0的个数应该大于等于1，因此其行列式为零。

有两种常见的构造幂零变换的方法：Jordan标准型和上三角阵。

1. Jordan标准型给定一个n阶幂零变换A，我们可以用Jordan标准型来表示它。

Jordan标准型是指将A表示为Jordan块的矩阵形式，其中每个Jordan块是形如：J_k =[0 1 0 ... 0][0 0 1 ... 0][ ... ][0 0 0 ... 0]的矩阵。

其中，k表示该Jordan块的大小，即主对角线上连续的0的个数加1。

将A表示为一些Jordan块的直和，即可得到其Jordan标准型。

2. 上三角阵上三角阵是指矩阵A的副对角线以下的所有元素都为零。

我们可以构造一个上三角阵，使其对角线上从左到右依次为a_1, a_2, ..., a_n-k, 0, 0, ..., 0。

其中，k表示幂零指数。

根据矩阵相似的定义，如果我们能够找到一个可逆矩阵P，使得A = PBP^{-1}，那么B就是A的上三角形式。

目录摘要 (1)Abstract (1)1 引言 (2)2 预备知识 (2)2.1 概念 (2)2.1 引理 (3)3 幂零矩阵的性质 (4)3.1幂零矩阵的特性 (4)3.2 矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件 (6)3.3幂零矩阵和若尔当块 (7)3.4幂零矩阵的其他性质 (8)4幂零矩阵的应用 (11)4.1幂零矩阵在矩阵求逆中的应用 (11)4.1.1 可求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆 (11)4.1.2 求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆 (13)4.2幂零矩阵在其他方面的应用 (14)结论 (16)参考文献 (16)致谢 (18)幂零矩阵的性质与应用摘要：在高等数学中，矩阵是研究和解决问题的重要工具,幂零矩阵又是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中具有举足轻重的地位，实际应用方面也有重要的意义。

幂零矩阵具有很多好的性质，本文将深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析论证这些性质。

同时本文还给出幂零矩阵自身特有的一些性质，讨论了矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的优越性，并通过例子说明其在实际中的应用。

关键词：幂零矩阵；线性变换；逆矩阵；若尔当标准型；特征值；迹.Properties and Applications of Nilpotent MatricesAbstract: Matrix acts as a key role in studying and solving the questions in advanced mathematics. As special forms of matrix, nilpotent matrices play a key role not only in the theory of matrix but also in practical application. Nilpotent Matrices have many good properties. In the paper, we will find and prove with various methods these properties in profundity. The paper will give some unique properties of nilpotent matrices and discusses the necessary and sufficient condition of nilpotent matrices. Then the paper shows its superiority in solving inverse matrix, and explains its practical application by examples.Key words: Nilpotent matrix; Linear transformation; Inverse matrix; Jordan canonical form; Characteristic; Trace.1 引言随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。

幂零矩阵性质及应用数本041 严益水 学号：摘要：幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。

它具有一些很好的性质。

本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。

幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。

在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。

关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）（一） 一些概念1、令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵。

2、若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数。

3、设1111n n nn a a A a a ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，称1111n nnn a a A a a ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭为A 的转置， 称111*1n nnn A A A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭为A 的伴随矩阵。

其中(,1,2,,)ij A i j n =为A 中元素ij a 的代数余子式4、设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为trA 。

5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。

6、形为010(,)000001J t λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若当块，其中λ为复数，由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。

7、()f E A λλ=-称为矩阵A 的特征多项式。

满足()0f E A λλ=-=的λ的值称为矩阵A 的特征值。

n阶幂零矩阵矩阵是线性代数中的重要概念，它可以理解为一个按照一定规则排列的数表。

而零矩阵则是一种特殊的矩阵，它的所有元素都为0。

n 阶幂零矩阵可以简单理解为n行n列的零矩阵。

在本文中，我们将详细介绍n阶幂零矩阵的性质、表示方法以及一些应用。

首先，让我们来认识一下幂零矩阵的定义。

n阶幂零矩阵是一个n 行n列的矩阵，其中每个元素都为0。

换句话说，n阶幂零矩阵的所有元素都满足以下条件：矩阵的第i行第j列元素为0，其中1≤i≤n，1≤j≤n。

接下来，让我们来看一下n阶幂零矩阵的表示方法。

一种简便的表示方法是使用矩阵的行数和列数来表示幂零矩阵的阶数。

例如，一个3阶幂零矩阵可以表示为3×3的矩阵。

另外，我们也可以直接将矩阵的所有元素表示出来，如下所示：┌───┬───┬───┐│ 0 │ 0 │ 0 │├───┼───┼───┤│ 0 │ 0 │ 0 │├───┼───┼───┤│ 0 │ 0 │ 0 │└───┴───┴───┘在幂零矩阵中，每一行和每一列的元素都是0，因此在矩阵的主对角线上的元素都为0，其它元素都为0。

这是幂零矩阵的一个重要性质。

而n阶幂零矩阵的分类，可以根据其元素的个数进行划分。

一个n 阶幂零矩阵共有n×n个元素，其中所有元素都是0。

因此，n阶幂零矩阵的元素个数为n×n。

幂零矩阵在线性代数中有着重要的应用。

首先，幂零矩阵是研究矩阵性质和运算的基础。

对于矩阵的加法和乘法运算，幂零矩阵起到了重要的作用。

此外，幂零矩阵还在线性方程组的求解中有广泛应用。

矩阵的幂零性质使得线性方程组可以进行简化和求解。

幂零矩阵还在图论中有着重要的应用。

在图的邻接矩阵中，边的存在可以表示为非零元素，而边的不存在可以表示为零元素。

因此，幂零矩阵可以用于表示无向图和有向图的连接关系。

此外，幂零矩阵还在网络分析和信号处理中有着广泛的应用。

在网络分析中，幂零矩阵可以用于表示网络中节点之间的连接关系，从而进行路径分析和节点关联性分析。

幂零矩阵和幂零变换的性质及应用1引言定义1.1[1]令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵. 定义1.2[1]若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数. 定义 1.3[3]设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为1nii i trA a ==∑.定义1.4[5]形如0010(,)000001J t λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若当块，其中λ为复数，由若干个若当块组成的准对角称为若当形矩阵.定理1.1[5]设,A B 为n 阶方阵，则()()***,AB B A AB B A '''==.定理1.2[5](),()A f E A m λλλ=-分别为矩阵A 的特征多项式和最小多项式， 则有()0,()0A f A m A ==.定理1.3设12,,,n λλλ 为n 阶矩阵A 的特征值，则有12n trA λλλ=+++ ，12n A λλλ=⋅⋅ ，且对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为12(),(),,()n f f f λλλ .定理 1.4k 阶若当块11k a J a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为()k x a -且有()0kk J a E -=.定理1.5,A B 为n 阶复数域上的矩阵，若AB BA =，则存在可逆矩阵T ，使得112211n n T AT T BT λμλμλμ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪** ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.定理1.6任意n 阶,A B 方阵，有()()tr AB tr BA =.定理1.7[5]n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似A ⇔的最小多项式无重根.定理 1.8[5]每一个n 阶的复矩阵A 都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若当标准形.本文内容分为三部分，第一部分给出幂零矩阵的性质，第二部分是幂零矩阵的应用，主要给出幂零矩阵的性质应用和幂零矩阵在求逆中的应用，第三部分给出幂零变换的性质以及幂零变换与幂零矩阵的关系. 2 幂零矩阵的性质性质2.1 幂零矩阵的行列式值为零.性质2.2幂零矩阵的数乘矩阵、相似矩阵和k 次幂(k 为自然数)都是是幂零矩阵. 性质2.3若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义 1.1知存在k Z +∈使得0k A =，又因为AB BA =()00k k k k AB A B B ==⋅=，所以AB 也为幂零矩阵，所以原命题成立.性质2.4若A 为n 阶幂零矩阵，则()*,,,T A A A mA m Z -∈均为幂零矩阵，其中'A 是A 的转置矩阵，*A 是A 的伴随矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =，由定理1.1知()()00k k A A '''===，()()00k k A A ***===，()(1)(1)00k k k k A A -=-=-⋅=，所以,,A A A *'-都为幂零矩阵，又因为()()()00k k k k mA m A m ==⋅=，所以()mA m Z +∈也为幂零矩阵.性质2.5 若A 是幂零矩阵，且0k A =则 1) ()121k E A E A A A ---=++++ 2) ()()11211k k E A E A A A ---+=-+++-3) ()()111211110k k k mE A E A A m m m m---+=-++-≠ . 证明：1）因为()()21k k k k E A E A A A E A E E --+++=-== ， 所以()121k E A E A A A ---=+++ . 2) 由1）类似可得 ()()11211k k E A E A A A ---+=-+++- .3) ()111111mE A m E A E A m m m ---⎧⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭()()1111211111111k k k k kE A A E A A m m m mm m ----⎛⎫=-++-=-+- ⎪⎝⎭ ， 所以原命题1)、2)、3)成立.性质2.6 A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0.证明：（1）⇒因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =，令0λ为A 任意一个特征值，则存在00A λ∂≠∂=∂使得，由定理1.3知，0k λ为k A 的特征值，所以存在00k k A ββλβ≠=使得，从而有0k λ=0即有00λ=，又有0k A =，知00kk A A A ==⇒=则()()01100k kE A A A *-=-=-=-⋅=，所以00λ=为A 的特征值，由0λ的任意性知，A 的特征值为0.（2）⇐因为A 的特征值全为0，A 的特征多项式为()n f E A λλλ=-=，由定理1.2知 ()0n f A A ==，所以A 为幂零矩阵，所以由（1）、（2）可以得出原命题成立.性质2.7 若为A 幂零矩阵且0A ≠，则A 不可对角化但对任意的n 阶方阵B ,存在幂零矩阵N ，使得B N +可对角化.证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =且由性质2.6知A 的特征值全为零，()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0n f A A ==，令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ，从而有00()(1)k A m k n λλ=≤≤，由于00k 1A ≠>所以，又此时00(),2k A m k λλ=≥，即A 的最小多项式有重根，由定理1.7知A 不可对角化.又因为B 为n 阶方阵,由定理1.8知在复数域上存在可逆矩阵T 使得121s J J T BT J -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 阶数为(1,2,,)i n i s = ， 令i ii i D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s = ，则有0110i i i J J D ⎛⎫⎪⎪'=-= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)i n i s = ,由定理 1.4知(0)()0i i i n n i n i J E J ''-⋅==即i J '为幂零矩阵(1,2,,)i s =现令12s J J J J ⎛⎫'⎪⎪''=⎪⎪⎪ ⎪'⎝⎭，12s D D D D ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1112122s s s J D J J J D T BT J DJ J D -⎛⎫'+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'+⎪'===+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭'+⎝⎭，即()111() 2.1B T J D T TJ T TDT ---''=+=+，又因为D 为对角阵，由（2.1）式知11B TJ T TDT --'-=可对角化，令1N TJ T -'=-且取12max(,,,)s k n n n = ，则有120k kk k s J J J J ⎛⎫' ⎪ ⎪''==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭，111112()()()()()00k kk k k k kk k s J J N TJ T T J T T T T T J ----⎛⎫' ⎪ ⎪'''=-=-=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭，即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵，所以原命题成立.性质2.8 A 为幂零矩阵的充分必要条件是对任意的自然数0k k trA =，都有. 证明：（1）⇒因为A 为幂零矩阵,所以A 的特征根()1,2,,i i n λ= 全为0，由定理1.3知对任意的自然数k 有k A 的特征值0,1,2,k i i n λ== ,所以()120k k k k n tr A λλλ=+++= .（2）⇐设A 的特征根为,1,2,,i i n λ= ,所以对任k Z +∈有120k k k k n trA λλλ=+++= (2.2),令12,,,t λλλ 为A 的不为0的特征值且i λ互不相同，重数为i n ()1,2,,i t = 由（2.2）式及定理1.3得方程组()1122222112233311221122000 2.30t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩,由于方程组（2.3）的系数行列式为122221212121212121111(),t t t tt ttt ttt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又(1,2,)i i t λ= 互不相同且不为0，所以0B ≠，从而知方程组（2.3）只有零解，即0(1,2,,)i n i t == ，即A 没有非零的特征值，所以A 的特征值全为0，则由性质2.6得A 为幂零矩阵 ，所以由（1）、（2）知原命题成立. 性质2.9 若A E +为幂零矩阵，则A 非退化.证明：令12,,,n λλλ 为的特征值，若A 退化则有0A =，由定理 1.3得120n A λλλ==所以至少存在00i λ=为A 的特征值，又由定理1.3得0110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾，所以A 为非退化.性质2.10若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-=. 证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =，所以00kk A A A ==⇒=，所以A 一定不可逆，由性质2.6得A 的特征值为120n λλλ==== ，由定理1.3得,A E E A +-的特征值分别为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=且有1211n n A E λλλ'''+=== ，1211n n E A λλλ''''''-=== ，即1,1A E E A +=-= ，所以原命题成立.3 幂零矩阵的应用 3.1 幂零矩阵的性质应用例3.1.1,A B 为n 阶方阵，B 为幂零矩阵且AB BA =，则有A B A +=.证明：由定理1.5知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121n T AT λλλ-⎛⎫ ⎪* ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 121n T BT μμμ-⎛⎫⎪*⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，又因为B 为幂零矩阵由性质2.4知B 的特征值全为0， 即1000T BT -⎛⎫⎪*⎪= ⎪⎪⎝⎭，12111()n T A B T T AT T BT λλλ---⎛⎫ ⎪* ⎪+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 1211()nT A B T TA B T λλλ--*+=+=，又因为T 可逆0T ≠所以11T T-=所以 1212n nA B λλλλλλ*+==⋅⋅,由121n T AT λλλ-⎛⎫ ⎪* ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 知12,,,nλλλ 为A 的特征值由定理1.3得： 12n A λλλ=⋅⋅ ,从而得证 12n A B A λλλ+=⋅⋅= ，则有A B A +=.例3.1.2A 为n 阶方阵，求证A B C =+，B 可对角化,C 为幂零矩阵且BC CB =. 证明：由性质2.7知存在幂零矩阵N ,使得A N +可对角化,即存在可逆T ，使得121()n T A N T D λλλ-⎛⎫ ⎪⎪+=== ⎪ ⎪⎝⎭ ,即有1()A TDT N -=+- ，由性质2.4知由于N 为幂零矩阵则N -也幂零矩阵，又因为1TDT -与D 相似 ，所以1TDT -可对角化，令1B TDT -=C N =-，则有A B C =+，1B TDT -=可对角化，C N =-为幂零矩阵，又因为D为对角阵所以1111BC TDT C TT DC DC CD CDTT CTDT CB ----=======.例 3.1.3,,A B C 为n 阶方阵，且,,AC CA BC CB C AB BA ===-，证明：存在自然数0k k n C ≤=使得.证明：由于,,AC CA BC CB C AB BA ===-，所以对任意的m Z +∈有 1111111()()()()(),m m m m m m m m C C AB BA C AB C BA A C B BC AA CB CB A -------=-=-=-=-由定理1.6推广可得：11(())(())m m tr A C B tr BC A --=,1111()(()()))(())(())0m m m m m tr C tr A C B BC A tr A C B tr BC A ----=-=-=,由性质2.6得C 为幂零矩阵，所以由定义知存在0k k n C ≤=使得.所以原结论得证.例3.1.4 在复数域上n 阶方阵A 相似于对角阵等价于对于A 的任一特征值λ，有A E λ- 与2()A E λ-的秩相同.证明：⇒因为A 对角化，则存在可逆矩阵T ，使得121n T AT λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 从而有1212121222(),()()(),()n n T A E T T A E T λλλλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎪-⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪-⎪-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭所以1()T A E T λ--与12()T A E T λ--相同，即A E λ- 与2()A E λ-的秩相同.⇐由于在复数域上，存在可逆矩阵T 使得121s J J T AT J -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 阶数为(1,2,,)i n i s = ，若(1,2,,)i J i s = 不全为对角阵，则不妨令1J 不可对角化，且有1i n >，有110110n J E ⎛⎫ ⎪ ⎪-=⎪ ⎪⎝⎭ ，12100()1100n J E ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭， 从而知11n J E -的秩大于121()n J E -的秩，即有1()T A E T λ--的秩大于12()T A E T λ--的秩也即A E λ- 的秩大于2()A E λ-的秩，这与已知矛盾，所以所有(1,2,,)i J i s = 为对角阵，从而得证A 相似于对角阵.3.2幂零矩阵在求逆中的应用3.2.1可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆例3.2.1已知4615135124A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求1A -.解：46153615100135125010124125001A B E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中3615125125B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭且有2361536151251250125125B BB --⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.所以 1110036152615()010125115001125126A B E E B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.2.2主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆例3.2.2已知0000000000000n nx yxy A x y x ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,求1A -.解：因为0010000010000000100000100000000100000100000000100000nx y x y A x y x y x xE yJ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+其中01000001000000100000n J ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭且有0nn J =，所以可得211123112221()(1),1(1)10(1).00100n n n n nn nn n n n n n J J J E A xE yJ x x x x y y x x x y x x x --------=+=-+++-⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪- ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3.2.3可表为若当块幂的和的矩阵的逆例3.2.3已知21110010001n n n na a a a a A a -⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,求1A -.解：21221110010001n n n n n n n a a a a a A E aJ a J a J a --⎛⎫⎪⎪⎪==++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中01000001000000100000n n n J ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,10000010000001000001n nE ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以1010001000010001000000100010000000001n a a A E aJ E a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4 幂零变换的性质定义4.1[6]设V 是数域F 上的向量空间，σ是V 的线性变换，如果存在整数m ，使0mσ=即对任意V ξ∈，有()0mσξ=，则称σ为幂零线性变换.定义4.2[6]若σ是幂零线性变换，0t 是非空正整数集合{}|0m m Z σ+∈=中的最小正整数，则称0t 是幂零线性变换σ的幂零指数.性质4.1 设()L V σ∈,()()1,,,k ξσξσξ- 都不等于零，但()0k σξ=.则()()1,,,k ξσξσξ- 线性无关.证明：设011,,,k a a a F -∈ ，使()()()101104.1k k a a a ξσξσξ--+++=将()4.1分别12,,,k k σσσ-- 去作用()()()12101210k k k a a a a σξσξσξσξ---⎡⎤+++=⎣⎦得()100k a σξ-=,又因为()10k σξ-≠，所以00a =.同理可得0110k a a a -==== . 故()()1,,,k ξσξσξ- 线性无关.性质4.2 设n 维向量空间V 有线性变换σ及向量ξ，满足()()10,0n n σξσξ-≠=. 求证σ关于V 的某个基的矩阵是00010000010A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭证明：根据性质4.1 ()(),,,n ξσξσξ 线性无关，所以它们组成V 的一个基()()()()()()()()()()()()()()()()()()()21212211210000000000000.n n n n n n σξξσξσξσξσσξξσξσξσξσσξξσξσξσξσσξξσξσξσξ------=++++=++++=++++=++++，，，故σ关于V 的某个基的矩阵是A .性质4.3σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换当且仅当它的特征多项式的根都是零.证明：必要性 设λ是幂零变换σ的特征值，ξ是属于特征值λ的一个特征向量，则()()()()()()()()()()22322310m m m m σξλξσξσλξλσξλξσξσλξλσξλξσξσλξλσξλξ-===========由于0ξ≠，所以0m λ=，即0λ=.充分性 若σ关于V 的某个基德矩阵时A ，那么A 的特征值全部为0，所以F 上存在可逆矩阵T ，使得()1000000T AT -**⎛⎫⎪* ⎪= ⎪⎪⎝⎭上三角矩阵故10000000nnT A T -**⎛⎫ ⎪*⎪== ⎪⎪⎝⎭ ,所以10000000nn A T T -**⎛⎫⎪*⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 因此0n σ=，即σ是幂零线性变换.性质4.4 如果一个幂零变换σ可以对角化，那么σ一定是零变换.证明：设σ在向量空间V 的某个基下的矩阵是A ，由题设A 可以对角化，即存在F 上的可逆矩阵T ，使得121n T AT B λλλ-⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，矩阵B 时σ在一组新基下对应的矩阵，并由性质4.3知，120n λλλ==== .即矩阵B 是零矩阵故σ是零变换.性质4.5 若σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换，则σ的特征多项式为m x . 证明：因为σ是幂零线性变换，故存在正整数m ，使0m σ=，于是m x 为σ的一个化零多项式，从而σ得特征值全为零，又m x 是首一多项式，故m x 为σ的特征多项式.性质4.6 若σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换，且σ的幂零指数为0t ，则0t n ≤，且σ的最小多项式为0t x .证明：设()m x 是σ的最小多项式，则()()()00|,t n m x x m x x t n =≤所以.由定义4.2可知0t x 为σ的最小多项式.性质 4.7 设V 是数域F 上的n 维向量空间，σ是V 的线性变换，若σ是幂零变换，则σ在某一基下的矩阵时幂零矩阵.证明：由于σ是幂零变换，即存在正整数m ，使对任意V ξ∈，有()0m σξ=. 设12,,,n ααα 是V 的一个基，σ关于12,,,n ααα 的矩阵是A .即()()1212,,,,,,n n A σαααααα=所以有()()()1212,,,,,,0,0,,0m m n n A σαααααα== .由于12,,,n ααα 是基，所以0m A =，因此A 是幂零矩阵.参考文献[1] 邹本强．幂零矩阵的性质[J]．威海职业技术学院学报,2007,12(1)：154-155 [2] 韩道兰、罗雁、黄宗文．幂零矩阵的性质及应用[J]．玉林师范学院学报,2003,24(4)：1-3[3] 谷国梁．关于幂零矩阵性质的探讨[J]. 铜陵财经专科学校学报,2001,4(1)：49-49[4] 姜海勤．幂零矩阵性质的一个应用[J]．泰州职业技术学院学报,2004,4(1)：61-62[5] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数（第二版）[M].高等教育出版社,2003[6] 张素梅、张广慧．线性变换的幂零性[J]．邯郸学院学报，2007,17(3)：30-32 [7] 李师正．高等代数解题方法与技巧[M]．高等教育出版社,2006 [8] 陈国利．高等代数选讲[M]．中国矿业大学出版社,2005[9] 杨子胥．高等代数习题集（上册）[M]．山东科学技术出版社,2004[10] 王品超．高等代数分析与研究[M] ．山东大学出版社,1994。