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矩阵等价标准形及其应用学生： 姜旭东 指导教师 ： 张姗梅（太原师范学院 数学系 数学与应用数学专业 20041011班)摘要 矩阵的等价关系是矩阵理论中最基本的一个概念，本文利用矩阵的等价标准形，给出矩阵的分解、矩阵方程、矩阵秩的讨论、以及线性方程组解的理论.本文给出了矩阵的满秩分解定理,并通过例子给出求矩阵满秩分解的方法；并举例分析了有关矩阵分解的若干问题；本文利用矩阵的等价标准形讨论了矩阵方程，对系数矩阵为n m ⨯矩阵的线性方程组，给出了类似于系数矩阵为可逆方阵的线性方程组的理论；本文讨论了有关矩阵秩的若干问题；从等价标准形的角度给出了齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解法.关键词 矩阵的秩 等价标准形 矩阵方程 线性方程组1、矩阵等价标准形的概念定义1、设A 、B ∈s n F ⨯，如果A 经过有限次初等变换可以变成B ，则称A 与B 是等价的.显然，矩阵的等价关系是s n F ⨯上的一个二元关系,可以证明，这种关系具有反身性，对称性，传递性。
因此,由矩阵的等价类组成的集合是s n F ⨯的一个分类.由于矩阵的初等变换可以利用初等矩阵及矩阵的乘法来实现，且一个矩阵可逆的充要条件是它可以表示成一些初等矩阵的乘积，因此有：定理1、A 、B ∈ s n F ⨯，则A 与B 等价的充分必要条件是存在数域F 上的s 阶可逆矩阵P 与n 阶可逆矩阵Q ，使PAQ=B.证明:见北大版《高等代数》。
P190定理6和推论1.在每一个等价类中，我们希望选取一个代表，它不但具有这一类中矩阵的一些特征，且其形式是最简单的，那么这个形式简单的代表就有了较高的应用价值，我们把它叫做矩阵的等价标准形。
定理2、设A ∈s n F ⨯,且r(A)=r ，则A 与000r s n I ⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦等价，000rs nI ⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为矩阵A 的等价标准形，如果r(A ）=0,则A 的等价标准形是零矩阵。
定理3、设A ，B ∈s n F ⨯，则A 与B 等价的充分必要条件是r(A)=r （B ）.这个定理说明了，同一等价类中的矩阵，由于它们彼此等价，故有相同的秩，反过来，s n F ⨯中秩相同的矩阵必在同一等价类中因此得到：推论1、集合s n F ⨯中，秩为r 的所有矩阵恰好组成一个等价类，其中0≤r ≤min{s ，n ｝;从而s n F ⨯一共有min{s ，n ｝+1个等价类.推论2、设A ∈s n F ⨯，且r （A)=r （≠0），则存在数域F 上的s 阶可逆矩阵P 与n 阶可逆矩阵Q ，使得A=P 000r s nI ⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦Q.2、矩阵等价标准形的应用由于在数域F 上的 s ⨯n 矩阵集合s n F ⨯中，同一等价类的矩阵有相同的秩,且具有相同秩的矩阵在同一等价类中，因此矩阵的秩是集合 s n F ⨯在等价关系下的完全不变量，从而在研究有关矩阵的一些问题时,我们就可以先求出矩阵A 的等价标准形D ，由于矩阵D 的形式比较简单,它的性质容易研究，由此可以了解矩阵A 的性质。
矩阵的标准形矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
而矩阵的标准形则是对矩阵进行特征分解的一种形式，通过标准形可以更好地理解和描述矩阵的性质和特点。
本文将介绍矩阵的标准形及其相关概念。
首先，我们来看一下矩阵的定义。
矩阵是由m行n列元素组成的矩形数组，通常表示为A=[aij]m×n。
其中，aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵可以进行加法、数乘和乘法等运算，具有很强的代数性质。
接下来，我们介绍矩阵的相似性。
两个n阶矩阵A和B称为相似矩阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P-1AP=B。
相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。
相似矩阵在矩阵的相似变换和对角化等问题中有着重要的作用。
然后，我们引入矩阵的特征值和特征向量。
设A是n阶矩阵，如果存在一个数λ和一个非零向量X，使得AX=λX成立，则称λ是矩阵A的特征值，X是对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们可以帮助我们理解矩阵的变换规律和特征。
接着，我们介绍矩阵的对角化。
对角化是一种重要的矩阵相似变换，通过对角化可以将一个矩阵化为对角矩阵的形式。
具体地，设A是n阶矩阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P-1AP=Λ成立，其中Λ是对角矩阵，则称矩阵A是可对角化的。
对角化可以简化矩阵的运算和分析，是线性代数中的一个重要概念。
最后，我们来介绍矩阵的标准形。
设A是n阶矩阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P-1AP=J成立，其中J是特殊形式的矩阵，则称J是矩阵A的标准形。
常见的标准形包括实标准形、实规范形、实若当形、复标准形等。
不同的标准形反映了矩阵的不同性质和结构，对于矩阵的分析和运用具有重要的意义。
总之，矩阵的标准形是矩阵理论中的一个重要内容，它可以帮助我们更好地理解和描述矩阵的性质和特点。
通过对矩阵的特征值、特征向量、相似性和对角化等概念的理解，我们可以更深入地研究矩阵的标准形及其应用。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
矩阵的若尔当标准型矩阵的若尔当标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它能够将一个任意的矩阵通过相似变换转化为一个特定的形式，从而更好地理解和分析矩阵的性质和特点。
在本文中，我们将深入探讨矩阵的若尔当标准型的定义、性质及其应用。
首先，让我们来了解一下什么是矩阵的若尔当标准型。
对于一个n阶矩阵A，如果存在非奇异矩阵P，使得P^-1AP能够转化为若尔当形矩阵，即：P^-1AP = J = diag(J1, J2, ..., Jr)。
其中，J1, J2, ..., Jr是若尔当块，它们的形式为：Ji = λiI + Ni。
其中，λi是矩阵Ji的特征值，I是单位矩阵，Ni是上三角矩阵，它的非零元素只能在主对角线的上一条对角线上。
这样的矩阵J就是矩阵A的若尔当标准型。
接下来，我们来看一下矩阵的若尔当标准型的性质。
首先，若尔当块对应于矩阵的特征值和特征向量，它能够将矩阵A分解为一些简单的形式，更好地理解矩阵的结构。
其次，若尔当标准型是相似对角化的一种特殊形式，通过相似变换可以将任意矩阵转化为若尔当标准型，这为矩阵的分析和计算提供了便利。
最后，若尔当标准型还具有唯一性，即对于一个给定的矩阵A，它的若尔当标准型是唯一的，这为矩阵的性质和特点分析提供了确凿的依据。
矩阵的若尔当标准型在实际应用中有着广泛的意义。
首先，它能够简化矩阵的运算和分析，将复杂的矩阵转化为简单的形式，更好地理解和应用线性代数的理论。
其次，若尔当标准型在矩阵的对角化和相似变换中起着重要的作用，它为矩阵的求解和计算提供了便利。
最后，若尔当标准型还能够帮助我们更好地理解矩阵的特征值和特征向量，从而更深入地理解线性代数的概念和方法。
综上所述，矩阵的若尔当标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它能够将复杂的矩阵通过相似变换转化为简单的形式，更好地理解和分析矩阵的性质和特点。
它具有唯一性、简化性和广泛的应用价值，是线性代数中的重要内容之一。
希望本文能够帮助读者更好地理解和应用矩阵的若尔当标准型，进一步深入学习和研究线性代数的理论和方法。
复矩阵的Jordan 标准形的性质及应用学生姓名：李英红 指导教师：周芳（太原师范学院 数学系0802班 2008101217）摘要：任意一个矩阵并非都与对角矩阵相似，当一个矩阵不能与对角矩阵相似时，可以找到一个比较简单的类似于对角矩阵的矩阵与它相似。
本文主要介绍相似于一个简单的类似对角矩阵的性质和应用，对于今后的学习有很大的帮助。
关键词：对角矩阵 若当标准形 幂零矩阵 相似 正文1、 定义 形如11i ii ii i m mJ λλλ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭ 的方阵称为i m 阶的Jordan 块,i c λ∈,通常记为()i n i J λ.2、 定义若当形 由若干个Jordan 块组成的准对角阵12s J J J J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为Jordan 标准形。
定理1 复数域c 上两个n 阶矩阵A 和B 相似E A E B λλ⇔--与等价证明 ""⇒若A 和B 相似,存在可逆矩阵T ,使得1B T AT -=,所以1()E B T E A T λλ--=-,因而E A E B λλ--与等价.""⇐E A E B λλ--与等价,则有相同的不变因子,相同的初等因子,则可推得A 和B 相似.定理2 (Jordan 标准形定理)每个n 阶的复矩阵A 都与一个Jordan 标准形相似,这个Jordan 标准形除了其中Jordan 块的排列次序外被A 唯一决定，记为A J .证明 设n 阶的矩阵A 的特征矩阵E A λ-的 初等因子为1212(),(),,()sk kks λλλλλλ--- (2.1)令11i ii ii i m mJ λλλ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 并令12s J J J J ⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，则E J λ-的全部初等因子也为（2.1）式 则A 和J 相似推论1 复矩阵A 与对角矩阵相似⇔E A λ-的初等因子都是一次的。
摘 要矩阵的若当标准形的求解方法在代数中有着极其重要的作用，在计算行列式、求矩阵的方幂、矩阵的分解、解微分方程等问题中都有重要的应用.此外，矩阵的若当标准形理论在力学和计算方法中是一个非常重要的工具.但是，在众多的教科书及包含矩阵理论的著作中，对矩阵的若当标准形的求解方法及其相似变换矩阵的介绍并不全面，所以显得这部分内容比较的简单，不容易被学生所重视.本论文首先阐述了矩阵的若当标准形的求解方法的背景、意义、研究现状、相关概念和性质定理，然后对矩阵的若当标准形的求解方法进行归纳和总结，并给出具体例题以便详细说明每一种解法的步骤与特点.同时，对各种方法进行比较，指出各种方法的优缺点和适应性，以期待能够帮助读者在解决与矩阵的若当标准形的求解有关题目时能够选择使用适当的方法，从而提高解题的效率；最后，鉴于矩阵的若当标准形在“矩阵方程论”、“矩阵函数论”以及“常微分方程”和“现代控制论”中都有广泛的应用，所以对矩阵的若当标准形的应用进行总结，并给出具体实例，强调理论联系实际的重要性.此外，利用所总结的矩阵的若当标准形的求解方法及其应用，教学者能更深刻地向学生展示数学方法的多样性与统一性，进一步培养学生的发散性思维，使学生能更深刻地理解数学之美.关键词：矩阵，若当标准形，计算方法，应用AbstractHow to get the Jordan Canonical form of a matrix has an extremely important role in the algebra. The Jordan Canonical form of a matrix can be used in calculating the determinant, the power of matrices, the decomposition of matrices, the solution of differential equations and so on. In addition, the Jordan Canonical form of a matrix is also a very important tool in mechanics and computational methods. However, the methods to get the Jordan Canonical form of a matrix are not elaborated in many textbooks and books include matrix theory. In this paper, the background, the significance of research, the nature of the relevant concepts and theorems with respect to the Jordan Canonical form of a matrix are given firstly. And then, the methods to get the Jordan Canonical form of a matrix are summarized and concluded, and there is a specific example of each method to help the readers understand the method. At the same time, comparisons of various methods are given. Finally, in view of the Jordan Canonical form of a matrix is wide used in the "matrix equation"、 " matrix function of "、" Ordinary Differential Equations "and" modern control theory ", the application of the Jordan Canonical form of a matrix are summarized. Furthermore, this paper can be used to help teachers show students the diversity and unity of mathematical methods and the beauty of mathematics.Key words:Matrix，Jordan Canonical form，solution，application目 录第一章 前言 (1)1.1 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的背景及意义 (1)1.2 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的研究现状 (1)1.3 论文的结构安排 (2)第二章 矩阵的若当标准形的相关概念与结论 (3)2.1 基本概念的介绍 (3)2.2 若当块、若当标准形的定义和性质 (4)2.3 矩阵的若当标准形的基本定理 (5)第三章 矩阵的若当标准形的计算方法 (6)3.1 初等因子方法一 (6)3.2 初等因子方法二 (7)3.3 特征值方法一 (8)3.4 特征值方法二 (10)3.5 行列互逆初等变换法 (11)3.6 λ-矩阵初等变换法 (12)3.7 初等相似变换法 (14)3.8 幂零矩阵的若当标准形求法 (16)3.9 可分块矩阵的若当标准形的求法 (17)第四章 矩阵的若当标准形的应用 (19)4.1 在计算矩阵多项式中的应用 (19)4.2 在矩阵的高次幂计算中的应用 (20)4.3 在证明过程中的应用 (22)4.4 在解线性微分方程组中的应用 (25)第五章 总结 (27)参考文献 (28)致 谢 (29)声 明 (30)第一章 前 言1.1 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的背景及意义在高等代数和线性代数中，矩阵的理论与方法贯穿于行列式、线性方程组、线性空间、线性变换、二次型等各个方面，高等代数的许多问题都可以转化为相应的矩阵问题来处理.同时矩阵也是许多其他数学分支和学科中研究问题的重要工具.若当标准形定理是矩阵标准形理论的一个重要定理.矩阵的若当标准形在计算行列式、求矩阵的方幂、矩阵的分解、求解微分方程等数学问题中都有重要的应用.此外，矩阵的若当标准形理论在力学及其计算方法中也是一个非常重要的工具.鉴于矩阵的若当标准形在各个领域的重要性，讨论、归纳和总结矩阵的若当标准形的计算方法及矩阵的若当标准形的应用是有必要的，且具有一定的理论和实际意义.希望通过对若当标准形的的多种计算方法的总结和比较，加深笔者和读者对矩阵的若当标准形的理解和认识，进一步培养笔者和读者的发散性思维，从而有助于今后更好地利用该方法解决各类实际问题.1.2 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的研究现状若当标准形是矩阵理论中不可缺少的部分，在研究矩阵若当标准形的过程中，大多是以矩阵若当标准形的基本定理[1]出发，即：每个n阶的复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A唯一确定的，它称为A的若当标准形.这个定理是计算矩阵的若当标准形各种方法的理论基础.根据这个基本定理和其他定理，能够得出其他的推论[2,3]，如：复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的初等因子全为一次的.求解矩阵的若当标准形的最常见的方法是初等因子法、特征值法和初等变换法.初等因子方法是最为基础的求解矩阵若当标准形的计算方法.[4]中介绍了两种初等因子法求矩阵若当标准形的详细步骤，并给出简单的例子进行说明.文献[4～7]中介绍的求矩阵的若当标准形的方法是特征值法，该方法也是比较基础的计算方法.两种方法都是先求出矩阵的特征值，之后再根据不同的方法来求解矩阵的若当标准形。
矩阵的若尔当标准型及简单应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN矩阵的及若尔当标准型及简单应用摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。
矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。
每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。
对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。
本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。
关键词：若尔当线性变换矩阵标准定义1：设λ是一个复数，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλλ1000..................00 (1000)...0100 (00)，其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的λ一个若尔当（或若尔当块）. 当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 ：设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同特征值，那么存在V 的一个基，σ关于这个基的矩阵有形式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k B B B 0021这里i B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i is i i J J J 0021，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i =证： 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的特征值，kr r r ,...,,21是正整数。
又iV =kerVi r i ∈=-ξλσ{)(｜)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：iis i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间),...2,1(i ij s j W ==里，取一个循环基，凑成i V 的一个基，那么i τ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i is i i i N N N N 0021这里),...,2,1(i ij s j N -是幂零若尔当块。
矩阵的标准形矩阵的标准形是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和处理矩阵的性质和特点。
在本文中，我们将深入探讨矩阵的标准形，包括它的定义、性质和应用。
首先，让我们来看一下矩阵的标准形是什么。
矩阵的标准形是指通过相似变换将一个矩阵转化为某种特定形式的过程。
这个特定形式通常具有简洁的结构，可以更好地展现矩阵的特点。
在实际应用中，我们经常需要将矩阵转化为标准形，以便进行进一步的分析和计算。
接下来，让我们来讨论一下矩阵的标准形有哪些常见的类型。
在线性代数中，我们经常会遇到对角形、上三角形和若当标准形等。
对角形矩阵是指只有主对角线上有非零元素的矩阵，上三角形矩阵是指主对角线以下的元素全为零的矩阵，而若当标准形则是一种更为一般化的形式，可以将矩阵分解为若干个特征块的直和。
这些标准形在不同的情况下具有不同的意义和应用，我们需要根据具体的问题选择合适的标准形进行转化。
那么，矩阵的标准形有什么应用呢？矩阵的标准形在很多领域都有着重要的应用，比如在线性方程组的求解、矩阵的对角化、矩阵的相似变换等方面。
通过将矩阵转化为标准形，我们可以更方便地进行矩阵的运算和分析，从而解决实际问题。
此外，矩阵的标准形也为我们提供了一种更加直观和简洁的方式来理解和描述矩阵的性质，有助于我们深入学习和研究线性代数的相关知识。
在实际操作中，我们可以通过一系列的相似变换，将一个矩阵逐步转化为标准形。
这个过程通常涉及到矩阵的特征值、特征向量等概念，需要我们对线性代数有一定的了解和掌握。
通过适当选择相似变换的方式和顺序，我们可以将矩阵转化为最简洁、最易于处理的标准形，从而更好地解决实际问题。
总之，矩阵的标准形是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和处理矩阵的性质和特点。
通过将矩阵转化为标准形，我们可以更方便地进行矩阵的运算和分析，解决实际问题。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：复矩阵若当标准形的性质与应用姓名：廉换霞学号：410401143莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级2007年6 月 25 日复矩阵若当标准形的性质与应用数本041 廉换霞 410401143摘要：若当标准形有广泛的应用。
本文首先给出了若当形矩阵的定义和若当标准形的一些性质及相关例题。
然后讲到其应用。
若当标准形在“矩阵分解论”、“矩阵方程论”，在解线性递推关系式等等中都有它的应用，我们通过一些例题来说明。
最后，利用若当标准形的性质给出了哈密尔顿——凯莱定理的另一种证法。
关键词：若当形矩阵 若当标准形 初等因子 可逆阵 哈密尔顿——凯莱定理一、 定义及性质1、若当形矩阵的定义 形式为1(,)1t tJ t λλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 的矩阵称为若当块，其中λ是复数。
由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。
特别地一级若当块就是一级矩阵，因此若当形矩阵包括对角矩阵。
2、若当标准形的性质性质一 若当形矩阵除去其中若当块排列次序外，被它的初等因子惟一决定。
此性质可用于求矩阵的若当标准形。
例1 求矩阵126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的若当标准形解：首先求E A λ-的初等因子2221260132100130110111141140132100100011010002100(1)E A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+--+-+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=-→--+→--+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--+→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭因此，A 的初等因子是1λ-，2(1)λ-，A 的若当标准形是100010011J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭性质二 一个若当形矩阵的全部初等因子就是它的全部若当块的初等因子的汇集。
例2、设复准对角12S A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中i A 是i n 阶方阵，1,2,,i s = 。
证明：A 的初等因子是各个i A （1,2,,i s = ）初等因子的汇集。
证明：因对于各个子块i A ，都有i n 阶可逆矩阵i Q ，使得11,2,,i i i iQ AQ J i s -==这里i J 是i A 的若当标准形，令12S Q Q Q Q ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则Q 是n 阶可逆矩阵，且121S J J Q AQ J J -⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由若当标准形的唯一性，J 是A 的若当标准形，每个i J 就是J 的若当块，由性质二，J 的初等因子是个各个()1,2,,iJ i s = 初等因子的汇集。
因为i iA J A J ，相似矩阵有相同的初等因子，所以A 的初等因子是各个()1,2,,i A i s = 初等因子的汇集。
性质三 每个n 级的复数矩阵A 都与一个若当矩阵相似，这个若当矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的，它称为A 的若当标准形。
此性质在解题中有广泛的应用。
例3、证明任意n 级复矩阵A 与它的转置'A 相似。
证明：由性质3，存在可逆矩阵P 使得()()()12121r t t t r J J P AP J λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故()()()12121r t t t r J J A P P J λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭令111n E ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则2n E E = ，所以1nn E E -=()()1'1111111i i i iiin t i nt iii E J E J λλλλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得()()()1''1,2,,i i i t i n t i n n t i n J E J E E J E i r λλλ-===所以()()()()()()1212'1'21'''121''1'1''1'()()()()()r r t t t r t t n n t r n n n n J J A P PJ J J P E E P J P E P AP E P P E P A P E P λλλλλλ-----⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭==故'A A例4、证明：n 级复矩阵A 的n 个特征值是1,,n λλ ，则对于任一复系数多项式()g λ，矩阵A 的多项式()g A 的n 个特征值是1(),,()n g g λλ证明：设()10m m g a a a λλλ=+++ ，则()10m m g A a A a A a E =+++ 。
由于性质三，存在可逆阵P ，使得121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪* ⎪⎝⎭于是()()()11101110101221012()()()()m m mm m mm m n n n P g A P P a A a A a E P a P AP a P AP a Ea a a a a g g g λλλλλλλλλ----=+++=+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪** ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎪= ⎪* ⎪⎝⎭由于相似矩阵具有相同的特征值，故()g A 的特征值是1(),,()n g g λλ 。
补充 可逆阵P 的求法由性质三，对任意n 级复矩阵A 都存在一个可逆阵P ，使得()11P AP J-=由()1可知()()122s AP PJ Pdiag J J J == ，，，把变换矩阵P 按若当块i J 的阶数i n 进行相应的分块，即记()12s P P P P = ，，，，其中i i n n i P C ⨯∈，因此()()()121212s s s A P P P P P P diag J J J = ，，，，，，，，，故()()121122,s s s AP AP AP P J P J P J = ，，，，， 比较上式两端，得()1,2,,3i i iAP PJ i s==对i P 按列分块()12,,n ii i i i P X X X = ，其中12,,n ii i i X X X 是i n 个线性无关的n 维列向量，代入()3可得()112223114n n ni i i n ni i i i i i i i i ii i i i i i i AX X X AX X X AXX X AX Xλλλλ--⎧=+⎪⎪=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎪⎩由最后一个方程看到，列向量n ii X 是矩阵A 的特征值为i λ所对应的特征向量，且由n ii X 继而可求得211,,,n i i i i X X X - ，因此，矩阵i P 以至P 都可求得。
但需要注意的是：特征向量n ii X 的选取要保证1n i i X -可以求出，类似地1n i i X -的选取也要保证2n i i X -可以求出，如此等等。
例5、已知126103114A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭求A 的若当标准形和可逆矩阵P ，使1P AP J -=。
解：先求A 的初等因子()222126114131311412611411401101101320021100010001E A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→--+→--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+--+-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭所以A 的初等因子为()21,1λλ--A 的若当标准形11011J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是存在33P C ⨯∈，满足AP PJ =，令()123,,P X X X = ，得()()1231231,,,,1011AX AX AX X X X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭比较上式两边，得：1122333,,AX X AX X X AX X ==+= 即()()()12330,,0E A X E A X X E A X -=-=--=由此可见，1X ，3X 是A 的特征值为1的两个线性无关的特征向量，解方程组()0E A X -= ，可求得两个线性无关的特征向量为()'1,1,0ξ=-，()'3,0,1η=，取1X ξ=，但不能简单地取3X η=，因为3X 还要保证非齐次线性方程组()23E A X X -=-有解。
因此，选取1X ξ=，312X k k ξη=+，其中12,k k 要保证1X 与3X 线性无关，且使得()23E A X X -=-有解。
因()'31212123,,X k k k k k k ξη=+=-+，即选取12,k k ，使方程组()1122213323226113113x k k E A X x k X x k -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 有解。
不难知，当12k k =时，方程组有解，且其解为12313x x x k =-+-1k 为非零任意常数，取11k =，这时得：()()''322,1,1,2,0,1X X ==于是122101011P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 容易验证111011P AP -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭性质四 n 级若当块()1,1a a J a k a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为()kx a -。
性质五 设ϕ是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，在V 中必定存在一组基，使ϕ在这组基下的矩阵是若当形的，并且这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被ϕ唯一决定的。
性质六 设ϕ是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，()()()1212,,,k rr r k λλλλλλ--- 是ϕ的初等因子组，则V 可分解为k 个不变子空间的直和：12k V V V V ∙∙∙=+++其中i V 的维数等于i r 。
证明：设V 是n 维复线性空间，ϕ是V 上的线性变换。
设ϕ的初等因子组为()()()1212,,,kr r r k λλλλλλ---则性质五告诉我们，存在V 的一组基1,,{}i i n e = ，在这组基下ϕ的表示矩阵为12k J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭上式中每个i J 是相应与初等因子()ir i λλ-的若当块，其阶正好为i r ，令1V 是由基元11,,r e e 生成的子空间，则()()11111111,,,,1r re e e e λλϕλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即()()()()11111111221231111r r rr r e e e e e e e e e e eϕλϕλϕλϕλ--=+=+=+=这表示()11V V ϕ⊆，即1V 是ϕ的不变子空间。
