Jordan标准形汇总

Jordan 标准型定理的简单证明我们要说的这个证明在思想上没有什么先进之处，只是把老想法用新语言说了一遍，但是这的确是最简单的说法！定理设A是V上的幂零线性变换，则存在V的一组基使得A在这组基下的矩阵是一些Jordan 块的和。

证明：对V的维数n归纳。

n=1显然，设dimV<n时结论成立，考虑dimV=n。

这时A的像空间A(V)是V的子空间且dimA(V)<dimV，所以根据归纳假设存在A(V)中的一组基{v1,Av1,…,Aa1−1v1},{v2,Av2,…,Aa2−1v2},⋯,{vm,Avm,…,Aam−1vm}.其中Aa1v1=Aa2v2=⋯=Aamvm=0。

显然Aa1−1v1,…,Aam−1vm都属于KerA。

下面把Aa1−1v1,…,Aam−1vm扩充为KerA的一组基，比如说扩充为Aa1−1v1,…,Aam−1vm,w1,…,wr.并选取ui∈V使得Aui=vi。

我们断言向量组{u1,Au1,…,Aa1u1},{u2,Au2,…,Aa2u2},⋯,{um,Aum,…,Aamum},{w1,…,wr}构成V的一组基。

如果这一断言成立，那么A在这组基下显然就是Jordan 标准型。

注意现在Aa1u1,…,Aamum,w1,…,wr构成KerA的一组基。

这组向量的线性无关性很好证，假设这些向量的某个线性组合L等于0，两边用A作用以后，Aa1u1,…,Aamum,w1,…,wr这些项被消掉，剩下的是一个只含有v1,…,Aa1−1v1,…,vm,…,Aam−1vm的线性组合为0 的等式，所以它们前面的系数都是0，即u1,…,Aa1−1u1,…,um,…,Aam−1um这些项在L中实际上不出现，从而L中只包含Aa1u1,…,Aamum,w1,…,wr这些项。

但是这些项是KerA的一组基，所以它们前面的系数也都是0。

要证明这组向量是一组基，只要再算算维数即可。

这组向量一共有a1+⋯+am+r+m个。

矩阵Jordan 标准型简介一、什么是矩阵的Jordan 标准型►1.1 设A ，B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 存在，使得1P AP B -=,则称矩阵A 与B 相似，记为A ~B 。

►1.2 任何方阵A 均可通过某一相似变换化为如下Jordan 标准型：1122()()()s s J J J J λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中 10()10i ii i i J λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为Jordan 块。

12,,,s λλλ为A 的特征。

说明：（1）()i i J λ中的特征值全为i λ，但是对于不同的i 、j ，有可能i j λλ=，即多重特征值可能对应多个Jordan 块矩阵。

（2）Jordan 标准型是唯一的，这种唯一性是指：各Jordan 块矩阵的阶数和对应的特征值是唯一的，但是各Jordan 块矩阵的位置可以变化。

二、如何求矩阵的Jordan 标准型►2.1. 多项式矩阵（又称为λ阵）()()()()()()()()()()111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a λλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为λ的多项式矩阵，其中矩阵元素()ij a λ为λ的多项式。

►2.2. 多项式矩阵的初等变换 （1） 互换两行（列）（2） 以非零常数乘以某行（列）[这里不能乘以λ的多项式或零，这样有可能改变原来矩阵的秩和属性]（3） 将某行（列）乘以λ的多项式加到另一行（列）►2.3. 多项式矩阵的Smith 标准型：采用初等变换可将多项式矩阵化为如下形式：()()()()12000r d d A d λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中，多项式()i d λ是首一多项式（首项系数为1，即最高幂次项的系数为1），且()()12d d λλ、()()23d d λλ、、()()1r r d d λλ-，即()i d λ是()1i d λ+的因式。

线性代数中的Jordan标准型与Jordan分解在线性代数中，Jordan标准型（Jordan Canonical Form）和Jordan 分解（Jordan Decomposition）是两个重要的概念。

它们广泛应用于矩阵理论、线性变换及微分方程等领域。

本文将详细介绍Jordan标准型和Jordan分解，并探讨它们在实际应用中的价值。

1. Jordan标准型Jordan标准型是指一个线性变换或矩阵的标准形式。

对于一个n阶方阵A，如果存在可逆方阵P，使得P逆AP的形式为Jordan标准型，那么A就具有Jordan标准型。

Jordan标准型的特点是，它的主对角线由Jordan块组成，每个Jordan块对应一个特征根，而Jordan块的结构由其几何重数和代数重数决定。

1.1 Jordan标准型的计算方法要计算一个矩阵的Jordan标准型，可以按照以下步骤进行：（1）求出矩阵A的特征多项式；（2）求出A的特征值，即特征多项式的根；（3）对于每个特征值，求出其对应的特征向量；（4）根据特征向量构造Jordan块，并将它们排列在一起形成Jordan矩阵；（5）得到Jordan标准型。

1.2 Jordan标准型的应用Jordan标准型在线性代数的研究中具有重要意义。

它可以用来分析矩阵的性质，如可对角化条件、矩阵的相似性等。

此外，Jordan标准型还可以用来解决微分方程的问题，在微分方程的理论和应用中有广泛的应用。

2. Jordan分解Jordan分解是将一个矩阵分解成若干个Jordan块之和的形式。

对于一个n阶方阵A，如果可以将其分解成 A=S+D，其中S是具有零特征值的Jordan矩阵，D是具有非零特征值的对角矩阵，那么A就具有Jordan分解。

2.1 Jordan分解的计算方法要计算一个矩阵的Jordan分解，可以按照以下步骤进行：（1）求出矩阵A的特征多项式；（2）求出特征值和对应的特征向量；（3）根据特征向量构造Jordan块，并将具有非零特征值的Jordan 块排列在一起形成S；（4）构造对角矩阵D，将每个特征值放在对角线上。

【线性代数】06-Jordan标准型 现在就来研究将空间分割为不变⼦空间的⽅法，最困难的是我们还不知道从哪⾥着⼿。

你可能想到从循环⼦空间出发，⼀块⼀块地进⾏分割，但这个⽅案的存在性和唯⼀性都不能解决。

不变⼦空间分割不仅要求每个⼦空间V'是不变的，还隐含要求V'之外元素的像不落在V'中，这⼀条就导致从局部开始分割的⽅案是⾏不通的。

另外，这种⽅法也⽆法保障分割的唯⼀性，因为分割过程依赖每个⼦空间的选取。

1. 化零多项式 看来还是得从全局出发，期望找到某个属性，它能将空间完美分割。

那么⾸先要将整个空间V放置在\mathscr{A}的某个属性下，然后按这个属性再进⾏细分。

这⼀步该如何跨出是很艰难的，想必历史上也并不是⼀蹴⽽就得来的。

前⾯我们已经做了⼀些简单的铺垫，最重要的⼀个是，变换的多项式所具有的不变⼦空间。

你可能问过⾃⼰，对⼀般的变换，是否有对其成⽴的恒等式？如果可以在多项式中找到这个等式就更好了。

想法是很好的，但在⾛向结论时却需要⼀个巧妙的构造，我不知道数学家们是如何得到的，毕竟⾃⼰的素养还不够。

回顾特征矩阵\lambda I-A，你既可以把它看成是矩阵系数的多项式，也可以看成是以多项式为元素的矩阵。

但在所有的变形中，其实我们默认\lambda是域K中的元素，⽽不是任意的不定元。

所以变形得到的等式也不能草率地当作⼀般多项式看待，尤其不能随便⽤⼀个矩阵带⼊到式⼦中，这⼀点⼀定要弄清楚。

但庆幸的是，还真有⼀个特殊情况，矩阵是可以代⼊多项式等式的。

考察特征矩阵的任意⼀个等式（1），展开左式并对应到右式，得到⼀系列等式（2）。

等式两边分别乘上I,A,A^2,\cdots并相加，就得到0=f(A)，这就仿佛是将矩阵A代⼊了等式（1）。

但这种代⼊⼀般是很难成⽴，它是得益于特征矩阵的特殊形式，我们可以把这个有趣的性质当做结论，(\lambda I-A)g(\lambda)=(\lambda I-A)(\lambda^mB_m+\lambda^{m-1}B_{m-1}+\cdots+B_0)=\lambda^nC_n+\lambda^{n-1}C_{n-1}+\cdots+C_0=f(\lambda)\tag{1}-AB_0=C_0;\;B_0-AB_1=C_1;\;B_1-AB_2=C_2;\cdots B_{n-1}-AB_n=C_n;\;B_n-AB_{n+1}=0;\cdots B_m=0\tag{2} 特别地，取g(\lambda)为\lambda I-A的伴随矩阵，等式右边就是\varphi(\lambda)I，从⽽有Hamilton-Caylay定理成⽴（公式（3），请参考抽象代数多项式⾥的余数定理）。

乔丹1到23代介绍乔丹1到23代是以迈克尔·乔丹（Michael Jordan）为名的篮球鞋系列。

这个系列的鞋款是由尼克斯公司Nike于1984年推出，并持续发展至今。

每一双鞋都以乔丹在NBA生涯中不同阶段创造的历史时刻为灵感，融合了先进的技术和设计，成为篮球鞋界的经典之一、以下是乔丹1到23代的介绍：1. Air Jordan 1（1984年）：乔丹系列的首款鞋款，由Peter Moore设计，设计灵感来自乔丹所穿的Nike篮球鞋。

鞋身采用真空吸塑技术制成，鞋帮采用高帮设计，配备优秀的支撑性和抓地力。

2. Air Jordan 2（1986年）：这款鞋的设计灵感来自意大利时尚产业，带有一些高级皮革材质，鞋身没有Nike Swoosh标志。

这种设计可使鞋子在乔丹的地面表现方面提供更好的灵活性。

3. Air Jordan 3（1988年）：这是一款具有革命性的鞋款，是Tinker Hatfield设计的，也是第一款携带"Jumpman"标志的鞋款。

同时，它也是第一款由可见气垫技术Air Sole提供缓震功能的篮球鞋。

4. Air Jordan 4（1989年）：这款鞋款在外观上更注重细节，带有网状设计的鞋身，搭配了后跟的马达胆，提供了更好的稳定性。

5. Air Jordan 5（1990年）：这款鞋的设计灵感来自于乔丹在飞人之夜比赛中的表现。

它采用了透明外底，具有更好的抓地力。

鞋舌上的23标志和发带设计是其最大的亮点之一6. Air Jordan 6（1991年）：这款鞋是乔丹首次赢得总决赛MVP头衔时所穿的鞋款。

它采用了两个可拆卸的带扣，同时也是乔丹第一次在鞋舌上加入"Jumpman"标志。

8. Air Jordan 8（1993年）：这款鞋是乔丹第三次夺得总冠军时所穿的。

它的设计灵感来自乔丹的座驾法拉利和鞋舌上的一个亮点是手持篮球的"Jumpman"标志。