具有幂条件的矩阵类的研究与Jordan标准形

矩阵的Jordan 标准型介绍——Jordan 标准型是相似意义下零元素最多的矩阵吗？线性代数中的一个核心的结果(见[1,2])是Jordan 标准型定理：任何一个复数域上的方阵A 都相似于一个Jordan 矩阵1122()((),(),,())J A diag J J J σσλλλ=…，其中11()1i i i i i i J λλλλλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，1,2,,i σ=…，i λ为矩阵A 的特征值。

(注意：对i ，可能有j j ≠i λλ=成立)对于Jrodan 块的置换来说，Jordan 标准型是唯一的(见[2])。

由线性代数中的内容已知，所有与A 相似的矩阵都有与A 置换意义下相同的Jordan 标准型。

那么所有与A 相似的矩阵(包括A )中，是不是含有0元素最多的矩阵呢？答案是否定的。

例如：取()J A 0201100001000010A −⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则，11000100()00110001J A −⎛⎞⎜⎟−⎜=⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟A 有11个0元素，却只有10个0元素。

()J A 通过观察我们还能发现，矩阵A 的主对角线元素都为0，而且去掉主对角元素以后A 含有7个0元素，而则仍含有10个0元素，那么我们就要问：所有与()J A A 相似的矩阵(包括A )中，是不是含有非主对角线0元素最多的矩阵呢？答案是肯定的。

文献[3]给出了证明。

()J A参考文献[1]. R.A. Brualdi, The Jordan canonical form: an old proof, Amer. Math. Monthly 94(1987) 257–267.[2].R.A. Horn, C.R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985,121–127 and 150–153.[3].R. A. Brualdi, P. Pei, X. Zhan, An extremal sparsity property of the Jordancanonical form, Linear Algebra Appl. 429(2008) 2367-2372.。

第2章 λ-矩阵与矩阵的Jordan 标准形 （详解）2-1 解:仿教材例2.1.1-例2.1.42-2 证：判断下面的两个λ-矩阵100100a a a λλλ--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦与0000a a a λελελ--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦是否等价.容易求出这两个λ-矩阵的不变因子均为31,1,()a λ-相似.评注：数字矩阵的相似问题完全可以转化为λ-矩阵的等价问题.2-3 证：只需判断λ-E A 与λ-E B 是否等价.对于λ-矩阵1010111a a a λλλ⨯--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 其不变因子为101,1,()a λ-；对于λ-矩阵1010111a a a λλελ⨯--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 其不变因子为101,1,()a λε--.显然A 与B 不具有相同的不变因子，从而A 不相似于B.2-4 证：用反证法.假设A 可以对角化，于是存在可逆矩阵P 使得11n λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP 由于0kA =，所以11()0k k n λλ-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A P P 即10k k n λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由此可知120n λλλ====，故100-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP 这表明0A =，这与0A ≠矛盾.2-5 证：只要证明A 的每一个Jordan 标准形为1211,1i iiii s i n n a a a ⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦J J J J J 那么存在相似变换矩阵P 使得1-=P AP J .因此1k k -==J P A P E于是有111ik k ii k k iiki k k i k i a ka a ka ka a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J E故i J 必为一阶子块，即s n -.所以A 与对角矩阵相似.2-6证:设A 的若当标准形为11,1ii s i J J J J λλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1J Q AQ -=,由2A A =有2J J =,从而i J 都是一阶的,再利用矩阵的初等变换调整对角线上的元素,得证.2-7解:仿教材上的例题.2-8解:仿教材上的例题.2-9 解：用两种方法求解此题.方法一 相似变换矩阵的方法.对于任意一个可逆矩阵P ，矩阵1-PJP 均与矩阵J 相似，从而其Jordan 标准形必为J ，于是任取两个不同的可逆矩阵P ，即可得到两个矩阵A ，B .方法二 矩阵秩的方法.设A （或B ）的Jordan 标准形为100021002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦从而A （或B ）的Smith 标准形为211(2)(1)λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦由此可知A （或B ）的行列式因子为2123()1,()1,()(2)(1)D D D λλλλλ===--这样的矩阵A （或B ）有很多，取表达式较为简单的矩阵，下列任何一种矩阵都可以200100200*10,*20,*20,**2**2**12**1**2**01*,02*,020********⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦下面分析“*”处元素取何值时才能保证1为主对角元的Jordan 块只有一个，以2为主对角元的Jordan 块也只有一个.根据求矩阵Jordan 标准形的第二种方法（矩阵秩的方法），只要使(2)2r -=A E 或(2)2r -=B E即可.例如20020-1921,010001002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦均可以.但2001-10020,021051002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦都不可以. 2-10解(思路)设1Q JQ A -=,其中J 是A 的若当标准形,则1001100A Q J Q -=2-11解: A 的不变因子()()()()123,,133λ(λ+1)λn d d d d λλλλ=====;由A 的初等因子以及E A λ-的秩为n 写出A 的若当标准形J .2-12解:仿教材例题.2-13解: 仿教材例题.2-14 解：因为()10λ=-≠A 1()1λλλλλ--⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦A故 11()1λλλλλ--+⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A 注：n 阶λ-矩阵()λA 的秩为n ，不等价于()λA 可逆，这是与数字矩阵不相同之处.例如1()1λλλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的秩为2，但是它不可逆. 2-15 解：()λA 的元素中有非零常数212221321222122132223221111()2222221101102220031122221111222220010214202,2c c c c c c r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥←−→⎢⎥⎢⎥=+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦-++-+-+----A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦132221222432224323243231000421012100()04214100(3)4100(21)0404003410010104003c c c r c rc c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤←−→⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎡⎤⎢⎥+⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥-+--⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+--⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦-2-16 解：()λA 的元素有公因子λ，所以额可以用初等变换把左上角元素变成λ3223122222112223322()533515353223c c c r r λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤-←−→-=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎡⎤+⎡⎤←−→+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦A然后用初等变换把公因子λ所在的行、列的其余元素均化为零.2212223122525()320(103)33(5)00(103)r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤+⎡⎤+-⨯+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-++⎡⎤⎢⎥--⎣⎦A2-17 解：()λA 的元素无公因子，也无常数元素.用初等变换把矩阵中某一个元素变成常数22212222222123221343221232432110()11100(1)0100()00r r r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦⎡⎤+-+⎢⎥--+-⎢⎥-++⎢⎥----⎣⎦⎡⎤-++⎢⎥--+-⎢⎥⎢⎥----⎣⎦A剩下的右下角的二阶矩阵有公因子λ，参照2-16用的方法.有32432233224323322223223100()0010000100000100(1)0000110010000(1)c c r r c c r r λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥--+-⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎡⎤←−→⎢⎥---+⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎡⎤-+⎢⎥---+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎡⎤-+-+⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-⨯⎡⎤-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦A2-18 解：()λA 的元素中有常数.2322123212213323243243212323213(1)1()11(1)1(1)11(1)(+1)1(1)(1)0210100(1)02c c r r r r c c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤+⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤+←−→⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-+⎡⎤+--+⎢⎥----+-⎢⎥⎢⎥-++-++⎣⎦-++----+A 243243210λλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥-++-++⎣⎦剩下的二阶矩阵使元素既无公因子又无常数的矩阵，参照2-17的方法可把二阶矩阵初等变换化3232432432233224323222432100()0210100021001000100c c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥----+-⎢⎥⎢⎥-++-++⎣⎦⎡⎤-+⎢⎥--+-⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎡⎤++⎢⎥--+-⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦A2324324322324324322234322432432232432100010100010100()0100(1)()100()01000(1)()c c c c c c r r λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤+⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-++-++⎣⎦⎡⎤←−→⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-++-++⎣⎦⎡⎤--+⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-++--+-++⎣⎦⎡-+++--+-++⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2-19 解：()λA 虽然是对角形，但不是Smith 标准形.2232233222(1)()(1)(1)(1)(1)00(2)0200211(1)(1)c c r r λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤-++⎢⎥++⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦A2-20 解：首先容易求出()λA 的不变因子233342321()(1)(2)(2)()(1)()(1)()1d i i d d d λλλλλλλλλλλλ=-+-=-=-=于是()λA 的Smith 标准形为223331000000(1)0000()00(1)000000(1)(2)(2)00000000i i λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A对于准对角形矩阵()0()0()λλλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B A C 为准对角形矩阵，则()λB 与()λC 的不变因子求得()λA 的不变因子，但是能从()λB 与()λC 的初等因子立即得到()λA 的初等因子.2-21 解：方法一 ()λA 行列式因子易得为121()()()1,()()n n n a λλλλλ-=====-D D D D于是()λA 的不变因子为121()()()1,()()n n n d d d d a λλλλλ-=====-因而初等因子只有一个方法二 对()λA 用初等变换求得不变因子为11,1,,1,()n n a λ--个故初等因子为()n a λ-2-22 解：将()λA 之第二行，第三行，，第n 行分别乘以21,,,n λλλ-都加第一行上去，得到1221000()10010()00001n n f a a a a λλλλλ--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦A 其中 12121()n n n n n f a a a a λλλλλ---=+++++易得 det ()()f λλ=A 故 ()()n f λλ=D 又 1()1n λ-=D 于是 122()()()1n λλλ-====D D D所以 121()()()1,()()n n d d d d f λλλλλ-=====因此()λA 之Smith 标准形为1()1()f λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A2-23 解：因为A 的初等因子乘积22(1)1λλλλλ-+是7次多项式，故A 是7阶的.2-24 解：A 是5阶矩阵，答案有如下几种情况：(1)A 的初等因子1,1,2,2,2λλλλλ++---A 的不变因子1,1,2,(1)(2),(1)(2)λλλλλ-+-+-(2)A 的初等因子21,1,2,(2)λλλλ++--A 的不变因子21,1,1,(1)(2),(1)(2)λλλλ+-+-(3)A 的初等因子21,1,(2)λλλ++-A 的不变因子31,1,1,1,(1)(2)λλλ++-(4)A 的初等因子2(1),2,2,2λλλλ+---A 的不变因子31,1,2,2,(2)(1)λλλλ---+(5)A 的初等因子22(1),2,(2)λλλ+--A 的不变因子221,1,1,2,1,(2)(1)λλλλ-+-+(6)A 的初等因子22(1),(2)λλ+-A 的不变因子231,1,1,1,(1)(2)λλ+-2-25 解：先求A 的初等因子.对()λ-E A 运用初等变换可得21261131114(1)λλλλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦E A A 的初等因子是21,(1)λλ--故A 的Jordan 标准形是100011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J2-26 解：100011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AJ故存在333c ⨯∈P ，满足=AP PJ命 123(,,)=P X X X (1) 把P 代入式(1)得123123100(,,)(,,)011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AX AX AX X X X (2)比较式(2)两边得1122323,,===+AX X AX X AX X X即 1232()0,()0,()-=-=-=-E A X E A X E A X X在上述每个方程组中只要依次取一个解分别为123,,X X X ，组成123(,,)=P X X X 即可.易见12,X X 是A 的特征值为1的两个线性无关的特征向量.解方程组()0-=E A X可求得两个线性无关的特征向量(1,1,0),(3,0,1)T T =-=ξη若取12,==ξX ηX ，代入32()-=-E A X X ，该方程组无解，这时不能认为P 不存在.因为A 的特征子空间是二维的，即A 的线性无关特征向量不仅是,ξη.例如，只要,S t 满足1≠St 的任意数，,++ξS ηt ξη也是A 的线性无关特征向量.因此，若取12,k ==+X ξX ξη(0)k ≠，k 只要使得方程组32()-=-E A X X 有解.不难知道当1k =时，取2(2,1,1)T=+=X ξη代入32()-=-E A X X 方程组有解为1232331(,)x x x x x =-+-为任意数取它的一个解3(2,0,1)T=X ，就可.于是122110011-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P容易验证有1100011001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP从以上两例可以概括出求Jordan 标准形变换矩阵P 的过程.设A 的Jordan 标准形为J ，则12s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦J J AP PJ P J 其中111i iiii n n λλλ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J 把变换矩阵P 按Jordan 块i J 的阶数i n 进行相应的分块，即设12(,,,)S =P P P P其中in n i C⨯∈P ，因此12121212(,,,)(,,,)(,,,)S S S s =⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A P P P P P P J J J P P P J 故 121122(,,,)(,,,)S s S =AP AP AP J P J P J P比较上式两端得i i i =AP P J (1,2,,)i s =对i P 再按列分块12(,,,)i i n n i i i in C ⨯=∈P X X X其中12,,,i i i in X X X 是i n 个线性无关的n 维列向量，代入i i i =AP P J 可得1121221i i i i i i i i i i i n in i in λλλ-=⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+⎩AX X AX X X AX XX (1,2,,)i s =由第一个方程看到，列向量1i X 是矩阵A 的特征为i λ所对的特征向量.且由1i X 继而可以求得23,,,i i i in X X X .因此，长方形矩阵i P 以至P 都可以求得.由前面例子中可以看到，特征向量1i X 的选取要保证2i X 可以求出，类似地2i X 的选取（因为2i X 的选定并不唯一，只要适当选取一个就可）也要保证3i X 可以求出，如此等等.2-27 解：两种可能性. ①初等因子321,(1),2,(2)λλλλ++--，②初等因子222(1),(1),2,(2)λλλλ++-- （Jordan标准形略）.2-28 解：A.若i j λλ≠，则21()()1()2()(1)1()0()i i i i i i i i i n i i i i i h i i i i a rank n rank n rank n n rank h n λλλλ--=--=--=--=-=≥E J E J E J EJ()()(1,2,)l i j j j b rank n l λ-==E J 2()[](1)1[](2)2[]()ii i j i j i j j ii i j i j i j j ihi i j j i j c rank n n n n rank n n n n rank n h n λλλ+++⎛⎫-=-+=+-⎪⎝⎭⎛⎫-=-+=+-⎪⎝⎭⎛⎫-=≥⎪⎝⎭J E J J E J J EJ B ．若i j λλ=，不妨设i j n n >，则2()()1()2()0()i j j i i j j i h i j j j a rank n rank n rank h n λλλ-=--=--=≥E J E J EJ21()[](1)(1)2[](2)(2)4[]((1))((1))2[]()()j jii i j i j i j j ii i j i j i j j in i i j i j j j i j j in i i j i j j j i j c rank n n n n rank n n n n rank n n n n n n rank n n n n n n λλλλ++-++⎛⎫-=-+-=+-⎪⎝⎭⎛⎫-=-+-=+-⎪⎝⎭⎛⎫-=--+--=-+⎪⎝⎭⎛⎫-=-+-=-⎪⎝⎭J E J J E J J E J J EJ 12[][(1)]0(1)[](2)[]0j j ij in i i j i j j i j in i i j i j j in i i j j rank n n n n rank n n rank λλλ+++++⎛⎫-=-++⎪⎝⎭=-+⎛⎫-=-+⎪⎝⎭⎛⎫-=⎪⎝⎭J E J J E J J EJ反过来，可以借助(),()kki i i i j j rank rank λλ--E J E J ，[]ik i i j j rank λ+⎛⎫-⎪⎝⎭J E J 得出,i j J J 的阶数,i j n n .由于()()k k i i rank rank λλ-=-E J E A ，因此可以借助计算()ki rank λ-E J 得到Jordan 块的个数，阶数分析，继而可得J 的形状.2-29 解： 4(1)λλ-=-E A234()3,()2()1,()0rank rank rank rank -=-=-=-=E A E A E A E A因此，Jordan 块是4阶1块，即1111111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A2-30 解：命 123(,,)Tx x x =X ，则方程组可写为126103114d dt --⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦X X AX 其中 126103114--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 1100011001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP其中 122110011-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P 1102112113--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦P令X =PY 得113322132333222()()()t t t t t t tx k e k e k t k e x k e k t k e x k e k t k e =-+++=++=++其中123,,k k k 为任意常数.2-31 解：先求A 的初等因子，然后求得A 的Jordan 标准形2124⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J设123(,,)Tααα=P ，且1-=P AP J ,即=AP JP . 于是111211213332(2)02(2)4(4)0ααααααααααα=-==+-=-=-=A E A A E A A E A不难求得1(0,1,0)T α=211(,0,)22T α=-3(1,0,1)T α=11010102100,101111010222-⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P P于是10121010210021011411010222⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A10099100100100991999919999100999919999199101210020102100210114110102222202210022100222022⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+-+⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦A2-32 证：由2k =A A 可知A 的特征值只可能是0，k.方法一：由2k =A A 得()0kE A -=A 故秩()A +秩()kE A -n ≤又秩()A +秩()kE A - ≥秩()kE A +-A =秩()k E =n 因此秩()A +秩()kE A -n =若秩()A r =，则A 属于特征值为0的线性无关特征俩向量有r -n 个，A 的属于特征值为k 的线性无关特征向量有n-秩()kE A -=n-[n-秩()A ]=r.所以A 共有（n-r ）+r=n 个线性无关特征向量.于是A 可对角化. 方法二：设A 的Jordan 标准形为12(,,,)r diag =J J J J .于是存在可逆矩阵P ，11,--==P AP J A PJP代入2k =A A 可得22,,(1,2,,)i i k k i r ===J J J J .不难验算可知，若2i i k =J J ，i J 必须是一阶Jordan 块.因此A 的Jordan 块(1,2,,)i i r =J 全是一阶的.因此A 与对角矩阵相似.2-33 证：设A 的Jordan 标准形12(,,,)r diag =J J J J ，即存在可逆矩阵P ，满足112(,,,)r diag -==J J J J PAP于是112(,,,)()T T T T T T T r diag -==J J J J P A P这表明TT AJ ，所以如果能证明对于每一个(1,2,,)i i r =都有Ti i J J .则根据相似的传递性便知TA A .事实上，若令00101010i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （i P 的阶数=i J 的阶数） 则不难验证1,T i i i i i i -==P P P J P J （证毕）2-34 解：121001011n n a a a a λλλλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦EC 它的不变因子为111(1)1,11,n n n n n a a a λλλ---++++个.2-35 解：2321111(1)(2)584λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+-⎣⎦⎣⎦E A100004021108002015⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦AJ F052100031⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P为了求Q 需先求FJ 的变换矩阵M ，即=FM MJ设123(,,)βββ=M ，代入=FM MJ 得123123100(,,)(,,)021002ββββββ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦F比较两边得1122323,2,2βββββββ===+F F F解之得123(4,4,1),(2,3,1)(1,1,0)T T T βββ=-=-=-于是123421(,,)431110βββ-⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦M1111110124-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦M故1052111318100110111031124214---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q PM2-36 解：221111(1)21λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦E A因此100100011001001002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A J F 122110011-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P 为了求Q 需先求F J 的变换矩阵M ，即=FM MJ 设123(,,)βββ=M ，代入=FM MJ 得123123100(,,)(,,)011001ββββββ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦F 比较两边得1122323,,βββββββ===+F F F解之得123(1,0,0),(0,1,1)(0,1,0)T T T βββ==-=故123100(,,)011010βββ⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦M 1100001011-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M 于是1122100110001011011124101012--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q PM2-37 解：(1)A 的初等因子21,(2)λλ+-故A 的不变因子为321,1,34λλ-+ 于是A 的有理标准形为 004100013-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦F(2)A 的初等因子21,(1)λλ-- 故A 的不变因子为21,1,(1)λλ-- 于是A 的有理标准形为100001012⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦F。

关于Jordan标准形的教学探讨Jordan标准形是数学中一个非常重要的概念，特别是在代数学和线性代数中经常会涉及到。

它的概念和性质在数学教学中有着非常重要的地位，因此本文将对Jordan标准形进行教学探讨，包括其基本概念、性质和相关的教学方法。

一、Jordan标准形的基本概念Jordan标准形是线性代数中对于方阵进行相似对角化的一种形式，它的基本定义是：如果一个矩阵A的特征多项式可分解成线性因子的乘积，即\[|A - \lambda I| = ( \lambda_1 - \lambda)^{m_1}( \lambda_2 -\lambda)^{m_2} ...( \lambda_k - \lambda)^{m_k},\]其中每个\( \lambda_i\)是A的不同特征根，而\(m_i\)是对应的特征根\( \lambda_i\)的重数。

那么A就可以相似对角化成Jordan标准形。

具体来说，一个n阶方阵A相似对角化成Jordan标准形的表示为：\[P^{-1}AP = J,\]其中P是可逆矩阵，J是Jordan标准形，它的形式为：\[J = \begin{pmatrix}J_1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & J_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & J_k\end{pmatrix},\]其中每个J_i是形如下面的Jordan块：\[J_i = \begin{pmatrix}\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\0 & 0 & \lambda_i & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_i\end{pmatrix},\]特别地，如果\(m_i = 1\)，那么对应的Jordan块就是一个\(1 \times 1\)的矩阵，即只有一个特征值。

复矩阵的Jordan 标准形的性质及应用学生姓名：李英红 指导教师：周芳（太原师范学院 数学系0802班 2008101217）摘要：任意一个矩阵并非都与对角矩阵相似，当一个矩阵不能与对角矩阵相似时，可以找到一个比较简单的类似于对角矩阵的矩阵与它相似。

本文主要介绍相似于一个简单的类似对角矩阵的性质和应用，对于今后的学习有很大的帮助。

关键词：对角矩阵 若当标准形 幂零矩阵 相似 正文1、 定义 形如11i ii ii i m mJ λλλ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭ 的方阵称为i m 阶的Jordan 块,i c λ∈,通常记为()i n i J λ.2、 定义若当形 由若干个Jordan 块组成的准对角阵12s J J J J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为Jordan 标准形。

定理1 复数域c 上两个n 阶矩阵A 和B 相似E A E B λλ⇔--与等价证明 ""⇒若A 和B 相似,存在可逆矩阵T ,使得1B T AT -=,所以1()E B T E A T λλ--=-,因而E A E B λλ--与等价.""⇐E A E B λλ--与等价,则有相同的不变因子,相同的初等因子,则可推得A 和B 相似.定理2 (Jordan 标准形定理)每个n 阶的复矩阵A 都与一个Jordan 标准形相似,这个Jordan 标准形除了其中Jordan 块的排列次序外被A 唯一决定，记为A J .证明 设n 阶的矩阵A 的特征矩阵E A λ-的 初等因子为1212(),(),,()sk kks λλλλλλ--- (2.1)令11i ii ii i m mJ λλλ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 并令12s J J J J ⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，则E J λ-的全部初等因子也为（2.1）式 则A 和J 相似推论1 复矩阵A 与对角矩阵相似⇔E A λ-的初等因子都是一次的。

矩阵的Jordan标准型及其求解方法矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中扮演着重要的角色。

在矩阵理论中，Jordan标准型是一种重要的矩阵分解形式，它可以帮助我们更好地理解和求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题。

一、Jordan标准型的定义和性质在矩阵理论中，Jordan标准型是指一个矩阵可以通过相似变换转化为一个由Jordan块组成的对角矩阵。

Jordan块是一个由特征值和特征向量构成的方阵，它具有一些特殊的性质。

首先，Jordan块是一个上三角矩阵，即除了对角线上的元素外，其余元素都为零。

其次，对于一个Jordan块，对角线上的元素都是特征值，而其余元素则是1或0。

这些1的位置与特征向量有关，具体来说，特征向量在Jordan块中的位置决定了1的个数和位置。

Jordan标准型的重要性在于它可以将一个复杂的矩阵分解为一组简单的Jordan 块，从而更容易求解相关问题。

例如，通过Jordan标准型，我们可以求解线性方程组的解、计算矩阵的幂等等。

二、求解Jordan标准型的方法求解矩阵的Jordan标准型有多种方法，其中最常用的方法是通过特征值和特征向量来进行计算。

首先，我们需要计算矩阵的特征值。

特征值是一个标量，它代表了矩阵的某种性质或特征。

通过求解矩阵的特征值，我们可以确定矩阵是否可逆、是否存在特殊结构等。

特征值的计算可以通过求解矩阵的特征多项式来进行，具体计算方法可以使用特征值分解、特征向量分解等。

接下来，我们需要计算矩阵的特征向量。

特征向量是一个非零向量，它与矩阵相乘后等于特征值与特征向量的乘积。

通过求解矩阵的特征向量，我们可以确定矩阵的行与列之间的关系，从而进一步求解Jordan标准型。

在求解特征向量时，我们可以使用多种方法，例如高斯消元法、雅可比迭代法等。

这些方法可以帮助我们求解特征向量的近似解或精确解，从而进一步求解Jordan标准型。

三、应用举例Jordan标准型在实际问题中有着广泛的应用。

关于Jordan标准形的教学探讨Jordan标准形是数学中的一个重要概念，特别在线性代数中扮演了重要的角色。

它是矩阵理论中的一个标准矩阵形式，可以将一个线性变换矩阵简化为一种特殊的形式。

本文将对Jordan标准形进行教学探讨，介绍其定义、性质、计算方法以及其在矩阵理论和线性代数中的应用。

我们来看Jordan标准形的定义。

给定一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP的形式为Jordan方阵，那么A被称为具有Jordan标准形。

具体来说，一个Jordan方阵是由多个Jordan块组成的矩阵，它是一个上三角矩阵，主对角线上的元素是矩阵的特征值，而对角线上方的元素表示Jordan块的大小和结构。

接下来，我们来讨论Jordan标准形的性质。

Jordan标准形是唯一的，也就是说，对于任意一个矩阵A，它都存在唯一一个Jordan标准形。

Jordan标准形对于相似变换是不变的，也就是说，如果A和B是相似矩阵，那么它们的Jordan标准形也是相似的。

Jordan标准形还具有一些其他的重要性质，比如Jordan块的大小等于其特征值的重数，Jordan块的个数等于矩阵A的线性无关的特征向量的个数。

那么，如何计算一个矩阵的Jordan标准形呢？计算Jordan标准形的方法主要有两种，一种是使用线性代数的理论方法，一种是采用计算机的数值算法。

对于小规模的矩阵，理论方法可以直接求解Jordan标准形，但是对于大规模的矩阵，数值算法更加高效和实用。

常用的计算Jordan标准形的数值算法有Givens旋转法、Householder变换法和幂法，它们分别侧重于不同的矩阵计算问题和复杂性。

我们来讨论Jordan标准形在矩阵理论和线性代数中的应用。

Jordan标准形的计算和分析是矩阵理论的核心内容之一，它在矩阵相似性、特征值和特征向量的计算、线性微分方程和差分方程的求解等方面都有广泛的应用。

在实际问题中，Jordan标准形也常常被用来简化线性变换的计算和分析，找到线性变换的规律和性质。

Jordan标准型的推论将学习到什么从 Jordan 标准型出发，能够获得⾮常有⽤的信息.Jordan 矩阵的构造Jordan 矩阵J=J n1(λ1)⋱J nk(λk),n1+n2+⋯+n k=n有确定的构造，这种构造使得与之相似的任何矩阵都显然具有某些基本性质：Jordan 块的个数k（计⼊同样的 Jordan 块出现的次数）就是J的线性⽆关的特征向量的最⼤个数矩阵J可以对⾓化，当且仅当k=n, 即当且仅当所有的 Jordan 块都是1×1 的与⼀个给定的特征值对应的 Jordan 块的个数就是该特征值的⼏何重数，它也就是其相伴的特征空间的维数. 与⼀个给定的特征值对应的所有 Jordan 块的阶之和就是它的代数重数设A∈M n是⼀个给定的⾮零矩阵，假设λ是A的⼀个特征值. 利⽤中式 (8) 的定义，我们知道存在某个正整数q，使得r1(A,λ)>r2(A,λ)>⋯>r q−1(A,λ)>r q(A,λ)=r q+1(A,λ)这个整数q就是λ作为A的特征值的指数；它也是A的以λ为特征值的最⼤ Jordan 块的阶.矩阵与其转置的相似性设K m是m×m反序矩阵（就是把单位矩阵I m旋转 90∘）, 它是对称的且是对合(A2=I)的：K m=K T m=K−1m.可以验证K m J m(λ)=J m(λ)T K m以及J m(λ)K m=K m J m(λ)T, 从⽽K m J m(λ) 与J m(λ)K m是对称的，且J m(λ)=K m J m(λ)T K m，所以每⼀个 Jordan 块都相似于它的转置（通过⼀个反序矩阵）. 这样⼀来，如果J是给定的 Jordan 矩阵，那么J T与J通过对称的对合矩阵K=K n1⊕⋯⊕K nk⽽相似：J T=KJK. 如果S∈M n是⾮奇异的（不⼀定对称）且A=SJS−1, 那么J=S−1AS,\begin{align}A^T &=S{-T}J TS T=S{-T}KJKS T=S{-T}K(S{-1}AS)KS T \notag \\&= (S{-T}KS{-1})A(SKS T)=(SKS T){-1}A(SKS T)\end{align}且使得A与A T之间的相似矩阵SKS T是对称的. 这就证明了如下定理： 定理 1：设A∈M n. 则存在⼀个⾮奇异的复对称矩阵S, 使得A T=SAS−1.若记\begin{align}A=SJS{-1}=(SKS T)(S{-T}KJS{-1})=(SJKS T)(S{-T}KS^{-1})\end{align}其中KJ与JK是对称的, 等式是凑的，拆开⼀合并就成⽴了. 这⼀结论证明了如下的定理： 定理 2：每⼀个复⽅阵都是两个复对称矩阵的乘积，可以选择其中任⼀个因⼦是⾮奇异的.对任意的域F，已知M n(F) 中的每个矩阵都可以通过M n(F) 中某个对称矩阵相似于它的转置. 特别地，每⼀个实⽅阵都可以通过某个实对称矩阵与其转置相似.⼏何重数-代数重数不等式给定A∈M n的⼀个特征值λ的⼏何重数是A的与λ对应的 Jordan 块的个数. 这个数⼩于或者等于与λ对应的所有 Jordan 块的[]阶之和，⽽这个和就是λ的代数重数. 于是，特征值的⼏何重数⼩于或者等于它的代数重数. ⼀个特征值λ的⼏何重数与代数重数相等，即λ是⼀个半单的特征值，当且仅当与λ对应的每⼀个 Jordan 块都是1×1 的.直和的 Jordan 标准型, 并假设每⼀个A i=S i J i S−1i, 其中每⼀个J i是⼀个 Jordan 矩阵. 这样，直和A=A1⊕⋯⊕A m就设对i=1,⋯,m给定A i∈M ni通过S=S1⊕⋯⊕S m相似于直和J=J1⊕⋯⊕J m. 此外，J是 Jordan 块的直和的直和，所以它是⼀个 Jordan 矩阵，从⽽Jordan 标准型的唯⼀性就保证了它是A的 Jordan 标准型.秩 1 摄动的 Jordan 标准型关于对于 Jordan 块有类似的结论：在某种条件下，复⽅阵的⼀个特征值可能通过⼀个秩 1 摄动⼏乎任意地加以变动⽽不破坏该矩阵的 Jordan 结构的其余部分. 定理 3：设n⩾, ⼜令\lambda,\lambda_2,\cdots,\lambda_n是A\in M_n的特征值. 假设存在⾮零的向量x,y \in\mathbb{C}^n, 使得Ax=\lambda x, y^*A=\lambda y^*, 且y^*x \neq 0. 那么 (a) 对某些正整数k,n_1,\cdots,n_k以及某个\{v_1,\cdots,v_k\} \subset \{\lambda_2,\cdots,\lambda_n\}, A的 Jordan 标准型是\begin{align} [\lambda]\oplus J_{n_1}(v_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(v_k) \end{align} (b) 对任何满⾜\lambda+v^*x \neq \lambda_j(j=2,\cdots,n)的v \in \mathbb{C}^n, A+xv^*的 Jordan 标准型是\begin{align} [\lambda+v^*x]\oplus J_{n_1}(v_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(v_k) \end{align}Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js。

求矩阵的Jordan 标准形的两种方法方法1. 利用矩阵的初等因子原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然。

求出全部的初等因子即可得出其Jordan 标准形.方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形.原理： 在复数域上， 每一个矩阵都与一个Jordan 标准形相似， 即存在可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形.例. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411301621A ， 分别用两种方法求A 的Jordan 标准形.解: 方法1。

.)1(00010001120011000123101100014111102310411316212222)1(232132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-++--λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r A E 得A 的初等因子为2)1(,1--λλ, 于是A 的Jordan 标准形为.11001000121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=J JJ方法2。

(1) 首先求A 的特征值。

3)1(||-=-λλA E ， 所以特征值为1,1，1。

(2) 求出相应的特征向量.求解齐次线性方程组0)(=-X A E 的全部解：.000000311311311622⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-A E相应的特征向量为)0,1,1(1-=α, )1,0,3(2=α. 1α,2α为特征值空间V 1的基.(3) 求出一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形。

由于A 不能对角化, 所以必存在一组基321,,βββ使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形. 再考虑到A 有两个线性无关的特征向量, 所以A 有一个二阶的Jordan 块. 即11ββ=A , 322βββ+=A ， 33ββ=A .可见131,V ∈ββ， 需要求出向量322)(βββ=-E A 满足。

矩阵Jordan标准型是线性代数中非常重要的概念，它在矩阵理论以及特征值与特征向量的研究中有着重要的应用。

在考研数学中，矩阵Jordan标准型也是一个高频考点，掌握矩阵Jordan标准型对于考研数学的学习和备考至关重要。

一、矩阵Jordan标准型的定义矩阵Jordan标准型是一种特殊的矩阵形式，它具有一些特定的性质。

给定一个n阶方阵A，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP为Jordan标准型，那么称矩阵A相似于Jordan标准型。

二、矩阵Jordan标准型的性质矩阵Jordan标准型具有以下性质：1. 对角线上的元素是矩阵A的特征值；2. 对角线上出现的不止一个数表示A不是对角化的；3. 每一个Jordan块对应一个特征值以及其代数重数；4. 每一个Jordan块的大小对应于其几何重数。

三、矩阵Jordan标准型的计算方法计算矩阵的Jordan标准型是线性代数中的一个重要内容。

通常有以下方法：1. 先求出矩阵A的特征值和对应的特征向量；2. 根据特征值和特征向量构造特征向量矩阵P；3. 利用P^-1AP的形式求得矩阵A的Jordan标准型。

四、矩阵Jordan标准型的应用矩阵Jordan标准型上线性代数以及其他数学领域有着广泛的应用。

对于一些特定的矩阵求解矩阵的高次幂、求解矩阵的指数函数等问题时，常常需要用到矩阵的Jordan标准型。

在控制理论、量子力学等领域中，矩阵Jordan标准型也有着重要的应用价值。

五、考研考纲中与矩阵Jordan标准型相关的知识点矩阵Jordan标准型作为线性代数中的重要概念，在考研数学的考纲中也有明确的要求。

考研数学中与矩阵Jordan标准型相关的知识点主要包括：1. 矩阵的特征值与特征向量；2. 矩阵的相似对角化；3. 矩阵的Jordan标准型及其计算方法；4. 矩阵Jordan标准型的应用。

六、如何有效地学习和掌握矩阵Jordan标准型针对矩阵Jordan标准型这一知识点，考生可以采取以下学习方法：1. 掌握矩阵的特征值与特征向量的求解方法；2. 熟练掌握矩阵的对角化与相似对角化的理论与计算方法；3. 了解矩阵Jordan标准型的定义和性质，熟悉其计算方法；4. 深入理解矩阵Jordan标准型的应用场景，例如上线性方程组、微分方程、控制理论等方面的应用。

特征根(按重数计Jordan 标准形定理 每个n 阶复数矩阵A 都与一个Jordan 形矩阵J 相似：121;00s J J P AP J J -⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭除了Jordan 块的排列次序可以改变外，Jordan 矩阵J 是唯一的， 称它为A 的Jordan 标准形.注意 A 的Jordan 标准形J 的主对角元就是A 的全部 例1 求矩阵2111213211011122 A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪----⎝⎭的Jordan 标准形J .解 求出A 的特征多项式()31I A λλλ-=+，全体特征值为 0,1,1,1 ---.若A 与相似于Jordan 标准形J ： A ∽J ，则它们有相同的特征值，从而有0111J ⎛⎫ ⎪-* ⎪= ⎪-* ⎪-⎝⎭其中的*等于1或0.特别注意 若A 的特征值λ是单根，则必有1阶Jordan 块()λ. 由相似关系A I+∽100J I ⎛⎫⎪*⎪+= ⎪* ⎪⎝⎭可得秩数1111232()()21111121 2 1 r J I r A I rank ----⎛⎫ ⎪ ⎪+=+== ⎪ ⎪----⎝⎭可知J I +中的2个*只有一个等于1，另一个为0，因此011101J ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭或010111J ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭这两个J 本质上是相同的(都含有3个Jordan 块)，只是Jordan 块的排列次序不同.注意 如果两个Jordan 矩阵只是Jordan 块的次序不同，则认为它们本质上相同. 在这个意义上，本题中的J 由A 唯一决定.可写A∽01111 J ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭.另外，可找到一个可逆阵1011310010102101P -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭使得01111AP P PJ ⎛⎫⎪- ⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭即1P AP J-=.例2 设 110430102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，(1)求Jordan 标准形J ，并判断A 可否对角化；(2)求相似变换阵P ，使1P AP J -=.解 A 的特征多项式为：2||(2)(1)I A λλλ-=--,特征值为2,1,1 .所以A∽ 200011001J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.注意， 若A 的特征值λ是单根，则必有1阶Jordan 块()λ. 由于J 含有2阶Jordan 块，可知A 不能对角化.令123(,,)P X X X =，(1,2,3)i X i =为列向量，则 AP=PJ ，即123123200(,,)(,,)011001A X X X X X X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即 11223232,,AX X AX X AX X X ===+.所以1X 为A 的关于2λ=的特征向量；2X 为A 的关于1λ=的特征向量；3X 是非齐次方程32()A I X X -=的解（广义特征向量）.由1(2)0I A X -= 解出1(0,0,1)T X =， 由2()0I A X -= 解出2(1,2,1)T X =-，由32()A I X X -= 解出3(1,1,0)T X =--，或3(0,1,1)T X =-令123011(,,)021110P X X X -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，或010021111P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭可知 200011 001AP P P J ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭即 1P AP J -=.例3 试证：每个Jordan 块k J 都相似于它的转置T k J . 证 计算可知11001011111001001λλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 注 由此例可知，每个Jordan 矩阵J 都相似于它的转置：J ∽T J (下三角矩阵).利用此例3与Jordan 标准形定理可得：推论3 每个方阵A 都相似于它的转置T A ： A ∽TA .例4 设k 为自然数，0kA =，试证：||1A I +=证 由0kA =知A 的特征值全为零， 从而Jordan 标准形J 的主对角线元素全为零. 利用1A PJP -=，可知 11||||||||||1A I PJP I P J I P --+=+=+=.小结 两个看上去很不相同的矩阵可以相似，因此，一条确定两个矩阵是否相似的途径是，设想有某个具有指定简单形式的矩阵集合，然后看这两个已知矩阵是否可以通过相似化成这些简单形式中的一个.如果它们能做到，那么它们必定是相似的（因为相似关系是传递的和对称的），Jordan 标准形就是符合这个要求的简单形式. 本节的主要结果是，每个复矩阵都相似于一个实质上是唯一的Jordan 矩阵.Jordan 标准形定理可以说是矩阵相似理论的一个制高点. 有了Jordan 标准形许多问题就很清楚了.注 相应于每个单独的Jordan 块()m J λ，恰好有矩阵J 的一个特征向量：它是属于矩阵J 中每个()m J λ的第一个对角元素. 从而J 中Jordan 块的个数就是A 的线性无关特征向量个数.补充若干论断和应用利用参考书：R .Horn and C.Johnson. Matrix Analysis, 1985 . 我们不加证明给出下列补充结论.(1) 给定Jordan 标准形J ，可以得到如下几点结论： (2).每个Jordan 块()k J λ恰好对应着属于λ的一个特征向量；(3) 每个值λ，其对应Jordan 块()k J λ的个数等于它的几何重数：()n r A I λ--； (3).Jordan 块的总数(按重复计)等于J 的线性无关特征向量个数利用相似关系 A ∽J 对应的秩数公式: ()()k k rank A bI rank J bI -=-， 可建立以下差分格式，求出方阵A 的Jordan 标准形J. 给定特征值λ(1) 计算秩数 ：()kr A I λ- 1, 2,k =规定 0r n = ， 1()r r A I λ=-， 22()r r A I λ=-，(2) 计差：1k k k d r r +=-，0, 1, 2,k =01d n r =-， 112d r r =-， 223d r r =- ，(3) 计差：1k k k l d d -=-，1, 2,k =101l d d =-，212l d d =-，323l d d =-，则(1) J 中含有λ的Jordan 块共有 0()d n r A I λ=-- 个； (2) J 中含λ的k 阶Jordan 块恰有 k l 个，1, 2,k= .注1 若A 的特征值λ是单根，则必有1阶Jordan 块()λ. 注2 可以证明：必有一个自然数k 使得，1()()kk r A I r A I λλ+-=-==常数.从而有 10k k d d +===.补充例子例5 用求秩法求以下矩阵的Jordan 标准形3411451100320021A --⎛⎫⎪-- ⎪=⎪-⎪-⎝⎭. 解 特征多项式为：223432||(1)(1)4521I A λλλλλλλ---==+--+-+.计算秩数令1:λ=-()3r A I +=，2()2r A I +=，3()2r A I +=. 令 01234, 3, 2, 2r r r r ====，按差分格式，有124103 1 1202l l •== 得知，1λ=-恰有1个2阶Jordan 块1101 -⎛⎫⎪-⎝⎭； 同理可知，含有1λ=的Jordan 块为1101 -⎛⎫⎪-⎝⎭，从而可得A∽ 1100010000110001J -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎝⎭.习 题 1. 如果A 与B 相似，C 与D 相似，试证： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛C O O A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛D O O B 相似. 2. 若A 与B 都是方阵，证明 00 A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭与00 B A ⎛⎫⎪⎝⎭相似.3. n 阶矩阵A 叫做幂零的，如果存在一个自然数m 使A m =0. 证明: (1) A 是幂零矩阵当且仅当它的特征多项式的根全是0；(2) 如果一个幂零矩阵A 可以对角化，那么A 一定是零矩阵； (3) 如果A 是幂零阵，且0A ≠，则A 不能对角化；(4) 如果A 是幂零阵，则 ||1A I +=.4. 证明: 每个阶数大于1的Jordan 块都不能对角化.5. 设0ε>，证明：下列两个矩阵A 与B 不能相似101011100b b A bb ⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 10101110b bB bb ε⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ . 6. 求下列矩阵的Jordan 标准形J 及其相似变换阵P .(1) 301121103⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (2) 170250109013-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(3)120020221⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦(4) 460350361⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(5) 211212112--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦7. 用求秩方法求下列矩阵的Jordan 标准形.(1) 1231123123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (2)3131131331311313 --⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎪--⎝⎭ (3)3411451100320021--⎛⎫⎪--⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭(4) 111333222-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ (5)308316205⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(6) 142034043⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(7) 211221121-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(8)131011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (9) 126103114--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. (10)4000040030400304⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(11)1110110100240012-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭，(12)(0)n na a a a a aa A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭8. 试写出两个矩阵，它们的Jordan 标准形都是200011001J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 9. 设1221A --⎛⎫=⎪-⎝⎭，求00A B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭与0A I C A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的Jordan 标准形.10. 利用Jordan 标准形证明： 每个方阵A 都相似于它的转置T A ： A ∽TA .11. 已知A 的Jordan 标准形J ，b 为复数. 证明：()()k k rank bI A rank bI J -=-. 12. 已知5阶方阵A 适合条件223, 2, ()4, ()3rankA rankA rank A I rank A I ==+=+=.求A 的Jordan 标准形J . 13. 已知n 阶方阵A 满足10nn A A-=≠，求其Jordan 标准形为J .14. 利用方阵A 的Jordan 标准形证明：如果1()()k k rank A rank A r +==，则对任何自然 数l 必有 ()k l rank A r +=.15. 设b 是n 阶方阵A 的k 重特征值，证明：()k rank A bI n k -=-.16. 设n 阶上三角阵0A ≠，且主对角元都是0.则A 的Jordan 标准形不是对角阵.∽∽∽例 已知8阶方阵A 适合：23(2)4, (2)1, (2)0rank A I rank A I A I -=-=-=， 求A 的Jordan 标准形J .解 按差分格式， 有 1284143 211l l •==2100210022102210202J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.另外可知100001000012,00010000J I ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦200100000000(2)00000000J I ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 3(2)0J I -=例 求以下矩阵的Jordan 标准形，并求变换阵P ，使1P AP J -=.111111201232011212202A ⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 特征多项式为5||(1)(2)I A λλλ-=-- 令2λ=1111110012300112012000A I -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭， 2111033000120000()000000A I --⎛⎫⎪⎪⎪+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3111021000000000()000000A I ---⎛⎫⎪⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2)4r A I -=， 2(2)2r A I -=， 3(2)1r A I -=， 4(2)1r A I -=令 012346, 4, 2, 1, 1r r r r r =====，按差分格式，有 123620421 21111l l l •===得知2λ=共有2个Jordan 块（1个2阶块，1个3阶块）： 2102⎛⎫ ⎪⎝⎭， 210021002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭另外1λ=是单根，它对应1阶的Jordan 块为 1(1) J =，可知Jordan 标准形为 1210212212J ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 另外可求得变换矩阵为 131040034010003033003000000102000201P --⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭， 它满足AP JP =，即 1P AP J -=。

3-幂零矩阵的Jordan 标准型摘要：本文主要对2-幂零矩阵，3-幂零矩阵的Jordan 标准型进行探讨，对2-幂零矩阵，给出了2-幂零矩阵的Jordan 标准型的形式，并指出若固定秩，则有唯一的Jordan 标准型，对n 阶3-幂零矩阵，文中推导出其秩的范围和其Jordan 标准型的个数，并给予证明，若其秩为一固定值，文中推导出了它的Jordan 标准型的个数，并给予证明。

关键词：k-幂零矩阵征值；2-幂零矩阵；3-幂零矩阵；若当形矩阵；Jordan 标准型；特征多项式；特征根；初等因子；秩0、引言定义1：设n nA C⨯∈（n nP⨯表示复数域C 上全体n n ⨯矩阵），若存在正整数k ，使得10,0k k A A -≠=，则称A 是幂零指数为k 的幂零矩阵记为k-幂零矩阵 特别地，当k=2时，即矩阵A 满足20,0A A ≠=，称A 为2-幂零矩阵当k=3时，即矩阵A 满足230,0A A ≠=，称A 为3-幂零矩阵。

定义2：形式为(,)110t tJ t λλλ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为J 块，其中λ是复数，由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。

定义3：每个阶的复数矩阵A 都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的Jordan 标准型。

目前关于幂零矩阵的Jordan 标准型，仅有文[1]的关于2-幂零矩阵的研究探讨，有以下三个性质：性质1：当k=2即复数域C 上的n 阶2-幂零矩阵A 的Jordan 标准型为1J Jm ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中0110i ii k k J ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（0,1,2;1,2ik i m ==），1mi i k n ==∑，且至少存在一个j ，使2j k =即至少存在一个0010j k J ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦性质2：设C 是复数域，而A 是C 上2-幂零矩阵，设A 的秩为r ，则2n r ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，而A 的Jordan 标准型为0010001000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中对角线上有r 个0010⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

Jordan 标准形及其应用摘要： 关于矩阵的Jordan 标准形最常见的求法是通过初等因子来求解，本文介绍了有关矩阵Jordan 标准形的基本概念，包括多项式矩阵、多项式矩阵的标准形、Jordan 块、Jordan 标准形，同时介绍了Jordan 标准形的相关定理．还主要介绍了Jordan 标准形的三种求法：初等因子法、计算 的方法以及幂零矩阵的Jordan 标准形的求法． 关键词： 初等因子；Jordan 块；Jordan 标准形．The Jordan canonical form and its applicationAbstract: Finding the solution to the matrix Jordan canonical form through the elementary divisor is the most common ．This article introduces several basic concepts about the matrix Jordan canonical form ，including polynomial matrix ，the canonical form of polynomial matrix,，Jordan block and the Jordan canonical form ．In the meantime ，it introduces the related theories of the Jordan canonical form ．3 methods of Jordan canonical form which still be mostly introduced ：elementary divisor method ，method of computing and method to the Jordan canonical form of nilpotent matrix ．Keywords: Elementary divisor ；Jordan block ；Jordan canonical form定义1 设λ是一个复数，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ1..................00 (10)00 0100...00 （ 1 ） 其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于 λ的一个若尔当（或若尔当块）.当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵.定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同的本征值，那么存在V 的一个基，似的σ关于这个基的矩阵有形状 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k B B B 0021（ 2 ） 这里i B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛i is i i J J J 0021，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i = 证 设σ的最小多项式是rkk r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的本征值，k r r r ,...,,21是正整数，又设i V =ker V ir i ∈=-ξλσ{)(｜0)(=-ξλσi ri }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：iis i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间),...2,1(i ij s j W ==里，取一个循环基，凑成i V 的一个基，那么i τ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i is i i i N N N N 0021这里),...,2,1(i ij s j N -是幂零若尔当块.令|σσ=i i V ，那么i σ=i λ+i τ，于是对于i V 加上基来说，i σ的矩阵是 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i i is i i is i i i iii J J J N N N B 0000002121λλλ 这里iis i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块.对于每一子空间i V ，按以上方式选取一个基，凑起来成为V 的基，那么σ关于这个基的矩阵就是有定理所求的形式（2）.注意 在矩阵（2）里，主对角上的第i 块B ，是|σσ=i i V 的矩阵.而子空间k V V ,...,1 显然由σ唯一确定，而出现在每一i B 里的若尔当块iis i i J J J ,...,,21里由i σ唯一确定的，因而是由σ唯一确定.定义2 形式如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m J J J 0021的n 阶矩阵，其中每一J 都是一个若尔当块，叫做一个若尔当标准形式.例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2001000001000001100002,2001000001000001000002,1101100001000002100002 都是若尔当标准形式.定理2 复数域上每一n 阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的次序外，与A 相似的若尔当标准形式是由A 唯一确定的.证 在一个对角线分块矩阵里，重新排列各个小块矩阵的次序显然得到矩阵，在由若尔当块唯一性得到证明.定理3 （1）设V 为K 上的n 维线性空间，线性变换T ：V →V 的特征多项式分解为K 上的一次式的积.rr T n r n T a t a t a t a t t υυμγλ)...()(,)...()()(1111--=--=，K a a r ∈,...,1，.1),(i i j i n j i a a ≤≤≠≠υ这里，V 是弱特征空间)(~i a V 的直和V =)(~...)(~1r a V a V ⊕⊕，又})(|{)(~O X aI T V x a V I v i =-∈=υ，dim )(~i a V =i n ,T 在)(~i a V 上的限制T |)(~i a V 的特征多项式和最小多项式为.)(,)(ii i n i a t a t υ--（2）设矩阵A ∈（n ，n ，K ）的特征多项式分解为K 上一次式的积.detKa a a t a t a t a t A tE r r A nr nn r r ∈--=--=-,...,,)...()(,)...()()(1111υυμ,.1),(i i j i n j i a a ≤≤≠≠υ这时，存在正则矩阵P ),,(K n n ∈，)(...)(11r a J a J AP P⊕⊕=-个以上个以上个至少001)1,(...)1,()1,(...)1,(),(...),()(i i i i i i i i i i i a J a J a J a J a J a J a J ⊕⊕⊕-⊕⊕-⊕⊕⊕=υυυυ方阵J )(i a 的结束等于i n ，构成J )(i a 的若尔当的个数等于属于i a 的特征空间多项式的维数).1(r i ≤≤若尔当块矩阵1-PA P 称为矩阵A 的若尔当.注意 )(...)(1r q a J a J AP P ⊕⊕=-中的J )(i a ，其j 阶若尔当块的个数又A 唯一确定.例1 证明对A ，B ∈（n ，n ，C ），存在正则矩阵P ，使1-P A P =B ⇔A 和B 具有相等的若尔当标准型.证 设A 和B 具有相等的若尔当标准型J ，则存在正则矩阵1P ，2P ，使11-P A 1P =J ，12-P B 2P =J ，令1P 12-P =P ，则P 正则接1-P A P =B .反之，设已存在正则矩阵P ，使1-PA P =B ，设J AQ Q=-1是若尔当标准型，则J PQ A PQ =-)()(1，故A 的若尔当标准型也是J .例2 求矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--601151104，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=603622845131352013D 的若尔当标准型，求实矩阵Q 使DQ Q1-成为若尔当矩阵.解 （1）3233)5(1257515||-=-+-=-t t t t C tE ，rank 1)5(3=-E C ,故特征空间V （5）的维数是3 – rank (C -53E )=2，于是机若尔当块的个数为2，C 的若尔当标准型为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5515. (2)).2()3(1834||2233+-=+--=-t t t t t D tE 方程（D +23E ）x =0的通解为1p =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-u u u =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111u .例如，令u =1，得1p =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111，dim=V （-2）=1，（D -33E ）x =0，的通解是1q =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛47070v v v ，所以属于特征值3的特征空间V （3）的维数是1.故属于特征值3的若尔当块是1个.例如，令v =1，得1q =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛170，方程（D -33E ）x =1q 的通解是⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-ωω74721例如，令10=ω，得2q =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6101，D 1p = - 21p ，D 2q = 31q ，D 2q =1q +32q .故若令=Q （1p 1q 2q ），则D Q =（D 1p D 1q D 2q ）=（-21p 31q 1q +32q ）=Q ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3132， 所以Q =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6411070101，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-01221AQ Q .参考文献：[ 1 ] 张禾瑞 、郝炳新：高等代数，高等教育出版社，1999年第四版. [ 2 ] 有马哲 、浅枝阳：线性代数讲解，四川人民出版社，1987年版.。

第二学期第十次课第七章 线性变换的Jordan 标准型§1幂零线性变换的Jordan 标准型A 是数域K 上n 维线性空间V 上的线性变换,如果存在正整数m,使A m =0,则称A 是一个幂零线性变换.对数域K 上n 阶方阵A, 如果存在正整数m,使m A =0,则称A 为幂零矩阵.命题 幂零线性变换的特征值等于0.证明 设λ是V 上幂零线性变换A 的特征值,则存在V 中非零向量α,使得A α=λα 假设m A =0,则A mα=λm α=0 从而λm =0, λ=0.设A 是数域K 上n 维线性空间V 上的一个幂零线性变换.取V 中任意非零向量α,则存在最小的正整数k,使得A 1k -α≠0,但A k α=0.可以证明:向量组α,A α,…, A 1k -α是线性无关的.令I(α)=L(α,A α,…, A 1k -α),则I(α)为A 的一个不变子空间,且dimI(α)=k.称I(α)为A 的循环不变子空间.A 限制在I(α)中,在基A 1k -α,…,A α,α下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100010J定义 形如⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=s 21J 00J J J ,ii n n i 0010010J ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 的准对角矩阵称为Jordan 形矩阵,而主对角线上的小块方阵i J 称为Jordan 块.命题 数域K 上的n 维线性空间V 上的幂零线性变换A 在某组基下的矩阵可以成为Jordan 形的充分必要条件是V 可以分解为A 的循环不变子空间的直和.证明 必要性 设A 在某组基下的矩阵可以成为Jordan 形,则V 可分解为A 的不变子空间的直和:=V 1M s 2M M ⊕⊕⊕且在i M 内存在一组基i in 2i 1i εεε，，，⋯,使A 限制在i M 内在此基下的矩阵为ii n n i 0010010J ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 这表明i M =I(i in ε),即i M 为A 的循环不变子空间.充分性 若 )(I )(I )(I V s 21ααα⊕⊕⊕= ,在每个I(i α)内选取基A 1n i -i α,…，A i α,i α.则它们合并为V 的一组基,在此组基下A 的矩阵即为Jordan 形矩阵.定理 数域K 上的n 维线性空间V 上的幂零线性变换A 在某组基下的矩阵可以成为Jordan 形。