苏教版高中数学选修(2-3)-2.1同步检测：随机变量及其概率分布1

随机变量及其概率分布一．教学目标（1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；（2）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；二．教学重点，难点（1）理解取有限值的随机变量及其分布列的概念；（2）初步掌握求解简单随机变量的概率分布．三．教学过程一．问题情境伴随着科技的发展，人类社会进入“数字化时代”，我们生活的各类信息都可转化为数字。

就数学本身而言，将研究对象数字化的做法更是比比皆是。

下面看现象：1在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数X是 0，1，…，10中的某个数；2抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1，2，3，4，5，6中的某一个数；3新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0和1中的某个数；……二．学生活动问题1：X=0表示？ X=3表示？X=5表示？Y=6表示？Z=1表示？问题2：观察上述结论的左右两边，从数字化的角度思考上述现象有哪些共同特点？X ，表示成活1棵；……1上面的植树问题中成活的树苗棵数X：12上述现象中的，Y，Z，实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射．三．建构数学1．随机变量：（1）定义：如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．（2）表示：通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z （或小写希腊字母ξ，η，ζ）等表示，用小写拉丁字母x ，y ，z （加上适当下标）等表示随机变量取的可能值．2．随机变量的概率分布：1概率分布列：一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是1x ，2x ，…，n x ，且()i i P X x p ==，1,2,,i n =⋅⋅⋅，① 则称①为随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．（2）概率分布表：也可以将①用表的形式来表示．我们将表称为随机变量X 的概率分布表．它和①都叫做随机变量X 的概率分布．3．随机变量分布列的性质：（1）0i p ≥； （2）121n p p p ++⋅⋅⋅+=．四．数学运用例1．（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X 表示掷得正面的次数，则随机变量X 的可能取值有哪些？（2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随机变量Y 的可能取值有哪些？e:写出下列各随机变量可能的取值1盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意 取出3支，其中所含白笔的支数X ；2从4张已编有1～4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和Y ；3一袋中装有5只同样大小的白球，编号为 1,2,3,4,5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数为Z 。

课后导练基础达标1. 抛掷2颗骰子,所得点数之和记为X ,那么X =4表示的随机试验结果是( ) A .2颗都是4点 B .1颗1点,另1颗3点 C.2颗都是2点 D.1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点解析:由于抛掷1颗骰子,可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这6种情况之一,而X 表示抛掷2颗骰子所得到的点数之和,所以X =4=1+3=2+2表示的随机试验结果是:1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点.故选D. 答案:D2.下列4个表格中,可以作为离散型随机变量分布列的一个是( ) A .X 0 1 2 P0.30.40.5B .X 0 1 2 P0.3-0.10.8C.X 1 2 3 4 P0.20.50.3D.X 012P71 72 73 解析:利用离散型随机变量的分布列的性质检验即可. 答案:C3.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X =0)等于( ) A .0B .21C.31D.32 解析:设X 的分布列为X1P p 2p即“X =0”表示试验失败,“X =1”表示试验成功,设失败率为p ,则成功率为2p . ∴由p +2p =1,得p =31.故应选C. 答案:C4.设ξ的概率分布如下,则正确的是( )ξ X 1 X 2 … X n P iP 1P 2…P nA .P i ≥0B .P 1+P 2+…+P n =1 C.P i ≥0且P 1+P 2+…+P n =1 D.0≤P i ≤1 解析:由离散型随机变量的分布列性质可知选C. 答案:C5.设某运动员投篮投中的概率为P =0.3,则一次投篮时投中次数的分布列是________.解析:此分布列为两点分布列. 答案:X1P 0.7 0.36.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数不超过1人的概率是_____________.解析:设所选女生人数为x ,则x 服从超几何分布, 其中N =6,M =2,n -3,则 P (x ≤1)=P (x =0)+P (x =1)=54C C C 362412363402=+C C C . 答案:547.在掷一枚图钉的随机试验中,令X =⎩⎨⎧针尖向下针尖向上，,0,1,如果针尖向上的概率为0.8,试写出随机变量X 的分布列为__________. 答案:X1P 0.2 0.88.某人进行一项试验,若试验成功则停止试验,若试验失败,则再重新试验一次；若试验3次均失败,则放弃试验.若此人每次试验成功的概率为32,求此人试验次数ξ的分布列. 解析:试验次数ξ的可能值为ξ=1,2,3,且P (ξ=1)=32,P (ξ=2)=31×32=92, P (ξ=3)= 31×31×(31+32)=91,所以ξ的分布列为ξ 123P32 92 91 9.将3个不同小球任意地放入4个大小有别的玻璃杯中去,杯子中球的最大个数记为X ,求X 的分布列.解:依题意,可知杯子中球的最大个数X 的所有可能值为1,2,3.当X =1时,对应于4个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形;当X =2时,对应于4个杯子中恰有一个杯子放两球的情形;当X =3时,对应于4个杯子恰有一个杯子放三个球的情形.当X =1时,P (X )=;834334=A当X =2时,P (X )=16943131423=••C C C ;当X =3时,P (X )=1614314=C .依上可得X 的分布列为X 123P83169 161 10.设离散型随机变量ξ所有可能值为1,2,3,4,且P (ξ=k )=ak (k =1,2,3,4). (1)求常数a 的值;(2)求随机变量ξ的分布列; (3)求P (2≤ξ<4).解:(1)由随机变量的分布列的性质,得 P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)+P (ξ=4)=1, 故a +2a +3a +4a =1,因此a =101. (2)由(1)知P (ξ=1)= 101,P (ξ=2)=51, P (ξ=3)= 101,P (ξ=4)=52.故ξ的分布列为ξ 1234P10151 103 52 (3)P (2≤ξ<4)=P (ξ=2)+P (ξ=3) =2110351=+. 综合运用11.设ξ的概率分布如下,则P 等于( )ξ -11P21 31 p －31 A .0 B .61 C. 31D.51 解析:∵313121++-p =1,∴p =61.答案:Bξ -1 0 1Pa31 61 则a 等于( ) A .0B .1C. 31D.21解析:由a +6131+ =1,得a =21.故选D. 答案:D拓展探究13. 一盒中有9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果取出的是次品将不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布,并求)2521(≤≤x p .解:易知,X 的可能取值为0，1，2，3这四个数,而X =k 表示共取了k+1次零件，前k 次取得的都是次品，第k+1次才取得正品,其中k=0,1,2,3. 当X =0时,即第一次取到正品,试验终止,此时,P （X =0)=4311219=C C ;当X =1时,即第一次取次品,第二次取正品,P (X =1)=4491111911213=•C C C C ;仿上,可得P (X =2)=2209109112123110191111211213=⨯⨯=••C C C C C C ; P (X =3)=2201101112123110111111211213=⨯⨯=••C C C C C C . X 0123P43 449 2209 2201 P (2≤X ≤2)=P (X =1)+P (X =2)=11022022044==+ .。

第2章概率2.1 随机变量及其概率分布5分钟训练(预习类训练，可用于课前）1。

抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X=4表示的随机试验结果是（)A。

2颗都是4点B。

1颗1点，另1颗3点C。

2颗都是2点D.1颗是1点,另1颗是3点，或者2颗都是2点答案：D解析：由于抛掷1颗骰子，可能出现的点数是1，2,3,4,5,6这6种情况之一，而X表示抛掷2颗骰子所得到的点数之和,所以X=4=1+3=2+2表示的随机试验结果是：1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点。

故选D.A.p i≥0 B。

p1+p2+…+p n=1C.p i≥0且p1+p2+…+p n=1D.0≤p i≤1答案:C解析:由离散型随机变量的分布列性质可知选C.3。

设某运动员投篮投中的概率为P=0。

3,则一次投篮时投中次数的分布列是_____________.10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.投掷均匀硬币一次，随机变量为（）A.出现正面的次数B。

出现正面或反面的次数C.掷硬币的次数D.出现正、反面次数之和答案:A解析:掷一枚硬币,可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1，故A正确；而B中标准模糊不清,C中掷硬币次数是1,不是随机变量;D中对应的事件是必然事件。

2。

给出下列A、B、C、D四个表，其中能成为随机变量ξ的分布列的是（)答案:B解析：对于表A ：由于0.6+0.3=0。

9＜1,故不能成为随机变量ξ的分布列;仿上，可知对于表C,有21+41+81+…+n 21=1-n 21＜1；对于表D,知31+31×32+31×（32）2+…+31×（32）n =31［1+32+(32)2+…+(32)n =1-(32）n+1＜1,故表C 、D 均不能成为随机变量ξ的分布列；对于B,由于0.902 5+0.095+0.002 5=1,故表B 可以成为随机变量ξ的分布列.3。

2.1 随机变量及其概率分布基础训练1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ 其中的ξ是离散型随机变量的是【 】A ．①B ．②C ．②③D ．①③2．下列叙述中，是离散型随机变量的为【 】A .某人早晨在车站等出租车的时间B .将一颗均匀硬币掷十次，出现正面或反面的次数C .连续不断的射击，首次命中目标所需要的次数D .袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性3.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则【 】A ．3n =B ．4n =C ．10n =D ．不能确定4.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为【 】A ．1112B ．3136C ．536D ．112 5.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是【 】A . ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B . ξ取所有可能值的概率之和为1C . ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D . ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和6．抛掷两枚骰子一次，设η为第一枚骰子与第二枚骰子的点数之差，则它的所有可能取值为【 】A .N ∈≤≤ηη,50B . N ∈≤≤ηη,61C . Z ∈≤≤-ηη,05D . Z ∈≤≤-ηη,557． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η8.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取球两次，设两次小球号码之和为Y，则Y所有可能值的个数？｛Y＝4｝的概率是多少？拓展训练1．下列叙述中，是随机变量的有【】①某工厂加工的零件，实际尺寸与规定尺寸之差；②标准状态下，水沸腾的温度；③某大桥一天经过的车辆数；④向平面上投掷一点，此点坐标.A．②③B．①②C．①③④D．①③2.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X>4”表示的实验结果是【】A.第一枚6点，第二枚2点B.第一枚5点，第二枚1点C.第一枚1点，第二枚6点D.第一枚6点，第二枚1点3.从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能的取值有【】A.17个B.18个C.19个D.20个4.袋中有大小相同的红球６个，白球５个，从袋中每次任取一球（不放回），直到取出球是白球为止，取球次数是一个随机变量，这个随机变量的可能取值为．5.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，（1）他收旅客的租车费η是否也是一个随机变量？如果是，找出租车费η与行车路程ξ的关系式；(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?这种情况下，停车累计时间是否也是一个随机变量？参考答案基础训练1.B2.C3.C4.B5.D6.D7. (1) ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5（2）η可取0，1，…,n ，η=i ，表示被呼叫i 次，其中i=0,1,2,…8．可取2～10之间的所有整数，共有9个；｛Y ＝4｝表示“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽3号、第二次抽1号，或者第一次、第二次都抽2号”.所以253553)4(=⨯==Y P拓展训练1.C2. D3.A4.1，2，3，4，5，65. （1）依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2.随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b (其中a 、b 是常数)也是随机变量.（2）由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟.停车累计时间不足五分钟，按五分钟计.所以，停车累计时间也是随机变量，可能取10～15之间的任一值.。

2.1 随机变量及其概率分布 同步练测1.已知随机变量ξ的概率分布为P （ξ=k ）=k21，k =1，2，…，n，则P （2<ξ≤4）等于______2.一个袋中装有大小相同的5个球，分别标有号码1，2，3，4，5.在有放回的条件下先后取两次，用ξ表示两次取得球的号码之和，则ξ所有可能取值的个数是______ 设离散型随机变量的概率分布如下： 已知随机变量的概率分布如下： 5．设某运动员投篮投中的概率为P ＝0.3，则一次投篮时投中次数的概率分布是______． 6.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (＜X ＜)的值为_____． (1)x = ；(2)P (η¿3)= .其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝______.二、解答题（本题共3小题，共52分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤） 9.（16分）袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次若取出黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X 的概率分布.10.（16分）一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号，写出随机变量ξ的概率分布11.（20分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的概率分布.2.1 随机变量及其概率分布同步练测答题纸得分：一、填空题1． 2． 3. 4. 5． 6． 7. 8.二、解答题9.10.11.2.1 随机变量及其概率分布同步练测参考答案一、填空题1.163解析：P（2<ξ≤4）=P（ξ=3）+P（ξ=4）=321+421=1632.9 解析：ξ可取2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个值.3.13解析：由离散型随机变量概率分布的性质，知P(X＝1)+P(X＝2)+P(X=3)+P(X=4)=1，所以p= P(X=4)=1- 16- 13- 16＝13.4.1 解析：由概率分布的性质知kn·n=1，∴k=1.5.6. 解析：由(＋＋＋)×a＝1,知a＝1,∴ a＝.故P(＜X＜)＝P(1)＋P(2)＝×＋×＝.7.(1)0 (2)0.45解析：(1)由概率分布的性质，得0.2+x+0.35+0.1+0.15+0.2=1，解得x=0.(2)P(η＞3)＝P(η=4)+P(η=5)+P(η=6)=0.1+0.15+0.2=0.45.8．解析：∵ a，b，c成等差数列，∴ 2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴ b＝，∴ P(|X|＝1)＝a＋c＝.二、解答题9.解：X的可能取值为1，2，3，4，5，则第一次取到白球的概率为P (X＝1)＝15，第二次取到白球的概率为P(X＝2)＝45×14= 15，第三次取到白球的概率为P(X=3)= 45×34×13= 15，第四次取到白球的概率为P(X＝4)＝45×34×23×12= 15，第五次取到白球的概率为P(X＝5)＝45×34×23×12×11=15.所以X的概率分布为10.解：根据题意可知随机变量ξ的取值为3，4，5当ξ=3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两球的编号只能是1，2，故P（ξ=3）=3522CC=101当ξ=4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两球只能在编号为1，2，3的3个球中取2个，故P（ξ=4）=3523CC=103同理P（ξ=5）=3524CC=10611.解：分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y的取值分别为17,18,19,20,21，P(Y＝17)＝＝，P(Y＝18)＝＝，P(Y＝19)＝＝，P(Y＝20)＝＝，P(Y＝21)＝＝，则这两名同学的植树总棵数Y的概率分布是。

第2章概率2.1随机变量及其概率分布(一)一、基础达标1.袋有2个黑球和6个红球，从任取两个，可以作为随机变量的是________.(填序号)①取到的球的个数；②取到红球的个数；③至少取到一个红球；④至少取到一个红球的概率.2.下列随机变量：①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；②某人射击2次，击目标的环数之和记为X；③测量一批电阻，在950 Ω 1 200 Ω之间的阻值记为X；④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其是离散型随机变量的是________.3.袋装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回取的条件下依次取两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是________.4.某人射击的命率为(0<<1)，他向一目标射击，当第一次射目标则停止射击，射击次数的取值是__________________.5.在一次比赛，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是______________.6.一木箱装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从随机取3个篮球，以ξ表示取的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有______种.7.一个袋装有5个白球和5个黑球，从任取3个，其所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能现的结果与对应的ξ的值.(2)若规定抽取的3个球，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量.二、能力提升8.设实数x ∈R ，记随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ∈(0，＋∞)，0，x ＝0，－1，x ∈(－∞，0).则不等式1x≥1的解集所对应的ξ的值为________. 9.袋 装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从 任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X ，则X 所有可能值的个数是________.10.一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码的次数为X ，随机变量X 的可能值有________个.11.设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写 ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果.12.小王钱夹 只剩有20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽 两张，用 买晚餐，用X 表示这两张金额之和.写 X 的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果.三、探究与创新13.写 下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果.在一个盒子 ，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子 ，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x ，y ，记ξ＝ x －2 ＋ y －x .答案精析1.②解析 袋 有2个黑球和6个红球，从 任取两个，取到球的个数是一个固定的数字，不是随机变量，故①不是；取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0,1,2，故②是；至少取到一个红球表示取到一个红球，或取到两个红球，表示一个事件，故③不是；至少取到一个红球的概率是一个古典概型的概率问题，不是随机变量，故④不是，故填②.2.①②3.9解析 两个球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个.4.1,2,3，…，n ，…解析 射击次数至少1次，由于命 率 <1，所以，这个人可能永远不会击 目标.5.300分，100分，－100分，－300分解析 有全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分.6.21解析 ξ＝8表示3个篮球 一个编号是8，另外两个从剩余7个号 选2个，有 27种方法，即21种.7.解 (1)列表如下：6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量.8.1解析 解1x≥1得其解集为{x 0＜x ≤1}，∴ξ＝1. 9.10解析 X 的所有可能值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3,2×4,2×5,3×4,3×5,4×5，共计10个. 10.24解析 后3个数是从6,7,8,9四个数 取3个组成的，共有A 34＝24(个).11.解 ξ＝0,1,2,3,4,5.ξ＝ ( ＝0,1,2,3,4)表示在遇到第 ＋1盏信号灯时首次停下.ξ＝5表示在途 没有停下，直达目的地.12.解 X 的可能取值为6,11,15,21,25,30.其 ，X ＝6，表示抽到的是1元和5元；X＝11，表示抽到的是1元和10元；X＝15，表示抽到的是5元和10元；X＝21，表示抽到的是1元和20元；X＝25，表示抽到的是5元和20元；X＝30，表示抽到的是10元和20元.13.解因为x，y可能取的值为1,2,3，所以0≤x－2 ≤1，0≤x－y≤2，所以0≤ξ≤3，所以ξ可能的取值为0,1,2,3.用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽得号码为y，则随机变量ξ取各值的意义为：ξ＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2,2).ξ＝1表示(1,1)，(2,1)，(2,3)，(3,3)ξ＝2表示(1,2)，(3,2)ξ＝3表示(1,3)，(3,1).。

第2章 概 率2.1 随机变量及其概率分布一、填空题1．10件产品 有2件次品，从 任取两件， ①取到的两件都是次品； ②取到次品的概率； ③取到次品的件数； ④取到正品的件数．其 是随机变量的为________．2．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则 (ξ＝1)＝________.3．设随机变量X 的可能取值为1,2,3，…，n ，且取每个值的概率均相同，若 (X ＜3)＝0.2，则整数n 的值为________．4．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则 (ξ＞8)＝________， (6＜ξ≤14)＝________.5．一木箱 装有8个同样大小的篮球，分别编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从 随机取 3个篮球，以ξ表示取 的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．6．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到的号码为X ，随机变量X 的可能取值有________个．7．在一次比赛 ，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________． 8．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则 (X ≤4)＝________.9．一批产品分为一、二、三级，其 一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品 随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则 ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝________. 10．由于电脑故障，使得随机变量X 的概率分布 部分数据丢失，以□代替，其表如下：根据该表可知X 取奇数值时的概率是________．11．把3个骰子全部掷 ，设 现6点的骰子个数是X ，则有 (X <2)＝________. 二、解答题12．一个盒子 装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球，从 摸 两球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0(两球全红)，1(两球非全红)，求X 的概率分布．13．将一颗骰子掷两次，求两次掷 的最大点数ξ的概率分布．三、探究与拓展14．若随机变量X 的概率分布列为 (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其 a 是常数，则 ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝____________.15．在一次购物抽奖活动，假设某10张奖券有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券任抽2张，求：(1)该顾客奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X的概率分布，并求(5≤X≤25)的值．答案精析1．③④ 2.23 3.10 4.23 23 5.216．24 7.－300，－100,100,300 8.16解析 根据题意，有 (X ≤4)＝ (X ＝2)＋ (X ＝3)＋ (X ＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)． 故 (X ＝2)＝136， (X ＝3)＝236＝118， (X ＝4)＝336＝112，所以 (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.9.47解析 设二级品有 个，则一级品有2 个，三级品有k 2个，总数为72 个．∴概率分布如下表：∴ ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝ (ξ＝1)＝47. 10．0.6解析 由随机变量概率分布的性质，可求得 (X ＝3)＝0.25， (X ＝5)＝0.15，故X 取奇数值时的概率为 (X ＝1)＋ (X ＝3)＋ (X ＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 11.252712．解 X 服从两点分布， (X ＝0)＝C 26C 211＝311，(X ＝1)＝C 25C 211＋C 15C 16C 211＝811.∴X 的概率分布如下表：13.解 由题意知ξ＝i (i ＝则 (ξ＝1)＝1C 16C 16＝136；(ξ＝2)＝3C 16C 16＝336＝112；(ξ＝3)＝5C 16C 16＝536；(ξ＝4)＝7C 16C 16＝736；(ξ＝5)＝9C 16C 16＝936＝14；(ξ＝6)＝11C 16C 16＝1136.所以抛掷两次掷 的最大点数构成的概率分布如下表：14.56解析 ∵ (X ＝1)＋ (X ＝2)＋ (X ＝3)＋ (X ＝4) ＝a ⎝⎛⎭⎫1－15＝1， ∴a ＝54.∴ ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝ (X ＝1)＋ (X ＝2)＝a 1×2＋a 2×3＝a ⎝⎛⎭⎫1－13＝54×23＝56. 15．解 (1)该顾客 奖的概率 ＝1－C 26C 210＝1－13＝23.(2)X 的可能取值为0,10,20,50,60.(X ＝0)＝C 26C 210＝13， (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，(X ＝20)＝C 23C 210＝115， (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，(X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.故随机变量X 的概率分布如下表：所以 (5≤X ≤25)＝ (X ＝25＋115＝715.。

2.1随机变量及其概率分布教案教学目标（1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；（2）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；（3）感受社会生活中大量随机现象都存在着数量规律，培养辨证唯物主义世界观． 教学重点，难点（1）理解取有限值的随机变量及其分布列的概念； （2）初步掌握求解简单随机变量的概率分布． 教学过程 一．问题情境在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数X 是 0，1，…，10中的某个数；抛掷一颗骰子，向上的点数Y 是1，2，3，4，5，6中的某一个数；新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z 是0和1中的某个数；……上述现象有哪些共同特点？ 二．学生活动上述现象中的X ，Y ，Z ，实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射．例如，上面的植树问题中成活的树苗棵数X ：0X =，表示成活0棵；1X =，表示成活1棵；…… 三．建构数学 1．随机变量：一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z （或小写希腊字母，，ζ）等表示，而用小写拉丁字母，y ，（加上适当下标）等表示随机变量取的可能值．如：上面新生婴儿的性别Z 是一个随机变量，0Z =，表示新生婴儿是男婴；1Z =，表示新生婴儿是女婴．例1．（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X 表示掷得正面的次数，则随机变量X 的可能取值有哪些？（2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随机变量Y 的可能取值有哪些？解 （1）抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，所以变量X 的取值可能是1（正面向上），也可能是0（反面向上），故随机变量X 的取值构成集合{0，1}．（2）根据条件可知，随机变量Y 的可能值有4种，它的取值集合是{1，2，3，4}． 说明：(1)引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示．(2) 在例1（1）中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为{1}X =，随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为{0}X =．(3) 在例1（2）中，也可用{1}Y =，{2}Y =，{3}Y =，{4}Y =分别表示取到1号、2号、3号和4号白鼠这4个随机事件．另一方面，在例1（2）中，可以用{3}Y ≤这样的记号表示“取到1号、2号或3号白鼠”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示．这样，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了．如例1（1）中{1}X =的概率可以表示为{1}P X ==（） {P 抛一枚硬币， 1}2=正面向上，其中{1}P X =（）常简记为1P X =（）．同理，0P X =1（）=．这一结果可用表2-1-1来描述．例1（2）中随机变量Y 所表示的随机事件发生的概率也可用表2-1-2来描述．上面的两个表格分别给出了随机变量X ，Y 表示的随机事件的概率，描述了随机变量的分布规律．2．随机变量的概率分布：一般地，假定随机变量X 有个不同的取值，它们分别是1x ，2x ，…，n x ，且()i i P X x p ==，1,2,,i n =⋅⋅⋅，① 则称①为随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．也可以将①用表2-1-3的形式来表示．我们将表2-1-3称为随机变量X 的概率分布表．它和①都叫做随机变量X 的概率分布．3．随机变量分布列的性质：（1）0i p ≥； （2）121n p p p ++⋅⋅⋅+=． 四．数学运用 1．例题：例2．从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即1,0,X ⎧=⎨⎩当取到白球时，当取到红球时，求随机变量X 的概率分布．解 由题意知42(0)645P X ===+，63(1)645P X===+，故随机变量X 的概率分布列为2(0)P X ==，3(1)P X ==，概率分布表如下．说明：1．本题中，随机变量X 只取两个可能值0和1．像这样的例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”等．我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为X ~0-1分布或X ~两点分布．此处“~”表示“服从”．2．求随机变量X 的分布列的步骤：（1）确定X 的可能取值(1,2,)i x i =…；（2）求出相应的概率()i i P X x p ==；（3）列成表格的形式。