高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的标准方程课后训练新人教B版选修2_1

椭圆椭圆的标准方程．了解椭圆标准方程的推导．．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)．掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点、难点)[基础·初探]教材整理椭圆的定义阅读教材前自然段，完成下列问题．平面内与两个定点，的距离的和等于的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距．【答案】常数(大于) 两个定点两焦点的距离判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( ) ()在椭圆定义中，将“大于”改为“等于”的常数，其它条件不变，点的轨迹为线段．( )()到两定点(－)和()的距离之和为的点的轨迹为椭圆．( )【答案】()×()√()×教材整理椭圆的标准方程阅读教材第自然段～“思考与讨论”，完成下列问题.椭圆＋＝的焦点在轴上，焦距为，椭圆＋＝的焦点在轴上，焦点坐标为．【解析】由>可判断椭圆＋＝的焦点在轴上，由＝－＝，可得＝，故其焦距为.由>，可判断椭圆＋＝的焦点在轴上，＝－＝，故焦点坐标为(，)和(，－)．【答案】(，)和(，－)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]()两个焦点的坐标分别为(－)和()，且椭圆经过点()；()焦点在轴上，且经过两个点()和()；()经过点(，－)和点(－，)．【自主解答】()由于椭圆的焦点在轴上，∴设它的标准方程为＋＝(＞＞)．∴＝，＝，∴＝－＝－＝.故所求椭圆的标准方程为＋＝.()由于椭圆的焦点在轴上，。

2.1.2 椭圆的几何性质课后训练1．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为( )A C．1 2210=，化简的结果是( )A．2212516x y+= B．2212521x y+=C．221254x y+= D．2212521y x+=3．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点是(0，－4)，则k的值为( )A．132B．8 C．18D．324．椭圆的对称轴为坐标轴，若它的长轴长与短轴长之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为( )A．221916x y+= B．2212516x y+=C．2212516x y+=或2211625x y+= D．2211625x y+=5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A．45B．35C．25D．156．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于______．7．已知椭圆的一个焦点将长轴分成长度比为的两段，则其离心率为__________．8．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为F(-，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是____________________．9．如果椭圆22189x yk+=+的离心率为12，求k的值．参考答案1.答案：B2.答案：B 由题意可知，方程表示点(x，y)与两个定点(2,0)和(－2,0)之间的距离，又两定点之间的距离为4,4＜10，符合椭圆的定义，即2a＝10,2c＝4，从而可求得b2＝21.3.答案：A 先化成标准方程为221112x yk k+=，又焦点是(0，－4)，可知焦点在y轴上，所以112k k>>，又c＝4，所以11162k k-=，解得132k=.4.答案：C5.答案：B 依题意有2×2b＝2a＋2c，即2b＝a＋c，∴4b2＝a2＋2ac＋c2.∵b2＝a2－c2，∴4a2－4c2＝a2＋2ac＋c2，∴3a2－2ac－5c2＝0，两边同除以a2，即有5e2＋2e－3＝0，解得35e=或e＝－1(舍去)．故选B.6.答案：22椭圆的焦距长等于它的短轴长，即2b＝2c，则有a2＝b2＋c2＝2c2，解得a=，所以2cea==.7.答案：5-由题意得(a＋c)∶(a－c)11ee+=-e＝5－8.答案：221164x y+=由题意可设该椭圆的标准方程为22221x ya b+=(a＞b＞0)，由已知得2222,ca ba b c⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得a2＝16，b2＝4，所以椭圆的标准方程为221164x y+=.9.答案：分析：所给椭圆的焦点不确定应分两种情况讨论，利用离心率的定义解题．解：当焦点在x轴上，即k＞1时，b＝3，a=∴c=12cea===，解得k＝4，符合k＞1的条件．当焦点在y轴上，即－8＜k＜1时，a＝3，b=c===∴12cea===，解得54k=-，符合－8＜k＜1的条件．综上所述，k＝4或54 k=-.。

2.2.1 椭圆及其标准方程课后篇巩固提升1.已知方程x 2x -4+x 210-x=1表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是( )A.(4,10)B.(7,10)C.(4,7)D.(4,+∞)解析依题意有k-4>10-k>0,解得7<k<10. 答案B2.中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆方程为( ) A.x 24+x 22=1 B.x 24+x 22=1 C.x 216+x 24=1D.x 216+x 24=1解析(方法一)验证排除,将点(4,0)代入验证可排除A,B,C,故选D .(方法二)设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0), 则{16x =1,4x =1,解得{x =116,x =14,故选D . 答案D3.已知椭圆x 2x +y 2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k= ( )A.√3B.√5C.3D.5解析因为椭圆x 2x+y 2=1的一个焦点是(2,0),所以k>1,因为k-1=4,所以k=5.故选D.答案D4.化简方程√x 2+(x +3)2+√x 2+(x -3)2=10为不含根式的形式是( )A.x 225+x 216=1 B.x 225+x 29=1 C.x 216+x 225=1D.x 29+x 225=1解析由题意可知方程表示点(x,y)与两个定点(0,3)和(0,-3)之间的距离之和为10,又两定点之间的距离为6,且6<10,符合椭圆的定义,即2a=10,2c=6,从而可求得b2=16,相应椭圆方程为x216+x225=1.答案C5.已知F1,F2分别为椭圆x225+x29=1的左、右焦点,倾斜角为60°的直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则△AF2B的周长为() A.10 B.12C.16D.20解析由椭圆x225+x29=1可得a=5,△AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△AF2B周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△AF2B周长=4a=20.故选D. 答案D6.设椭圆x2x2+x24=1过点(-2,√3),那么焦距等于.解析因为椭圆x2x2+x24=1过点(-2,√3),所以m2=16,则c2=16-4=12,故焦距2c=4√3.答案4√37.已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上的一点,若|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,则该椭圆的标准方程是.解析由题意得2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,所以4c=2a.因为c=1,所以a=2.所以b2=a2-c2=3.故椭圆的标准方程为x24+x23=1.答案x24+x23=18.若方程x27-x +x2x-1=1表示椭圆,则实数m的取值范围是.解析根据椭圆标准方程的形式,可知方程x27-x +x2x-1=1表示椭圆的条件是{7-x>0,x-1>0,7-x≠x-1,解得1<m<7且m≠4,所以实数m的取值范围是(1,4)∪(4,7).答案(1,4)∪(4,7)9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.解当焦点在x轴上时,设其标准方程为x2x2+x2x2=1(a>b>0),由椭圆过点P(3,0),知9x2+0x2=1.又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为x29+y2=1.当焦点在y轴上时,设其标准方程为x2x2+x2x2=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知0x2+9x2=1.又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为x281+x29=1.故椭圆的标准方程为x281+x29=1或x29+y2=1.10.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3√2);(2)经过两点(2,-√2),(-1,√142).解(1)(方法一)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为x2x2+x2x2=1(a>b>0).由椭圆的定义知2a=√(4-0)2+(3√2+2)2+√(4-0)2+(3√2-2)2=12, 所以a=6.又c=2,所以b=√x2-x2=4√2.所以椭圆的标准方程为x 236+x 232=1.(方法二)因为椭圆的焦点在y 轴上,所以可设其标准方程为x 2x2+x 2x2=1(a>b>0). 由题意得{18x 2+16x 2=1,x 2=x 2+4,解得{x 2=36,x 2=32. 所以椭圆的标准方程为x 236+x 232=1.(2)(方法一)若椭圆的焦点在x 轴上, 设椭圆的标准方程为x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0). 由已知条件得{4x 2+2x 2=1,1x 2+144x2=1,解得{1x 2=18,1x 2=14.所以所求椭圆的标准方程为x 28+x 24=1.同理可得,焦点在y 轴上的椭圆不存在. 综上,所求椭圆的标准方程为x 28+x 24=1.(方法二)设椭圆的一般方程为Ax 2+By 2=1(A>0,B>0,A ≠B ). 将两点(2,-√2),(-1,√142)代入, 得{4x +2x =1,x +144x =1,解得{x =18,x =14,所以所求椭圆的标准方程为x 28+x 24=1.11.(选做题)如图所示,△ABC 的底边BC=12,其他两边AB 和AC 上中线的和为30,求此三角形重心G 的轨迹方程,并求顶点A 的轨迹方程.解以BC 边所在直线为x 轴,BC 边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则B (6,0),C (-6,0),CE ,BD 为AB ,AC 边上的中线, 则|BD|+|CE|=30.由重心性质可知,|GB|+|GC|=23(|BD|+|CE|)=20>12.∵B ,C 是两个定点,G 点到B ,C 的距离和等于定值20,且20>12=|BC|, ∴G 点的轨迹是椭圆,B ,C 是椭圆焦点, ∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20, a=10,b 2=a 2-c 2=102-62=64,故G 点的轨迹方程为x 2100+x 264=1(x ≠±10).设G (x',y'),A (x ,y ),则有x '2100+x '264=1.由重心坐标公式知{x '=x 3,x '=x 3,故A 点轨迹方程为(x3)2100+(x3) 264=1,即x 2900+x 2576=1(x ≠±30).。

2.2.1 椭圆及其标准方程课后训练1．椭圆22=1144169x y+的焦点坐标是( )A．(±5,0) B．(0，±5) C．(0，±12) D．(±12,0)2．已知椭圆22=1102x ym m+--的焦点在y轴上，若焦距为4，则m＝( )A．4 B．5 C．7 D．83．设F1，F2是椭圆22=11612x y+的焦点，P为椭圆上的一点，则△PF1F2的周长为( )A．10 B．12C．16 D．不确定4．已知椭圆的焦距为，椭圆上一点到两焦点的距离的和为8，则椭圆的标准方程为( )A．22=11625x y+ B．22=1169x y+C．22=1916x y+ D．22=1169x y+或22=1916x y+5．椭圆22=1259x y+上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )A．2 B．4 C．8 D．3 26．设M是椭圆22=11625x y+上一点，F1，F2是椭圆的焦点．若|MF2|＝4，则|MF1|＝__________.7．已知椭圆的焦距|F1F2|＝6，AB是过焦点F1的弦，且△ABF2的周长为20，则该椭圆的标准方程为__________．8．已知椭圆22:=12xC y+的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足220<+12xy<，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为____________．9．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝1及圆B：(x－3)2＋y2＝81，动圆P与圆A外切，与圆B内切，求动圆圆心P的轨迹方程．10．已知椭圆2222=1(0)x ya ba b+>>上一点P，F1，F2为椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2的面积．参考答案1. 答案：B 易知焦点在y 轴上，a 2＝169，b 2＝144.则c =.2. 答案：D 因为焦点在y 轴上， 所以20,100,6<<10.210m m m m m ->⎧⎪->⇒⎨⎪->-⎩又焦距为4，所以m －2－10＋m ＝4m ＝8. 3. 答案：B4. 答案：D∵2c =，∴c =∵2a ＝8，∴a ＝4.又∵焦点不知在哪个轴上，∴标准方程有两个，故选D.5. 答案：B 设椭圆的右焦点为F 2，则由|MF 1|＋|MF 2|＝10，知|MF 2|＝10－2＝8，又因点O 为F 1F 2的中点，点N 为MF 1的中点，所以21=42|ON ||MF |=.故选B. 6. 答案：6 7. 答案：22=11625x y +或22=12516x y + 由椭圆定义知4a ＝20， ∴a ＝5.而2c ＝6，∴c ＝3，∴b 2＝52－32＝16. ∴椭圆的标准方程为22=11625x y +或22=12516x y +. 8. 答案：⎡⎣ ∵点P (x 0，y 0)满足22000<+<12x y ， ∴点P 在椭圆内且不过原点，∴|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|＜2a .又∵a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝a 2－b 2＝1，即c ＝1，∴122||+|PF PF ≤9. 答案：分析：利用椭圆定义先判断动圆圆心P 的轨迹是椭圆，再求其方程． 解：设动圆的半径为r .由所给圆的方程知：A (－3,0)，B (3,0)．由题意可得，|PA |＝r ＋1，|PB |＝9－r ，故|PA |＋|PB |＝10＞|AB |＝6，由椭圆定义知动点P 的轨迹是椭圆．其中2a ＝10,2c ＝6，即a ＝5，c ＝3，所以b 2＝16，故动圆圆心P 的轨迹方程为22=12516x y +. 10. 答案：分析：计算三角形的面积有多种公式可供选择，其中与已知条件联系最密切的应为12F PF S ∆＝12|PF 1|·|PF 2|·sin θ，所以应围绕|PF 1|·|PF 2|进行计算．解：如图，由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，而在△F 1PF 2中，由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos θ＝4c 2，即4(a 2－c 2)＝2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)．∴|PF 1||PF 2|＝221cos b θ+， ∴121=2F PF S ∆|PF 1|·|PF 2|2sin sin =1+cos b θθθ.。

2.2.1 椭圆及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．若F 1，F 2是两个定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段解析：因为|MF 1|＋|MF 2|＝6＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是线段F 1F 2. 答案：D2．椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |(O 是坐标原点)的值是( )A ．4B ．2C ．8 D.32答案：A3．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点F 在BC 上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：由题意，知a ＝ 3.由椭圆的定义， 得|BF |＋|BA |＝|CF |＋|CA |＝2a ＝2 3.所以(|BF |＋|CF |)＋|BA |＋|CA |＝|BC |＋|BA |＋|CA |＝43， 即△ABC 的周长为4 3. 答案：C4．在△ABC 中，A (－4，0)，B (4，0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 225＋y 29＝1 B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 答案：D5．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞3B ．a ＞3或a ＜－2C ．a ＜－2D ．a ＞3或－6＜a ＜－2解析：由于椭圆焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）（a －3）＞0，a ＞－6.⇔a ＞3或－6＜a ＜－2. 答案：D 二、填空题6．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2连线的夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________．解析：由椭圆定义及标准方程知|PF 1|＋|PF 2|＝14. 且|PF 1|2＋|PF 2|2＝100， 联立可得|PF 1|·|PF 2|＝48. 答案：487．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为_____________________．解析：由已知2a ＝8，2c ＝215，所以a ＝4，c ＝15，所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1， 所以椭圆标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y 216＋x 2＝18．已知椭圆x 220＋y 2k＝1的焦距为6，则k 的值为________．解析：由已知2c ＝6，得c ＝3. 所以20－k ＝9或k －20＝9， 所以k ＝11或k ＝29. 答案：11或29 三、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3，2)； (2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 解：(1)由焦距是4可得c ＝2且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)． 由椭圆的定义知2a ＝32＋（2＋2）2＋32＋（2－2）2＝8， 所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知2c ＝10，2a ＝26，所以c ＝5，a ＝13， 所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.10．一个动圆与已知圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．解：两定圆的圆心和半径分别为Q 1(－3，0)，r 1＝1；Q 2(3，0)，r 2＝9. 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，如图所示，由题意有|MQ 1|＝1＋R ，|MQ 2|＝9－R ， 所以|MQ 1|＋|MQ 2|＝10＞|Q 1Q 2|＝6.由椭圆的定义可知点M 在以Q 1，Q 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16.故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. B 级 能力提升1．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1 答案：B2．a ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，若方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析：方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.因为椭圆的焦点在y 轴上，所以1cos α＞1sin α＞0.又因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞cos α＞0，所以π4＜α＜π2.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π4，π23．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c ＞0)． 因为F 1A ⊥F 2A ，则F 1A →·F 2A →＝0.又F 1A →＝(－4＋c ，3)，F 2A →＝(－4－c ，3)，所以(－4＋c )(－4－c )＋32＝0，所以c 2＝25，即c ＝5. 所以F 1(－5，0)，F 2(5，0)，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝ （－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝ 10＋90＝410. 所以a ＝210，所以b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. 所以所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.。

2.2.1 椭圆及其标准方程[A 基础达标]1.若椭圆x 225＋y 24＝1上一点P 到焦点F 1的距离为3,则点P 到另一焦点F 2的距离为 ( )A.6B.7C.8D.9解析：选B.根据椭圆的定义知,|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10,因为|PF 1|＝3,所以|PF 2|＝7.2.若椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2,则m 的值为( )A.5B.3C.5或3D.8解析：选C.由题意得c ＝1,a 2＝b 2＋c 2.当m >4时,m ＝4＋1＝5；当m <4时,4＝m ＋1,所以m ＝3.3.如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围是( )A.a >3B.a <－2C.a >3或a <－2D.a >3或－6<a <－2解析：选D.由a 2>a ＋6>0得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2. 4.已知P 为椭圆C 上一点,F 1,F 2为椭圆的焦点,且|F 1F 2|＝23,若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|,则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B.由已知2c ＝|F 1F 2|＝23,所以c ＝ 3. 因为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43, 所以a ＝23,所以b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.5.椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2,N 是MF 1的中点,则|ON |等于( )A.2B.4C.6D.32解析：选B.设椭圆的另一个焦点为F 2,因为椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2,即|MF 1|＝2,又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10,所以|MF 2|＝8. 因为N 是MF 1的中点,O 是F 1F 2的中点, 所以|ON |＝12|MF 2|＝4.6.已知椭圆的焦点在y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为215,则此椭圆的标准方程为__________.解析：由已知2a ＝8,2c ＝215, 所以a ＝4,c ＝15, 所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y 轴上,所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y 216＋x 2＝17.已知椭圆C 经过点A (2,3),且点F (2,0)为其右焦点,则椭圆C 的标准方程为____________.解析：法一：依题意,可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0),且可知左焦点为F ′(－2,0).从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2,所以b 2＝12, 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意,可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0),则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去), 从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝18.椭圆的两焦点为F 1(－4,0),F 2(4,0),点P 在椭圆上,若△PF 1F 2的面积最大为12,则椭圆的标准方程为____________.解析：如图,当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大,所以12×8b ＝12,所以b ＝3.又因为c ＝4,所以a 2＝b 2＋c 2＝25.所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝19.求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0),F 2(4,0),并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0,－2),(0,2),经过点(4,32).解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上,且c ＝4,2a ＝10,所以a ＝5,b ＝a 2－c 2＝25－16＝3,所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上,所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).法一：由椭圆的定义知2a ＝（4－0）2＋（32＋2）2＋（4－0）2＋（32－2）2＝12,解得a ＝6.又c ＝2,所以b ＝a 2－c 2＝4 2.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为所求椭圆过点(4,32),所以18a 2＋16b2＝1.又c 2＝a 2－b 2＝4,可解得a 2＝36,b 2＝32, 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.10.已知B ,C 是两个定点,|BC |＝8,且△ABC 的周长等于18,求这个三角形的顶点A 的轨迹方程.解：以过B ,C 两点的直线为x 轴,线段BC 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系xOy ,如图所示.由|BC |＝8,可知点B (－4,0),C (4,0). 由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18,|BC |＝8, 得|AB |＋|AC |＝10.因此,点A 的轨迹是以B ,C 为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10,c ＝4,但点A 不在x 轴上.由a ＝5,c ＝4,得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0).[B 能力提升]11.已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点,M ,N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点,则|PM |＋|PN |的最小值为( )A.5B.7C.13D.15解析：选B.由题意知椭圆的两个焦点F 1,F 2分别是两圆的圆心,且|PF 1|＋|PF 2|＝10,从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.12.(2019·汕头高二检测)设F 1,F 2为椭圆x 29＋y 2＝1的两个焦点,点P 在椭圆上,若线段PF 1的中点在y 轴上,则|PF 2||PF 1|的值为( )A.113B.115C.117D.119解析：选C.因为线段PF 1的中点在y 轴上,所以PF 2⊥x 轴,|PF 2|＝b 2a ＝13,|PF 1|＝2a －|PF 2|＝6－13＝173,所以|PF 2||PF 1|＝117.13.如图所示,已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0),P 为椭圆上一点,且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P 在第二象限,∠F 2F 1P ＝120°,求△PF 1F 2的面积.解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0),焦距为2c ,则由已知得c ＝1,|F 1F 2|＝2,所以4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,所以a ＝2, 所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3, 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中,|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－|PF 1|.由余弦定理,得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°, 即(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|, 所以|PF 1|＝65,所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|PF 1|·sin 120°＝12×2×65×32＝335.14.(选做题)设F 1,F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点,B 为椭圆上的点且坐标为(0,－1).(1)若P 是该椭圆上的一个动点,求|PF 1|·|PF 2|的最大值； (2)若C 为椭圆上异于B 的一点,且BF →1＝λ CF →1,求λ的值； (3)设P 是该椭圆上的一个动点,求△PBF 1的周长的最大值.解：(1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1,所以a ＝2,b ＝1,c ＝3,即|F 1F 2|＝23,又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4,所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4,当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时取“＝”,所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4. (2)设C (x 0,y 0),B (0,－1),F 1(－3,0), 由BF →1＝λ CF →1, 得x 0＝3（1－λ）λ,y 0＝－1λ.又x 204＋y 20＝1,所以有λ2＋6λ－7＝0,解得λ＝－7或λ＝1,C 异于B 点,故λ＝1舍去,所以λ＝－7.(3)因为|PF 1|＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|,所以△PBF 1的周长≤4＋|BF 2|＋|BF 1|＝8,所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时,△PBF 1的周长最大,最大值为8.。

椭圆几何性质课后训练1．如果一个椭圆长轴长是短轴长2倍，那么这个椭圆离心率为( )AC D ．12 2．焦点在x 轴上椭圆离心率为12，且它长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0半径，那么椭圆标准方程是( )A ．B ．C ．D ．3．过椭圆左焦点F 1作x 轴垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，假设∠F 1PF 2＝60°，那么椭圆离心率为( )A BC ．3D ．24．假设方程表示焦点在y 轴上椭圆，那么a 取值范围是( )A ．a ＜0B ．－1＜a ＜0C ．a ＜1D ．无法确定5．假设一个椭圆长轴长度、短轴长度和焦距成等差数列，那么该椭圆离心率是( ) A ．45 B ．35C ．25D ．15 6．如果椭圆离心率为12，那么k ＝__________.7__________．8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆一个焦点和一个顶点．那么该椭圆离心率等于__________．9．椭圆过点，且离心率，求此椭圆方程．10．椭圆离心率，连接椭圆四个顶点得到菱形面积为4，求椭圆方程．参考答案1. 答案：B2. 答案：A 由x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2aa ＝2.又，cb 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.应选A. 3. 答案：C 在Rt △PF 1F 2中，设|PF 1|＝m ，由得12||=3F F m ，|PF 2|＝2m ，那么121223==2+||F F c e a PF PF . 4. 答案：B 方程表示焦点在y 轴上椭圆，所以20,0,1010a a a a a a <<⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<<-⎩⎩. 5. 答案：B 依题意有2×2b ＝2a ＋2c ，即2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝a 2＋2ac ＋c 2.∵b 2＝a 2－c 2，∴4a 2－4c 2＝a 2＋2ac ＋c 2，∴3a 2－2ac －5c 2＝0，两边同除以a 2，即有5e 2＋2e －3＝0，解得35e =或e ＝－1(舍)．应选B.6. 答案：4或54- 当焦点在x 轴上，即k ＞1时，b ＝3，=8a k + ∴22=891c a b k k -=+-=-∴，解得kk ＞1，∴k ＝4；当焦点在y 轴上，即－8＜k ＜1时，a ＝3，8b k =+ ∴22=981c a b k k -=--=-∴，解得，符合－8＜k ＜1，∴.综上得k ＝4或54-. 7. 答案：526- 由题意得():()=32a c a c +-，即，解得526e =-.8. 答案：55由题意知椭圆焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴，y 轴交点分别为(2,0)，(0,1)，它们分别是椭圆焦点和顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而=5a .9. 答案：分析：由椭圆离心率可得a ，c 关系，从而知道b ，c 关系，再由点在椭圆上，代入方程即可，从而求得椭圆标准方程．解：由题意知，椭圆离心率，∴，∴a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴椭圆方程为，又点在椭圆上，∴，∴c2＝1，∴椭圆方程为.10.答案：分析：由离心率及a2＝b2＋c2可得a＝2b，由菱形面积为4，可得ab＝2，两式联立可求得a，b，从而得到椭圆方程．解：由，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，解得a＝2b.由题意可知，即ab＝2.解方程组得所以椭圆方程为.。

第二章 2.2 2.2.1请同学们认真完成练案[11]A 级 基础巩固一、选择题1．设F 1、F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( D ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段[解析]∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是( A )A ．x 215＋y 210＝1B ．x 2225＋y 2100＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 2100＋y 2225＝1[解析]将点(－3,2)代入验证，只有A 的方程满足，故选A ．3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( D ) A ．x 24＋y 22＝1B ．y 24＋x 22＝1C ．y 216＋x 24＝1D ．x 216＋y 24＝1[解析]解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A 、B 、C ，故选D ． 解法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧16m ＝14n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝116n ＝14，故选D ．4．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O为坐标原点，那么线段ON 的长是( B )A ．2B ．4C ．8D ．32[解析]设椭圆左焦点F ，右焦点F 1，∵2a ＝10，|MF |＝2，∴|MF 1|＝8，∵N 为MF 中点，O 为FF 1中点，∴|ON |＝12|MF 1|＝4.5．(2019－2020学年房山区期末检测)“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是( A )A ．m ＞n ＞0B ．n ＞m ＞0C ．mn ＞0D ．mn ＜0[解析]若方程表示椭圆，则m ，n ≠0，则方程等价为x 21m ＋y 21n ＝1，若方程表示焦点在y 轴上椭圆，则等价为1n ＞1m＞0，解得：m ＞n ＞0，故选A ．6．(2019－2020学年某某省某某市某某师大附中高二期中)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则△MF 1F 2的面积为( D )A ．53B ．10 3C ．215D ． 415[解析]设M (m ，n )，m ，n ＞0，则m ∈(0,6)，n ∈(0，25)， 椭圆C ：x 236＋y 220＝1的a ＝6，b ＝25，c ＝4.设F 1，F 2分别为椭圆C 的左右焦点，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|＞|MF 2|，|F 1F 2|＝2c ＝8， 因为|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝12，所以|MF 1|＞6，|MF 2|＜6， △MF 1F 2为等腰三角形，只能|MF 2|＝2c ＝8，则|MF 2|＝4， 由勾股定理得|MF 2|2＝(4－m )2＋n 2＝16， 又m 236＋n 220＝1，联立并消去n 得 m 2－18m ＋45＝0，且m ∈(0,6)，解得m ＝3，则n ＝15. 则△MF 1F 2的面积为12×8×15＝415.故选D ．二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__x 24＋y 23＝1__.[解析]由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 8．(某某市2019－2020学年高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为[解析]由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc ＝1，因为a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋1b2≥2，所以a ≥2，故长轴长的最小值为22，答案为2 2.三、解答题9．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)a ：c ＝13：5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析](1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又a c ＝135，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.10．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．[解析]如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2， ∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |， ∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆， ∴a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1. B 级 素养提升一、选择题1．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1、F 2分别在其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N是MF 1的中点，则|ON |的长为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析]由椭圆定义得|MF 2|＋|MF 1|＝2a ＝10， 因为|MF 1|＝2，所以|MF 2|＝8. 因为N 是MF 1的中点，所以|ON |＝|MF 2|2＝4.故选D ． 2．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( D )A ．x 225＋y 29＝1B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0)[解析]∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D ．3．(多选题)若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值X 围可以是( AD )A ．a >3B ．a <－2C ．－2<a <3D ．－6<a <－2[解析]由题意得a 2>a ＋6>0， 解得a >3或－6<a <－2，故选AD ．4．(多选题)直线2x ＋by ＋3＝0过椭圆10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值可以为( AB ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．12[解析]椭圆方程化为标准形式为x 2＋y 210＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b ＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b ＝1.故选AB ．二、填空题5．下列命题是真命题的是__③__.①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；③若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆．[解析]①2<2，故点P 的轨迹不存在；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；③点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为410>8，故点P 的轨迹为椭圆．故填③.6．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为__15__.[解析]由椭圆的方程可得a ＝5，b ＝4，c ＝3. ∴F 1(－3,0)，F 2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2a －|PF 2|＝10＋(|PM |－|PF 2|)≤10＋|MF 2|＝10＋32＋42＝15，∴|PM |＋|PF 1|的最大值为15. 三、解答题7．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．[解析]当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b2＝1，又a ＝3b ，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x 29＝1. 故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2＝1.8．如图所示，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)．Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．[解析]如图所示，连接MA ，由题知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.又点M 在AQ 的垂直平分线上， 所以|MA |＝|MQ |，故|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5. 又A (1,0)，C (－1,0)，故点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆， 且2a ＝5，c ＝1，故a ＝52，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1.。

一、选择题1．若方程x 2m 2＋y 2m ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ( )A ．m ＞3B ．m ＜－2C ．m ＞3或m ＜－2D ．m ＞3或－6＜m ＜－2【解析】 ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＞m ＋6m ＋6＞0， ∴m ＞3或－6＜m ＜－2.【答案】 D2．(2013·菏泽高二测试)已知椭圆过点P (35，－4)和点Q (－45，3)，则此椭圆的标准方程是( )A.y 225＋x 2＝1B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1C.x 225＋y 2＝1D ．以上都不对【解析】 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎨⎧ m ＝1，n ＝125. ∴椭圆方程为x 2＋y 225＝1.【答案】 A3．(2013·西安高二检测)椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为( )A ．4B ．2C ．8 D.32【解析】 由x 225＋y 29＝1，知a ＝5，根据椭圆定义，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，∴|MF 2|＝10－2＝8.又O 为F 1F 2中点，N 为F 1M 中点，∴ON 为△MF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|MF 2|＝4.【答案】 A4．已知A (0，－1)、B (0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 23＝1(x ≠±2)B.y 24＋x 23＝1(y ≠±2)C.x 24＋y 23＝1(x ≠0)D.y 24＋x 23＝1(y ≠0)【解析】 ∵2c ＝|AB |＝2，∴c ＝1，∴|CA |＋|CB |＝6－2＝4＝2a ，∴顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(A 、B 、C 不共线)．因此，顶点C的轨迹方程y 24＋x 23＝1(y ≠±2)．【答案】 B5．(2013·吉林松原高二期末)已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.233 B.263 C.33 D. 3【解析】 由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2，可设|MF 1→|＝m ，|MF 2→|＝n ，在△F 1MF 2中，由m 2＋n 2＝4c 2得(m ＋n )2－2mn ＝4c 2，根据椭圆的定义有m ＋n ＝2a ，所以2mn ＝4a 2－4c 2，∴mn ＝2b 2，即mn ＝2，∴S △F 1MF 2＝12mn ＝1.设点M 到x 轴的距离为h ，则：12×|F 1F 2|×h ＝1，又|F 1F 2|＝23，∴h ＝33.【答案】 C二、填空题6．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.【解析】 由椭圆的定义知：|F 2A |＋|F 1A |＋|F 2B |＋|F 1B |＝4a ＝20，∴|F 1A |＋|F 1B |＝|AB |＝20－12＝8.【答案】 87．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m ＝________.【解析】 当焦点在x 轴时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1，∴m －4＝1，∴m ＝5；当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，∴c 2＝4－m ＝1，∴m ＝3.【答案】 3或58．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是________．【解析】 ∵c 2＝9－4＝5，∴设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1. ∵点(－3,2)在椭圆上，∴9a 2＋4a 2－5＝1，a 2＝15.∴所求椭圆的方程为x215＋y210＝1.【答案】x215＋y210＝1三、解答题9．设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左右焦点．设椭圆C上一点(3，32)到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．【解】∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4. ∴2a＝4，a2＝4.∵点(3，32)是椭圆上一点，∴(3)2a2＋(32)2b2＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，∴椭圆C的方程为：x24＋y23＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC 的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程．【解】如图所示，连结AP，∵l垂直平分AC，∴|AP|＝|CP|，∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4，∴P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.∴点P的轨迹方程为x24＋y23＝1.11．已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若△PF1F2的面积为23，求P点坐标．【解】(1)由题意知，2c＝4，c＝2.且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8，即2a＝8，∴a＝4.∴b2＝a2－c2＝16－4＝12.又椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的方程为x216＋y212＝1.(2)设P点坐标为(x0，y0)，依题意知，12|F1F2||y0|＝23，∴|y0|＝3，y0＝±3，代入椭圆方程x2016＋y2012＝1，得x0＝±23，∴P点坐标为(23，3)或(23，－3)或(－23，3)或(－23，－3).。