6.1 塑性理论及有限元

失稳破裂 弹性
金属材料单轴加载时的应力与应变特征：
b B s p A’ C
A
E
p
f F

e

（1）加载开始后，当 应力小于A点的应力 值时，应力与应变呈 线性关系。材料处于 线弹性变形阶段。A 点的应力称为比列极 限。在此阶段卸载， 变形沿OA线返回。
b B s p A’ A

b
B
C
s A’ p A
O
E
p
f
F
e

静水压力试验
Bridgman等人在不同的静水压力容器中做单向拉伸试验。结 果表明： 1. 关于体积变形。 Bridgman的研究表明，直到1500MPa，体积 变形仍然是弹性的。体应变 与静水压力 p 之间的关系为
ap bp2
金属材料的a、b值可参阅相关书籍。所以在塑性理论中常认为体 积变形是弹性的。试验还表明，这种弹性体积变化是很小的，对 于金属材料，当发生较大塑性变形时，可忽略弹性体积的变化， 即认为在塑性变形阶段，材料是不可压缩的。 2.材料的塑性变形与静水压力无关。从对比试验可以发现，静 水压力对初始屈服应力的影响很小，因而对钢材等金属材料， 可以认为塑性变形不受静水压力的影响。 注意：对铸铁、岩石等脆性材料，土壤多孔材料，静水压 力对屈服应力和塑形变形有明显影响。

b B s p A’ A
C
O
E

p
f
F
e
在简单压缩下，忽略摩擦影响， 得到的压缩 -ε与拉伸-ε基本相同。 但是若将拉伸屈服后的试样经卸载 并反向加载至屈服，反向屈服一般 低于初始屈服。同理，先压后拉也 有类似现象。这种正向变形强化导 致后继反向变形软化的现象称作 Bauschinger 效应。这是金属微观组 织变化所致。一般塑性理论分析不 考虑Bauschinger效应。 由于塑性应变不可恢复 ，所以 外力所做的塑性功具有不可逆性， 或称为耗散性，在一个加载卸载循 环中外力做功恒大于零，这一部分 能量被材料的塑性变形耗散掉了。
、ln 是每步载荷增量后的构件长度，因为上式是 其中， l1、l2、 用对数表示的，真实应变又称为对数应变，也称为自然应变。
利用对数应变可以对应变使用加法，如 1 ln(l1 是两个相继发生的应变，则总应变为
l0 ) 和2 ln(l2 l1 )
l2 l2 l1 ln ln ln 1 2 l0 l1 l0
b B s p A’ A
C
O
E

p
f
F
e
由于加载、卸载规 律 不 同 ， 导 致 -ε 关 系不唯一。只有知道 变形历史，才能得到 一 一 对 应 的 -ε 关 系 ，即塑性变形与变形 历史或路径有关。这 是第3个重要特征。

b B f
F
e
> s 以后的点都可

e
p
对于 卸载
d 0 d 0
d Et d d Ed



从B点卸载到E点后，再重新加拉应 力（称为正向加载），这时应力应 变按卸载曲线BE变化。 当应力达到卸载前的B点应力，材 料才最新进入屈服。与B点对应的 应力，叫后续屈服应力。由于强化 效应，后续屈服应力通常比初始屈 服应力高，其提高程度与塑性变形 的历史有关，或者与塑性阶段的加 载历史有关。因此，后续屈服应力 可以写为
K
PK AK
lK ЄK ln l0
真实应力-对数应变曲线的确定

均匀变形
存在颈缩
o
真实应力-对数应变曲线
Є
真实与标称应力-应变曲线的比较

均匀变形
存在颈缩
o
—— 真实应力-对数应变曲线 —— 标称应力-对数应变曲线
Є
弹塑性变形基本特征（6个）
均匀塑性变形
如图 所示，金 属变形分 为弹性、 均匀塑性 变形、失 稳破裂三 个阶段。
1 单向弹塑性应力应变关系
基本概念 弹性(elasticity) 卸载后变形可以恢复特性，可逆性； 塑性(plasticity) 物体产生永久变形的能力，不可逆性； 屈服(yielding) 开始产生塑性变形的临界状态； 损伤(damage) 材料内部缺陷产生及发展的过程； 断裂(fracture) 宏观裂纹导致结构破断的现象。
C
O
E

p
f
F
e

应力在A~A’之间， 应力与应变关系不 再为线性关系。变 形仍为弹性。 若卸载，变形仍按 照原来的应力-应变 关系曲线返回初始 状态。

b B
C
s p
A’ A
O
E

由于一般材料的比例极 限、弹性极限和屈服应 力相差不大，不加区别， 统称屈服应力表示为。
p
f F
s BЄ

n
o
Є
线性强化刚塑性应力应变关系模型
s E1

o
Є
理想刚塑性应力应变关系模型
s

o
Є
• 应力状态与应变状态的进一步研究
• 前面我们已经阐明了有关应力与应变的 基本知识，为了今后论证问题的方便， 需要进一步补充相关知识 • 正八面体上的应力
弹塑性变形基本特征 •弹塑性共存 •加载卸载过程不同的-ε关系 •塑性变形与变形历史或路径有关 •硬化或强化 •Bauschinger效应 •静水压力
应力—应变关系的简化模型
金属材料的塑性行为相当复杂，为了使求解塑性问题成为可能，需要对材料 的塑性行为进行一些假设，同时还需要对应力-应变曲线加以理想化，也就是 根据不同的问题对实际材料特性作不同的简化。
常用应力应变关系模型

e


幂指数硬化应力应变关系模型
BЄ
n

o
Є
式中，B为常数，n可取0—0.1之间的任意数，一般由实际 的应力—应变曲线拟合而定
线弹性幂指数硬化应力应变关系模型
EЄ
s
n
s BЄ

s
o
Є
刚塑性幂指数硬化应力应变关系模型
塑性力学基本假设


材料为均匀连续，且各向同性；且拉伸和压缩的真应力-真应变曲线一致， 即不考虑Bauschinger效应； 材料具有无限的韧性，即认为材料可以进行无限的变形而不出现断裂； 材料的塑性行为与时间、温度无关，认为变形为准静态； 卸载时材料服从弹性规律，重新加载后的屈服应力等于卸载前的应力； e p 任何状态下的总应变可以分解为弹性与塑性两部分，即 ， 且材料的弹性性质不因塑性变形而改变。 塑性变形是在体积不变（不可压缩）的条件下进行的，静水压力只产生 体积的弹性变化，不产生塑性变形。
在塑性理论中研究物体产生的塑性变 形条件时，除了用到最大 切应力外，还用到正八面体上的切应 力。正八面体的面就是通 过空间一点而和三个主平面夹角相等 的平面。取主平面为坐标 面，满足上述条件的八个面构成如图 所示的正八面体。 • 对于第一象限内的正八面体，它的方向余弦为 1 l0 m0 n0 3
从B点卸载到E点后，如加压应力（称 为反向加载），应力应变沿EF曲线变 化，材料在F点屈服。通常F点对应的 屈服应力明显低于比B点对应的应力值 （称为包辛格效应）。表明材料的后 续屈服性质不仅与它所经历的塑性变 形有密切关系，还受到它所经历的塑 性变形的方向有关。
E
C B

O
p
f F
e


若在均匀塑性变形阶段 出现卸载现象，一部分变 形得以恢复，另一部分则 成为永久变形。卸载阶段 -ε 呈 线 性 关 系 。 这 说 明 了塑性变形时，弹性变形 依然存在。 弹塑性共存、加载卸载 过程不同的-ε关系是塑 性变形的两个基本特征。
e

应力超过A’后，材料从 弹性状态进入塑形状态 。

b B A’ A
C
随应力的增加，变形不断 s 增加。应变硬化。
在硬化阶段，切线斜率 （硬化率）不断减小， 直至峰值应力 b 。
p
O
E

p
f
F
e


在应变进入硬化阶段后，如减小应力 （如在B点），应力与应变将不会沿 路径BAO返回到O点，而是沿BE路径 回到零应力。 b e p 弹性变形 恢复，塑形变形 保留
s A’ 在加载和卸载过程中应力和应变服从不同的 规律，这是材料在塑性阶段的一个重要特点。 p A 简单应力状态下的加载准则可以写成
C
B
加载 卸载
d 0 d 0
O f
E
p
F
e

此式也适用于 0 的压缩情况。有了这一
准则，我们可以把简单的拉伸试件在塑性阶 段的应力—应变关系归纳为
铝合金的标称应力-应变曲线
真实应力-应变曲线（应使用真应力和真应变来讨论塑性变形状态）
真实应力：真实应力为轴力除以真实的横截面面积，对于均匀变形：
P A
式中
P A0
加载瞬间载荷； 同一瞬间试样横断面积。
真实应变：真实应变为长度改变量除以当时长度：
n ln dl l1 l0 l2 l1 l3 l2 ln ln1 li ln ln l0 l l0 l1 l2 ln1 l0 i 1 li
金属受力变形过程
弹性变形－塑性变形－断裂
Smith W F. Foundations of Materials Science and Engineering. McGRAW.HILL.3/E
P

e
P e P
e


材料的单轴拉伸实验曲线有如图所示两种形态。
conditional yield limit 条件屈服极限