【弹塑性力学】变分原讲义理及有限元
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第9章 塑性力学变分原理简介§9.1 塑性力学形变理论的变分原理形变理论的特点是认为塑性体在瞬间,如果应变已知,则应力的决定是唯一的,但是反过来,应力已知,应变的决定可以是唯一的,也可以是不唯一的。
例如,我们可以唯一的用应变决定应力)(kl ij ij e σ=σ (9-1) 但是,其逆关系可能是唯一的,也可能不是唯一的。
本章在推导变分原理时,将只限于在加载过程中,有不变的应力应变关系,这就是说,只限于单向加载的形变理论。
因此,除材料服从屈服条件的限制以外,这种理论与第七章讨论的非线性弹性理论没有什么区别。
此外,我们还将本章的问题限于小位移的范围。
这样,我们讨论的全量的塑性形变理论的问题为 (1)平衡方程0=+σi ij F (在V 内) (9-2)(2)应变位移关系)(21,,i j j i ij u u e +=(在V 内) (9-3) (3)应力应变关系(加载过程))(kl ij ij e σ=σ, 或)(ij kl kl e e σ= (9-4a,b )(4)边界条件i j ij T n =σ (在σS 上) (9-5)i i u u = (在u S 上) (9-6)根据上面要求,我们与弹性理论一样引出了应变能密度和余应变能密度,即)(ij e A 和)(ij B σ,并有最小位能原理和最小余能原理⎰⎰σ--=∏S i i Vi i ij S u T V u F e A d d ])([ (9-7)⎰⎰σ-σ=∏uS i j ij Vij S u n V B d d )(C (9-8)其中ij ijij ij e Be A=σ∂∂σ=∂∂, (9-9a,b ) 进一步说明的是,如果假定关系式(9-4b )是关系式(9-4a )的唯一逆关系,并且反之亦真,那么我们就可以用第四章(或第七章)的推演方法把最小位能原理变换成最小余能原理,亦可作相反的变换。
这样,在这种假设的前提下,两个泛函(9-7)和(9-8)的驻值性质是确定的。
后项取加号,是为着能够得到自然边界条件的结果第二章弹性直梁问题的变分原理及有限元素法●讨论的问题:一变剖面的梁,一端()0=x 固支,另一端()l x =简支。
承受轴向拉力N ,分布横向载荷()x q 以及端点弯矩l M 的作用。
●控制微分方程及边界条件(以梁的挠度w 表示)q Nw dx w d EJ dxd q dx w d N dx w d EJ dx d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇐=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222222222 支)基本边界条件(广义固处:在处:在⎪⎭⎪⎬⎫=====lw w l x dx dw w w x 00,0ϕ 0)(22=+=-l lM M M dxwd EJ 自然边界条件● 称谓:把满足方程及全部边界条件的挠度叫真实挠度,精确解;把满足基本边界条件但不满足微分方程和自然边界条件的挠度叫(变形)可能挠度。
i) 最小势能原理(变分原理)● 把载荷看作是不变的已知函数,把挠度看作是可变的自变函数。
● 整个系统的势能包括三部分: (1) 梁的应变能:⎪⎭⎫⎝⎛⇐⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏⎰⎰θMd dx dx w d EJ l b 212102222(2) 轴向应变能:⎰⎪⎭⎫⎝⎛=∏l Ndxdx dw N 02221(3) 横向载荷势能:()l w M qwdx l lp'+-=∏⎰0(4) 系统总势能∏:()⎰'+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏ll l w M dx qw dx dw N dx w d EJ 022222121 * 除w 为可变外,其余变量假定为已知的不变量。
●最小势能原理:在所有变形可能的挠度中,精确解使系统的总势能取最小值。
w+d w222111⎪⎭⎫ ⎝⎛≈-+⎪⎭⎫⎝⎛=-dx dw dx dw dxdxds●由于()w ∏是w 的二次函数,不用变分法而用较初等的方法也能作出数学证明。
证明过程:设()x w 是精确解,它满足微分方程及所有边界条件。
第二章弹性直梁问题的变分原理及有限元素法讨论的问题:一变剖面的梁,一端 (x =0 )固支,另一端(x = l )简支。
承受轴向拉 在 x= l 处:w = W |称谓:把满足方程及全部边界条件的挠度叫真实挠度,精确解;把满足基本边界条 件但不满足微分方程和自然边界条件的挠度叫(变形)可能挠度。
i ) 最小势能原理(变分原理)把载荷看作是不变的已知函数, 整个系统的势能包括三部分:(1)梁的应变能:f . 2 ¥d w—r I dx I dx 丿(3)横向载荷势能:力N ,分布横向载荷q (x )以及端点弯矩M i 的作用。
4J控制微分方程及边界条件(以梁的挠度 w 表示)叮 EjdV dx 2 Idx 2丿.2M d w -Ny^q udx 2丿=q在x= 0处:w = w 0,也 dxN o>基本边界条件(广义固支).2d w — -EJ —- M | dx自然边界条件(M + M i ) = O21 l □厂Jo EJ(2)轴向应变能:□N1 i rON 2w \dx、2dxdxgs 气㈣+1十丄dx Vl dx 丿2把挠度看作是可变的自变函数。
I w+dwOT 11(w ^^f lf EJ d 2wd^w.dx 2 dx 2 +N 叢詈-计严+恥心在 X =0处,人w=0, i w ' = 0 在X =丨处,A w = 0与W k 相应的总势能:=口(w k )= n(w + A w )= ri(w )+z n 11(w, A w )中n 2(A w )其中:Ij P = —[qwdx +M |W '(I )后项取加号,是为着能够得到自然边界条件的结果⑷系统总势能口:n/g EJ(d 2w )2 1 X 厂㊁々w V一——I-qw>dx + M i w '(l )I dx 丿*除w 为可变外,其余变量假定为已知的不变量。
最小势能原理:在所有变形可能的挠度中,精确解使系统的总势能取最小值 。