【弹塑性力学】7 有限元程序设计祥解

第七章柱体的弹塑性扭转第七章等截面柱体的弹塑性扭转在船舶、航空、土建以及机械工程等的机械传动机构中，作为传递扭矩的柱体是个重要的部件。

所谓柱体的扭转，是指圆柱体和棱柱体只在端部受到扭矩的作用，且扭矩矢量与柱体的轴线 z 的方向相重合。

扭转问题属于仅在端面上受力柱体的平衡问题，若严格地满足其边界条件，按弹塑性力学求解是比较困难的。

因此，利用圣维南原理，将边界条件放松，即认为柱体中间截面上的应力仅与端面上外力的合力及合力矩有关，这种放松了边界条件的问题称为圣维南问题。

即使对于圣维南问题，仍需要求解一组偏微分方程，并使其满足一定的边界条件。

但在实用上很少由直接积分其基本方程而得到解答，大部分工程问题用间接的或近似的方法得到。

在间接方法中，圣维南的半逆解法是很重要的。

即先在应力或位移分量中假设一部分未知函数，然后将这部分函数代入基本方程，求得另外一部分的未知函数，并使全部未知函数满足所给定的边界条件，则所假设的和求得的函数即为问题的解。

由于用应力作为基本未知函数用半逆法求解时可以导致比较简单的边界条件，因此求解比较方便。

7.1弹性柱体自由扭转的基本关系式与应力函数解在材料力学中曾经过讨论圆轴的扭转，其特点是扭转变形前后的截面都是圆形，而且每一个截而只作刚体转动，在小变形条件下，没有铀向位移，取坐标系为 x, y, z ，且柱体的轴线为z方向，z方向的位移为w，即w(x, y, z) 0。

这样，变形后截面的半径及圆轴长度基本不变。

非圆形截面柱体的情况要复杂得多。

由于截面的非对称性，在扭转过程中，截面不再保持为平面，而发生了垂直于截面的翘曲变形，即w(x, y, z)0 。

函数w(x, y, z) 称为翘曲函数。

下面讨论任意截面形状的棱柱体扭转基本方程。

设有任意截面形状的等截面棱柱体，柱体两端受纠扭矩 M T作用，如图7.1所示。

1.边界条件对于扭转问题，柱体侧面为自由表面，因此柱体侧面的边界条件为第七章柱体的弹塑性扭转x lxymxy l y m0(7.1-1)zx l zy m0式中 l cos( n, x), m cos( y, n) 。

塑性成形过程中的有限元法金属塑性成形技术是现代化制造业中金属加工的重要方法之一。

它是金属材料在模具和锻压设备作用下发生变形，获得所需要求的形状、尺寸和性能的制件的加工过程。

金属成形件在汽车、飞机仪表、机械设备等产品的零部件中占有相当大的比例。

由于其具有生产效率高，生产费用低的特点，适合于大批量生产，是现代高速发展的制造业的重要成形工艺。

据统计，在发达国家中，金属塑性成形件的产值在国民经济中的比重居行业之首，在我国也占有相当大的比例。

随着现代制造业的高速发展，对塑性成形工艺分析和模具设计方面提出了更高的要求。

若工艺分析不完善、模具设计不合理或材料选择不当，则会造成产品达不到质量要求，造成大量的次品和废品，增加了模具的设计制造时间和费用。

为了防止缺陷的产生，以提高产品质量，降低产品成本，国内外许多大公司企业及大专院校和研究机构对塑性成形件的性能、成形过程中的应力应变分布及变化规律进行了大量的理论分析、实验研究与数值计算，力图发现各种制件、产品成形工艺所遵循的共同规律以及力学失效所反映的共同特征。

由于塑性成形工艺影响因素甚多，有些因素如摩擦与润滑、变形过程中材料的本构关系等机理尚未被人们完全认识和掌握，因而到目前为止还未能对各种材料各种形状的制件成形过程作出准确的定量判定。

正因为大变形机理非常复杂，使得塑性成形研究领域一直成为一个充满挑战和机遇的领域。

一般来说，产品研究与开发的目标之一就是确定生产高质量产品的优化准则，而不同的产品要求不同的优化准则，建立适当的优化准则需要对产品制造过程的全面了解。

如果不掌握诸如摩擦条件、材料性能、工件几何形状、成形力等工艺参数对成形过程的影响，就不可能正确地设计模具和选择加工设备，更无法预测和防止缺陷的生成。

在传统工艺分析和模具设计中，主要还是依靠工程类比和设计经验，经过反复试模修模，调整工艺参数以期望消除成形过程中的产品缺陷如失稳起皱、充填不满、局部破裂等。

仅仅依靠类比和传统的经验工艺分析和模具设计方法已无法满足高速发展的现代金属加工工业的要求。

有限元程序设计课程设计一、课程目标知识目标：1. 掌握有限元分析的基本原理，理解有限元方法在工程问题中的应用。

2. 学会使用至少一种有限元分析软件，并能正确进行前处理、计算及后处理操作。

3. 掌握编写有限元程序的基本步骤，理解数据结构、算法在有限元程序设计中的作用。

技能目标：1. 能够运用所学知识解决简单的工程问题，通过有限元方法进行力学分析。

2. 具备独立操作有限元软件的能力，完成模型建立、计算及结果分析的完整流程。

3. 能够根据实际问题需求，编写简单的有限元程序，提高编程实践能力。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对工程问题的探究精神，激发学生主动学习的兴趣。

2. 增强学生的团队合作意识，培养沟通协调能力，提高解决实际问题的能力。

3. 使学生认识到有限元技术在工程领域的重要价值，树立正确的科技观。

课程性质：本课程为专业选修课，旨在让学生掌握有限元程序设计的基本方法，提高解决工程问题的能力。

学生特点：学生具备一定的编程基础，对有限元分析有初步了解，但实践能力较弱。

教学要求：注重理论与实践相结合，强调学生动手实践，培养解决实际问题的能力。

通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于工程实践，提高综合素养。

二、教学内容1. 有限元分析基本原理：包括有限元离散化方法、变分原理、刚度矩阵和质量矩阵的构建等。

教材章节：第一章 有限元分析概述，第二章 有限元离散化方法。

2. 有限元软件操作：介绍主流有限元软件的功能、操作流程，以ANSYS为例进行实践教学。

教材章节：第三章 有限元软件及其应用。

3. 有限元程序设计：讲解有限元程序设计的基本步骤、数据结构、算法实现等。

教材章节：第四章 有限元程序设计基础，第五章 数据结构及算法。

4. 实践案例：选取具有代表性的工程问题，指导学生运用有限元软件和编程技能解决问题。

教材章节：第六章 实践案例。

5. 课程项目：分组进行项目实践，要求学生完成项目报告和成果展示。

教材章节：第七章 课程项目与实践。

有限单元法及程序设计绪论1.力学分析方法:解析法,数值法有限元法——实际结构形状和所受载荷比较复杂,大多用解析法很困难,因而数值法得到不断发展,随着电子计算机的进步,而发展起来的一种新兴的数值分析方法.2基本步骤：（1）结构离散化：将结构从集合上用线或面划分为有限个单元。

（2）单元分析：导出单元的节点位移和结点力之间的关系（单元刚度矩阵）。

（3）整体分析：将各单元组成的结构整体进行分析，导出征个结构点位移与结点力之间的关系。

3程序设计的步骤：（1）提出问题，拟定解决方案（2）构造数学模型（3）画出程序流程图（4）编写程序（5）编译调试程序（6）试算验证程序4.根据国家标准（GB-1526-89）规定的程序流程图标准化符号及规定：a)图表示程序流程图的起点和终点；b)图表示数据信息的输入和输出；c)图表示数据进行系列运算之前要完成的数据预置；d)图表示判断条件；e)图表示各种处理功能，如数学运算方式等；f)图表示流程的路径和指向。

第一篇杆件结构的有限单元法及程序设计第一章平面杆件单元的有限单元法第一节有限单元法的基本概念1．基本思路：先分后合（先单元分析，再整体分析）2．基本概念：整体号：节点端点号按自然数1，2，3，……（在整体坐标系xOy下）局部号：每一个单元始末用i，j标记（在单元的局部坐标xyz系下，方向与整体坐标系一致）。

⎡k k⎤ii ij 3．F e=k eδe其中：ke=⎥⎢k kji jj⎣⎦单元刚度矩阵，各元素为刚度系数⎡θ⎤iδe=⎥⎢θ⎣j⎦单元杆段位移列阵⎡M⎤iF e=⎥⎢Mj⎣⎦单元杆端力列阵K∆=P（1-7）K=⎡k112131⎢k⎢⎢k⎣k12k22k32k⎤13⎥k23⎥k⎥33k⎥⎦整体刚度矩阵∆=[]θ1θθT23位移列阵P=[]M1M M节点载荷列阵233.有限元位移法分析连续梁需要考虑的问题(1)刚度集成法:①将(1-3)K扩阶,扩大的元素为0,得到单元贡献矩阵单元①:K①=1⎡kii⎢k⎢ji⎢02kijkjj310⎤1⎡0⎥⎢020⎥⎢单元②:K=②2kiikji30⎤⎥kij⎥k⎥123⎣0⎥3⎢0⎦⎣jj ⎦②将单元贡献矩阵想叠加,形成整体刚度矩阵123⎡k k0⎤11ii ij⎢⎥K=K①+K②=k k k k 2⎢⎥1122ji jj+ii ji⎢0k2⎥32k⎣⎦ji jj(2)两端支承条件的引入先不考虑约束条件,得到整体刚度矩阵后,将其主对角线元素k ii改为1,第i行,第j列其余元素改为0,对应的载荷元素也改为0.(3)非结点荷载的处理利用等效结点荷载进行分析:1各结点(包括两端结点)加约束,阻止结点转动,其约束力矩分别为交于该结点的各相关单元的固端力矩之和,顺时针为正.2去掉附加约束(相当在各结点施加外力荷载P3将两部分杆端弯矩叠加起来.e,其大小与约束力矩相同,方向相反)第二节局部坐标系中的单元刚度矩阵1.一般单元设单元○e的弹性模量、截面惯性矩、截面积分别为E、I、A,杆长为l。

第三章弹塑性有限元方法的实施§3.1增量平衡方程和切线刚度矩阵1、分段线性化的求解思想塑性变形的特点决定了塑性本构关系的非线性和多值性，上面由塑性增量理论给 出了塑性应力一应变关系｛da ｝ = ［q,］｛dg ｝说明当前应力状态不仅与当前应变有关，而且和达到这一变形状态的路径（加载历史）有 关。

这里包含了屈服准则、强化条件和加卸载准则。

由此，对物理非线性问题，通常采用分段线性化的纯增量法和逐次迭代的方法求解。

即将加载过程分成若干个增量步，选择其中任意一个增量步建立它的增量平衡方程并求 解，对整个过程的求解有普遍意义。

2、增量平衡方程和切线刚度矩阵设t 时刻（加载至M 步终），结构（单元）在当前载荷（广义体力｛几｝和表面力｛£｝） 的作用下处于平衡状态，此时物体内一点的应力、应变状态为9｝、匹｝。

在此基础上，施 加一个载荷增量｛A/；.｝和｛«｝，即从时刻，则在体内必然引起一个位移增量｛△“｝ 和相应的｛Ao-｝. ｛△$｝,只要佩｝和｛M ｝足够小，就有｛"｝ = ［〈］｛△£｝。

倘若初始状态｛b ｝己知，加载过程己知，贝可以确定（即Jd 硝可以确定，然后 可在硬化曲线上得到材所对应的硬化系数）于是上面的方程成为线性的。

在+ M 这一 增量过程中，应用于虚功原理可得到如下虚功方程：根据小变形几何关系△"二和 2=B\q,再由虚位移§（△?）的任意性，并设P + AP= + y 0U+『川（£. +纣»柠，展开后，其中单元在/时刻载荷等效节点 力：P = j N T f v dV + J N T f s dS ；卜内增量载荷的等效力AP = \ N 丁恋dV + ） N 丁嗽dS ° 匕Se 乙其中』［（（7+2）丁 一伉dU-f(f s + Af s )r SAudS = O (1)(2)这样，由方程（1）可得平衡方程：J[B] {（y+\（y}dV = {P + \P}岭即：刁+$ = J B‘ bdV + J B l\(ydV-(P + AP) = O(3)因为/时刻（第i步终）结构处于平衡状态F,=P-\B T（yclV = O匕这样(2)式变为二AP= j B T A(jdV即：Z\F = j B1 AadV-AP = 0(4)将{db} = 和△“代入上式得增量平衡方程：J B l D cp BdV \q-NP = \F(5)对增量位移求导：〃（血）一f B『D Bdv- K；妙）\ cp(6)于是（5）式成为K：= AP(7)K；为单元切向刚度矩阵。