非线性有限元及弹塑性力学讲解

弹塑性力学第七章塑性力学的基本方程与解法一、非弹性本构关系的实验基础拿一根工程上最常用的低碳钢的试件，在拉伸试验机上就可得到如图7.1所示的应力应变曲线。

图中A为比例极限，当变形状态未超过A点时材料处于线弹性状态；B为弹性极限，AB段的变形虽然还是弹性的，即卸载时能按原来的加载曲线返回，但应力应变之间不再是线性关系。

C，D分别为上、下屈服极限，超过C点后材料进入塑性变形状态，卸载时不再按原来的加载曲线返回，而且当载荷完全卸除后还有残余变形。

由C到D是突然发生的，由于材料屈服引起应力突然下降，而应变继续增加。

由D到H是一接近水平的线段，称为塑性流动段。

对同一种材料D点的测量值比较稳定，而C点受试件截面尺寸、加载速率等影响较大。

如果载荷在使材料屈服之后还继续增加，则进入图中曲线右部的强化段。

即虽然材料已经屈服，但只有当应力继续增加时，应变才能继续增大。

在图中b点之后，试件产生颈缩现象，最后试件被拉断。

如果在塑性流动段的D′点，或强化段的H′点卸载，将能观测到沿着与OA平行的直线返回，当载荷为零是到达O′点或O′′点，即产生残余变形。

图7.1 低碳钢单向拉伸应力应变曲线有些高强度的合金钢并没有象低碳钢那样的屈服段，其单向拉伸的应力应变曲线如图7.2所示。

这种情况下屈服极限规定用产生0.2%塑性应变所对应的应力来表示，σ。

记为0.2图7.2 高强度合金钢单向拉伸应力应变曲线第七章 塑性力学的基本方程与解法如果以超过屈服极限的载荷循环加载，所得试验结果则象图7.3所示。

在实验中还发现，对于某些材料（图7.4），如果在加载（拉伸）屈服后完全卸载到O ′′点，然后接着反向加载（压缩），则其反向屈服点对应的应力绝对值s σ′′不仅小于s σ′，而且小于初始屈服应力的绝对值σ′。

这是德国的包辛格（Bauschinger, J.）最早发现的，称为包辛格效应。

图7.3 循环加载曲线示意图 图7.4 包辛格效应 当材料进入塑性状态后，如果不是单调加载，则应力和应变之间不仅不是单值函数的关系，而且当时的应变不仅和当时的应力有关，还和整个加载的历史有关。

第一章非线性代数方程组的数值解法1.1 直接迭代法1.2 牛顿法和修正牛顿法1.3 拟牛顿法1.4 增量方法1.5 增量弧长法非线性问题可分为三类：材料非线性不管那类非线性问题，最终都归结为一组非线性方程Ψ(a )=0，a 为待求的未知量。

对许多问题，用某些方法可将Ψ(a )=0改造成Ψ(a ) =P (a )-R =K (a ) a -R =0的形式。

对非线性问题的方程Ψ(a )=0，一般只能用数值方法求近似解答。

、几何非线性和边界非线性。

我们只讨论前两类问题。

其实质是，用一系列线性方程组的解去逼近所讨论非线性方程组的解。

本章将简单介绍有限元分析中常见的各种求解非线性方程组的数值方法。

1.1 直接迭代法当用某些方法将Ψ(a )=0改造成迭代格式Ψ(a ) =P (a )-R =K (a ) a -R =0后a 1= K (a 0)-1R如果问题是收敛的，a 1将比a 0有所改善。

a n +1= K (a n )-1R Δa n =a n +1-an 当设范数为i n a a ∆∆max =或设范数为2/1T ])[(n n n a a a ∆∆∆=收敛条件则为10 <<≤αα∆n n a a ，设一初始未知量a 0，则由它可得如此反复迭代可得4如果考虑到每步迭代Ψ(a n ) =P (a n )-R =K (a n ) a n -R ≠0将Ψ(a n )视为不平衡力（或失衡力）并作为衡量收敛的标准应指出的是，对单变量情况，如讲义图示，直接迭代实质是“割线”法10 )( <<≤ββR a Ψn 1.1 直接迭代法1.2 牛顿法和修正牛顿法如果将非线性方程如果将非线性方程ΨΨ((a a ) =0) =0在在a an 附近展开，则又如果[Ψ’(a )]n 的逆存在，则Δa n 近似等于记K (a n )=[Ψ’(a )]n ，P n =Ψ(a n )Δa n ≈-[Ψ’(a )]n -1Ψ(a n )则Δa n ≈-K T (a n )-1 P n ，a n +1=a n +Δa n 切线矩阵不平衡力如此逐步计算，即可得到非线性方程的解答，这就是牛顿-拉夫森法。