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简谐振动旋转矢量图

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简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量

简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
解：(1 )A6 1 2 0 m , /3 ，
1 Hz , 2 6
T 2 1 6s, /4
（2）势能 总能
Epkx2/2, EkA 2/2
由题意， k2 x/2k2 A /4, xA/ 24.2 41 02m
（3）从平衡位置运动到 xA/ 2
的最短时间为 T / 8。
即为 6/80.75s
) )
O
A/2
x
(B)
A/2
O
x
A
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
五、两个同频率简谐运动的相位关系
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
x2 比 x1 超前
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
五、两个同频率简谐运动的相位关系
(或 x1 比 x2 落后 ) 的最短时间为 T / 8。
x Acos( t )
半径
圆周运动小球 角速度
振幅
角频率 简谐振动物体
角坐标
相位
例：一物体做谐振动，振幅为 A，在起始
时刻质点的位移为 A/2 且向 x 轴的正方向
运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：
质点运动的周期和振幅。
五、两个同频率简谐运动的相位关系
= 2 v = 2 /T
质点运动的周期和振幅。
A
，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有负最O大值，求振动表达式．
(C ) x A/2
(D)
A/2
O
x
A
[D]
四、简谐运动的能量
1. 动能
Ek
1 mv 2
2
1 kA2 sin 2( t )
2
掌握
Ek max

《大学物理》第14章 振动

《大学物理》第14章 振动
速度超前位移 /2 vmax = A = (k/m)1/2A
a = - 2A cos (t + ) = 2A cos (t + + )
加速度超前位移 amax = 2A = (k/m)A
上页 下页 返回 退出
相位和初相
相位 (t 0 ) ：决定简谐运动状态的物理量。
其中v为物体 m 距平衡位置 x 处的速度。 忽略摩擦，总机械能 E 保持不变。随着 物体来回振动，势能和动能交替变化。
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§ 14-3简谐振动的能量
在x = A 和 x = - A处，v = 0,
E = m(0)2/2 + kA2/2 = kA2/2 (14-10a) 简谐振子的总机械能正比于振幅的平方。
dx/dt = - A sin (t + ) d2x/dt2 = - 2 A cos (t + ) = - 2 x
0 = d2x/dt2 + (k/m) x = - 2 x + (k/m) x
(k/m - 2) x = 0 只有当 (k/m - 2) = 0 时，x不为零。因此
a = - (410 m/s2) cos(1650t). (c) 在t = 1.0010-3 s 时刻
x = A cos t
= (1.510-4 m) cos[(1650 rad/s)(1.0010-3 s)]
= (1.510-4 m) cos(1.650 rad/s) = -1.210-5 m.
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§ 14-1 弹簧的振动
例题 14-1 汽车弹簧。当一个质量为200公斤的 一家四口步入一辆总质量为1200公斤的汽车 里，汽车的弹簧压缩了3厘米。(a) 假设汽车 里的弹簧可视为单个弹簧，弹簧劲度系数为 多少？ (b) 如果承载了300公斤而不是200公 斤，则汽车将下降多少厘米？

简谐振动的旋转矢量图示法

简谐振动的旋转矢量图示法

解：
点 2 在 x = - A / 2 处 向 右 运 动 ， 试 用 旋
转 矢 量 法 求 两 质 点 的 相 位 差 。 1
3
x
2
4
3
2
A
2A
O
1
A 2
2143 3
例2、一物体沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期 T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向x轴正向运
动。求: (1)简谐振动表达式;
向正方向运动,求运动方程。
解：(1) k 0.726.0s-1
m 0.02
由旋转矢量可知初相位 谐振动方程为
0 0
0.05
O
x
x0.05cos(6.0t) m
第一次经过A/2时，相位
(2) v dx 0.056.0sin(6.0t) dt
=0.3sin(6.0t) m/s
6.0t 3
OA
0, x=0.06m可
得0 3
或
3
简谐振动表达式
01
02
03
04
v0Asin00
由于t=0时质点 向x轴正向运动
0 3
因而
可知
x0.12cos(t) m
3
(2)由简谐振动的运动方程可得:
vdx0.12sin(t) m /s
dt
3
adv 0.12 2cos(t)m /s2
dt
3
在t =T/4=0.5s时，可得
A 的长度
振幅A
A 旋转的角速度
角频率ω
A 与参考方向x 的夹角
振动相位ωt+φ0
相位之差为
x1A1cos(t1)
x2A2cos(t2)

大学物理B(Ⅱ)旋转矢量

大学物理B(Ⅱ)旋转矢量
2
t 0.667s
x
A
00 7.5 A 2
A v
t0
例 一简谐运动的运动
曲线如图所示，求振动周
期.
t(s) t 0

A A2 0 A x
t 7.5
2π T T
t 7.5s
T 18s
例 已知谐振动的 A 、T ，求 1）如图简谐运动方
A＇
44
因为 v0 0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4
x Acos(t ) 0.0707cos(6.0t π)
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振
幅为 0.08m，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04m
处，向 Ox轴负方向运动（如图）.试求
（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
A/2 t ta
A 0 A x
t0
π ( π) 2π
3 33
tb
T
2π
T 3
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04 0.08cos(π t π) 23
t 0.667s
解法二
t 时刻
t
π3 π3
0.08 0.04 o 0.04
起始时刻
x/m
0.08
t π
3
π s1
x 0.08cos(π t π ) 23
m 0.01kg
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x 0.08cos(π t π ) 23
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m

矢量图示法

矢量图示法

x/cm
0 -1 -2
1
t/s
例3 作简谐运动的物体，由平衡位置向 x轴正方向运动，试问经过下列路程所需的 最短时间各为周期的几分之几？（1）由平 衡位置到最大位移处；（2）由平衡位置到 x=A/2处；（3）由x=A/2处到最大位移处.
一、矢量图示法
3、矢量图示法定义
象这种用旋转矢量在 坐标轴上的投影描述简谐 振动的方法就称为矢量图 示法
一、矢量图示法
4、谐振动的弹簧振子
一、矢量图示法
4、谐振动的弹簧振子
一、矢量图示法
4、谐振动的弹簧振子
一、矢量图示法
4、谐振动的弹簧振子
一、矢量图示法
4、谐振动的弹簧振子
一、矢量图示法
4、谐振动的弹簧振子
结论：
当谐振动物体向x轴负向运动时， 所对应的矢量 A位于一、二象限或y轴正 向； 当谐振动物体向 x 轴正向运动时，所 对应的矢量 A位于三、四象限或y轴负向； 当谐振动物体速度为零时，所对应 的矢量 A位于x轴上；
用矢量图示法做振动图象
物理学
第五版
例1 一个质点作简谐运动，振幅为A， A 在起始时刻质点的位移为 ,且向x轴 2 正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢 量为（ ）
速度在x轴上的投影： Aωc o s(ωt+φ+π/2)=-Aωsin(ωt+φ)
一、矢量图示法
2、旋转矢量的速度、加速度
ωt+φ+π
a
ωt+φ
加速度在x轴上的投影：
Aω2cos(ωt+φ+π)=-Aω2cos(ωt+φ)
一、矢量图示法
3、矢量图示法定义
综上所述，如果使得： ①旋转矢量的长度等于谐振动的振幅A； ②矢量A逆时针旋转的角速度等于 谐振动的角频率ω； ③t=0时，A与x轴的夹角等于谐振动的 初相Φ。

简谐振动-旋转矢量法

简谐振动-旋转矢量法

sin2 (2 1)
y
2） 2 1 π
y A2 x A1
3）2 1 π 2
x A2
o A1
x2 A12
பைடு நூலகம்
y2 A22
1
x A1 cost
y
A2
cos(t
π) 2
A2 y
o A1 x
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
两
相
互 垂 直 同 频 率 不 同 相
简 谐 运 动 的 合 成 图
x
x
A1 o
o
A
A2
A A1 A2
Tt
结论
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动同相位：
2 1 2k k 0,1, 2,
A A1 A2
若两分振动反相位:
两分振动相互加强
2 1 (2k 1) k 0,1, 2,
A A1 A2
两分振动相互减弱
再若 A1= A2 , 则 A= 0
M
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
PA
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
PA
x
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
MA
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
找到谐振动的特征量，问题就解决了。

2-简谐振动的旋转矢量图


＝
A
0

3
3
A 2
x
2 t ) x A cos( T 3
11
例2：画出质点处于①平衡位置且速度小于 零，②正最大位移，③(1/2)位移处且速度 为正值的旋转矢量,说明初相的大小并画出 振动曲线。
解：①
A
x x
0
2
o
T
t
12
②正最大位移
A
x
t
o A 0
2
7.1.3 A,ω, 的确定 x A cos( t )
ω由振动系统本身的性质所决定， ω一定时 A, 由初始条件决定。 1. 解析法
x A cos( t )
v A sin( t )
t =0
2 A x0
x0 A cos
v0 A sin
14
Байду номын сангаас
例3：一轻弹簧的倔强系数为k，其下悬有一质量 为m的盘子。现有一质量为M的物体从离盘h高度 处自由下落到盘子中并和盘子粘在一起，于是盘 子开始振动。（1）此时的振动周期与空盘子做振 动时的周期有何不同？（2）取平衡位置为原点， 位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为记时 起点，写出余弦函数形式的振动方程。
12mtk22cosyatt22002ax?解mmmm?k15?盘?2?t盘物??????0x0arctanv????v??1?22??有一质量为m的物体从离盘h高度处自由下落到盘子中并和盘子粘在一起于是盘子开始振动
第7章
机械振动
简谐振动的旋转矢量图
1
回顾： • 掌握简谐振动的判断方法。 • 掌握简谐振动的特征量。 • 掌握简谐振动的速度加速度。 x A cos( t )

旋转矢量图与简谐振动的关系

旋转矢量图与简谐振动的关系背景：简谐振动是一种有规律的振动，它是在一定时间内发生的频率、幅度和相位相同的振动。

简谐振动的最大特点是振动的频率是其他振动的倍数，通常可以表示为：sin（ωt+φ），其中ω是振动频率，t是时间，φ是振动的相位。

简谐振动的根本原理是动能的循环传递，动能源可能是重力，弹簧力，电势或磁场，它们可以是振动系统的源和动力，而不断重复地传递动能，最终形成简谐振动。

旋转矢量图是一种可以模拟物理量的数学工具，根据其使用的坐标轴有极坐标和直角坐标之分。

旋转矢量图的原理是根据分析的物理量的大小和方向，可以将其映射成极坐标和直角坐标的图形。

从旋转矢量图中可以清楚地看出物理量在时间上的变化情况，从而计算旋转矢量图所表示物理量的频率和振幅。

简谐振动与旋转矢量图之间的关系:旋转矢量图是一种可以模拟物理量的数学图表，它可以直观地表示物理量在时间上的变化情况。

这里就是说，简谐振动的大小是旋转矢量图中表示的振幅，而简谐振动的频率是旋转矢量图中沿时间的偏移量。

当物理量的振动周期为T时，它的频率就是f=1/T，表示每秒会有一个往复，而振幅就是表示物理量每次振动的最大幅度，当振动的振幅为A时，则振动的最大大小达到2A。

旋转矢量图中沿着时间轴的偏移量可以表示为ωT，这里ω表示的是简谐振动的频率，而振幅方向反映了物理量的方向变化以及振动的相位，而这里的振幅是由动能源反复循环传递流动的结果，正是这种循环结果造成了简谐振动。

从上述分析可知，旋转矢量图是可以用来模拟简谐振动的，它既可以表示出简谐振动的频率和振幅，也可以表示出振动的方向及振动的相位，是一种比较直观和方便的模型。

结论：综上所述，简谐振动与旋转矢量图之间存在着紧密的关系，旋转矢量图可以模拟出简谐振动的频率和振幅，从而可以用来分析物理场景中一些简单的振动情况。

它的准确度和可靠性也非常高，所以在物理和数学的研究中，旋转矢量图经常作为软件和工具的重要部分，来分析和研究各种振动问题。

(完整版)大学物理学(课后答案)第5-6章

第5章 机械振动一、选择题5-1 一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A-，且向x 轴的正方向运动，代表这个简谐振动的旋转矢量图为[ ]分析与解 图中旋转矢量投影点的运动方向指向Ox 轴正向，同时矢端在x 轴投影点的位移为2A-,满足题意,因而选(D)。

5-2 作简谐振动的物体，振幅为A ，由平衡位置向x 轴正方向运动，则物体由平衡位置运动到32Ax =处时，所需的最短时间为周期的几分之几[ ] (A) 1 /2 (B) 1/4 (C) 1/6 (D) 1/12分析与解 设1t 时刻物体由平衡位置向x 轴正方向运动，2t 时刻物体第一次运动到32A x =处，可通过旋转矢量图，如图5-2所示，并根据公式2t T ϕπ∆∆=得31226t T T T ϕπππ∆∆===，,因而选(C)。

5-3 两个同周期简谐振动曲线如图5-3(a)所示，1x 的相位比2x 的相位[ ] O O OO A Axxx(A) (B)(D)(C)A /2-A /2 A /2 -A /2A Aωωωωx习题5-1图习题5-2图(A) 落后2π (B) 超前2π(C) 落后π (D) 超前π分析与解 可通过振动曲线作出相应的旋转矢量图（b ），正确答案为（B ）。

5-4 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E ，若振幅增加为原来的2倍，振子的质量增加为原来的4倍，则它的总能量为[ ](A) 2E (B) 4E (C) E (D) 16E 分析与解 因为简谐振动的总能量2p k 12E E E kA =+=，因而当振幅增加为原来的2倍时，能量变为原来的4倍，因而答案选(B)。

5-5 两个同振动方向、同频率、振幅均为A 的简谐振动合成后，振幅仍为A ，则这两个简谐振动的相位差为[ ](A) 60 (B) 90 (C) 120 (D) 180分析与解 答案（C ）。

由旋转矢量图可知两个简谐振动的相位差为120时,合成后的简谐运动的振幅仍为A 。

9-3 简谐运动的图示法

5 t ＝0 24 3
第九章 振 动
5 t ＝0 24 3
3)到达点P相应位置所需时间
t P＝ .6s 1
9
物理学
第五版
物理学
第五版
9-3 简谐运动的图示法
二 简谐运动的矢量图示法
旋转矢量：自
原点O作一矢量 A ( A A )，且 A
在Oxy平面内绕点O 作逆时针匀角速转
v
0.08 0.04
x/m
o
0.04
0.08
28
第九章 振 动
物理学
第五版
物理学
第五版
9-3 简谐运动的图示法
法二
t
时刻

t
π3 π3
起始时刻
x/m
0.08
2 3
0.08 0.04
o
0.04
π t 3
π3 1 t T T 2π 6
第九章 振 动
0.667 s
29
x/m
x A cos( t )
解一（解析法）：
0.10 0.05
0
P 4.0 t/s
A 0.10m t 0 0 x0 0.05m
0.05 0.10 cos
＝

v0 A sin 0
t1 4.0s x1 0m
，
3 π 0 0.10 cos(4 )
x/m
0.10 0.05
0
P t/s
4.0
第九章 振 动
21
物理学
第五版
物理学
第五版
9-3 简谐运动的图示法
x/m 0.10 0.05 0 P
x A cos( t )
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2
T
t
)
8
例1：一个沿 x 轴作谐振动的弹簧振子，振幅为
A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示。若 t
= 0 时，质点的状态分别为：（1）x0=－A；试 求相应的初相，并写出振动方程。
解： x
A cos( t
)
Acos( 2
T
t
)
（1）解析法（x0=－A）
由x0 Acos A， cos 1， ＝
7
例1：一个沿 x 轴作谐振动的弹簧振子，振 幅为 A，周期为T，若 t = 0 时，质点的状 态分别为：（1）x0=－A；（2）过平衡位 置向x正向运动；（3）过 x = A/2 处向x负 方向运动；试求相应的初相，并写出用余 弦函数表示的振动方程。
解：所求振动方程为
x
A cos( t
)
A
cos(
下落： v 2gh
碰撞：mv (m M )v0 t 0, y0 (2 1 )
A
y02
v02
2
arctan(
,
v0
y0
),
(2)
1
y
2
O
h
A
cos(
2
T
t
y
)
16
本节课小结： （1）A,ω, 的确定。 （2）掌握旋转矢量法。 作业：7-5
17
T
t
3
)
11
例2：画出质点处于①平衡位置且速度小于 零，②正最大位移，③(1/2)位移处且速度 为正值的旋转矢量,说明初相的大小并画出 振动曲线。
解：①
xx
A
0o
2
Tt
12
②正最大位移 x
A
o
0
A
o
t
③(1/2)位移处且速度为正值
x
A
A
O
2
t
＝- A x o
32
13
例3：一轻弹簧的倔强系数为k，其下悬有一 质量为m的盘子。现有一质量为M的物体从 离盘h高度处自由下落到盘子中并和盘子粘 在一起，于是盘子开始振动。（1）此时的 振动周期与空盘子做振动时的周期有何不同？ （2）取平衡位置为原点，位移以向下为正， 并以弹簧开始振动时作为记时起点，写出余 弦函数形式的振动方程。
14
例3：一轻弹簧的倔强系数为k，其下悬有一质量 为m的盘子。现有一质量为M的物体从离盘h高度 处自由下落到盘子中并和盘子粘在一起，于是盘
子开始振动。（1）此时的振动周期与空盘子做振 动时的周期有何不同？（2）取平衡位置为原点， 位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为记时
起点，写出余弦函数形式的振动方程。
旋转矢量法：
＝ 或-
x
A
cos(
2
T
t
)
9
(2)解析法(过平衡位置向x正向运动)
x0
Acos
0
2
v0 Asin＞0 sin＜0
＝-
2
旋转矢量法：
＝－ 2
或
3
2
x
A
cos(
2
T
t
2
)
2
10
(3)解析法略 (过 x = A/2 处向x负方向运动)
旋转矢量法：
＝
3
A
3
0 Ax
2
x
Acos(
2
v Asin(t )
x0 Acos
v0 Asin
由此解出A,
Aarcxt02an(v022vx0 0 )
3
2. 曲线法
由振动曲线可知 振幅A，周期T
和初相 。
由振幅A，周期
T和初相 可以
画出振动曲线。
x A
o -A
m
Ox x0 = 0
Tt
由这三个特征量可以写出振动方程：
x Acos(t )
第7章 机械振动
简谐振动的旋转矢量图
1
回顾： • 掌握简谐振动的判断方法。 • 掌握简谐振动的特征量。 • 掌握简谐振动的速度加速度。
x Acos(t )
2
7.1.3 A,ω, 的确定 x Acos(t )
ω由振动系统本身的性质所决定，
ω一定时 A, 由初始(t ) t =0
2
T
4
3. 旋转矢量法
①矢量 A（模与振幅等值）以角速度ω
（与角频率等值）逆时针旋转。
② t = 0时, A 与x轴正向夹角为 .
用旋转矢量在x轴上的投影来表示谐振
动的位移x。
Aω
x Acos(t )
ωt A (t=0)
O
x x0 X
5
3. 旋转矢量法（参考圆法）
6
旋转矢量与振动曲线
解: (1)
T盘 2
m k
,
T盘物 2
mM k
(2)
y
A
cos(
2
T
t
)
A
x02
v02
2
,
arctan(
v0
x0
)
15
有一质量为M的物体从离盘h高度处自由下落到盘 子中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动。取平 衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振
动时作为记时起点，写出余弦函数形式的振动方程。