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大学物理B(Ⅱ)旋转矢量

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大学物理-11第十一讲简谐振动、振动能量、旋转矢量法

大学物理-11第十一讲简谐振动、振动能量、旋转矢量法

振动方程 x0.15cos5tmxAcost
14
例：边长l的立方体木块浮于静水中，浸入水中部分 的高度为b。今用手将木块压下去，放手让其开始运 动。忽略水的阻力，证明木块作谐振动。 解：以水面为原点建立坐标OX。
任意时刻 F浮水(bx)l2g mgF浮ma
水 b l2g水 l2(bx)gm a
力使 减小.

mgsinmldd2t2
很小，sin mg
ml
d2
dt2
l m
f mg
d 2
dt 2

g
l

0
角谐振动
解为 0cos(t)
g T 2 l
l
g
12
例：如图所示装置，轻弹簧k =50N/m，滑轮 M =1kg,
半径 R =0.2m，物体 m =1.5kg。若将物体由平衡位置
X
P
xAcos(t)
◆可用该旋转矢量末端的投影点 P 的运动来表示简 谐振动。
16
旋转矢量法的应用
1.确定初位相 ●由初始位置 x0 确定旋转矢量两个可能的位置。 （特殊情况下只有一个位置） ●根据初始速度方向，由旋转矢量两个可能的位 置中确定初始位置，从而找出初相.。
A

Ox
17
例：确定下列情况的初位相 (a) 已知 t = 0 时，x = -A。 (b) 已知 t = 0时，x = 0，且向 x 轴正方向运动。 (c) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴负方向运动。 (d) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴正方向运动。
13
d2x dt2
k x0 m(1/2)m
d2x dt 2
旋转矢量表示法B版

旋转矢量表示法B版


1 2
⎞ ⎟ ⎠
−
π⎤
3
⎥ ⎦
=
2 π
⎡ 2π ⎢⎣ 3
−
π⎤ 3 ⎥⎦
=
2 3
=
0.667(s)
四、相图（phase diagram）
利用相图描述非线性动力学的方 法是19世纪末法国数学家亨利·庞加 莱（H.Poincare）发明的.
现以坐标和速度为坐标轴定义一 个平面, 称为相平面. 系统的一个运 动状态对应于相平面上的一个点, 称 为相点. 当系统的运动状态发生变化 时, 相点在相平面内运动, 相点的轨 迹则称为相图.
A 端投影:
x = A cos(ωt + ϕ )
与简谐运动方程完全相同, 所以投影点的运动为简谐运动.
二、初相位
ϕ = π平衡位置 2
旋转矢量表示法
π <ϕ <π 2
ϕ
ϕ=π
负向最大
π 0<ϕ<
2
x ϕ=0
正向最大
π < ϕ < 3π 2
3π < ϕ < 2π 2
ϕ = 3π 平衡位置 2
初相位讨论
大学物理
振动学基础
第3讲 旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
一、旋转矢量表示法(参考圆法)
是研究简谐运动规律时所采用的直观的几何描述方法.
自 Ox 轴原点作矢量 A , 其模等 于振幅. A 绕 O点逆时针旋转, 角 速度为ω (其数值即为简谐运动的 角频率) , 则 A 称为旋转振幅矢量. 设初始时刻 t = 0 时 A 与 x 轴夹角 等于初相位 ϕ , 经过时间 t , A 与 x 轴夹角等于相位ω t +ϕ .
旋转矢量

旋转矢量


v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
第九章 振 动
11
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
已知 m 0.01kg, A 0.08 m,T 4 s
t 0, x 0.04 m, v0 0 求（1）t 1.0 s, x, F
解 A 0.08 m 2 π π s1
第九章 振 动
4
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
第九章 振 动
5
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
讨论 相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
x1 Acos(t1 )
x Acos(t )
2
2
(t ) (t )
(A) 0～π/2之间． (B) π/2～π之间． (C) π～3π/2之间． (D) 3π/2～2π之间。
解：位移向下为正。当小盘处在最低位置时刻有一个小
物体落到盘上，则振子系统向下还是向上运动？
考虑到新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于 原振幅，位移接近正的最大值，速度向下。采用旋转矢量 法可知初相位在第四象限。
物理学
第五版
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本章目录
9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
9-2 旋转矢量
9-3 单摆和复摆
9-4 简谐运动的能量
9-5 简谐运动的合成
* 9-6 阻尼振动 受迫振动 共振
第九章 振 动
19
法一 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所 需要的最短时间为t
v x/m
大学物理旋转矢量

大学物理旋转矢量


极坐标表示法
极坐标与平面角
旋转矢量在极坐标系中由一个起点、一个长度和一个平面角唯一确定。平面角表示矢量旋转的方向和角度。
旋转矢量的运算
在极坐标系中，可以通过加减、数乘等运算得到新的旋转矢量。
直角坐标表示法
直角坐标与平面矢量
旋转矢量在直角坐标系中由三个分量唯一确定，这三个分量表示矢量在x、y、z轴上的投影。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并指出实验的局限性和未来改进的方向 。
THANKS
感谢观看
旋转矢量的积分
当一个旋转矢量在某区间内进行积分时，其 结果为该区间内所有点处的切线方向与该区 间内所有点处的速度方向一致的点所组成的
线段。
04
旋转矢量在物理中的应用
角动量守恒定律
角动量定义
物体的转动惯量和转动半径的乘积称为角动量。
角动量守恒定律
在没有外力矩作用的情况下，物体的角动量保持不变。
旋转矢量表示
旋转矢量的应用领域
物理学
旋转矢量在物理学中广泛应用于描述物体的 旋转运动，如刚体的转动、电磁场的旋涡等 。
工程学
在机械工程、航空航天等领域，旋转矢量可以用于 分析物体的动态平衡、稳定性等问题。
电子技术
在电子技术中，旋转矢量可以用于描述信号 的相位、频率等参数，以及进行数字信号处 理。
02
旋转矢量的表示方法
03
旋转矢量的运算规则
加法运算规则
平行四边形法则
当两个旋转矢量相加时，以两个矢量的末端 为起点，分别画出平行四边形的两个相邻边 ，连接对角线，得到的结果是两个旋转矢量 相加后的矢量。
三角形法则
当两个旋转矢量相加时，以一个矢量的起点 为起点，画另一个矢量的平行线，得到的结 果是两个旋转矢量相加后的矢量。
中国海洋大学 大学物理3 期末考试试题和答案52

中国海洋大学 大学物理3 期末考试试题和答案52

大学物理Ⅱ2B 参考答案
一、选择题（24 分，每题 3 分）
1、C 2、C 3、C 4、B 5、E 6、B 7、C
二、填空题（共 23 分）
1、2v /（分）
L
、（分）
8、A
t
3、22.6 J·m-3
（3 分）
4、电磁波能流密度矢量
S EH
（2 分） （1 分）
5、2－1 = 3－2=2/3
2分
5、（5 分）解：
EK p2 /(2me ) (h / )2 /(2me )
3
分
=5.0×10-6 eV
2分
四、问答题（共 10 分）
1、（5 分）解：(1) x = 0 点
0

1 2
；
1分
x=2点
2

1 ； 2
1分
y
x =3 点 3 ；
(2) 如图所示．
1分 2分
0 时刻，O 处质点
0 Acos ， 0 v0 A sin ，
故
1
3分
2
又 t = 2 s，O 处质点位移为
A / 2 Acos(4 1 ) 2
所以
1 4 1 ， = 1/16 Hz
2分
4
2
振动方程为
y0

A cos(t
/8
旋转矢量图见图
2分
振动曲线见图
3分
1T 5T
12
12
1?
x1 2
x
x3
x1
x3
t
7 ?
6
6
1x2 -A
T
1 12
T
T T 3T T 4 24
旋转矢量

旋转矢量


x 0.05 cos(10 0.05

v A sin( t 0 )
a A cos(t 0 )
2
2
) 0.05 m

2 )0
0.05 10 sin( 10 0.05
0.05(10 ) sin( 10 0.05
第五章 机械振动
已知: k = 0.72N/m，m = 20g .
解:（1）求把物体从平衡位置向右拉到 x = 0.05m处停 下后再释放后的简谐运动方程
关键是求ω、A和φ
6.0 s 1 , A 0.05m, 0 0
或由旋转矢量图可得
0 0
所求简谐运动方程
x A cos(t 0 )
代入上式得
x/m
0.08 0.04
o
v
0.04
0.08
21
5-2 旋转矢量
第五章 机械振动
（2）求由起始位置运动到 x＝－0.04m 处所需要的最短 时间. 方法一：设由起始位置运动到 x＝－0.04m 处所需要的 最短时间为 t
π π 0.04 0.08 cos( t ) 2 3
x A cos 0 0
v A sin 0 0
0

2
相量法：
0

A
x 0.05 cos(10t

2
2
O
25
x
)
5-2 旋转矢量
第五章 机械振动
x 0.05 cos(10t

2
)
（2）求在 t＝0.05s 时质点的位置、速度和加速度；
t 0, x0 0.04m
第三节_旋转矢量法

第三节_旋转矢量法

§ 8.3 旋转矢量法一、旋转矢量1 矢量的模等于简谐振动的振幅A长度 = A ；2 矢量绕O 点作逆时针方向匀速转动，其角速度的大小等于简谐振动的角频率 以ω为角速度绕o 点逆时针旋转；3 在t = 0时，矢量A 和x 轴的夹角为ϕ ，在任意时刻t ，它与x 轴的夹角为ωt +ϕ ，矢量A 的矢端M 在x 轴上的投影点P 的坐标为 矢量端点在x 轴上的投影做简谐振动例 已知简谐振动，A =4 cm ，ν = 0.5 Hz ， t =1s 时x =-2cm 且向x 正向运动。

写出此简谐振动的表达式。

解：由题意，T = 2 s 由图， ϕ = π/3，当旋转矢量A 旋转一周，投影点P 作一次完全的振动 ，旋转矢量A 的端点在x 轴上的投影点P 的运动为简谐振动例8-5 两个同方向(沿x 轴方向)、同频率的简谐振动，其频率都是2s-1。

当第一个振子从平衡位置向正方向运动0.05s 后，第二个振子正处于正方向的端点。

求这两个简谐振动的相位差。

已知：-1212s ==νν10100,0x υ=>0.05s=∆t Ax =2∴x = 4cos(πt + ) cm π 3t = 1s x()ϕω+=t A x cos求：当第一个振子从平衡位置向正方向运动时，其旋转矢量A 1的位置如图所示 经过0.05s 后，旋转矢量A 1转过一角度此时，第二个振子刚好处在正方向端点，其旋转矢量A 2由图可见，两振子的相位差为第二个振子比第一个振子的相位超前2π4πradω ν==？=∆ϕ解： 简谐振动的角频率4π0.050.2πω t =⨯=π0.2π0.3π2ϕ∆=-=0.3πω1A。

大学物理 旋转矢量(一)

大学物理 旋转矢量(一)

大学物理旋转矢量（一）引言概述：在大学物理的学习中，旋转矢量（一）是一个重要的知识点。

旋转矢量是描述物体在空间中旋转运动的工具，它具有方向和大小，并可以表示绕定轴进行的旋转。

本文将围绕旋转矢量展开讨论，依次讲解旋转矢量的基本概念、旋转轴和角速度、刚体的定点转动、角动量和力矩、以及旋转的动力学方程。

一、旋转矢量的基本概念1. 旋转的定义与描述2. 旋转角度的表示方法3. 旋转矢量的含义与性质4. 旋转矩阵的使用及推导5. 旋转矢量与坐标系的转换二、旋转轴和角速度1. 旋转轴的定义与求解2. 旋转轴的方向确定方法3. 角速度的概念与计算4. 角速度的单位及数值表达5. 转动矢量与角速度的关系三、刚体的定点转动1. 定点转动的定义与特点2. 转动惯量的概念与计算3. 定点转动的动力学方程4. 定点转动的动力学矢量关系5. 刚体定点转动现象的实例分析四、角动量和力矩1. 角动量的概念与性质2. 角动量的计算与单位3. 力矩的定义与计算4. 力矩的性质与作用5. 角动量和力矩的关系及应用五、旋转的动力学方程1. 旋转的动力学定律与原理2. 牛顿第二定律在旋转运动中的应用3. 旋转的动力学方程的推导过程4. 动力学方程与运动学方程的对应关系5. 旋转动力学方程实际问题的解析解和数值解总结：通过本文的介绍，我们对大学物理中的旋转矢量有了更深入的认识。

我们了解到旋转矢量的基本概念、旋转轴和角速度的计算方法、刚体的定点转动特性、角动量和力矩的关系，以及旋转的动力学方程的应用。

这些知识将有助于我们理解旋转运动的本质和规律，为进一步的学习和研究打下了基础。

大学物理 旋转矢量(两篇)2024

大学物理 旋转矢量(两篇)2024

引言概述：在大学物理学中，旋转矢量（二）是一个重要的概念。

它在描述物体旋转和角动量时发挥着关键作用。

本文将详细阐述旋转矢量的相关内容，包括其定义、性质以及在实际应用中的应用案例等。

正文内容：一、旋转矢量的定义1.旋转矢量的概念和来源2.旋转矢量的数学表示和坐标系选择3.旋转矢量的物理意义和几何解释4.旋转矢量与旋转矩阵的关系5.旋转矢量的性质和基本运算法则二、旋转矢量的旋转定理1.旋转矢量的定义和旋转方向2.旋转定理的几何解释和物理意义3.旋转定理的数学推导和证明4.旋转定理的应用案例：刚体的旋转运动5.旋转定理的实验验证和实际应用三、旋转矢量的角动量1.角动量的定义和物理性质2.角动量的计算方法和表达式3.角动量守恒定律和旋转矢量的关系4.角动量的变化和影响因素5.角动量对物体运动轨迹的影响和解释四、旋转矢量的应用案例1.旋转矢量在力学和动力学问题中的应用2.旋转矢量在电磁学和光学问题中的应用3.旋转矢量在量子力学和粒子物理学问题中的应用4.旋转矢量在天体力学和宇宙学问题中的应用5.旋转矢量在工程和技术领域中的实际应用五、旋转矢量的拓展与发展1.旋转矢量的局限性和扩展性2.旋转矢量在现代物理学和数学中的发展趋势3.旋转矢量在计算机图形学和虚拟现实领域中的应用4.旋转矢量的研究方法和实验手段5.旋转矢量相关学科和概念的比较和关联总结：旋转矢量作为大学物理学的重要内容，在描述物体旋转和角动量时具有不可替代的作用。

本文从旋转矢量的定义、性质和旋转定理开始，详细阐述了其在实际应用中的案例和应用领域。

同时，展望了旋转矢量的拓展与发展，以及与其他学科和概念的比较与关联。

通过对旋转矢量的深入研究和理解，有助于我们更好地理解物体的旋转规律和角动量的变化，为解决各种实际问题提供了强有力的工具和方法。

引言概述：旋转矢量是大学物理中一个重要概念，它在描述物体或系统的旋转运动中起到了关键作用。

本文将从基本概念出发，分析旋转矢量的定义、性质和应用，并探讨其在物理学中的重要性。

大学物理B2_第9章_1

大学物理B2_第9章_1


19
第九章 振动1
二阶常系数齐次微分方程的解：
2 2 s 2Ce st 2Ce st 0 s 0 s j 其中 j 1
d 2x 2 x0 2 dt
st 设解为： x Ce 代入微分方程
jt jt x C1e s1t C2 es2t x C1e C2 e
mg kl
d 2x m 2 kx dt d 2x 2 x0 2 dt
k m
2
所以该系统是作简谐振动
11
2014年10月15日星期三
第九章 振动1
-2kg x 如图 9.8cos(10 t10 ) ,弹簧的静止形变为 cm 例2. m=2× l=9.8cm，t=0 时, t 0, x0 0, 取开始振动时为计时零点，写出振动方程； v0 0 (2) x 。⑴ 0=-9.8cm,v0=0
7
第九章 振动1
简谐振动图象表示：
x
A
x t v t
图
t
x A cos(t )
图
A
v
t
dx v Vm cos(t ) dt 2
dv a Am cos(t ) dt
2014年10月15日星期三
a t
图
A
2
a
t
8
第九章 振动1
四、简谐振动的特征物理量
A x (
2 0
mg l 解： v0 A k sin 0
2
-5
-10
10
5
O
-5 -10
0.2
l
FS
0.6 0.8 1
0.4
v0
5-2 旋转矢量

5-2 旋转矢量


20 10 0 , 20 10
表示 x2 振动超前 x1 振动Δφ。
20 10 0 , 20 10
表示 x2 振动滞后 x1 振动Δφ。
x
2 超前于1 或 1滞后于 2
4）研究简谐振动位移、速度、加速度之间的相位关系
x A cos( t 0 ) p v A sin( t 0 ) v m cos( t 0 ) 2 2 a A cos( t 0 ) am cos( t 0 p )

π
t 3
o
π 3
0.04 0.08
x/m
π 1 s 2 t 0.667 s
π t 3
0.08 0.04
5 – 2 旋转矢量 补充例题 一质点沿x轴作简谐振动，振幅A＝0.05m， 周期 T＝0.2s。当质点正越过平衡位置向负 x 方向时开 始计时。 （1）写出此质点的简谐运动的表达式； （2）求在 t＝0.05s 时质点的位置、速度和加速度； （3）另一质点和此质点的振动频率相同，但振幅为 0.08m，并和此质点反相，写出另一质点的简谐运动表 达式； （4）画出两振动的相量图 解： x
T/4 T/4
x a o
T t

vm
r A
900 900
am
t+

x
v
0 0
r r p 由图可见： v 超前 x 2
o
·

r r p a 超前 v 2
例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系 1 数 k 0.72N m，物体的质量 m 20g . （1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05 m 处停下后再释放， 求简谐运动方程； （2）求物体从初位置运动到第一次经过

大学物理第三讲：8.1.3旋转矢量法


瞬时对应
1、旋转矢量A的长度为简谐振动的振幅 2、φ为t=0时的相位（初相位） 3、（ωt+φ)为t时刻的相位 4、旋转矢量A作逆时针匀速运动（ω角速度）
5、旋转矢量A的末端在参考坐标轴上的投影点的运动即代表质 点做简谐振动。
二、旋转矢量的长处
1、用旋转矢量A来表示简谐振动的位移
x Acost 当 0时 x t曲线
x/cm
t/s
o
9
三、应用举例
已知两个同方向，同频率的简谐振动如下：
x1 5cos10t / 2 x2 5cos10t
A 50cm
5 / 4或 3 / 4
用计算法求它们合振动的振幅和初相位。
已知：A1 A2 5cm；
x/cm
1 / 2;2
t/s
o 求：1合振动的振幅：A A12 A22 ;
16
谢谢大家！ 欢迎大家多提宝贵意见！
2015.10.10
17
18
合振动的初相位：2 ?
8-18 已知两个同方向、同频率的简谐振动如下： x1 5102 cos(10t 3 / 5) SI x2 6102 cos(10t / 5) SI
（1）求它们合振动的振幅与初相位；
（2）另有一个同方向简谐振动 x3 7 102 cos(10t )SI
问值为何值时， x1 x2的振幅最大？ 问值为何值时， x2 x3的振幅最小？
0.05sin 3 0.06sin
5
0.05cos 3
5
0.06 c os
arctan2.5 1.19rad 6813
5
5

12
（2）已知：
x1 5102 cos(10t 3 / 5) SI x2 6102 cos(10t / 5) SI

9-2旋转矢量


v
v<0
v
o
0.04
0.08
x/m
− 0.08 − 0.04
开 : t = 0： x0 = 0.04m, v0 < 0 始
最短时间t： 最短时间 x = −0.04m , v < 0
12
（2）由起始位置运动到 = -0.04m处所需 ）由起始位置运动到x 处所需 要的最短时间. 要的最短时间.
开 : t = 0： x0 = 0.04m, v0 < 0 始
o
a − t图
t
T
∆ϕ = ϕa −ϕv = (ωt +π ) − (ωt + ) = 2 2
20
π
π
（3）相位超前和滞后： ）相位超前和滞后：
A2
若：∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 > 0 振动超前 振动： x2 振动超前 x1 振动： ∆ϕ 若：∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 < 0 振动滞后 振动： x2 振动滞后 x1 振动： ∆ϕ
− (ωt + ϕ )
an = rω = Aω r r a = an ⋅ i
2
2
π − (ω t + ϕ )
dv r r = an i cosθ or : a = dt
x = A cos(ωt + ϕ )
a = − Aω 2 cos(ωt + ϕ )
5
直观地表达谐振动的各特征量 3、旋转矢量法优 、 点 便于解题, 便于解题 特别是确定初相位 便于振动合成
x1 = A cos(ωt1 + ϕ )
x2 = A cos(ωt 2 + ϕ )
相位差 ∆ϕ = (ωt2 +ϕ) −(ωt1 +ϕ) = ω(t − t ) = ω∆t 2 1 ∆ϕ 时间差 ∆t = t2 −t1 =

大学物理学教学中初相位的求解——旋转矢量法

大学物理学教学中初相位的求解——旋转矢量法
初相位的求解作为理论物理学中一个重要的内容经常被大学物理学教学中提及，相比较传统的三角函数法，旋转矢量法作为一种新的数学计算方式正逐步在各个大学物理教学中得到应用，本文将以此方式进行初相位的求解及应用。

旋转矢量法是一种计算变换位置、旋转之间关系的重要方法，可以把旋转视为矢量，这种矢量可以是旋转轴向量乘以旋转角度的形式。

在计算初相位时，可以利用旋转矢量的相加、相减，从而得出相应的位置、角度变换及旋转信息，从而解决初相位求解问题。

旋转矢量法具体应用于初相位求解时如下：
（1）以坐标系0-A，以A点为原点，以X轴为横轴，以Y轴为纵轴。

（3）从A点到B点的位移量为Rb，定义α角为旋转量，此旋转的旋转轴向量为：
U=(X`Y`Z`)。

（5）根据位移量Ra和α角，计算出旋转矢量：〖R_b〗^α=(X^`Y^`Z^`)。

（6）由计算出的旋转矢量〖R_b〗^α和位移量Ra，求出从A点到B点的旋转量Φ：Φ=〖R_a〗^α+Ra，Φ即为A点到B点的初相位。

（9）根据计算出的β角得出从A点到B点的旋转量γ：γ=β- α。

以上就是应用旋转矢量法求出初相位的步骤，3D旋转的运算角度可以根据同理求出。

传统的三角函数法只能表示2D的运算，而旋转矢量法则不仅可以求出2D的运算，还可以求出3D的运算，可以用来解决复杂的初相位求解问题。

总之，旋转矢量法作为一种基于几何的运算方式，其优点可以体现在于它融合几何和代数在一起，能够有效解决复杂多轴的位移、角度变换及旋转运算的问题，可以有效求解初相位问题。

从而为进一步的理论物理数学研究打下基础。

5-2 旋转矢量


d2 x 2 x dt 2
圆频率：
k m
17
第五章 机械振动
5-2 旋转矢量
例4 （P.125 例1）已知摆锤质量为m，摆长为l。试求单 摆系统（ 5）的摆动方程和摆动周期。 解： Ft mg sin mg 5 A Ft mg l 简谐 Ft mat 其中： T d2 d 振动 m l 2 而： at l l dt 2 dt d 2 d g O ml 2 mg 0 2 dt dt l 2 mg d g 2 令： 0 2 dt l g 圆频率： m cos(t ) 摆动方程： l l 2 2 周期：T 摆幅 g
t tmin 或 t 2 12 2 4 1 0.083 s 12
13
第五章 机械振动
5-2 旋转矢量
例3 已知：一质点的振动曲线如图所示，试求该质点的 振动方程。 x cm 解（3）：旋转矢量法
第一次
/3
5
t0
/3
由图知：
3
2.5 5
0

O
3 53.130 5
v0 0 振动方程： 5cos 2t 53.13 x 或： x 5cos 2t 0.296 x 3
arccos 5
取1 53.13
53.13
8
第五章 机械振动
5-2 旋转矢量
例2 已知 A 24cm, T 0.5s, x0 12cm, v0 0. 求（1） 振动方程；（2）t = 0.25 s 时质点的位置和速度；（3） 质点运动到 x = -12 cm 所需的最短时间。
x 24cos 4t 12 3 1 4t arccos 3 2 2 4t 2n 3 3 n N 或 4 4t 2n 3 n 1 n3 1

大学物理(工科) 4—1 简谐运动、旋转矢量简谐运动的合成


2
tan1( v0 ) 注意: 确定 的象限 x0
二、简谐运动的描述
x Acos(t )
1.解析法(由振动表达式)
A, T, , x, v, a
2.曲线法(由振动曲线)
x
x Acos(t )
A
►确定振幅A；
o
►确定周期T，ω；
►确定φ
-A
T
t
•根据图像判断速度的正负用斜率 •利用初始条件确定几个φ，再利用速度正负判断保留φ
3、掌握描述简谐波的各物理量及各量间的关系；
4、理解机械波产生的条件. 掌握由已知质点的简谐 运动方程得出平面简谐波的波函数的方法. 理解波函 数的物理意义. 了解波的能量传播特征及能流、能流密 度概念.
匀速直线运动
直线运动
匀变速直线运动
学
变速直线运动
过 的
变加速直线运动
运
动 形
平抛运动
式
抛体运动
例4.2: 已知一简谐振动的曲线如图所示，写出振动方程。
x （cm）5
6
2
3
p
O 1
t（s）
解: 已知振动方程表达式为：x Acos(t )，v Asin(t )
► 定振幅: A=0.06m
►定初相
x0 0.06cos 0.03
cos 0.5
利用斜率判断0时刻速度方向 0 0
晶格点阵
§4—1 简谐运动、旋转矢量、简谐运动的能量
一、简谐运动动力学 1.模型
2.定义 ►受力：F=-kx
►动力学微分方程：
d2 dt
x
2
2
x
0
令 2 k
m
►运动方程： x(t)=Acos( t + )

大学物理学教学中初相位的求解——旋转矢量法

大学物理学教学中初相位的求解——旋转矢量法马业万;刘全金;章礼华;张杰【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(018)001【摘要】在大学物理中有关振动方程和波动方程的教学中发现,很多学生不知怎么求解振动方程和波动方程,其主要原因是大多学生不知如何求解初相位。

文章从实际教学过程出发,论述如何用旋转矢量法来求解初相位。

通过旋转矢量法来求解初相位,方法简捷,学生学习起来方便、易懂。

%It is found that many students do not know how to solve equations of oscillations and equations of waves in college physics teaching,which is due to knowing less about solving initial phase.The paper gives a method-rotating vector to solve initialphase,which is very simple and easy to students.【总页数】4页(P97-99,118)【作者】马业万;刘全金;章礼华;张杰【作者单位】安庆师范学院物理与电气工程学院,安徽安庆246133;安庆师范学院物理与电气工程学院,安徽安庆246133;安庆师范学院物理与电气工程学院,安徽安庆246133;安庆师范学院物理与电气工程学院,安徽安庆246133【正文语种】中文【中图分类】O4-42【相关文献】1.微波无线能量传输中基于旋转矢量法的发射天线阵相位快速优化 [J], 赵应盛;刘长军2.机械波中一基本题型的旋转矢量法求解 [J], 杨薇3.旋转矢量法在简谐振动和简谐波问题求解中的应用 [J], 樊丽娟;冯云光4.旋转矢量法求解简谐振动初相位 [J], 唐义思5.旋转矢量法确定相位不定问题 [J], 刘新因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

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2
t 0.667s
x
A
00 7.5 A 2
A v
t0
例 一简谐运动的运动
曲线如图所示，求振动周
期.
t(s) t 0

A A2 0 A x
t 7.5
2π T T
t 7.5s
T 18s
例 已知谐振动的 A 、T ，求 1）如图简谐运动方
A＇
44
因为 v0 0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4
x Acos(t ) 0.0707cos(6.0t π)
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振
幅为 0.08m，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04m
处，向 Ox轴负方向运动（如图）.试求
（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
A/2 t ta
A 0 A x
t0
π ( π) 2π
3 33
tb
T
2π
T 3
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04 0.08cos(π t π) 23
t 0.667s
解法二
t 时刻
t
π3 π3
0.08 0.04 o 0.04
起始时刻
x/m
0.08
t π
3
π s1
x 0.08cos(π t π ) 23
m 0.01kg
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x 0.08cos(π t π ) 23
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
F kx m 2x 1.70103 N
（2）由起始位置运动到 x 0.04m 处所需要
2
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间. (t2 ) (t1 )
x Acos(t1 ) x Acos(t2 )
t
t2
t1
xa Ab
Ab
A2
t
x
o
A
v
π
A
t π 3 T 1 T
0
A 2
Aa
A
3
2π 6
程， 2）到达 a、b 点运动状态的时间 .
x
解法一
vA *a b
x Acos(t )
A2 *
t 从图上可知
0
A
π 或 ( π , 5π)
3 33
v0 0,sin 0
π 或 5π
33
t 0, x A , v 0
A
2
A cos
2
cos
1
2
x Acos(t π)
3
v
A
思考 一质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位
置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最
大位移处这段路程所需要的时间为
（1）T/4 （2）T/12
（3）T/6 （4）T/8
π 3 t
2π 2π T
A
t T 6
A 2 Ab x
0 A
Aa
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们 间步调上的差异.（解决振动合成问题）
2
x0
0.05m
tan v0 0 x0
0 或π
oAx
由旋转矢量图可知 0
x Acos(t ) 0.05cos6.0t m
（2）求物体从初位置运动到第一次经过 A 处时的
速度；
2
解 x Acos(t ) Acos(t)
cos(t) x 1
A2
t π 或 5π
33
由旋转矢量图可知 t π
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
解 A 0.08m
2π π s1
T2
A 0.08m
2π π s1
T2
t 0, x 0.04m 代入 x Acos(t )
0.04 0.08cos
π
3
v0 0
π
3
A
π3
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
简谐振动的旋转矢量表示
设质点沿x轴做简谐振动，平衡位置 为坐标 原点O.以O为起点作一旋转矢量 A
AA
在t=0时， A与x轴正向的夹角为ψ
2π
T
当t 0时
A
o
x0 x
x0 Acos
以 o为
原点旋转矢 量A的端点
x 在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
2π
T
t t 时
A
t
o
x x0 x
x a *
b
A2 *
x Acos(t π)
3
t A Acos(ta π 3)
0
A
ta
π 3
0,2π,4π
A 2
A cos(tb
π
3)
(ta
π) 3
2π
tb
π 3
π , 5π 33
,
7π 3
2π T
ta
π 3
0
ta
T 6
(tb
π 3
)
2π
2π T
tb
π 3
π 3
tb T 3
v
A
x a *
b
A
*
*
**
O
t O * T T * 3T T 5T
4* 2* 4
4
-A
-A
*
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
例 用旋转矢量法求初相位
x Acos(t )
t0 x0 v0
A 0
Ax
Ax
0
A
π
2
v
m
0x
T Tt
下后再释放，求简谐运动方程； （2）求物体从初位置运动到第一次经过
A 处时的
速度；
2
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v0 0.30m s，1 求其运动方程.
x/m
o 0.05
解 （1） k 0.72N m1 6.0s1
m
0.02kg
A
x02
v02
x Acos(t )
以 o为
原点旋转矢 量A的端点
x 在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
y vm t π
t an
2 A
0 a v
x
vm A an A 2
x Acos(t )
v A cos(t π )
2
a A2 cos(t )
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
x A
x x Acos(t ) π 4
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
(t 2 ) (t 1) 2 1
0同步 x
π 反相
x
超前
为其它
落后
x
o
to
o
t
t
例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹
簧的劲度系数 k 0.72N m1，物体的质量 m 20g.
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05m处停
A2 *
0
解法二
用旋转矢量法求初相位
t x Acos(t )
A
t 0, x A , v 0
2
矢量位于 x 轴下方时 v 0
A
0 A/2 A x
π
x
3
A cos(t
π)
3
v
A
x a *
b
A2 *
t
0
A
x Acos(t π)
3
0 ( π) π
33
ta
T
2π
T 6
t tb
3
v A sint
A
o A Ax
2
0.26m s1 （负号表示速度沿 Ox轴负方向）
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v0 0.30m，求s其1 运动方程.
解 A＇
x02
v02
2
0.0707m
tan＇ v0 1 x0
o π 4 x
＇ π 或 3π